Appunti su Asintoti Verticali e Orizzontali

Introduzione

• Argomento: asintoti verticali e orizzontali.
• Importanza: comprendere come trovarli e le loro definizioni.

Asintoti Verticali

• Definizione: La retta x = a è un asintoto verticale se:
  • Limite per x → a- di f(x) tende a ±∞
  • Limite per x → a+ di f(x) tende a ±∞
• Grafico: La funzione si “sdraia” sulla retta verticale x = a.

Esempi di Funzioni con Asintoti Verticali:

• Funzione y = x²: nessun asintoto verticale (grafico di una parabola).
• Funzione tan(x): infiniti asintoti verticali, ricorrenti in x = π/2 + kπ.

Identificazione degli Asintoti Verticali:

1. Identificare i punti problematici nel dominio della funzione.
2. Calcolare i limiti sinistro e destro in questi punti.
3. Se almeno uno dei limiti tende a ±∞, allora c'è un asintoto verticale.

Esempio Pratico: y = ln(x + 1) / (x - 2)

• Dominio: x > 0 e x ≠ 2.
• Punti da analizzare: x = 0 e x = 2.
• Limiti:
  • x → 0+: -∞.
  • x → 2-: -∞, x → 2+: +∞.
• Conclusione: Asintoti verticali in x = 0 e x = 2.

Nota Importante

• Non sempre i punti di non definizione indicano asintoti verticali. Esempio: y = sin(x) / x ha un problema in x = 0 ma non ha un asintoto verticale.

Asintoti Orizzontali

• Definizione: La retta y = L è un asintoto orizzontale se:
  • Limite per x → ±∞ di f(x) tende a L.
• Grafico: La funzione tende a sdraiarsi sulla retta orizzontale y = L.

Esempi di Funzioni con Asintoti Orizzontali:

• y = sin(x) / x: ha un asintoto orizzontale in y = 0 (sia a +∞ che a -∞).
• y = x²: nessun asintoto orizzontale.
• y = e^x: ha asintoti orizzontali solo in y = 0.

Identificazione degli Asintoti Orizzontali:

1. Calcolare il limite della funzione per x → ±∞.
2. Se il limite è un numero finito, allora y = L è un asintoto orizzontale.
3. Se il limite è ±∞, non ci sono asintoti orizzontali.

Differenze tra Asintoti Verticali e Orizzontali:

• Gli asintoti orizzontali possono essere intersecati dal grafico della funzione e possono avere un numero infinito di intersezioni.
• Una funzione può avere al massimo due asintoti orizzontali (uno a +∞ e uno a -∞).

Conclusione

• Preparazione per il prossimo video sugli asintoti obliqui.
• Importanza dell'analisi dei limiti per identificare asintoti.
• Invito a seguire il canale per ulteriori video e approfondimenti.