Notes sur le chapitre des suites

Introduction

• Revoir le comportement à l'infini d'une suite : notion de limite, propriétés sur les limites, opérations sur les limites, théorèmes de comparaison, etc.
• Rappels sur les suites géométriques.
• Notions de suite majorée et minorée.
• Importance de s'entraîner avec des exercices supplémentaires.

Comportement à l'infini d'une suite

Exemple de la suite u_n = n²

• Calcul des premiers termes : 0, 1, 4, 9, 16, ...
• Question clé : comportement lorsque n devient très grand.
• Observation :
  • Si n tend vers l'infini, u_n tend également vers l'infini.
  • Tous les termes au-delà d'un certain rang seront supérieurs à une valeur A choisie.
• Définition : La suite u_n admet pour limite +∞ si tout intervalle ouvert [A, +∞ contient tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.

Limite finie - Exemple de la suite u_n = 1 + 1/n²

• Calcul des premiers termes : u_1 = 2, u_2 = 1.25, u_3 ≈ 1.11, u_4 = 1.0625.
• Observation : Les termes se rapprochent de 1 à mesure que n augmente.
• Définition : La suite u_n a pour limite L si tout intervalle ouvert contenant L finit par contenir tous les termes de la suite à partir d'un certain rang.
• La suite 1 + 1/n² est convergente (tend vers 1), tandis que la suite n² est divergente (tend vers +∞).

Suite divergente - Exemple de u_n = (-1)^n

• Calcul des termes : 1, -1, 1, -1, ...
• La suite n'a pas de limite, donc elle diverge.

Limites usuelles à connaître

1. Tend vers +∞ : n, n², √n
2. Tend vers 0 : 1/n, 1/n², 1/√n

Opérations sur les limites

Somme de suites

• Si u_n → l et v_n → l', alors u_n + v_n → l + l'.
• Limite d'une suite tendant vers +∞ avec une limite finie est également +∞.
• Forme indéterminée : +∞ - ∞ ne permet pas de conclure.

Produit de suites

• Limite d'une suite finie (l) multipliée par une suite tendant vers -∞ est +∞ si les deux sont négatifs.
• Formes indéterminées lorsque l'un tend vers 0 et l'autre vers +∞.

Quotient de suites

• Limite d'un quotient où le numérateur tend vers l et le dénominateur vers +∞ est 0.
• Formes indéterminées comme 0/0 ou ∞/∞ nécessitent une analyse plus approfondie.

Suites géométriques

• Formes récurrentes et explicites : u_{n+1} = q * u_n, u_n = u_0 * q^n.
• Comportement en fonction de la raison q :
  • q > 1 : tend vers +∞.
  • -1 < q < 1 : tend vers 0.
  • q = 1 : reste à 1.
  • q ≤ -1 : divergente._

Théorèmes de comparaison

• Théorème de comparaison pour limites infinies : Si u_n < v_n et lim u_n = +∞, alors lim v_n = +∞.
• Théorème d'encadrement : Si u_n < v_n < w_n et lim u_n = lim w_n = L, alors lim v_n = L.

Suites majorées et minorées

• Une suite est majorée si tous les termes restent en dessous d'une limite m.
• Une suite est minorée si tous les termes restent au-dessus d'une limite m.
• Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Théorème de convergence monotone

• Si une suite est croissante et majorée, elle converge.
• Si elle est décroissante et minorée, elle converge également.

Conclusion

• Importance de pratiquer à travers des exercices.
• Références à d'autres ressources pour approfondir.