Notizen zur Berechnung von Extremstellen unter Nebenbedingungen

Einführung

• Thema: Berechnung von Extremstellen unter Nebenbedingungen
• Vorgehen in sechs Schritten

Schritt 1: Nebenbedingungen aufstellen

• Gegebene Funktion mit zwei Variablen
• Nebenbedingungen nach 0 auflösen
• Beispiel: ( g(x,y) = xy - 1 = 0 )

Schritt 2: Lagrange-Funktion aufstellen

• Lagrange-Funktion: ( L(x,y,BB) = f(x,y) + BB imes g(x,y) )
• Hinzufügen einer Lagrange-Variable ( BB )
• Beispiel: ( L(x,y,BB) = f(x,y) + BB(xy - 1) )

Schritt 3: Erste Ableitungen bilden

• Ableitung der Lagrange-Funktion nach ( x ), ( y ) und ( BB )
• Beispiel:
  • ( rac{\partial L}{\partial x} = -2x + BB y )
  • ( rac{\partial L}{\partial y} = -2y + BB x )
  • ( rac{\partial L}{\partial BB} = xy - 1 )

Schritt 4: Kandidaten für Extremstellen finden

• Erste Ableitungen gleich Null setzen
• Lösen des Gleichungssystems
• Beispiel:
  • ( 2x = BB )
  • ( 2y = BB )
  • ( BB = 1 ) ergibt ( x = \frac{1}{2} ), ( y = \frac{1}{2} )

Schritt 5: Zweite Ableitungen bilden

• Zweite Ableitungen nach ( x ), ( y ) und ( BB ) bilden
• Beispiel:
  • ( rac{\partial^2 L}{\partial x^2} = -2 )
  • ( rac{\partial^2 L}{\partial y^2} = -2 )
  • ( rac{\partial^2 L}{\partial x , \, \, \, y} = 0 )

Schritt 6: Geänderte Matrix und Determinante

• Erstellen der geänderten Matrix (Hesse-Matrix)
• Beispiel:
  • Matrix: [ \begin{pmatrix} 0 & 1\ 1 & -2 \end{pmatrix} ]
• Berechnung der Determinante
• Beispiel: ( D = 4 > 0 )
• Ergebnis: Maximum an ( (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}) ) mit Wert 3.5

Fazit

• Methode zur Berechnung von Extremstellen unter Nebenbedingungen mithilfe der Lagrange-Methode
• Wichtigkeit der Schritte und ordnungsgemäßen Ableitungen
• Bei mehreren Variablen wird die Matrix komplizierter
• Fragen sind willkommen.