So, hello बच्चालो, welcome back to the revision series, एक ऐसा series जो कि सारे JEE aspirants के लिए बहुत साधा important है, इसके पहले वाले वीडियो में हम लोगों ने motion in one dimension कर लिया है completely, और आज हम लोग complete करने जा रहे है motion in two dimension, ठीक है, इसके साथ ही साथ हम लोग यहाँ पे 10 numerical example भी देखेंगे, which will actually help you understand the topic more, right, अच्� अगर हम लोग यहाँ पर बात करें motion and two dimension के बारे में, so basically यहाँ पर दो variety का सवाल बनता है, एक आपका होता है direct 2D motion के उपर, यानि कि एक particle है जो कि एक two dimension plane में, यानि कि एक XY plane में, XY plane में, या फिर YZ plane में आपको move कर रहा है, और उसी का special case होता है, यानि कि projectile motion, जिसको आप अच्छे से जानते हैं कि आपने एक particle को मान लेजे किसी angle theta पे project किया है, right उपर की direction में, तो वो particle आपको एक parabolic path travel करता है, ठीक है, हम लोग यहाँ पर ground to ground projectile देखेंगे, projectile from a tower या फिर building देखेंगे, फिर हम लोग यहाँ पर देखेंगे projectile on an inclined plane, up the incline and down the incline, और फिर last में हम लोग यहाँ पर देखेंगे projectile from a moving trolley or car, चलिए, आगे बढ़ने से पहले जरूर से हमारा यह जो telegram channel है, Adniti for Physics, आप इसको join कर ले, क्योंकि हम लोग यहाँ पे भी अपना सारा contents को post करते रहते हैं, so that you shouldn't be missing out on any of the relevant content, ठीक है, आपको इस पूरे session का जो PDF notes है, वो नीचे मिल जाएगा, तो आप उसको download कर सकते हैं, और अपने short notes को update कर सकते हैं, ठीक है, चलि, हम लोग यहाँ पे आग आपको Electro-Stratix करना है, Current करना है, Earth's Magnetism, Magnetic Properties, कुछ भी करना है, Wave Optics, Ray Optics, Modern Physics, Semiconductors, आप यहां से कर सकते हैं, आपको सिर्फ इस link पे click करना है, यह सारा link आपको इसी PDF में रखा हुआ है, ठीक है, और अगर आपको 11th के portion में Fluid Mechanics करना है, या फिर Gravitation करना है, Thermodynamics करना है, Right, Dimensions क our motion in two dimension यहाँ पे सबसे पहले मेरी बातों को ध्यान से सुनियेगा ठीक है, earphone को कान में लगा लिजे comfortable है तो 1.5x के speed पे देखिए लेकिन एक एक बात को ध्यान से सुनियेगा motion in a plane में सबसे पहले आप यहाँ पे देखिए हमने यहाँ पे x y axis बना लिया है यानि कि आपका जो particle है वो इस x y plane में ही travel कर रहा है और यह जो yellow color का आपको path दिख रहा है वो उस particle का path है जिस पे वो travel कर रहा होगा अगर आपको इस yellow curve का equation पता है, let us say y is equal to fx, तो इसे हम कहते है equation of trajectory, ठीक है, अच्छा, माल लिज़े आपका particle इस समय यहाँ पे है, at some general time t, तो इसका जो velocity का direction होगा, वो इस point पे tangential होगा, ठीक है, अब इस velocity का आपका दो component हो सकता है, vx and vy, right, so basically two dimension को solve करने का strategy यह होता है, कि आपका जो two dimension motion होता है, वो एक vector होता है, वेक्टर सम होता है दो independent one dimension motion का, one dimension motion का, कहने का मतलब है कि यहाँ पे हम लोग x-axis में अलग से kinematics के equation को लगा सकते हैं, और y-axis में हम लोग अलग से independently kinematics equation को लगा सकते हैं, right, माल लीजिए कि particle का जो acceleration है, वो uniform है, वो constant है, हा, कहने का मतलब है कि आपका जो acceleration है, उसका कुछ component होग कुछ component शायद होगा y direction में, अगर यह आपका uniform है, तो आप यहाँ पे kinematics के जो equation आपने 1D में सीखा था, आप उसे यहाँ पे apply कर सकते हैं, आप x में अलग से लिख सकते हैं, right, v is equal to u plus 80, और y में आप अलग से लिख सकते हो, v is equal to u plus 80, similarly हमने जो s is equal to ut plus half 80 square देखा था, मान लिजे कि हमें इस particle का, इस moment पे position vector लिखना है, तो आपका position vector क्या हो जाएगा, x i cap plus y j cap, और x और y क्या है, वो इन दो equation से हम लिख सकते हैं, तो इस तरीके से x और y में अलग-अलग लिखने से आप इस particle के सारे parameters को लिख सकते हो at any given general time t, तो यही basic funda होता है इस पूरे two dimension motion में, राइट, example के तोर पे आपके सामने यहाँ पे एक numerical है, आप चाहो तो वीडियो को यही पे pause करो, पहले खुछ से try करो और फिर से आके इसका solution देखो सवाल में क्या बोलता है a particle starts from the origin at t equals to 0 second with a velocity of 10 meters per second along y-axis यानि कि शुरुवात में particle का जो velocity है वो सिर्फ y-axis में था It moves in the XY plane with constant acceleration 8 i-cap plus 2 j-cap. यानि X direction में particle का जो acceleration है वो है 8 meters per second square और Y axis में है 2 meters per second square. At what time is the X coordinate of the particle 16 meter? हमसे time पूछ रहा है जब particle का X coordinate है 16 meter.
What is Y coordinate of the particle at that time and what is the velocity of the particle at that time? time ठीक है तो ध्यान से देखे यह रहा आपका x axis यह रहा आपका y axis शुरुवात में particle का जो velocity है वो सिर्फ y direction में था which was 10 meters per second यह सब करने के बाद सबसे पहले आप given चीज़ों को लिखे और given चीज़े आपको y में अलग से लिखनी है और x y direction में जो particle का initial velocity है वो है 10 meters per second क्या x direction में कुछ था नहीं है तो वो 0 हो जाएगा acceleration x direction में 8 है और y direction में आपका 2 meters per second square है समय 0 पे particle आपका origin पे था और किसी general time t पे time t पे particle का x coordinate है 16 और y coordinate हमें नहीं पता है सबसे पहले हमसे पूछा गया है कि वो time क्या है फिर हमसे पूछा गया है कि ये y coordinate क्या है right what is the y coordinate और फिर हमसे ये पूछा जाता है कि particle का velocity क्या है यानि कि vx और vy का हमें basically resultant निकालना है इस time पे x direction में velocity vx है, y direction में vy है, तो resultant हो जाएगा particle का velocity at this time, ठीक है, तो ये तीन चीज़ हमको निकालना है, और बड़े प्यार से निकल सकता है, ध्यान से देखिए, सबसे पहले हम लोग x direction में लगाएंगे, s is equal to ut plus half 80 square, right, तो displacement in x direction कितना है, तो 16 हो जाएगा न, जब particle आपका इस point भे है, तो x direction में displacement कितना है, 16, initial velocity along x कितना था, 0 था, तो यह तो 0 आ जाएगा, half, ax की जगा 8 लिखोगे, t square, solve किया तो time का value आ गया, 2 second, clear है, अब हमें निकालना है कि y कितना था, अब y में लगाओगे यह वाला equation, आपके पास ui की value है, आप इसे यहाँ पर put करेंगे, so 10 into 2, 2 seconds अपना time है, plus half, acceleration along y axis is 2, multiplied by time का square, which is 4, solve किया तो आ गया 24 meter ठीक है फिर हमें Vx भी solve करना है और Vy भी solve करना है और उन दोनों का resultant निकालना है right so Vy की value क्या हो जाएगी Vy is equal to Uy plus Ayt right so Uy plus Ayt 14 आ जाएगा और Vx is equal to Ux plus Axt इसको इस्तमाल कीजिए यह 16 आएगा resultant निकाला which is approximately 21.3 meters per second clear है ऐसा सवाल आपको जेई में पूछा जाता है, और पूछा जा भी चुका है, clear एकदम, अच्छा, अब यहाँ पे हम लोग बात करते हैं, अपने main मुद्दे वाले topic ही, which is your projectile motion, right, so projectile motion is again, a combination of x and y, right, अगर हमारा, पास एक particle है, आपने उसको उपर के direction में, at some initial speed you, project किया है, right, just like आपके पास कोई football है, तो वो U speed से उपर की direction में travel कर रहा है, at an angle theta with the horizontal, ठीक है, वो इस तरीके का trajectory follow करता है, which is basically a parabolic path, वो हम लोग आगे जाके देख भी लेंगे, और वो finally ground पे आ जाता है, ठीक है, इसी को हम लोग यहाँ पे कह रहे है, ground to ground projectile, यानि एक level पे शुरू हुआ है, और same level पे आके वो खतम भी हो रहा है, clear है, सबसे पहली बात यहाँ पर यह है कि जिस आंगल पर आपने इसको project के angle theta उसी आंगल पर यह नीचे आएगा भी, जिस speed से वो उपर गया था U उसी speed से वो लोटेगा भी, ठीक है, तो यह कुछ हो गया दो important point, अब यहाँ पर बात आती है given चीजों की, तो मैंने आपको क्या कहा which is ux, nothing but u cos theta, और y में u sin theta, अच्छा, क्या particle के पास x direction में कोई acceleration है, नहीं है, so ax is 0, और y direction में सिर्फ gravity है, and that too in the downward direction, right, so ay is what, minus g, minus g, why, because हमने upward direction को positive लिया है, तो downward direction में ले, negative हो जाएगा, so that is ay is equal to minus g, ठीक है, अब यहाँ पे कुछ, 3-4 standard formulas है जो कि आपको पता होना चाहिए जही main जैसे exam में आपको direct formula ही use होता है जब सवाल इन पे आए यानि कि सबसे पहला होता है time of flight, आपका ये जो particle है, वो कितने देर में वापस आया है, right, total time of journey कितना है इसका, so that is given by 2uY by g, right, time जब भी निकालना होता है, तो y direction में ही equation बनाते हैं हम लोग, so 2uY, uY क्या है, u sine theta and gravity is g, right, h, maximum height, particle maximum height कितना achieve किया है पूरे journey में, इसको हम लोग कहते है h max, वो आपका होता है u square y upon 2g, ठीक है, इस format में याद रखने की कोशिश करें, because हमें ये format help करेगा आगे जाके incline plane पे भी, so u square y upon 2g, u square sin square theta upon 2g, right, range, अब यहाँ पे ध्यान से देखिए, range का मतलब होता है कि particle ने x direction में displacement क् So, भाईया, horizontal direction में खास बात यह है कि particle के पास कोई acceleration है ही नहीं, यानि कि यह जो ux है, वो हमेशा constant रहेगा, बात समझ में आ रहा है, जब x direction में कोई acceleration ही नहीं है, यानि कि particle का horizontal direction में speed है, velocity है, वो हमेशा constant रहेगा, और अगर particle का velocity constant है, speed constant है, तो हम कह सकते हैं that distance travelled is equal to speed into time, यानि कि जो आपका range होगा, that is not, नए बट होरिजांटल स्पीड विच इस यू एक्स मल्टिप्लाइड बाइट टोटल टाइम उफ जर्नी सो यू एक्स डॉट टी एंड टाइम उफ लाइट विजिस टू यू वाइट बाइट जी राइड सो रेंज को आप इस तरीके से भी याद रखें टू यू एक्स यू वाइट बाइट जी राइड बहुत ज्यादा फायदा मिलता है कभी-कभी और यू एक्स को आप लिख सकते थे यू कॉस्ट थीटा य� 4 point हमने पहले ही बता दिया है कि ax आपका 0 है which means ux which is equal to u cos theta will always remain constant यानि कि यहाँ पे जो horizontal speed है वही top पे भी होगा वही हर जगह होगा clear है एकदम आगे बढ़ते है अब यहाँ पे आपका आता है range maximum कब होगा ठीक है और range की values बराबर किस condition के लिए होती है तो आपके पास range का formula ही है r is equal to u square sin 2 theta by g तो आप यहाँ पे अगर आपका जो speed है वो fix है, right, तो range को maximum करने का मतलब है कि sine 2 theta की value maximum होना चाहिए, which is possible जब वो 1 हो, 1 से बड़ी वो हो नहीं सकती, और sine 2 theta अगर 1 है, which means 2 theta is 90 degree implies theta is 45 degree, right, तो यह condition आपको याद रखना है कि range maximum तब होता है जब angle theta होता है 45 degrees, और 45 degree के लिए आपका range का value हो जाएगा simply u square by g, ठीक है, अब यहाँ पे, दूसरा point यह है कि अगर आपका जो angle of projection है वो 45 degree नहीं है, right, right, theta 1 है और theta 2 है, where both are not 45 degree और दोनों का जो sum है, दोनों का जो sum है वो 90 degree के बराबर है, if two angles are complementary angles और दोनों projection में आपका speed same है, तो दोनों के लिए आपका range भी same होगा, right, although maximum height different होगा, that is fair, but the range is going to be same if the angles are complementary. ये दो point को भी धियान में रखना है, ठीक है?
चलिए, अब यहाँ पे basically हम लोग पूरा अच्छे से समझेंगे, किसी general time t पे, किसी general time t पे हम किस तरीके से projectile motion में particle के parameters को analyze कर सकते हैं, ठीक है? तो यह रहा आपका एक particle, right? particle आपका यहाँ से शुरू होता हुआ इस तरीके से parabolic path कर रहा है. समय शुन्य पे particle ओरिजिन पे था, यहाँ पे इसका initial speed ux और uy है, किसी general time t पे particle का जो x direction में velocity है, वो vx है, हलाकि यह जो vx है, वो इस ux के ही बराबर होगा, हमने यह बात देख रखा है, और y direction में तो definitely आपका velocity कुछ vy होगा, और वो different होगा uy से, right, क्योंकि downward direction में आपको gravity ह अच्छा, इन दोनों का जो resultant होगा, that is going to be V, and this V is making an angle of alpha with the horizontal, ठीक है, अब हमें यहाँ पे VX, VY दोनों लिखना आना चाहिए, तो यह बात तो एकदम तै है कि जो VX वो UX के ही बराबर है, और जो VY होगा, आप Y direction में अलग से equation लिख सकते हो न, V is equal to U plus AT वाला, तो Y direction में क्य किसी भी general time t पे, अगर आपसे y component of velocity पूछता है, तो हम इस equation को लगा सकते हैं, और इन दोनों का जो resultant होगा, वही आपका हो जाएगा magnitude of this capital V, और अगर आपको capital V को vector form में लिखना है, तो आप इस थरीके से लिखोगे, i cap और j cap के terms में, am I clear, और अगर हमें ये अंगल आलफा चाहिए, तो आप क्या लिखोगे, tan alpha is equal to vy upon vx, यानि कि alpha is equal to tan inverse vy upon vx, clear एकदम, अच्छा, अब हमें ये भी जानना है कि किसी भी general time t पे particle का x और y coordinates क्या है, right, या फिर x और y direction में displacement क्या है, तो हम यहाँ पे s is equal to ut plus half at square, x में और y में अलग-अलग से लिख सकते हैं, अब यहाँ पे फाइदा यह है कि x direction में तो हमारा ux जो है वो constant है, यानि simply ux into small t अगर कर देंगे तो मुझे x coordinate मिल जाएगा, speed into time, y direction में आपको ut plus half a t square लगाना होगा, so uyt minus half gt square, minus क्यों आया, because ay, right, downward है, तो minus g, ठीक है एकदम, अच्छा यह आपका हुआ x और y coordinate, position vector लिखना होगा, तो x i cap plus y j cap, और displacement, तो x square plus y square का under root, है न, अगर आपका particle यहाँ पहुँच गया है, तो origin के respect में इसका displacement के तरह है, right, तो simple under root x square plus y square, ठीक है एकदम, तो इस तरीके से हम कुछ भी निकाल सकते हैं, जब आपका particle parabolic बात कर रहा है, projectile motion कर रहा है, अच्छा, equation of trajectory, अभी अभी जो हमने सीखा उसी को बस extend करना है, किसी भी general time t पे particle का x और y coordinate हमने यहाँ पे मान लिया है, particle का velocity v है, now equation of trajectory का मतलब होता है, इस yellow dotted line का मुझे equation चाहिए, clear एकदम, यह रहे हैं मेरे initial parameters, ux, ui, ax 0 है, ay की value minus g है, right, तो हम यहाँ पे यह बात जानते हैं कि x जो होगा that और ux है u cos theta, तो x is equal to u cos theta dot time आ गया, and y direction में, यानि कि particle का जो y displacement होगा, that is equal to ut plus half e t square, so u sine theta t, right, y direction में displacement लिख रहा है, minus half g t square, अब ये दोनों ही equation आपका time के साथ relation है, तो मुझे time को eliminate करना होगा, तो ये जो पहला वाला equation है न, x upon u cos theta, और उस t की value को इस second वाले में substitute कर दो, तो आपको ये मिलता है, which is a standard equation of trajectory, जो आपको हर किताब में मिलेगा, इसको आपको याद कर लेना है, y is equal to x tan theta, minus gx square upon 2u square cos square theta, clear एकदम, अगर आप इसे ध्यान से देखे, तो हम इसे इस form में लिख सकते थे, y is equal to ax minus bx square, और b आपको g upon, 2u2 cos2 theta है और ये क्या है ये basically एक quadratic equation है और कोई भी quadratic equation आपको parabolic graph होता है parabolic path दिखाता है clear एकदम अच्छा अब यहां से एक shortcut आपको ध्यान में रखना है कभी कभी आपको सवाल में क्या करेगा ये equation दे देगा suppose कि जी आपको दे दिया y is equal to 2x minus 3x square एक projectile motion का equation of trajectory है उसका path है तो बताई उस projectile का range कितना है ठीक है अगर यह आपको simply दे देता है so the ratio a upon b is simply your range चुटकियों में आपका सवाल solve हो जाएगा आपको इन दोनों को compare करने की जरूरत नहीं पड़ेगे ठीक है यह already derived है verified है आप इसको इस्तेमाल कर सकते हैं जो आपका ground to ground projectile हो रहा हो clear है एकदम अच्छा अब यह जो अपना equation है इसमें थोड़ा सा manipulation अगर करेंगे तो आपको यह equation भी मिल जाती है y is equal to x tan theta bracket 1 minus x upon r where r is the range ठीक है इसका भी इस्तमाल होता है किसी किसी सवाल में हम लोग अभी examples के थूँ समझेंगे clear एकदम अच्छा अब यहाँ पे आपके सामने example number 2 है सवाल को पढ़िये खुछ से solve कीजिए और फिर solution को आके जरूर से देखिये ठीक है सवाल में क्या कहता है a ball is projected with a speed v0 at an angle theta from the point on the ground if after टी इस उगल टू थी रूट टू सेकेंड वेलोसिटी बिकम्स परपेंडिकुलर टू दी इनिशियल डायरेक्शन ऑफ प्रोजेक्शन फाइंड दी आंगल ऑफ प्रोजेक्शन अजय को एर रिजिस्टेंस नेगलिज़िबल एंड टेक वी नॉट इस इकल टू 30 मीटर से पार्टिकल है आपने उसको फेका है विच समीन इशल विलॉसिटी वी नॉट आंगल थीटा मान लेते हैं यह आपको इस तरीके से जा रहा है 3 root 2 seconds पे, ये जो आपका velocity vector है न, this vector is making an angle of 90 degree with the initial velocity vector, यानि अगर हम इन दोनों arrows को side में draw कर दे, ये आपको हो गया V0, और ये आपको हो गया ये वाला V, तो इन दोनों के बीच में जो angle है, वो 90 degrees है, हमें ये question में दे रखा है, राइट, अब यहाँ पे देखिए इसको solve करने का दो तीन तरीका होता है, आपको यहाँ पे best तरीका दिखाय जा रहा है, ठीक है, अच्छा, तो तरीका क्या है, तरीका यह है कि अगर हम लोग किसी तरीके से V0 को vector form में लिखे, अगर हम लोग इस V को भी vector form में लिखे, तो द इस V को vector form में कैसे लिखते हैं, right, Vx i cap plus Vy j cap, आपको ध्यान में है, चलिए, देखते हम लोग यहीं पे, कैसे करेंगे, तो general time t पे, इसका Vx component है, इसका Vy component है, और यह आपका V0 है, यह angle theta है, तो सबसे पहले हम इस V0 को अगर vector form में लिखे, तो हम लिख सकते हैं, V0 cos theta i cap, है की अगर हमें इस V को भी लिखना है वेक्टर फॉर्म में तो यह V आपका हो जाएगा वी एक्स आई कैप प्लस वी वाई जे कैप लेकिन यह जो वी एक्स है वो तो आपको यू एक्स के बराबरी होता है यानि कि वी नौट कॉस सीटा के बराबरी होगा यू वाई प्लस ए वाई टी यानि कि वी नौट साइन थीटा माइनस जी टी ग्राविटी नीचे की तरफ है जे काप अब चुप चाप आपको इन दोनों का लेना है dot product I hope आपको यहाँ पे इसमें दिक्कत नहीं आना चाहिए how to take dot product I वाला I के साथ जाता है, J वाला J के साथ जाता है आपको यहाँ पे यह निकल के आजाएगा ताकि cos2θ प्लस sin2θ आपको 1 मन जाए उसके बाद आपको rearrange करना है sin2θ इसे equal to आपको निकल के आएगा V0 upon GT V0 की value है, gravity है, time है 1 by root 2 यानि कि θ हो जगा आपको 45 degrees clear एकदम I hope आपको ये सवाल समझ में आया है और ये आपको best तरीका इसको solve करने का अगर आपको ये पूरा session अभी भी अच्छा लग रहा है तो जरूर से इसी वक्त hit किजिए उस like बटन को बहुत सारा यहाँ पे creative way में content create किया हुआ है ठीक है चलिए एक और example देखिए right a projectile is given an initial velocity of i cap plus 2j cap meters per second ठीक है यानि कि x direction वाला जो magnitude है वो 1 है और y direction में speed 2 है where i is along the ground and j is along the vertical if gravity is 10 meters per second square the equation of its trajectory is what ठीक है तो ये basically एक simple सवाल है लेकिन फिर भी मैंने देखा है कि बच्चों को इसमें तकलीफ आती है तो हमारे पास equation of trajectory ये रहा x tan theta minus gx square upon u square cos square theta, तो आपको यहाँ पे बस इन given data को feed करना है, आपको angle theta चाहिए, और वो तो निकाल सकते हैं न, आपके पास यहाँ पे ux दे रखा है, uy दे रखा है, तो जो angle of projection होगा, वो आप निकाल सकते हैं, uy और ux का resultant हो जाएगा कुछ u, right, so tan theta क्या हो जाएगा, tan theta आपको हो जाएगा uy by ux, uy by ux which is nothing but 2, और अगर हमसे कोई U का magnitude पूछेगा, तो वो हो जाएगा under root 1 square plus 2 square, which is under root 5, अब आपको बस इसी चीज को यहाँ पर लाके substitute करना है, ध्यान से देखिए, X tan theta, तो tan theta की value तो 2 हो गई, gravity की जगह आप यहाँ पर 10 लिखोगे, यह आपको X square है, 2 की जगह आपने 2 लिख दिया, और यह जो U square cos square theta है, वो basically है U cos theta का whole square, और U cos theta क्या होता है, वो तो आपको UX ही होता है, So basically यह आपको पूरा-पूरा one square है Answer आ गया खतम ठीक है देखिए एक और सवाल A particle moves in the YZ plane with a constant acceleration A directed along the negative Z axis The equation of motion of the particle has a form of इतना जो की एक quadratic equation है यानि की parabolic path है projectile motion है where P and Q are positive constants What is the velocity of the particle at the origin?
तो basically हमसे initial speed पूछा जा रहा है, clear एकदम, और यहाँ पे y और z को देखके घबराना नहीं है, basically अभी तक हमने जो भी diagram बनाया है, वहाँ पे y उपर की तरफ था और x horizontal था, इस situation में, इस question में, basically y horizontal है और z आपका vertical है, और gravity के जगह हमें यहाँ पे symbol दिया है a, directed along the negative z axis, तो सब क और gravity के जग़ा a है जो कि downwards लग रहा है, सब कुछ हुबहु वही है, अगर ये आपका symbols है, तो equation of trajectory अब आपका ऐसे लिखा जाएगा, z is equal to y tan theta minus ay square upon 2u square cos square theta, clear एकदम, हमसे क्या पूछ रहा है, हमसे U पूछ रहा है, अब देखियेगा, हमको basically क्या करना है, Z is equal to PY minus QY square को इसके साथ compare करना है, और P और Q की value को लिखना है, तो P आपको हो जाएगा tan theta, P tan theta के बराबर है, और Q A upon 2U square cos square theta के बराबर है, अब आपको यहाँ पर चीजों को ब और sex square theta को आप लिख सकते हो, one plus tan square theta, trigonometric identities, right, और tan theta की value तो p के बराबर थी, यहाँ पर substitute किया, चीजों को rearrange करोगे, answer निकल किया जाएगा, as simple as it is, clear एकदम, चलिए, यह देखिए, question number 5, भर भर के आप, के लिए आपके सामने यहाँ पर example है, a ball is thrown from the ground level, so as to just clear a wall 4 meter high, at a distance 4 meter, and falls at a distance 14 meter from the wall, Find the projection angle theta. Right? So basically हमसे theta पूछ रहा है, angle of projection पूछ रहा है.
तो आपके सामने यहाँ पे सवाल का diagram देखिये. यह आपके पास एक particle है, आप जब इसे फेकते हैं, वो just एक wall को clear off कर पा रहा है, यानि कि just grace करता वा निकल जाता है. यह जो wall है, उसकी height 4 meter है, और origin से भी 4 meter दूर है, तो wall से 14 meter दूर, पीछे जाके गिरती है, so basically आपको ये वाला equation इस सवाल में इस्तेमाल करना है y is equal to x tan theta, bracket 1 minus x upon r, और हमें इस पूरे projectile motion में इस पूरे parabolic path पे इस point का coordinate भी पता है, which is 4,4 और हमें range भी पता है which is 4 plus 4, which is your 18 so अब आपको यहाँ पे बस चीजों को plug-in करना है y की जग़ा 4 लिखोगे, x की जग़ा 4 लिखोगे, और range की जग़ा 18 लिखोगे एकदम यहां से आपको टाइम तीटा निकल कर आ जाएगा गेम ओवर ठीक बढ़िया है अब देखिए अब हम लोग थोड़ा सा टॉपिक को और आगे बढ़ाते हैं अब हम लोग यहां पर बात करते हैं कि आपने प्रोजेक्टाइल को किसी आंगल पर फेका है फ्रॉम दी ट राइट, x direction में speed है u cos theta, y में है u sin theta, और particle का जो range होने वाला है, displacement in the horizontal direction, that is your capital R, clear एकदम, हमें यहाँ पे पता करना है कि what is the time of flight, capital T कितना होने वाला है, तो आपको जैसा कि मैंने पहले कहा था, time of flight जब भी निकालना हो, y direction में equation लिखो, तो यहाँ पे भी वही काम करेंगे, s is equal to ut plus half ut square लिखेंगे, लेकिन y direction में, so, जब particle आपको यहां से नीचे पहुँचता है, तो y direction में particle का displacement कितना हुआ है, minus h, minus h, है न, यही मेरा origin था, वो नीचे displacement किया है, so minus h, right, u y के जग़ा u sine theta, capital T, minus half gt square, gravity तो भाईया नीचे ही है, minus half gt square, आप इसको solve करेंगे, यह एक quadratic equation है, यहां से आपको time का value निकल के आएगा, एक positive होगा, एक negative होगा, negative को ignore करेंगे, और positive वाली term आपकी answer हो जाएगी, और अगर हमसे कोई range पूछता है, तो range तो बड़ा simple हो, यहाँ पे होता है, horizontal speed कभी भी change नहीं होगा, right, because ax is 0, so simply speed into time, clear एकदम, अच्छा, यहाँ पे जो सबसे ज़ादा इस्तमाल होता है, वो यह वाला situation है, कि आपने particle को horizontally फेका है, यानि कि particle का initial speed along x direction तो u है, लेकिन y direction में there is nothing, u y is 0, अच्छा अब ये particle आपको again parabolic path लेते वे जमीन पे आके गिर जाता है अब यहाँ पे यहाँ पे अगर आपको time निकालना होगा तो आप फिर से इस्तमाल करेंगे s is equal to ut plus half a t square लेकिन यहाँ पे जब आप y direction में equation लिखोगे तो ui तो zero होने वाला है आप जब उसको use करोगे तो आपको time of flight यह निकल के आएगा t is equal to under root 2h by g आप इसको याद कर लिजे बहुत frequently use होता है चाहे वो इस chapter में हो या फिर आपको आगे आने वाले और भी chapters में हो, even fluid mechanics में भी हो, ठीक है, t is equal to under root 2h yg, तो range तो simple हो गया, range is equal to horizontal speed into time, which is your this much, clear एकदम, अच्छा अगर किसी general time t पे हमसे यहाँ पे velocity पूछता है, तो हमें vy चाहिए होगा और यह वाला तो आपका same है horizontal तो आपका u ही रहने वाला है लेकिन vertical direction में जो आपका vy होने वाला है, that is equal to nothing but gt vy is equal to gt right है तो वह टेस्ट विद विजिकल टू अंडर रूट यू स्क्वेर प्लस वी स्क्वेर वाई और यह अंगल आल्फा भी हम निकाल सकते हैं टान आल्फा इस इक्वल टू वी वाई अपन यू राइट यहां से आपका आल्फा भी निकलाएगा क्लियर एकदम चलिए आगे बढ़ते यह आपके सामने एक बड़ा स्टैंडर्ट सा सवाल है, HCV का यह सॉल्ड एग्जांपल है, सवाल में क्या है?
A helicopter on the flood relief mission flying horizontally with a speed U at an altitude H has to drop a food packet for a victim standing on the ground. At what distance from the victim should the packet be dropped? The victim stands in the vertical plane of the helicopter's motion. So basically you have a helicopter which is flying at an altitude H, horizontally flying with a speed U and from there... food packet को क्या करना है release करना है right drop किया गया has to drop a food packet ठीक है एकदम अच्छा है तो हमसे यह पूछ रहा है कि वो जो food packet है right उसका distance उस आदिमी से कितना होना चाहिए अब समझ जिये का बात को diagram को अगर आप देखे तो helicopter को जो food packet है वो कुछ पहले ही release कर देना चाहिए क्योंकि इस packet के पास भी एक horizontal speed होगा, जब वो उस helicopter से निकला होगा, तो जितना speed helicopter का है, उतना ही speed इस food packet का भी होगा, फिर वो food packet इस horizontal speed के वज़ासे, इस तरीके का एक parabolic path लेते हुए, इस आदमी के पास आ जाएगा, so हमसे क्या पूछा गया है, क्या हमसे capital D पूछा गया है, नहीं, at what distance from the victim should the food packet be dropped, so हमसे ये वाली distance पूछी जा रही है, ये जो hypotenuse है, So that is nothing but under root of H square plus capital D square.
अब हमें सवाल में capital H तो दिया है, लेकिन हमें D नहीं दिया है, हमें D निकालना होगा. So basically हमें पहले range solve करना है. And what is range? Range is equal to horizontal speed multiplied by time of flight, which is under root 2H by G.
तो यह आपको हो जाएगा range, और जो मेरा answer है, that is under root H square plus capital D का square. Clear है एकदम? एकदम standard सा सवाल है, और यह आपको G में पूछा जा चुका है. अच्छा, a ball rolls off the edge of a horizontal table top 4 meter high, तो आपके पास एक table है, जिसका height जमीन से 4 meter है, वहाँ से आपको एक ball roll करता है, वहाँ से आपको एक ball roll करता है, if it strikes the floor at a point 5 meter horizontally away from the edge of the table, what was its speed at the instant it left the table, ठीक है, again horizontal, projection वाला ही सवाल हो गया, यह आपके लिए basically एक ball है, इस तरीके से आपको horizontally roll करता है, नीचे जमीन पर गिरता है, ठीक है, यह जो distance है, वो आपको capital R, वो हमें दे रखा है 5 meter, H हमें दे रखा है 4 meter, तो हमसे basically यह U पूछा जा रहा है, चुपचाप यह formula लगाना है, range का, range is equal to horizontal speed multiplied तो देखने में सवाल एकदम easy है, और actual में बहुत speed आपसको solve कर सकते है, but given the fact आपको ये formula एकदम दिमाग में, जहन में बसा होना चाहिए, तब ही हो पाएगा ये सब कुछ, clear एकदम, अच्छा, अब देखें यहाँ पे, बच्चे इस topic से घवराते, projectile on an inclined plane, right, so basically आप देख सकते हैं, आपके पास यहाँ पे एक inclined plane है, और आपने इस particle को, with some initial velocity u, project किया है, तो वो again एक parabolic path लेगा, लेकिन वो अपना पूरा journey तो खतम कर नहीं पाएगा, यहाँ पर आके टक्रा के रुक जाएगा, ठीक है, रुक नहीं जाएगा, हो सकता है कि कुछ और भी हो जाए, लेकिन यहाँ पर उसका journey खतम हुआ है, parabolic path वाला, अच्छा, range पूछेगा, along this incline, right, तो यह वाली distance कितनी है, यह आपका height कितना है, right, और time of flight कितना है, अब ऐसे सवालों में हम लोग क्या करते हैं, अपना जो coordinate system है, उसको भी tilt कर देते हैं, along this incline हमने मान लिया है, मेरा x-axis है, and perpendicular to the incline मेरा y-axis है, अब अपने इस u को हम along the x-axis break करेंगे, तो हो जाएगा u cos alpha, ध्यान रखना है, angle theta is the angle of this incline, और ये alpha क्या है, u और इस incline के बीच का angle, क्लियर एकदम इस तरीके का अगर आपके पास टेटा है तभी यहाँ पे इन फॉर्मलेस को हम यूज कर रहे हैं तो ओरिजन्ट अलांग दिन प्लाइन और राधर अलांग दिन एक्स आक्सेस यू कॉस आल्फा वाय एक्सेस यू साइन अल्फा अब ग्राविटी आपको नी� उसके opposite sense में है G sine theta, right, और यह आपका U sine alpha है, उसके opposite sense में है G cos theta, यानि दोनों ही acceleration इनके इन velocities को retard करने की कोशिश कर रहा है, ठीक है, यह आपको एक sense होना चाहिए, अगर हम लोग यहाँ पर बात करे, time of flight की, तो time of flight का derivation आप चाहो तो यहाँ पर कर सकते हो, again y direction में आपको equation लिखना होगा, लेकिन इसका shortcut ध्यान में रखे, हमारे पास generally time of flight का formula क्या होता है, 2u y by g, और वहाँ पर gravity आपको था y axis में, त acceleration along y-axis so ui कितना है u sine alpha और अब ay कितना है g cos theta यहाँ पे आ गया formula of time of flight h max formula क्या होता है u square upon 2g तो अब आप इसे ऐसे याद करेंगे u square y upon 2ay right again u square sine square alpha upon 2g cos theta अब यहाँ पे range के लिए आपको equation लगाना पड़ेगा क्योंकि अब एक्स डिरेक्शन में भी आपके पास अक्सेलेशन है विच इस यॉर माइनस जी साइन थीटा एक्स एक्स हमने ऊपर की तरफ पॉजिटिव लिया है और यह नीचे है तो माइनस जी साइन थीटा हो जाएगा एक्स इक्वेल्ट यू एक्स टी प्लस हाफ एक्स टी स्क्वेर स I recommend कि formulas को याद करने से अच्छा है कि आपके पास यह जो basic approach होता है वो आपको बस ध्यान में रहना चाहिए, आपसे कोई भी सवाल crack होगा, हम लोग यहाँ पर solve example भी देखेंगे, right, यह है आपका up the incline, similarly down the incline भी होगा, सारे formulas same होते हैं, बस यहाँ minus के जगह plus हो जाने वाला है हमने अब downward direction को positive लिया है vertical तो आपका y उपर की तरफी positive है so now when you write x is equal to uxt plus half axt square आपका जो ax है g sin theta है वो तो x के along ही है तो यहाँ पे plus g sin theta हमने लिखा है बाकि time of flight, h max everything remains same clear है एकदम सवाल देखिए सवाल देखिए confidence और बढ़ेगा खुच से try किज़े और फिर solution को देखिए, a ball is projected from point A with a velocity 10 meters per second perpendicular to the inclined plane as shown in the figure, range of the ball on the inclined plane is what?
अब हमें यहाँ पे जो particle का initial direction है ना, वो already इस plane के perpendicular है, ध्यान से देखिएगा, इस तरीके से है, अब हमारा coordinate system कैसा होता है, ये मेरा y direction है, ये मेरा x direction है, तो सबसे पहले हमें given चीज़ों को समझना है, अगर आप ध्यान से देखे, तो x direction में तो भाईया कोई speed है ही नहीं, ux is 0, and what is ui? ui is basically small u, clear एकदम? अच्छा, फिर अपना आता है g sin theta, g cos theta, वो हम 30 degree को use करके लिखी देंगे, तो मेरा भाईया time of flight कितना हो जाएगा?
time of flight का formula होता है 2uy upon ay, ui is nothing but u, and ay is nothing but g cos theta, आपके पास u की value है, आपके पास यहाँ पे theta और g सब कुछ है, आपने solve किया आगया 4 by root 3 seconds so this is your time of flight इतना time उसको लगता है यहां से यहां तक आने में लेकिन हमसे तो range पूचा है तो range के लिए again x is equal to uxt plus half axt square so range is equal to ux time of flight plus half ax time of flight का square अब ux तो 0 है न x direction में तो कोई speed थाई नहीं शुरुवात में right plus half ax कितना है g sine theta और ध्यान से देखिए x direction में ही आपका g sin theta है तो positive ही लेना है, so g sin theta multiplied by time का square, आपके पास अब सारी values है, put करेंगे 40 by 3 meters आपका answer आ जाएगा, clear एकदम, एक और सवाल देखिए, इस बार आपका up the incline है, यह angle भी 30 degree है, और यह angle भी 30 degree है, सवाल में हमसे क्या पूछता है, what is the speed of the particle when it collides at point A, so basically हमें vx निकालना होगा, हमें, V, Y निकालना होगा और उन दोनों का resultant चाहिए हमें clear एकदम, तो simple size सवाल है ना फिर भी, ध्यान से देखिए तो ये मेरा 10 meters per second है सबसे पहले given चीजों को अच्छे से लिख लेजिये, ये मेरा 10 meters per second है तो x direction में speed हो जाएगा U cos 30 degree U cos 30 degree, U मेरा 10 था, so 10 cos 30 degree 5 root 3, 10 sin 30 degree simply 5, अच्छा अब बात कर लेते है gravity की तो G sin 30, G cos 30, यानि कि 5 root 3 and 5, clear एकदम, सबसे पहले हमें time of flight निकालना होगा कि कितना time लगता है, so 2UY upon AY, आपके पास UI है, this is your UI and this is your AY, clear है, put करेंगे 2 by root 3 seconds आपका आगे time of flight, अब आपको निकालना है vx and vy, तो vx is equal to ux plus axt, vy is equal to uy plus ayt, इस्तमाल कीजिए, अब यहाँ पे sign का ध्यान रखना है, ux आपका है 5 root 3, लेकिन अब ध्यान से देखिए, यह जो आपका ax है, वो negative x axis में है, so minus लगा है, उसी तरीके से, उसी यहां से देखिए, आपका y direction तो उपर की तरफ है, लेकिन आपका ay नीचे की तरफ है, so minus 5 root 3 यहां पे लिखा है मैंने, बाकी सब आप इसको solve कीजिए, vx आएगा 5 root 3 meters per second, vy आ रहा है minus 5, negative आना बनता था, क्योंकि आपका negative direction में है, लेकिन जब आपको resultant निकालना है, तो यह आप vx square plus vy square का ना root करेंगे, clear एकदम यहां तक, चलिए, Now let us move to the last topic which is अगर आपने projectile को फेका है from a moving trolley अब यहाँ पर ध्यान से देखिए आपके पास यह एक trolley है जो कि already एक VT speed से horizontally travel कर रही थी यानि कि उसके उपर कोई भी particle रखा है उस particle के पास already एक VT speed है horizontal direction में और उस particle को आप आप U velocity से project करते हो with an angle theta अब यह जो velocity है वो तो with respect to the trolley है यानि कि horizontal direction में particle का जो speed था u cos theta और vertical में u sin theta वो trolley के respect में है, ground के respect में अगर हम बात करेंगे, ground के respect में तो u cos theta के साथ साथ उसके पास vt भी तो था, उस particle के पास पहले से ही vt है, आप उसको u cos theta और दे रहे हो, तो overall उस particle के पास x direction में जो speed है वो है u cos theta प्लस vt, बस यही एक बद यानि कि ux is equal to u cos theta plus vt and uy is equal to u sin theta, right? Again, जैसे ही वो आपको gravity के control में आ चुका है, वो parabolic path लेगा, है ना? So, time of flight कितना हो जाएगा? 2u sin theta by g, right?
Assuming कि आपका यह जो trolley का height है, वो negligible है, है ना? So, time of flight में तो सिर्फ y direction का ही speed लेते हैं, 2u y upon g, so 2u sin theta by g. फरक जो पड़ेगा वो है range में, जो कि range आपको होता है horizontal speed into time of flight, और अब आपका horizontal speed है, वो है u cos theta plus vt, multiplied by time of flight, ठीक है, अच्छा, एक और बात का ध्यान रखना है, ऐसे situation में, अगर आपका range को maximum करना है, अब वो 45 degree का funda काम नहीं आएगा, अब आपको derive करना पड़ेगा, और किसी function को maximize या minimize करने का मतलब है, कि आप उसे differentiate करके, 0 के बराबर करते हो, तो, तो आपको इस पूरे function को theta के respect में differentiate करना होगा, zero के बराबर करेंगे, तब आपको वो angle theta मिलेगा, जिसके corresponding आपको range maximum होगा, clear एकदम, example के तोर पे आपके सामने यहाँ पे एक सवाल है, सवाल में आपसे क्या बोलता है, यह boy of height 1.5 meter making move on a skateboard due east with velocity 4 meters per second, तो एक लड़का है वो skating कर रहा है, आपको east direction में with a velocity 4 meters per second, right, तो वो अपने respect में सिक्का को ऊपर फेकता है, तो भाईया उसको लग रहा है कि सिक्का ऊपर जा रहा है, लेकिन सिक्का ऊपर नहीं जा रहा है, सिक्का projectile motion करेगा, क्यों ध्यान से देखिए, ये वो boy है, boy का speed right side 4 था, यानि उसके हाथ में जो सिक्का है, coin है, उसका speed भी horizontal direction मे और आपको तो साफ साफ अब दिखना चाहिए कि अगर coin के पास horizontal भी है, vertical भी है, तो उसका resultant कुछ ऐसा होगा, और वो parabolic path ऐसा करेगा, ठीक है, लेकिन यहाँ पे, मज़े की बात यह है, कि इस लड़के के पास भी horizontal speed 4 ही है, यानि कि जब तक सिक्का वापस लोट के यहाँ त तो same time में same horizontal displacement होने वाला है, right, तो यह तो हो गया motion का analysis, अब यहाँ पे बात आता है, find the total displacement of the coin relative to ground till it comes to the hand of the boy, right, total displacement, तो coin यहाँ था, यहाँ पे आ गया, तो coin का displacement क्या हुआ, यह, which is nothing but the range, और range का formula तो हमको पता है न, 2UX, UI upon G होता है, इस format में याद किया गया, अब देखें फ UX मतलब 4, UI मतलब 3, upon G, so 2.4 meter, फिर हमसे पूछता है कि भाईया, coin का maximum height क्या है ground के respect में, तो एक तो हो गया, ये उसका projectile motion वाला Hmax, राइट और लड़का खुद 1.5 मीटर लंबा है तो ग्राउंड से अगर देखा जाए तो 1.5 मीटर प्लस स्मॉल ह 1.5 मीटर प्लस यू स्क्वेर वाई अपॉन टू जी क्लियर है और यू वाई तो थी था अपना तो यहाँ पर पूट करेंगे 1.95 मीटर आपको आंसर निकल क अगर आपको और सवाल प्राक्टिस करना है, तो हमने यहाँ पे काफी सारे previous year question को कर रखा है, February, March, July, August, and 2020 का, यह सब ही link आपको इस PPT में है, क्लिक करेंगे, उस वीडियो तक बहुत जाएंगे, उस वीडियो के PDF, यानि कि description box में आपको question PDF भी है, तो question को solve कीजिए, solutions को देखिए, और अपने इस topic को और strong कीजिए, right, हमारा जो revision series playlist है, उसका link यह रहा, JEE Mains PYQs यानि कि जितना भी हमने PYQs किया है उसके playlist का link यह रहा यहाँ पे आपको 2021, 2020 and 2018 के solutions है राइट और यह रहा हमारा most important link gold mine link जहाँ पे हमारे channel का जितना भी videos है उन सभी का link इसमे excel में arranged form में रखा हुआ है ठीक है चलिए हम लोग मिलते रहेंगे और videos में तब तक ले take care and बाबाई