Linear equations in two variables

Welcome to Greenboard, मेरा नाम है मंदीप, इस वीडियो में करेंगे Class 10th के Subject Maths, Chapter 3, जिसका नाम है Pair of Linear Equations in Two Variables है, इस Chapter की यह Introduction वीडियो होगी, अगर आपको याद हो, तो मैंने कुछ इस तरह का example भी दिया था, 2x plus में 1 equals to में 0, यहाँ पर जो भी हमारा variable है, variable x है, इसकी degree कितनी है, जो भी हमारी यह equation है, इसकी degree 1 है, तो कोई भी ऐसा polynomial जिसकी degree 1 होती है, उसे linear polynomial या फिर linear equation कहे सकते हैं, यह हमारा linear equation हो गई, अब यहाँ पर chapter की name में क्या कहा गया है, कि linear equations का pair, यानि कि हमें दो इकठी equation मिलेंगी, pair क्या होता है, pair में, दो equations हमें मिलेंगी, और जो भी equations मिलेंगी, उनके बारे में कहा है, two variables में होंगी, जैसे इस वाली equation में, हमारे पास सिर्फ x variable है, लेकिन जो भी chapter में हमें मिलेंगी, chapter नमबर 3 में, उनमें हमारे दो variables होंगे, example के लिए आपको दे देता हूँ एक equation, 2x प्लस में 3y, उसके बाद प्लस में 1 equals to में 0, जो हमारी उपर वाली ये equation है, इसमें अकेला x variable है, और जो यहाँ पर मैंने equation लिखी है, इसमें हमारे पास x और y यानि की दो variables हैं, तो linear equation होगी, pair में होगी, यानि की दो equation इखट्थी मिलेंगी, और दो variable में होगी, यानि की उसमें x और y इस तरह से दो variables given होगे, बिल्कुल simple way में हमने इसके name को decode अभी किया है, अब आते हैं जो भी pair of linear equation in two variables है, इनकी standard form क्या होती है, तो standard form यहाँ पर हमें दी गई है, A1 X+, B1 Y+, C1 equals to 0, A2 X+, B2 Y+, C2 equals to 0, जो भी हमारी pair of linear equations, इन two variables होंगी, उनकी इस तरह से standard form होगी, जहाँ पर A1, B1 और C1 यह हमारे coefficients होंगे, A2, B2 और C2 यह भी हमारे coefficients होंगे, फर्स्ट वाली equation में a1, b1 और c1 coefficient हैं, और second वाली equation में a2, b2 और c2 coefficient होंगे, फर्स्ट वाली equation में x और y आप यहाँ पर देख सकते हो, यह हमारे variables होंगे, और second वाली equation में भी x और y हमारे variables होंगे, अब जो भी हमें problem दी होगी, chapter number 3 की exercise में, questions में, उनमें किस तरह से हमें equation मिलेगी, हमेशा दो equation मिलेगी, जैसे example के लिए यहाँ पर मैं लिख देता हूँ, 2x प्लस में 3y, उसके बाद प्लस में 2 equals to 0, इसी तरह से यहाँ पर आ जाएगा हमारा 5x प्लस में आ जाएगा यहाँ पर 7y, उसके बाद प्लस में 8 equals to 0, यहाँ पर हमारे पास 2 equations का pair मिल गया है, दोनों हमारे linear equations हैं, और दोन तो जो भी standard form होती है, pair of linear equation in two variables की, उसका यहाँ पर मैंने आपको example भी दे दिया है, अब यहाँ पर समझना पड़ेगा, जो भी हमारा x का coefficient है, उसे हम क्या कहेंगे, a1 कहेंगे, यह हमारा guys a1 हो जाएगा, उसके बाद यह हमारा y का coefficient है, यह हमारा b1 हो जाएगा, और उपर वाली equation में जो भी constant term है, यानि कि यह वाला 2 है, यह हमारा c1 हो जाएगा, इसके बाद जो नीचे वाले equation है इसमें भी हमें देखना होगा, x का जो भी coefficient है, वो क्या हो जाएगा, हमारा ये वाला 5 हो जाएगा, हमारा guys A2, ये वाला 7 हो जाएगा, हमारा B2, और ये वाला 8, second वाले equation की constant term है, तो ये हो जाएगा हमारा C2, इस सरे से हमें equations को समझना पड़ेगा, अब जो भी हमारी pair of linear equation in two variables है, उसकी standard form के साथ हमने example से भी उसको समझ लिया है, अब बारी आ जाती है कि जो भी pair of linear equation in two variables होगा, उसको solve किस-किस तरह से किया जा सकता है, कौन-कौन से method हैं, तो यहाँ पर दिया है solution of pair of linear equation in two variables है, total तीन method हैं solve करने के, पहला है graphical method, दूसरा है substitution method, और तीसरा है elimination method, यह तीनों के तीनों method काफी important हैं, क्योंकि जो भी equations हमें दी हो question में जो भी equations हमें मिलेंगी, उनके साथ ये भी लिखा होता है, कि इसको graphical या फिर substitution या फिर elimination method से solve करना है, तो तीनों की तीनों method आपको आने चाहिए, अब एक करके इन तीनों method को detail में समझते हैं, सबसे पहले बात करेंगे next page पर graphical method की, किस तरह से pair of linear equation in two variables जो हमें दी होंगी, उनको graphical method से कैसे solve किया जाएगा, और क्या-क्या important point हैं, शुरू करेंगे graphical method को समझना, अगले पेज से ग्राफिकल मेथड को समझने से पहले शुरू करने से पहले ये देख लेते हैं कि इस चेप्टर नमबर 3 से एग्जाम्स में किस तरह के कुश्चन्स आते हैं उसके लिए हमारे पास है ओस्वाल गुरुकुल की ये बुक CBSC Last 10 Year Solved Papers पिछले 10 साल में जो भी एग्जाम्स हुए हैं उनके कुश्चन पेपर वो भी Solved इस बुक में दिये गए हैं इसके पेज नमबर 275 पर इस कुश्चन नमबर 7 को आप देख सकते हो ये इसी चेप्टर नमबर 3 से है तो जो भी हमारी ये book है, ये ना सिर्फ math के लिए है, इसमें English के भी आपको question papers दिये गए हैं, पिछले 10 साल के math के भी दिये गए हैं, science के भी दिये गए हैं, और social science के भी दिये गए हैं, सारे के सारे solve question papers आपको दिये गए हैं, तो अगर आप exam की practice करना चाते हो, exams की prepare कर रहे हो सर्च कर लो Amazon पर Oswal Gurukul CBSE last 10 year sole papers. पर्चेज करो और जो भी अपने exam की performance है उसको improve करो. अब आज आते हैं graphical method को समझते हैं next page से. graphical method को हमें समझना है. graphical method को समझने के लिए जो भी हमारी pair of linear equations इन two variables हैं, उनकी standard form हमें पता है, पीछे वाले page पर समझ ली है, इस तरह से होती है A1X plus B1Y plus C1 equals to में 0, A2X plus B2Y plus C2 equals to में 0, यह standard form होती है, अब इस standard form की हमें जरूरत है, किस तरह से standard form का हमें use करना है, यहाँ पर हमें समझना होगा, जो भी graphical method में हम pair of linear equation in two variables, यानि कि जो भी दो equation हमें दी होंगी, उनको जब ग्राफ पर draw करेंगे, तो हमें पता चलेगा कि line से किस तरह से आती है दोनो equations की, लेकिन बिना ड्रो की यह भी हम यह पता लगा सकते हैं, कि जो भी equations की line है, वो intersecting है, parallel है, या फिर coincident है, कैसे पता लगाएंगे, ratios को compare करके, ध्यान से समझना, यहाँ पर जो मैं आपको concept explain करूँगा, यहाँ पर देखो, x के यहाँ पर जो भी coefficient a1 और a2 है, इनको हमें उपर न y के यहाँ पर coefficient b1 और b2 है इनका भी fraction बना लो a1 upon में a2 और b1 और b2 अगर एक दूसरे के equal नहीं दिये गए हैं ना इस वाली condition में a1 upon a2 equal नहीं है b1 upon b2 के तो जो भी graphical representation बनेगी यानि कि graph बनाएंगे जब हम equations का तो उसमे intersecting lines आएंगी जो lines हैं वो एक दूसरे को cut करेंगी माल लो first equation की तो second equation की line इस वाली line को cut करेगी किसी एक point पर, और अगर किसी एक point पर ये cut करती है, line जहाँ पर भी एक दूसरे को cut करती है, वही उन equations का solution होता है, एक ही point पर ये cut करेंगी, तो one solution होगा इस वाली condition के लिए, intersecting lines के लिए, अगर हमें कोई equations दी गई है, जो भी pair है equations का, तो हम उनके जो भी, coefficients हैं, उनके ratios को compare करके ये पता लगा सकते हैं, कि वो lines किस तरह की होंगी, अगर ये वाली condition मिल जाती है, तो intersecting lines वो हो जाएंगी, और उनका सिर्फ एक ही solution होगा, unique solution होगा, जिस भी point पर वो एक दूसरे को cut करेंगी, example भी आपको दूँगा, जब example लेंगे यहाँ पर, तो आपको और अच्छे से ये clear हो जाएगा, अब second वाली condition पर आ जाओ, जो भी हमारा A1, A2 है, B1, B2 है, वो आ गया, और जो हमारी constant term है, दोनो equations में, C1 upon C2, ये भी आ गया, अगर A1 upon A2, B1 upon B2, और C1 upon C2, ये तीनो ratios एक दूसरे के equal अगर आ जाएं, ये तीनो fraction अगर एक दूसरे के equal आ जाएं, तो जो lines है न, जो भी हमारी pair of linear equations in two variables है, दोनो equations की line है, वो किस तरह की आएगी, coincident line है, यानि कि मालो first equation की line हमारी कुछ इस तरह से दी गई है, तो जो second equation की line है, वो बिलकुल इसी के उपर आएगी, बिलकुल उपर इसको cover कर लेगी, coincident line, यानि कि line के उपर line आजाएगी, अगर coincident line है, यानि कि जो भी दो lines हैं, वो एक दूसरे को हर एक point पर मिलती हैं, हर एक point पर वो एक दूसरे को touch करती हैं, तो इस condition में जो solution है, many solution, infinite many solution, यानि कि ungenote solution होंगे, इस वाली condition के लिए, आपको condition ये ध्यान रखनी है, काफी important है, इस से related exam से questions आते हैं, अब third वाली condition पर आ जाओ, A1 upon A2 equal है B1 upon B2, और equal नहीं है, ये C1 upon C2 के, first condition जो है, वो ये है इस वाले part में कि a1, a2 equal होना चाहिए b1 by b2k, लेकिन equal नहीं होना चाहिए c1 upon c2k, अगर ये वाली condition आ जाए, तो जो lines है न वो parallels होंगी दोनो equations की, यानि कि इस तरह से समझो, मालनो first equation की ये वाली line आ गई है graph पर, तो second वाली क्या होगी, इसी के parallel होगी, जो इन दोनो के बीच का distance है, वो constant रहेगा, दूरी बनाएंगी, एकदम समानतर ये चलती रहेंगी, बराबर हमेशा रहेंगी, पैरलल रहेंगी, अब अगर पैरलल लाइन से हैं, तो कोई भी सोलूशन नहीं होगा, क्योंकि सोलूशन कहाँ पर होता है, जब लाइन किसी ना किसी पॉइंट पर एक दूसरे को टच करें, तो इस वाली condition में जो third वाला हमारा ये point है, इस वाली condition में कोई भी solution है, नहीं होगा, बिल्कुल सिंपल तीन पॉइंट मैंने आपको explain कर दिये हैं, अब इसको explain कर देता हूँ example से, यहाँ पर हमारे पास example है, example से हम यह देखेंगे कि यह वाली जो pair of linear equation in two variables हमें दिये गए हैं, इसमें किस तरह की lines होंगी, तो हमें सबसे पहले क्या करना है, a1 by a2 equal है, b1 by b2 k equal है या नहीं, यह हमें check करना है, तो यहाँ पर देखो, जो भी हमारा ये x है, इसका coefficient, इसका जो भी number part है, कुछ भी नहीं है, तो 1 होता है, तो यहाँ पर हमने अपनी तरफ से 1 लिख लिया, उसके denominator में हमें क्या लिखना है, a2, तो a2 क्या होगा, नीचे जो x दिया गया है, उसका multiple, उसका coefficient, जो कि यहाँ पर है 2, तो यहाँ पर आ आप देख सकते हो यहाँ पर 1 by 2 आया है, यहाँ पर 3 upon में minus 3 आया है, यहाँ पर यहा दोनों equations का pair of linear equation का सिर्फ एक ही solution है इसको verify भी कर देते हैं बिल्कुल simple है अब हम इसका solution यानि कि graph किस तरह से बनाना है उसके लिए आपको इस तरह से दो boxes बनाने हैं ठीक है दो boxes आपको ध्यान से बना लेने हैं यहाँ पर हम करेंगे graphical representation जो भी हमारे example में हमें pair of linear equation in two variables से given है इस वाले में y यह होगी हमारी गाइस फर्स्ट इक्वेशन यह होगी हमारी सेकंड इक्वेशन यह हमारा जो बोक्स है यह फर्स्ट इक्वेशन के लिए है इसी तरह का एक बोक्स यहां पर भी बना लेंगे जो होगा हमारा सेकंड वाली इक्वेशन के लिए यह हमारी सेकंड इक्वेशन के जैसे first वाली equation है हमारी x plus में 3y equals to में 6 है, एक side में यहाँ पर मैं लिख लेता हूँ, x plus में 3y equals to में 6 है, इसमें क्या करता हूँ मैं, सबसे पहले y को मैं 0 माल लेता हूँ, ठीक है, यह first equation के लिए हमारा box है, y की जगह पर अगर मैं 0 put करूँगा, तो x की value क्या मिलेगी, ग्रा x हमारा as it is आएगा, plus का sign लगा देंगे, 3 as it is आएगा, y की जगह पर हम 0 put करेंगे, उसके बाद equals to में 6 हमारा as it is आजाएगा, अब x की value क्या आएगी, x as it is आएगा, 3 को यहाँ पर 0 में multiply कर देंगे, किसी भी value को 0 में multiply करते हैं, तो वो 0 के equal हो जाती है, तो यहाँ पर जो भ जो भी x है उसकी value क्या हो जाएगी, 0 अगर x में add करेंगे तो x ही रहेगा, equals to में जो भी हमारा 6 है वो as it is आ जाएगा, अगर y की जगह पर मैंने 0 put किया है तो x की value मुझे मिलती है 6, बिल्कुल इसी तरह से एक बार x को 0 करके देख लेते हैं, ठीक है, यहाँ पर मैंने लिखा x की जगह पर मैंने put करना है अब की बार 0, x की जगह पर अगर मैं 0 put करता हूँ तो यहाँ पर plus का 3y as it is आएगा, equals to में 6 आ जाएगा, 0 plus में 3y करेंगे, 3y में 0 add करेंगे, यानि कि कुछ भी add नहीं कर रहे हैं, तो 3y हमारा as it is रहेगा, equals to में 6 हो जाएगा, हमें y की value find करनी है, तो y equals to में जो भी 6 है, वो as it is रहेगा, 3 हमारा कैसे है, multiply में है, दूसरी तरफ shift करेंगे, तो ये हो जाएगा, divide में, 3 से यहाँ पर जैसे हमने first वाली equation के लिए इस box में 2 solution find किये हैं, इसी तरह से second वाली equation के लिए भी 2 solution find कर लेंगे, roughly एक side में आप ये कर सकते हैं, second वाली equation को यहाँ पर लिख लेते हैं, second वाली equation हमारी है 2x-3y equals to 12, अब यहाँ पर मैं क्या करता हूँ, सबसे पहले y की जगह पर 0 रख लेता ह x minus में 3y की जगह पर आ गया 0, equals to में यहाँ पर आ जाएगा 12, अब यहाँ पर देखना है हमें, देखो, 2x हमारा as it is आ जाएगा, 2x के बाद जो minus का 3 into में 0 है, इसको अगर 0 से multiply करेंगे, तो यह हो जाएगा हमारा 0, equals to में 12 हमारा as it is है, 2x में से 0 को minus करेंगे, तो यह हमारा 2x ही रहेगा, equals to में 12 हमारा as it is, हमें x की value find करनी है, तो x equals to में 12 है, x के साथ में जो भी हमारा ये 2 multiply है, दूसरी तरफ जाके हो जाएगा ये, divide में 2 से 12 को cancel करेंगे, 6 times पर, अगर हम y की जगह पर 0 रखते हैं, second equation में, तो x की value हमें क्या मिल जाती है, 6 मिल जाती है, यहाँ पर लिख लेते हैं, इसके बाद इसी तरह से, x की जगह पर अब की बार 2 में 0 multiply करेंगे, तो यह हो जाएगा 0, लिखने की जरूरत नहीं है, अगर 0 हो गया तो, उसके बाद बचा हुआ क्या है, minus में 3y, equals to में आ जाएगा 12, हमें y की value find करनी है, तो y equals to में आ जाएगा 12, minus 3y के साथ कैसी है, multiply में है, divide में minus का 3, 3 के table में 12 आता है, 4 times पर, यह वाला minus का sign लगा हुआ है, यह as it is यहाँ पर, लग जाएगा इसे 4 के साथ है, तो y की value क्या मिलेगी हमें, minus का 4, यहाँ पर जो भी हमने ये दो solution find किये हैं, ये first वाली equation के लिए, ये second वाली equation के लिए, अब इन solutions से हम graph draw करते हैं, और हमें ये देखना है, हमने क्या find किया था, इस तरह की condition हमें मिली थी, यानि कि lines कैसी हैं, एक दूसरे को cut करने वाली, intersecting lines हमें मिलती हैं, जब हमने इन equations के ratio को compare किया था, तो graph draw करके ये check कर लेते हैं, क्या सच में हमें intersecting lines मिलती हैं या नहीं, graph draw करने के लिए move करते हैं next page पर, पीछे वाले page पर जो भी हमने coordinates find किये थे, equations को solve करके, इन दोनो equations के जो भी coordinates हैं, इनको अब graph पर show करते हैं, सबसे पहले यहाँ पर देखो, x 6 है, y 0 है, यानि कि 6 0 हमें क तो यहाँ पर है यह x 6 और y की value 0 कहाँ पर होती है, हमें 6 0 करना है, तो 6 0 यही वाला point होगा, जो भी हमारा point है, इसको एक red dot से यहाँ पर show कर देते हैं, यह वाला point हो जाएगा हमारा guys, 6 0 लिख भी देते हैं, यहाँ पर होगा x 6 और y 0 इस तरह से bracket में लिख देना है, इसके बाद next क्या है, 0, 2, x 0 है, y 2 है, तो x 0 तो यहीं पर हो गया, उसके बाद y2 कहाँ पर होगा, यह वाला point हो गया, यानि कि यह वाला हमारा coordinate हो जाएगा, इसको भी यहाँ पर इस तरह से point लगा करके, इसके जो भी coordinates हैं, 0, x है, और y हमारा 2 है, वो यहाँ पर लिख देने हैं, first वाली जो भी हमारी equation है, उसके दोनों points हमने यहाँ पर बना दिये हैं, red point आपको दिख रहे होंगे, इसके बाद यहाँ पर है second वाली equation, second वाली equation में x6, y0, यानि कि 6, 0 हमें coordinate करना है, तो 6, 0 तो हमारा यह रहा, तो जो यह वाला point होगा, हमारा second वाली equation के लिए, 6, 0 यही same point हो जाएगा, इसके उपर दुबारा से draw करने की जरूरत नहीं है, हमारा यह वाला point हो गया, अब इसके बाद 0, minus 4, तो x यहाँ पर होगा 0, और y, minus 4 होना चाहिए, तो y, minus 4 यहाँ पर होगा, यह वाला हमारा point हो जाएगा, जो भी हमारे point है न, जो भी हमारा ये वाला point है और ये वाला point है, scale रखेंगे, इनको align करेंगे और एक सीधी line इस तरह से draw कर देंगे, बिल्कुल इसी तरह से, जो हमारा ये वाला point है यहाँ पर और यहाँ पर इन दोनों points को align करेंगे और एक सीधी line इस तरह से draw कर देंगे, आप देख सकते हो जो भी lines है हमारी first equation और second equation की दोनों एक दूसरे को intersect करती हैं, कौन से वाले point पर intersect करती हैं वही equation का, solution होगा, इस वाले point पर एक दूसरे को cut कर रही है, यानि कि यही होगा solution, इस वाले point पर देखो, x की value 6 है, y की value 0 है, यानि कि दोनों हमारी जो भी equations हैं, उनके लिए x equals to में हो जाएगा 6, और y equals to में हो जाएगा 0, इस तरह से solution find किया जाता है, ग्राफीकली x की value हमारी 6 आ गई, y की value हमारी 0 आ जाती है, जो भी variables थे, उनकी value हमने find कर ली है यहाँ पर, फर्स्ट और सेकंड एक्वेशन के लिए जो भी लाइन से है ना उनको अच्छी तरह से ड्रो कर दोगे जहां पर भी कट करेगा वहीं पर हमारी एक्स और वाई की वैल्यू मिल जाएगी ग्राफिकल जो मैथड था वो हमने कम्प्लीट कर लिया है एक्जांपल के साथ अब इ पीछे वाले पेजेज पर जो भी एक्जांपल में हमें equations का pair दिया गया था उसको graphical method से हमने solve करना सीख लिया है, graphical method किस तरह से work करता है, कौन-कौन से point ध्यान में रखने है, सारी चीज़े हमने समझ ली, अब मालो question में हमें ये बोल दिया गया है कि ये equations का pair दिया गया है, इसे equation के pair को हमें substitution method से solve करना है, तो हमें substitution method से solve करना पड़ेगा, अगर graphical method से solve करेंगे तो exam में marks से, नहीं मिलेंगे तो सेकंड जो मैथड है पेर ओफ लीनियर इक्वेशन इन टू वरियेबल्स को सोल्व करने का सब्स्टिटूशन मैथड इसको समझते हैं इस वाले पेज पर जो पीछे वाले पेजेस पर एक्जांपल लिया था वही दो इक्वेशन हमारी यहाँ पर हैं उप कहा जाता है और जो भी variables है उसकी value हमें मिल जाती है अब ये work कैसे करता है कोई भी हमारी एक equation हमें उठा लेनी है चाहे first equation उठा लो चाहे second equation उठा लो चलो first equation से इसको solve करते हैं तो यहाँ पर मैं लिखता हूँ from equation first वाली equation से हम इसको solve करेंगे first वाली equation को यहाँ पर लिख ले जो भी हमारी ये equation है ना, इसमें हम एक variable की value find कर लेंगे, या तो x की find कर लें, या फिर y की find कर लें, कोई भी एक find कर लो अपनी तरफ से, मैं x की कर लेता हूँ, x variable की value को find करने का मतलब होगा कि x तो यहाँ पर रहेगा, x के अलावा जो कुछ भी इस side में है, सब कुछ दूसर यह हो गई हमारी guys third equation, third वाली equation में हमारे पास मिला क्या है हमें, x की value हमें मिली है, x किसके equal है, 6 minus में 3y के, जो भी यह x की value है, इस x की value को second वाली equation में x की जगह पर substitute कर देंगे, इसलिए इस method का नाम रखा गया है, substitution method, तो यहाँ पर लिखूंगा, substitute the value of x in a second equation जो भी हमारी ये x की value है इस value को second equation में हम x की जगह पर substitute कर देंगे बदल देंगे तो जो भी second equation है उसको as it is यहाँ पर लिख लेते हैं 2x-3y equals to में आ जाएगा हमारा 12 second equation अभी हमने यहाँ पर as it is लिखी है इसमें यह रहा x इसे x की जगह पर यह वाली value रख देंगे जो भी x की value है 6-3y 2 हमारा as it is x की जगह पर हमें इसकी value ये रखनी है जो की है 6 minus में 3y उसके बाद bracket close करके x की जगह पर हमने ये रख दिया उसके बाद जो भी ये values है as it is आ जाएंगी minus में 3y equals to में 12 अब इसको solve कर लेना है सबसे पहले bracket को solve करेंगे bracket को solve करने के लिए ये वाला 2 6 में भी multiply होगा और 3y में भी multiply होगा 2 को 6 में multiply करेंगे तो ये हो जाएगा 2 6 जा 12, उसके बाद minus का sign as it is 2 को 3y में multiply करेंगे, 2 3 जा 6 हो जाएगा, और y हमारा as it is, उसके बाद minus का 3y आ जाएगा, और equals to में आ जाएगा 12 है, आगे इसको solve करेंगे, तो जो भी y वाली terms हैं, उनको हमें calculate करना है, यहाँ पर minus 6y है, minus 3y है, दोनो minus वाली values हैं, तो sign minus का ही रहेगा, लेकिन दोनो add हो जाएगी, 6y और 3y यह हो जाएगा हमारा guys 9y equals to में हमारा 12 as it is यह वाला 12 अभी भी हमने नहीं लिखा है इस वाले 12 को यहाँ पर यह वाला 12 कैसा है plus का है दूसरी तरफ shift कर देंगे तो यह हो जाएगा 12 minus का अब यहाँ पर इसको आगे solve करेंगे तो y हमारा चलो आगे यहाँ पर solve कर लेते हैं क equals का sign लगा लेंगे, equals में हमारे पास 12 minus 12 है, 12 में से 12 ही चले जाते हैं, गायब हो जाते हैं, तो हमारे पास 0 आएगा, उसके बाद y के साथ में यहाँ पर minus का 9 है, कैसे है y के साथ, यह multiply में है, दूसरी तरफ shift करेंगे तो हो जाएगा यह, divide में minus का 9 है, अब y की value क्या y की value तो हमें यहाँ पर 0 मिल जाती है, एक variable की value हमें मिल गई, दूसरे variable की value find करने के लिए क्या करेंगे, जो भी y की value हमें मिली है, उसको third वाले equation में put कर देंगे, तो यहाँ पर मैं लिखता हूँ, put y equals to 0 in equation third, जो भी y की value हमें मिली है, उसको third वाले equation में put कर देंगे, तो third व 3y, x यहाँ पर as it is आएगा, equals to में 6 आजाएगा, minus का sign as it is, 3 भी आजाएगा, उसके बाद y की जगह पर क्या होगा, y की value हमें 0 मिली है, तो इस वाले y की जगह पर भी हमें 0 रख देंगे, इतना ही simple है, 0 रखा, अब इसे calculate कर लेंगे, x as it is equals to में 6 आजाएगा, minus का sign लगाएं 6 में से 0 को minus करेंगे, तो x की value हमें मिल जाएगी 6. जो भी हमें pair of linear equations दिया गया था, यहाँ पर हमें y की value मिल जाती है, और यहाँ पर हमें, next यहाँ पर हमें x की value मिल जाती है. किस तरह से substitution method वर्क करता है, example के साथ मैंने आपको explain कर दिया है. बिल फिर से बता देता हूँ, कोई भी एक equation उठाएंगे, उसमें से variable की value find करेंगे, जैसे यहाँ पर हमने x की find की है. उसके बाद जो भी value मिली है उससे दूसरी वाली equation में यानि कि second वाली equation में x के जगह पर वही x की value put कर देंगे और solve कर लेंगे तो जो भी variables हमारे x और y हैं उनकी easily value find की जा सकती है substitution method से pair of linear equation को इस तरह से solve किया जा सकता है substitution method हो जाता है complete अब इसे next जो method है ना इनी दोनो equations को एक नया method है जिसे कहते है elimination method third वाला method उससे भी solve करके आपको बता देता हूँ elimination method क्या होता है इसको समझते हैं next page पर pair of linear equation in two variables को solve करने का last method है guys elimination method elimination method में जो भी हमें pair of linear equation in two variables दिये गए हैं इन मेंसे हमें किसी भी एक variable को cut करना होगा eliminate करना होगा भगाना होगा किस तरह से किया जाता है यह इसके लिए हमें थोड़ा से दिमाग के गोड़े भी दोडाने होंगे अब एक्जांपल में हमारे पास वही दो इक्वेशन है जिसको हमने ग्राफिकल मेथड से भी सोल्व किया था सब्स्टिट्यूशन मेथड से भी सोल्व किया था तो उपर वाली हमारी फर्स्ट इक्वेशन नीचे वाली हमारी सेकंड इक्वेशन सेम वही च और वो condition क्या है कि या तो हमारी x वाली जो terms है ना वो बिलकुल same होने चाहिए, जैसे यहाँ पर x है तो यहाँ पर भी x होना चाहिए, या फिर यहाँ पर 2x है यहाँ पर भी 2x होना चाहिए, equal होनी चाहिए terms की value, या तो x वाली terms की value, या फिर y वाली terms की value, जैसे यहाँ पर plus का 3y है तो यहाँ पर भी अगर plus का 3y होता, तो easy हम इनको solve कर पाते, लेकिन अगर equal नहीं है, ना तो x वाली terms यहाँ पर equal है ना ही y वाली terms equal है, बहुत सारे कहेंगे कि y वाली terms तो equal है, लेकिन भाईया यहाँ पर यह plus में है, यह वाली minus में है, equal नहीं है वो, अगर दोनों plus में होती या फिर दोनों minus में होती, तो equal होती, ना तो x वाली यहाँ पर equal है, ना ही y वाली हमारी यहाँ पर equal है, तो हम इनको खुद से equal करेंगे, अगर हमें equal नहीं मिलती है, तो हमें equal करना होगा, जैसे यहाँ पर 2x है, तो इसको भी हमें 2, x बनाना होगा और 2 x बनाने के लिए क्या करें जो भी हमारी first equation है इस पूरी equation को अगर मैं 2 से multiply कर दूँ 2 से x को multiply करूँगा तो 2 x बन जाएगा बना की नहीं बना तो करते हैं इस equation को multiply तो यहाँ पर मैं लिखता हूँ multiply equation first by 2 जो भी हमारी first equation है इसको मैं 2 से multiply 2 bracket लगा के जो भी हमारी first equation है as it is यहाँ पर उतार दूँगा first वाली equation हमारी x plus में 3y equals to 6 bracket close है इसको multiply करेंगे यहाँ पर 2 को x से multiply करूँगा तो यह हो जाएगा 2x उसके बाद plus का sign as it is 2 को यहाँ पर 3y से multiply करूँगा 2, 3, 6, y हमारा as it is equals का sign as it is 2 को यहाँ पर 6 से multiply करेंगे तो यह हो जाएगा हमारा 12 है जो यहाँ पर हमारी एक नई equation हमें मिल गई है first वाली equation को 2 से multiply करने के बाद यह हो जाएगी guys हमारी third equation, अब जो भी हमारी second equation है और third equation है, इनको हमें देखना है, हम क्या कर सकते हैं, कि जो भी हमारी third equation है, उसमें से second वाली equation को minus कर सकते हैं, तो यहाँ पर उसके लिए मैं लिखता हूँ, subtract equation second from third, third equation में से second equation को हम subtract करेंगे, और subtract कैसे करना है, third में से second को करेंगे, तो third वाली equation यहा� प्लस में आ जाएगा 6y, और equals to में आ जाएगा 12, इसके बाद third में से second equation को करना है, तो इसी के नीचे लिखी जाएगी हमारी second वाली equation, जो की हो जाएगी हमारी, 2x minus में आ जाएगा 3y equals to में आ जाएगा हमारा 12 हमें third equation में से second equation को minus करना है तो यहाँ पर एक line लगा करके minus का sign लगा देंगे अब यहाँ पर देखो 2x है minus करेंगे इसमें से 2x को तो 0 हो जाएगा यानि कि ये वाली values cancel हो जाएगी 2x में से 2x minus होने पर 0 हमें मिलेगा direct इस तरह यहाँ पर है 6y, हमें minus करना है इसमें से minus 3y को, एक साइड में लिखो इसे, 6y है, इसमें से हम minus करेंगे, यह वाला minus sign कुनसा आया है, ठीक है, यह वाला, और यह वाला minus का sign भी हमें लगाना होगा, तो minus में 3y, तो यहाँ पर क्या होगा, 6y, उसके बाद minus यह हो जाएगा हमा सकते हो minus यह हो जाएगा हमारा plus 6y में से 3y को minus करेंगे अलब 6y में से minus करेंगे minus 3y को तो यहाँ पर मिलेगा हमें 9y उसके बाद equals का sign लगा करके 12 में से minus करेंगे 12 को यहाँ पर आ जाएगा हमारा 0 यानि कि 12 में से 12 minus हो जाएगा या फिर इस तरह से cut भी कर सकते हैं जो भी हमें यहाँ पर यह value मिली है यहाँ से y की value easily find कर सकते हैं इस equation से, तो y as it is आ जाएगा, equals to में 0 आ जाएगा, y के साथ में यहाँ पर यह क्या है, 9 multiply में है, दूसरी तरफ shift करेंगे, तो यह हो जाएगा, divide में, आगे इसको solve करेंगे, तो y equals to में 0 upon में 9 है, यहाँ पर एक line लगा लेता हूँ, y की value क्या हो जाएगी, हमारी 0 जो भी y की value हमें मिली है, इस y की value को first या फिर second किसी भी एक equation में put कर देंगे, तो हमें x variable की value भी easily मिल जाएगी, तो यहाँ पर मैं first equation को लिख लेता हूँ, जो की है हमारी x plus में 3y equals to में आ जाएगा 6, जो भी हमने यह rough work किया है, इसे हटा देता हूँ, और यहाँ पर मैं लिख देता हूँ, put y equals to 0 in equation first, जो भी हमारी first equation है, उसमें y की जगह पर हम 0 put करेंगे, तो x हमारा as it is plus का sign लगा लेंगे, 3 हमारा as it is y की जगह पर 0 put करेंगे, equals to में आ जाएगा 6 है, x की value क्या होगी हमारी, देख सकते हो यहाँ पर 3 को 0 से multiply करेंगे, तो यह 0 हो जाएगा, लिखने की जरूरत नहीं है, इस side में हमारा सिर्फ x आएगा, equals to में आ जाएगा 6 है, जो भी हमने तीनो method यूज़ किये हैं, चाहे graphical method यूज़ किया, चाहे substitution method यूज़ किया, चाहे हमने इस वाले page पर elimination method यूज़ किया, तीनों मैथड में आपने देखा होगा, बिल्कुल सेम यही एक्जाम्पल हमने रखा है, तीनों मैथड में हमारी y की value 0 मिली है हमें हर बार, और x की value हमें 6 मिली है, मैथड अलग-अलग हो सकते हैं, और मैथड हमें सारे के सारे आने चाहिए, ग्राफिकल भी आना चाहिए, ए तो ये था last method, chapter number 3, pair of linear equation in two variables को solve करने के लिए, इसी elimination method के साथ introduction to pair of linear equation in two variables, chapter number 3 का जो भी introduction है, वो हो जाता है, complete उम्मीद करूँगा जो भी concept हैं, example के साथ जो भी explain किये गए थे, सबी के सबी concept आपको समझ आए होंगे, अगर आए हैं तो वीडियो को like कर देना, अपने classmates के साथ share कर देना, जितने भी नई students हैं, channel को subscribe कर लेना. 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graphical method को हमें समझना है. graphical method को समझने के लिए जो भी हमारी pair of linear equations इन two variables हैं, उनकी standard form हमें पता है, पीछे वाले page पर समझ ली है, इस तरह से होती है A1X plus B1Y plus C1 equals to में 0, A2X plus B2Y plus C2 equals to में 0, यह standard form होती है, अब इस standard form की हमें जरूरत है, किस तरह से standard form का हमें use करना है, यहाँ पर हमें समझना होगा, जो भी graphical method में हम pair of linear equation in two variables, यानि कि जो भी दो equation हमें दी होंगी, उनको जब ग्राफ पर draw करेंगे, तो हमें पता चलेगा कि line से किस तरह से आती है दोनो equations की, लेकिन बिना ड्रो की यह भी हम यह पता लगा सकते हैं, कि जो भी equations की line है, वो intersecting है, parallel है, या फिर coincident है, कैसे पता लगाएंगे, ratios को compare करके, ध्यान से समझना, यहाँ पर जो मैं आपको concept explain करूँगा, यहाँ पर देखो, x के यहाँ पर जो भी coefficient a1 और a2 है, इनको हमें उपर न y के यहाँ पर coefficient b1 और b2 है इनका भी fraction बना लो a1 upon में a2 और b1 और b2 अगर एक दूसरे के equal नहीं दिये गए हैं ना इस वाली condition में a1 upon a2 equal नहीं है b1 upon b2 के तो जो भी graphical representation बनेगी यानि कि graph बनाएंगे जब हम equations का तो उसमे intersecting lines आएंगी जो lines हैं वो एक दूसरे को cut करेंगी माल लो first equation की तो second equation की line इस वाली line को cut करेगी किसी एक point पर, और अगर किसी एक point पर ये cut करती है, line जहाँ पर भी एक दूसरे को cut करती है, वही उन equations का solution होता है, एक ही point पर ये cut करेंगी, तो one solution होगा इस वाली condition के लिए, intersecting lines के लिए, अगर हमें कोई equations दी गई है, जो भी pair है equations का, तो हम उनके जो भी, coefficients हैं, उनके ratios को compare करके ये पता लगा सकते हैं, कि वो lines किस तरह की होंगी, अगर ये वाली condition मिल जाती है, तो intersecting lines वो हो जाएंगी, और उनका सिर्फ एक ही solution होगा, unique solution होगा, जिस भी point पर वो एक दूसरे को cut करेंगी, example भी आपको दूँगा, जब example लेंगे यहाँ पर, तो आपको और अच्छे से ये clear हो जाएगा, अब second वाली condition पर आ जाओ, जो भी हमारा A1, A2 है, B1, B2 है, वो आ गया, और जो हमारी constant term है, दोनो equations में, C1 upon C2, ये भी आ गया, अगर A1 upon A2, B1 upon B2, और C1 upon C2, ये तीनो ratios एक दूसरे के equal अगर आ जाएं, ये तीनो fraction अगर एक दूसरे के equal आ जाएं, तो जो lines है न, जो भी हमारी pair of linear equations in two variables है, दोनो equations की line है, वो किस तरह की आएगी, coincident line है, यानि कि मालो first equation की line हमारी कुछ इस तरह से दी गई है, तो जो second equation की line है, वो बिलकुल इसी के उपर आएगी, बिलकुल उपर इसको cover कर लेगी, coincident line, यानि कि line के उपर line आजाएगी, अगर coincident line है, यानि कि जो भी दो lines हैं, वो एक दूसरे को हर एक point पर मिलती हैं, हर एक point पर वो एक दूसरे को touch करती हैं, तो इस condition में जो solution है, many solution, infinite many solution, यानि कि ungenote solution होंगे, इस वाली condition के लिए, आपको condition ये ध्यान रखनी है, काफी important है, इस से related exam से questions आते हैं, अब third वाली condition पर आ जाओ, A1 upon A2 equal है B1 upon B2, और equal नहीं है, ये C1 upon C2 के, first condition जो है, वो ये है इस वाले part में कि a1, a2 equal होना चाहिए b1 by b2k, लेकिन equal नहीं होना चाहिए c1 upon c2k, अगर ये वाली condition आ जाए, तो जो lines है न वो parallels होंगी दोनो equations की, यानि कि इस तरह से समझो, मालनो first equation की ये वाली line आ गई है graph पर, तो second वाली क्या होगी, इसी के parallel होगी, जो इन दोनो के बीच का distance है, वो constant रहेगा, दूरी बनाएंगी, एकदम समानतर ये चलती रहेंगी, बराबर हमेशा रहेंगी, पैरलल रहेंगी, अब अगर पैरलल लाइन से हैं, तो कोई भी सोलूशन नहीं होगा, क्योंकि सोलूशन कहाँ पर होता है, जब लाइन किसी ना किसी पॉइंट पर एक दूसरे को टच करें, तो इस वाली condition में जो third वाला हमारा ये point है, इस वाली condition में कोई भी solution है, नहीं होगा, बिल्कुल सिंपल तीन पॉइंट मैंने आपको explain कर दिये हैं, अब इसको explain कर देता हूँ example से, यहाँ पर हमारे पास example है, example से हम यह देखेंगे कि यह वाली जो pair of linear equation in two variables हमें दिये गए हैं, इसमें किस तरह की lines होंगी, तो हमें सबसे पहले क्या करना है, a1 by a2 equal है, b1 by b2 k equal है या नहीं, यह हमें check करना है, तो यहाँ पर देखो, जो भी हमारा ये x है, इसका coefficient, इसका जो भी number part है, कुछ भी नहीं है, तो 1 होता है, तो यहाँ पर हमने अपनी तरफ से 1 लिख लिया, उसके denominator में हमें क्या लिखना है, a2, तो a2 क्या होगा, नीचे जो x दिया गया है, उसका multiple, उसका coefficient, जो कि यहाँ पर है 2, तो यहाँ पर आ आप देख सकते हो यहाँ पर 1 by 2 आया है, यहाँ पर 3 upon में minus 3 आया है, यहाँ पर यहा दोनों equations का pair of linear equation का सिर्फ एक ही solution है इसको verify भी कर देते हैं बिल्कुल simple है अब हम इसका solution यानि कि graph किस तरह से बनाना है उसके लिए आपको इस तरह से दो boxes बनाने हैं ठीक है दो boxes आपको ध्यान से बना लेने हैं यहाँ पर हम करेंगे graphical representation जो भी हमारे example में हमें pair of linear equation in two variables से given है इस वाले में y यह होगी हमारी गाइस फर्स्ट इक्वेशन यह होगी हमारी सेकंड इक्वेशन यह हमारा जो बोक्स है यह फर्स्ट इक्वेशन के लिए है इसी तरह का एक बोक्स यहां पर भी बना लेंगे जो होगा हमारा सेकंड वाली इक्वेशन के लिए यह हमारी सेकंड इक्वेशन के जैसे first वाली equation है हमारी x plus में 3y equals to में 6 है, एक side में यहाँ पर मैं लिख लेता हूँ, x plus में 3y equals to में 6 है, इसमें क्या करता हूँ मैं, सबसे पहले y को मैं 0 माल लेता हूँ, ठीक है, यह first equation के लिए हमारा box है, y की जगह पर अगर मैं 0 put करूँगा, तो x की value क्या मिलेगी, ग्रा x हमारा as it is आएगा, plus का sign लगा देंगे, 3 as it is आएगा, y की जगह पर हम 0 put करेंगे, उसके बाद equals to में 6 हमारा as it is आजाएगा, अब x की value क्या आएगी, x as it is आएगा, 3 को यहाँ पर 0 में multiply कर देंगे, किसी भी value को 0 में multiply करते हैं, तो वो 0 के equal हो जाती है, तो यहाँ पर जो भ जो भी x है उसकी value क्या हो जाएगी, 0 अगर x में add करेंगे तो x ही रहेगा, equals to में जो भी हमारा 6 है वो as it is आ जाएगा, अगर y की जगह पर मैंने 0 put किया है तो x की value मुझे मिलती है 6, बिल्कुल इसी तरह से एक बार x को 0 करके देख लेते हैं, ठीक है, यहाँ पर मैंने लिखा x की जगह पर मैंने put करना है अब की बार 0, x की जगह पर अगर मैं 0 put करता हूँ तो यहाँ पर plus का 3y as it is आएगा, equals to में 6 आ जाएगा, 0 plus में 3y करेंगे, 3y में 0 add करेंगे, यानि कि कुछ भी add नहीं कर रहे हैं, तो 3y हमारा as it is रहेगा, equals to में 6 हो जाएगा, हमें y की value find करनी है, तो y equals to में जो भी 6 है, वो as it is रहेगा, 3 हमारा कैसे है, multiply में है, दूसरी तरफ shift करेंगे, तो ये हो जाएगा, divide में, 3 से यहाँ पर जैसे हमने first वाली equation के लिए इस box में 2 solution find किये हैं, इसी तरह से second वाली equation के लिए भी 2 solution find कर लेंगे, roughly एक side में आप ये कर सकते हैं, second वाली equation को यहाँ पर लिख लेते हैं, second वाली equation हमारी है 2x-3y equals to 12, अब यहाँ पर मैं क्या करता हूँ, सबसे पहले y की जगह पर 0 रख लेता ह x minus में 3y की जगह पर आ गया 0, equals to में यहाँ पर आ जाएगा 12, अब यहाँ पर देखना है हमें, देखो, 2x हमारा as it is आ जाएगा, 2x के बाद जो minus का 3 into में 0 है, इसको अगर 0 से multiply करेंगे, तो यह हो जाएगा हमारा 0, equals to में 12 हमारा as it is है, 2x में से 0 को minus करेंगे, तो यह हमारा 2x ही रहेगा, equals to में 12 हमारा as it is, हमें x की value find करनी है, तो x equals to में 12 है, x के साथ में जो भी हमारा ये 2 multiply है, दूसरी तरफ जाके हो जाएगा ये, divide में 2 से 12 को cancel करेंगे, 6 times पर, अगर हम y की जगह पर 0 रखते हैं, second equation में, तो x की value हमें क्या मिल जाती है, 6 मिल जाती है, यहाँ पर लिख लेते हैं, इसके बाद इसी तरह से, x की जगह पर अब की बार 2 में 0 multiply करेंगे, तो यह हो जाएगा 0, लिखने की जरूरत नहीं है, अगर 0 हो गया तो, उसके बाद बचा हुआ क्या है, minus में 3y, equals to में आ जाएगा 12, हमें y की value find करनी है, तो y equals to में आ जाएगा 12, minus 3y के साथ कैसी है, multiply में है, divide में minus का 3, 3 के table में 12 आता है, 4 times पर, यह वाला minus का sign लगा हुआ है, यह as it is यहाँ पर, लग जाएगा इसे 4 के साथ है, तो y की value क्या मिलेगी हमें, minus का 4, यहाँ पर जो भी हमने ये दो solution find किये हैं, ये first वाली equation के लिए, ये second वाली equation के लिए, अब इन solutions से हम graph draw करते हैं, और हमें ये देखना है, हमने क्या find किया था, इस तरह की condition हमें मिली थी, यानि कि lines कैसी हैं, एक दूसरे को cut करने वाली, intersecting lines हमें मिलती हैं, जब हमने इन equations के ratio को compare किया था, तो graph draw करके ये check कर लेते हैं, क्या सच में हमें intersecting lines मिलती हैं या नहीं, graph draw करने के लिए move करते हैं next page पर, पीछे वाले page पर जो भी हमने coordinates find किये थे, equations को solve करके, इन दोनो equations के जो भी coordinates हैं, इनको अब graph पर show करते हैं, सबसे पहले यहाँ पर देखो, x 6 है, y 0 है, यानि कि 6 0 हमें क तो यहाँ पर है यह x 6 और y की value 0 कहाँ पर होती है, हमें 6 0 करना है, तो 6 0 यही वाला point होगा, जो भी हमारा point है, इसको एक red dot से यहाँ पर show कर देते हैं, यह वाला point हो जाएगा हमारा guys, 6 0 लिख भी देते हैं, यहाँ पर होगा x 6 और y 0 इस तरह से bracket में लिख देना है, इसके बाद next क्या है, 0, 2, x 0 है, y 2 है, तो x 0 तो यहीं पर हो गया, उसके बाद y2 कहाँ पर होगा, यह वाला point हो गया, यानि कि यह वाला हमारा coordinate हो जाएगा, इसको भी यहाँ पर इस तरह से point लगा करके, इसके जो भी coordinates हैं, 0, x है, और y हमारा 2 है, वो यहाँ पर लिख देने हैं, first वाली जो भी हमारी equation है, उसके दोनों points हमने यहाँ पर बना दिये हैं, red point आपको दिख रहे होंगे, इसके बाद यहाँ पर है second वाली equation, second वाली equation में x6, y0, यानि कि 6, 0 हमें coordinate करना है, तो 6, 0 तो हमारा यह रहा, तो जो यह वाला point होगा, हमारा second वाली equation के लिए, 6, 0 यही same point हो जाएगा, इसके उपर दुबारा से draw करने की जरूरत नहीं है, हमारा यह वाला point हो गया, अब इसके बाद 0, minus 4, तो x यहाँ पर होगा 0, और y, minus 4 होना चाहिए, तो y, minus 4 यहाँ पर होगा, यह वाला हमारा point हो जाएगा, जो भी हमारे point है न, जो भी हमारा ये वाला point है और ये वाला point है, scale रखेंगे, इनको align करेंगे और एक सीधी line इस तरह से draw कर देंगे, बिल्कुल इसी तरह से, जो हमारा ये वाला point है यहाँ पर और यहाँ पर इन दोनों points को align करेंगे और एक सीधी line इस तरह से draw कर देंगे, आप देख सकते हो जो भी lines है हमारी first equation और second equation की दोनों एक दूसरे को intersect करती हैं, कौन से वाले point पर intersect करती हैं वही equation का, solution होगा, इस वाले point पर एक दूसरे को cut कर रही है, यानि कि यही होगा solution, इस वाले point पर देखो, x की value 6 है, y की value 0 है, यानि कि दोनों हमारी जो भी equations हैं, उनके लिए x equals to में हो जाएगा 6, और y equals to में हो जाएगा 0, इस तरह से solution find किया जाता है, ग्राफीकली x की value हमारी 6 आ गई, y की value हमारी 0 आ जाती है, जो भी variables थे, उनकी value हमने find कर ली है यहाँ पर, फर्स्ट और सेकंड एक्वेशन के लिए जो भी लाइन से है ना उनको अच्छी तरह से ड्रो कर दोगे जहां पर भी कट करेगा वहीं पर हमारी एक्स और वाई की वैल्यू मिल जाएगी ग्राफिकल जो मैथड था वो हमने कम्प्लीट कर लिया है एक्जांपल के साथ अब इ पीछे वाले पेजेज पर जो भी एक्जांपल में हमें equations का pair दिया गया था उसको graphical method से हमने solve करना सीख लिया है, graphical method किस तरह से work करता है, कौन-कौन से point ध्यान में रखने है, सारी चीज़े हमने समझ ली, अब मालो question में हमें ये बोल दिया गया है कि ये equations का pair दिया गया है, इसे equation के pair को हमें substitution method से solve करना है, तो हमें substitution method से solve करना पड़ेगा, अगर graphical method से solve करेंगे तो exam में marks से, नहीं मिलेंगे तो सेकंड जो मैथड है पेर ओफ लीनियर इक्वेशन इन टू वरियेबल्स को सोल्व करने का सब्स्टिटूशन मैथड इसको समझते हैं इस वाले पेज पर जो पीछे वाले पेजेस पर एक्जांपल लिया था वही दो इक्वेशन हमारी यहाँ पर हैं उप कहा जाता है और जो भी variables है उसकी value हमें मिल जाती है अब ये work कैसे करता है कोई भी हमारी एक equation हमें उठा लेनी है चाहे first equation उठा लो चाहे second equation उठा लो चलो first equation से इसको solve करते हैं तो यहाँ पर मैं लिखता हूँ from equation first वाली equation से हम इसको solve करेंगे first वाली equation को यहाँ पर लिख ले जो भी हमारी ये equation है ना, इसमें हम एक variable की value find कर लेंगे, या तो x की find कर लें, या फिर y की find कर लें, कोई भी एक find कर लो अपनी तरफ से, मैं x की कर लेता हूँ, x variable की value को find करने का मतलब होगा कि x तो यहाँ पर रहेगा, x के अलावा जो कुछ भी इस side में है, सब कुछ दूसर यह हो गई हमारी guys third equation, third वाली equation में हमारे पास मिला क्या है हमें, x की value हमें मिली है, x किसके equal है, 6 minus में 3y के, जो भी यह x की value है, इस x की value को second वाली equation में x की जगह पर substitute कर देंगे, इसलिए इस method का नाम रखा गया है, substitution method, तो यहाँ पर लिखूंगा, substitute the value of x in a second equation जो भी हमारी ये x की value है इस value को second equation में हम x की जगह पर substitute कर देंगे बदल देंगे तो जो भी second equation है उसको as it is यहाँ पर लिख लेते हैं 2x-3y equals to में आ जाएगा हमारा 12 second equation अभी हमने यहाँ पर as it is लिखी है इसमें यह रहा x इसे x की जगह पर यह वाली value रख देंगे जो भी x की value है 6-3y 2 हमारा as it is x की जगह पर हमें इसकी value ये रखनी है जो की है 6 minus में 3y उसके बाद bracket close करके x की जगह पर हमने ये रख दिया उसके बाद जो भी ये values है as it is आ जाएंगी minus में 3y equals to में 12 अब इसको solve कर लेना है सबसे पहले bracket को solve करेंगे bracket को solve करने के लिए ये वाला 2 6 में भी multiply होगा और 3y में भी multiply होगा 2 को 6 में multiply करेंगे तो ये हो जाएगा 2 6 जा 12, उसके बाद minus का sign as it is 2 को 3y में multiply करेंगे, 2 3 जा 6 हो जाएगा, और y हमारा as it is, उसके बाद minus का 3y आ जाएगा, और equals to में आ जाएगा 12 है, आगे इसको solve करेंगे, तो जो भी y वाली terms हैं, उनको हमें calculate करना है, यहाँ पर minus 6y है, minus 3y है, दोनो minus वाली values हैं, तो sign minus का ही रहेगा, लेकिन दोनो add हो जाएगी, 6y और 3y यह हो जाएगा हमारा guys 9y equals to में हमारा 12 as it is यह वाला 12 अभी भी हमने नहीं लिखा है इस वाले 12 को यहाँ पर यह वाला 12 कैसा है plus का है दूसरी तरफ shift कर देंगे तो यह हो जाएगा 12 minus का अब यहाँ पर इसको आगे solve करेंगे तो y हमारा चलो आगे यहाँ पर solve कर लेते हैं क equals का sign लगा लेंगे, equals में हमारे पास 12 minus 12 है, 12 में से 12 ही चले जाते हैं, गायब हो जाते हैं, तो हमारे पास 0 आएगा, उसके बाद y के साथ में यहाँ पर minus का 9 है, कैसे है y के साथ, यह multiply में है, दूसरी तरफ shift करेंगे तो हो जाएगा यह, divide में minus का 9 है, अब y की value क्या y की value तो हमें यहाँ पर 0 मिल जाती है, एक variable की value हमें मिल गई, दूसरे variable की value find करने के लिए क्या करेंगे, जो भी y की value हमें मिली है, उसको third वाले equation में put कर देंगे, तो यहाँ पर मैं लिखता हूँ, put y equals to 0 in equation third, जो भी y की value हमें मिली है, उसको third वाले equation में put कर देंगे, तो third व 3y, x यहाँ पर as it is आएगा, equals to में 6 आजाएगा, minus का sign as it is, 3 भी आजाएगा, उसके बाद y की जगह पर क्या होगा, y की value हमें 0 मिली है, तो इस वाले y की जगह पर भी हमें 0 रख देंगे, इतना ही simple है, 0 रखा, अब इसे calculate कर लेंगे, x as it is equals to में 6 आजाएगा, minus का sign लगाएं 6 में से 0 को minus करेंगे, तो x की value हमें मिल जाएगी 6. जो भी हमें pair of linear equations दिया गया था, यहाँ पर हमें y की value मिल जाती है, और यहाँ पर हमें, next यहाँ पर हमें x की value मिल जाती है. किस तरह से substitution method वर्क करता है, example के साथ मैंने आपको explain कर दिया है.

बिल फिर से बता देता हूँ, कोई भी एक equation उठाएंगे, उसमें से variable की value find करेंगे, जैसे यहाँ पर हमने x की find की है. उसके बाद जो भी value मिली है उससे दूसरी वाली equation में यानि कि second वाली equation में x के जगह पर वही x की value put कर देंगे और solve कर लेंगे तो जो भी variables हमारे x और y हैं उनकी easily value find की जा सकती है substitution method से pair of linear equation को इस तरह से solve किया जा सकता है substitution method हो जाता है complete अब इसे next जो method है ना इनी दोनो equations को एक नया method है जिसे कहते है elimination method third वाला method उससे भी solve करके आपको बता देता हूँ elimination method क्या होता है इसको समझते हैं next page पर pair of linear equation in two variables को solve करने का last method है guys elimination method elimination method में जो भी हमें pair of linear equation in two variables दिये गए हैं इन मेंसे हमें किसी भी एक variable को cut करना होगा eliminate करना होगा भगाना होगा किस तरह से किया जाता है यह इसके लिए हमें थोड़ा से दिमाग के गोड़े भी दोडाने होंगे अब एक्जांपल में हमारे पास वही दो इक्वेशन है जिसको हमने ग्राफिकल मेथड से भी सोल्व किया था सब्स्टिट्यूशन मेथड से भी सोल्व किया था तो उपर वाली हमारी फर्स्ट इक्वेशन नीचे वाली हमारी सेकंड इक्वेशन सेम वही च और वो condition क्या है कि या तो हमारी x वाली जो terms है ना वो बिलकुल same होने चाहिए, जैसे यहाँ पर x है तो यहाँ पर भी x होना चाहिए, या फिर यहाँ पर 2x है यहाँ पर भी 2x होना चाहिए, equal होनी चाहिए terms की value, या तो x वाली terms की value, या फिर y वाली terms की value, जैसे यहाँ पर plus का 3y है तो यहाँ पर भी अगर plus का 3y होता, तो easy हम इनको solve कर पाते, लेकिन अगर equal नहीं है, ना तो x वाली terms यहाँ पर equal है ना ही y वाली terms equal है, बहुत सारे कहेंगे कि y वाली terms तो equal है, लेकिन भाईया यहाँ पर यह plus में है, यह वाली minus में है, equal नहीं है वो, अगर दोनों plus में होती या फिर दोनों minus में होती, तो equal होती, ना तो x वाली यहाँ पर equal है, ना ही y वाली हमारी यहाँ पर equal है, तो हम इनको खुद से equal करेंगे, अगर हमें equal नहीं मिलती है, तो हमें equal करना होगा, जैसे यहाँ पर 2x है, तो इसको भी हमें 2, x बनाना होगा और 2 x बनाने के लिए क्या करें जो भी हमारी first equation है इस पूरी equation को अगर मैं 2 से multiply कर दूँ 2 से x को multiply करूँगा तो 2 x बन जाएगा बना की नहीं बना तो करते हैं इस equation को multiply तो यहाँ पर मैं लिखता हूँ multiply equation first by 2 जो भी हमारी first equation है इसको मैं 2 से multiply 2 bracket लगा के जो भी हमारी first equation है as it is यहाँ पर उतार दूँगा first वाली equation हमारी x plus में 3y equals to 6 bracket close है इसको multiply करेंगे यहाँ पर 2 को x से multiply करूँगा तो यह हो जाएगा 2x उसके बाद plus का sign as it is 2 को यहाँ पर 3y से multiply करूँगा 2, 3, 6, y हमारा as it is equals का sign as it is 2 को यहाँ पर 6 से multiply करेंगे तो यह हो जाएगा हमारा 12 है जो यहाँ पर हमारी एक नई equation हमें मिल गई है first वाली equation को 2 से multiply करने के बाद यह हो जाएगी guys हमारी third equation, अब जो भी हमारी second equation है और third equation है, इनको हमें देखना है, हम क्या कर सकते हैं, कि जो भी हमारी third equation है, उसमें से second वाली equation को minus कर सकते हैं, तो यहाँ पर उसके लिए मैं लिखता हूँ, subtract equation second from third, third equation में से second equation को हम subtract करेंगे, और subtract कैसे करना है, third में से second को करेंगे, तो third वाली equation यहा� प्लस में आ जाएगा 6y, और equals to में आ जाएगा 12, इसके बाद third में से second equation को करना है, तो इसी के नीचे लिखी जाएगी हमारी second वाली equation, जो की हो जाएगी हमारी, 2x minus में आ जाएगा 3y equals to में आ जाएगा हमारा 12 हमें third equation में से second equation को minus करना है तो यहाँ पर एक line लगा करके minus का sign लगा देंगे अब यहाँ पर देखो 2x है minus करेंगे इसमें से 2x को तो 0 हो जाएगा यानि कि ये वाली values cancel हो जाएगी 2x में से 2x minus होने पर 0 हमें मिलेगा direct इस तरह यहाँ पर है 6y, हमें minus करना है इसमें से minus 3y को, एक साइड में लिखो इसे, 6y है, इसमें से हम minus करेंगे, यह वाला minus sign कुनसा आया है, ठीक है, यह वाला, और यह वाला minus का sign भी हमें लगाना होगा, तो minus में 3y, तो यहाँ पर क्या होगा, 6y, उसके बाद minus यह हो जाएगा हमा सकते हो minus यह हो जाएगा हमारा plus 6y में से 3y को minus करेंगे अलब 6y में से minus करेंगे minus 3y को तो यहाँ पर मिलेगा हमें 9y उसके बाद equals का sign लगा करके 12 में से minus करेंगे 12 को यहाँ पर आ जाएगा हमारा 0 यानि कि 12 में से 12 minus हो जाएगा या फिर इस तरह से cut भी कर सकते हैं जो भी हमें यहाँ पर यह value मिली है यहाँ से y की value easily find कर सकते हैं इस equation से, तो y as it is आ जाएगा, equals to में 0 आ जाएगा, y के साथ में यहाँ पर यह क्या है, 9 multiply में है, दूसरी तरफ shift करेंगे, तो यह हो जाएगा, divide में, आगे इसको solve करेंगे, तो y equals to में 0 upon में 9 है, यहाँ पर एक line लगा लेता हूँ, y की value क्या हो जाएगी, हमारी 0 जो भी y की value हमें मिली है, इस y की value को first या फिर second किसी भी एक equation में put कर देंगे, तो हमें x variable की value भी easily मिल जाएगी, तो यहाँ पर मैं first equation को लिख लेता हूँ, जो की है हमारी x plus में 3y equals to में आ जाएगा 6, जो भी हमने यह rough work किया है, इसे हटा देता हूँ, और यहाँ पर मैं लिख देता हूँ, put y equals to 0 in equation first, जो भी हमारी first equation है, उसमें y की जगह पर हम 0 put करेंगे, तो x हमारा as it is plus का sign लगा लेंगे, 3 हमारा as it is y की जगह पर 0 put करेंगे, equals to में आ जाएगा 6 है, x की value क्या होगी हमारी, देख सकते हो यहाँ पर 3 को 0 से multiply करेंगे, तो यह 0 हो जाएगा, लिखने की जरूरत नहीं है, इस side में हमारा सिर्फ x आएगा, equals to में आ जाएगा 6 है, जो भी हमने तीनो method यूज़ किये हैं, चाहे graphical method यूज़ किया, चाहे substitution method यूज़ किया, चाहे हमने इस वाले page पर elimination method यूज़ किया, तीनों मैथड में आपने देखा होगा, बिल्कुल सेम यही एक्जाम्पल हमने रखा है, तीनों मैथड में हमारी y की value 0 मिली है हमें हर बार, और x की value हमें 6 मिली है, मैथड अलग-अलग हो सकते हैं, और मैथड हमें सारे के सारे आने चाहिए, ग्राफिकल भी आना चाहिए, ए तो ये था last method, chapter number 3, pair of linear equation in two variables को solve करने के लिए, इसी elimination method के साथ introduction to pair of linear equation in two variables, chapter number 3 का जो भी introduction है, वो हो जाता है, complete उम्मीद करूँगा जो भी concept हैं, example के साथ जो भी explain किये गए थे, सबी के सबी concept आपको समझ आए होंगे, अगर आए हैं तो वीडियो को like कर देना, अपने classmates के साथ share कर देना, जितने भी नई students हैं, channel को subscribe कर लेना. 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Transcript for:Linear equations in two variables

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