Zagadanienia dotyczące koła i okręgu

Cześć! Witam w kolejnym filmie dotyczącym powtórek przedmaturalnych. Tematem dzisiejszego filmu będzie koło i okrąg. Powtórzymy sobie niezbędne wzory, takie na pole koła, długość okręgu, określimy sobie, co to jest średnica okręgu, będziemy liczyli sobie pole wycinka kołowego oraz długość łuku. Ponadto będziemy sobie liczyli wszystko o... przypomnimy sobie definicje dotyczące kątów środkowych oraz kątów wpisanych w okrąg. No to cóż, przechodzimy do filmu i działamy! No i zacznijmy od tego, co wszystkich intryguje. Przygotowałem tu sobie taki mały rekwizyt i weźmiemy sobie, wytłumaczymy sobie bardzo dokładnie, co to jest koło. I teraz tak, tu mam taką wstążkę przygotowaną. O, wiadomo, wstążka jest papierowa, co prawda, bo niskie budżety mamy, nie takie budżety, jak pewna stacja telewizyjna, więc muszę sobie radzić jak umiem. I teraz tak, to tutaj nazywamy, uwaga, długością okręgu. Czyli jak mamy koło, o, to jest nasze koło, nie koło, tylko okrąg. Bo czym się różni koło od okręgu? Tym, że koło jest w środku, ma pole, a okrąg to jest tylko i wyłącznie tutaj ten zbiór punktów. I widzimy, to jest długość, o, długość okręgu. I ten okrąg ma co? Ma średnicę. Co to jest średnica? Średnica to jest najdłuższa cięciwa okręgu. Co to jest cięciwa? Cięciwa jest to dowolny odcinek, który łączy dwa punkty na okręgu. A średnica jest najdłuższą, czyli przechodzi przez środek. I to jest nasza średnica. Podpiszemy sobie ją. S. Ponadto połowa średnicy to promień, czyli od tego środeczka tutaj, w to miejsce, mamy promień. I przypominamy sobie. Słyszeliśmy sobie dwa wzory, czyli teraz tak, wzór na długość okręgu, czyli że... policzyć to tutaj, to, o, to, należy co zrobić? Należy sobie długość okręgu, napiszemy sobie dyły okręgu, równa się 2pi r, gdzie pi to jest liczba stała. Przypominamy sobie, że pi wynosi w przybliżeniu 3,14. Następnie mamy pole koła i pole koła to jest pi r kwadrat. Ponadto, żeby obliczyć sobie długość łuku i pole wycinka kołowego, zaznaczmy sobie na przykład, mamy jakieś dwa promienie, o, i dwa promienie tworzą nam jakiś kąt. Alfa. I teraz ten kąt alfa, chcemy wiedzieć, czy ten kawałeczek, to taka pizza, nie? Ten kawałeczek, jaki ma pole, jaką ma długość ten łuk tutaj. To stosujemy sobie dwa wzory. Długość łuku równa się alfa przez 360 razy 2PR. Z kolei pole wycinka równa się alfa przez 360 razy pi r kwadrat. I będziemy potrzebowali te wzory. Kolejna rzecz, którą będziemy potrzebowali do rozwiązywania zadań, to jest teoria dotycząca kąta środkowego i kąta wpisanego. I teraz tak, jeśli mamy jakiś dowolny okrąg, i teraz tak, wpiszemy sobie w nim jakiś kąt. I ten kąt ma tutaj alfa. I jeżeli na tym samym łuku oprzemy sobie kąt, który będzie miał wierzchołek w środku okręgu oraz jego ramiona będą promieniami, czyli tu będzie R i tu będzie R, R i R, to ten kąt tutaj nazywamy środkowy i on jest dwa razy większy niż ten kąt tutaj. Czyli ma on... Dwie alfy. Kolejnym wzorem, który będziemy potrzebowali, jest to, jeżeli sobie jakiś czworokąt wpiszemy w okrąg, to wychodzi nam pewna zależność. I teraz tak, ta zależność wygląda tak, że przeciwległe kąty mają razem 180. stopni. Czyli jeżeli czworokąt jest w okręgu wpisany, to alfa plus gamma równa się beta plus omega, a one się razem równają 180 stopni. Analogicznie, jeżeli czworokąt opiszemy na okręgu, czyli będzie na zewnątrz, to przeciwległe boki są tej samej długości suma. Czyli mamy, że A plus C równa się B plus D. Czyli suma tych przeciwległych boków jest taka sama. To plus to równa się to plus... To. Okej, i przechodzimy do rozwiązywania zadań. Zadanie pierwsze. Zerknijmy sobie. Punkty ABCD leżą na okręgu ośrodku S. Miara kąta BDC jest równa. I tak, żeby zaoszczędzić czas, pozwoliłem sobie już narysować ten... rysunek. I teraz tak, patrzymy sobie, o który nas kąt pytają. Pytają nas o kąt BDC, czyli o ten kąt w tym miejscu. Nazwiemy go sobie alfa. I teraz tak, już widzimy na tym rysunku, że mamy kąt środkowy. Kąt środkowy i kąt wpisany. Czyli widzimy, że kąt ten tutaj jest dwa razy większy niż kąt ten tutaj. Czyli co wystarczy zrobić? 118 stopni podzielić na dwa i mamy tutaj oczywiście 59 stopni. Czyli nasz kąt ADC, czyli kąt ADC równa się 59 stopni. I kiedy już wiemy, że on ma 59 stopni, to wystarczy... Wystarczy w takim układzie tutaj sobie policzyć tą alfę. No to alfa będzie się równała, alfa będzie 59 stopni minus 27 stopni, czyli będzie się równało nam to 32 stopnie. Czyli naszą prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D. Zadanie drugie. Zerknijmy sobie. Punkty ABC leżą na okręgu ośrodku S, zobacz rysunek, miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa. Czyli tak. Znowu pozwoliłem sobie narysować rysunek dla oszczędzenia czasu, czyli ACB. Czyli mamy obliczyć ten kąt tutaj. To jest nasz kąt alfa. I teraz co zauważamy? Że kąt ACB oraz kąt ASB są oparte na tym samym łuku. I ten łuk to jest ten łuk w tym miejscu. To jest ten łuk tutaj. Czyli to jest nasz kąt środkowy, a to jest kąt wpisany. Czyli w takim układzie co wystarczy zrobić? A no wystarczy tylko i wyłącznie, że nasz kąt ACB równa się, równa 230. 30 stopni dzielone na 2, czyli równa się stopni 115. I mamy wynik, czyli odpowiedzią prawdopodobną jest odpowiedź C. Kolejne zadanie. I mamy. Punkt O jest w środku. środkiem okręgu miara kąta LKM jest równa. Czyli mamy obliczyć kąt LKM. Czyli kąt LKM jest który? Kąt LKM. I kąt LKM w którym miejscu jest? Jest tu. K L K M. Czyli musimy obliczyć ten kąt. Czyli do czego to się będzie sprowadzało? Tu będzie jakiś kącik alfa w tym miejscu oraz tu będzie jakiś kącik beta. I musimy obliczyć sobie tą alfę i betę, dodać do siebie. I my. będziemy mieli kąt LKM. No to zerknijmy sobie na to. I teraz tak, mamy trójkąt wpisany w okrąg. I co patrzymy? Tu jest środek naszego okręgu. I teraz tak, to I to są nasze promienie. Czyli tu jest R i tu jest R. Z kolei tu również jest promień w tym miejscu, czyli tu też jest R. Czyli jeżeli tu wszędzie jest... to te trójkąty są jakie? Te trójkąty są równoramienne. A wiemy, że w trójkącie równoramiennym, jak to jest trójkąt równoramienny, to kąty przy podstawie są takie same. Alfa, alfa. Czyli jeżeli tu jest 110 stopni, to... to ten kąt alfa, napiszemy sobie alfa, będzie się równał. 180 stopni minus 110 stopni, ale wiemy, że tych kątów jest dwa, czyli przez dwa. Oczywiście, co ja zrobiłem? No, źle, nieładnie zapisałem, bo to tak się nie zapisuje. Pamiętamy oczywiście, że równa się musi być na wysokości kreski ułamkowej. Czyli alfa równa się. No to równa się. Alfa równa się. I teraz mamy 180 minus 110. 10 to jest 70, 70 na 2 to się równa 35 stopni. I analogiczną rzecz robimy sobie z kątem beta. I mamy, że beta równa się 180 stopni minus 130 stopni dzielone przez 2, równa się, równa się, 180 stopni minus 130 stopni to jest 50 stopni i 50 stopni dzielone na 2 to będzie 25 stopni. Czyli nasz kąt, a było tutaj... A bo sobie napiszę na tym miejscu kąt LKM równa się ile? 35 stopni plus 25 stopni, czyli to się nam będzie równało ile? 40, 60 stopni. I zadanie mamy zrobione. Jest to która odpowiedź? Jest to odpowiedź oczywiście... I mamy następne zadanie, bardzo podobne do poprzedniego. Punkt O jest środkiem okręgu, kąt wpisany BAD ma miarę. Czyli znowu, który kąt odliczamy? BAD. kąt tutaj. Czyli widzimy, że mamy dokładnie to samo zadanie. Czyli tu mamy kącik alfa w tym miejscu, tutaj jest kącik alfa, tu mamy kącik beta. Wiemy, że ten trójkąt tutaj jest trójkątem równoramiennym. oraz ten trójkąt w tym miejscu jest trójkątem równoramiennym, czyli łatwo możemy sobie obliczyć, że kąt BAO, tu jeszcze był środek O, kąt BAO równa się 180 stopni minus 60 stopni przez 2, czyli będzie się nam równał 120, czyli 60 stopni. Z kolei kąt mamy dalej, mamy kąt... OAD będzie się równał 180 stopni. minus 130 stopni przez 2 równa się, równa się. 180 stopni minus 130 stopni to będzie 50 i 50 na 2 to jest 25 stopni. Czyli cały nasz kąt, o który nas pytali, czyli kąt BAD, równa się to plus to, czyli mamy 60 stopni plus 25 stopni, czyli równa nam się 85 stopni. I mamy zadanko zrobione. Sprawdzamy sobie, która odpowiedź jest prawidłowa. Prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D. No i mamy kolejne bardzo ciekawe zadanie. Punkty ABCD leżą na okręgu ośrodku O. Miary zaznaczonych kątów alfa i beta są odpowiednio równe. I teraz tak, patrzymy sobie tutaj na ten czworokąt wpisany w nasz okrąg. No i się zastanawiamy. Na pierwszy rzut oka mało co tu widać. Hmm, tutaj jest dużo kątów, dużo, prawda, odcinków pozaznaczonych, ale zobaczcie sobie. Tu mamy alfę i jest jakiś kąt środkowy, oparty na jakimś łuku w tym miejscu. Mamy łuk jeden i tu mamy ten trójkąt środkowy. O, mamy kąt środkowy. I teraz zwróćcie uwagę, który kąt jeszcze jest oparty na tym samym łuku. No, ten kąt w tym miejscu. O, tutaj jest. W tym miejscu. Czyli skoro on ma 36 stopni... i jest kątem wpisanym, to ten kąt alfa, skoro jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku, będzie miał dwa razy więcej. Czyli nasza alfa będzie się równała 2 razy 36 stopni, czyli będzie to się równało 7. 72 stopnie. I mamy tutaj już to zrobione. I teraz tak. Patrzymy sobie na odpowiedź i w pełnej dobroci autor tego zadania maturalnego po prostu założył, że tylko i wyłącznie w jednym miejscu jest alfa równa 72 stopnie, czyli prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D. W tym miejscu. Ale... D. Ale my sobie dla pewności policzymy jeszcze ten kąt beta, ile ma. I teraz tak. Skoro tu jest 36, stopni i tu jest 30, bo tutaj mamy trójkąt jaki? Trójkąt równoramienny, czyli w tym miejscu również jest 36 stopni, to ten kąt tutaj będzie miał ile? 36 stopni plus 36 stopni to jest 72 stopnie, czyli kąt ADC kąt ADC będzie się równał 180 stopni minus 72 stopnie, czyli będzie się równał 108 stopni. A teraz korzystając z tego twierdzenia że jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to suma tych przeciwległych kątów ile musi wynosić? 180 stopni. Czyli w takim układzie mamy, że kąt nasz ABC równa się 180 stopni minus 108 stopni i również wynosi 72 stopnie. Mamy tutaj. I teraz tak. No i oczywiście jest to odpowiedź D. Sprawdziliśmy sobie, że nasz wynik jest prawidłowy. Ta druga część zadania jest tylko i wyłącznie zrobiona ćwiczeniowo. No i mamy kolejne zadanie. Na okręgu ośrodku w punkcie O wybrano trzy punkty ABC. Także AOB równa się 70 stopni i OAC równa się 25 stopni. Cięciwa AC przecina promień OB, wtedy miara kąta OBC jest równa. No to zerknijmy sobie. Mamy który kąt wyobliczyć? OBC i on jest tutaj zaznaczony znakiem zapytania. No i zastanówmy się, jak tutaj to ugryźć wszystko. Pierwszą rzeczą... którą możemy zauważyć, to jest to, że tu mamy kąt AOB, jest oparty na tym łuku tutaj. I jest to jaki kąt? Jest to kąt środkowy. I na tym samym łuku oparty jest kąt ACB. To w takim układzie wiemy, że kąt ACB będzie ile wynosił, czyli kąt ACB będzie wynosił dwa razy mniej niż kąt środkowy. Czyli będziemy 70 stopni dzielone. przez 2 równa się 35 stopni. Ok, dobra. Czyli skoro tu już wiemy, zaznaczmy sobie, że ten kąt tutaj ma 35 stopni. Jak policzymy sobie ten kąt tutaj w tym miejscu? Nazwiemy go sobie beton. No, tą beton zauważamy, że ten kąt i ten kąt tutaj są jakimi kątami? Są kątami środkowymi. Co to są kąty środkowe? Mam nadzieję, że nie muszę nikomu tłumaczyć. Jeżeli muszę, no to przypominamy sobie. Jeżeli mam jakieś dwie proste przecinające się kąty, się w punkcie, to ten kąt alfa równa się temu kątowi alfa, ten kąt beta równa się temu kątowi beta. Ok, no to tu mamy trójkąt, czyli jak obliczymy sobie kąt beta? No, suma kątów w trójkącie ile wynosi? 180 stopni, czyli nasza kąt, czyli nasz beta będzie się równał 180 stopni odjąć 70 stopni i odjąć 25 stopni, czyli będzie się równał 180-70 to jest 110, 110-25 to mamy 90 i 85. 85 stopni. Czyli skoro mamy beta równa się 95 stopni, to znowu mamy trójkącik i znowu suma miar kątów równa się 180 stopni, czyli mamy, że kąt nasz, kąt OBC, o który nas pytają, OBC Równa się, równa się, 180 stopni, odjąć 85 stopni i odjąć 35 stopni. Równa się, równa się, 85 plus 35 to będzie ile? 90, 120. 80 odnieść 120 to jest 60 stopni. I naszą prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź B. I zadanko mamy zrobione. Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy alfa ma miarę. No i oczywiście zauważamy sobie, że średnica naszego okręgu, czyli tu mamy średnicę naszego okręgu. No oczywiście każdy... Każdy, który się nie uczy z telewizji publicznej wie, że to nie jest średnica okręgu, tylko średnica okręgu będzie w tym miejscu. Jest to odcinek AB. Dobra, no i mamy teraz tą naszą średnicę okręgu i teraz tak, tutaj co zauważamy? Zauważamy sobie pewną ciekawą rzecz. Skoro jest trójkąt, jest wpisany w okrąg i ten trójkąt jest oparty na średnicy tego okręgu, to jest taka zależność, że jeżeli jest tak oparty na średnicy, to tu jest... Tu jest kąt prosty, a wiemy, że kąt prosty to jest stopni 90. Czyli to w takim układzie kąt ACB równa się 90 stopni. W takim układzie kąt OCB, czyli kąt OCB, będzie się równał 90 stopni minus 56 stopni, czyli będzie się nam równał stopni 34 stopnie. Czyli skoro tu jest 34 stopnie w tym miejscu, 34 stopnie to 34 stopnie również jest w tym miejscu, ponieważ ten trójką będzie równoramienny to w takim układzie skoro jest równoramienny to wiemy, że alfa będzie się równała ile? 180 stopni odjąć, 34 plus 34 to jest 68 czyli odjąć 68 stopni czyli się będzie równała 112 stopni nieprawidłową odpowiedzią jest oczywiście odpowiedź C a pamiętamy o tym, że ... Średnica okręgu to jest ten odcinek. Kolejne zadanie. Dane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Większy okrąg przechodzi przez środek mniejszego okręgu. Odległość między środkami tych okręgów jest równa. Aha, dobrze. Czyli mamy tak. Najpierw sobie zaznaczymy ten mniejszy okrąg. I mamy jakiś środek tego okręgu. I wiemy, że większy okrąg przechodzi przez ten środek. czyli tu jest większy okrąg. O, tak go zaznaczmy sobie. I o co nas pytają w tym zadaniu? W tym zadaniu nas pytają o to, o odległość między środkami tych okręgów. I tu będzie jakaś tutaj w tym miejscu. O, tak. Tak. No i teraz tak. Tu mamy mniejszy promień. Nazwiemy go sobie R. Z kolei zaznaczymy sobie na rysunku Zaznaczamy sobie na rysunku. Większy promień będzie w tym miejscu. Tu jest nasze duże R. I co musimy wyznaczyć? Musimy wyznaczyć sobie odległość między tym środkiem O1 w tym miejscu, a środkiem O2. I robiąc bardzo dobry rysunek, tak jak ja zrobiłem to w tym miejscu, w tym miejscu, łatwo zauważyć, że nasza odległość będzie wynosiła tyle, co promień dużego okręgu. Czyli w naszym przypadku będzie r wynosiło, r równa się 17, czyli nasza odpowiedź prawidłowa to jest odpowiedź C. I oczywiście jest to związane, taki był temat, wzajemne położenie okręgów. Tego typu zadania rzadko się pojawiają na maturze i prościej będzie, jak sobie tego typu zadania narysujecie, zobaczycie o co nas pytają, dobrze zrobimy rysunek i odczytamy sobie informacje z rysunku. Bo jeżeli chodzi o wzory, to są wzory w podręcznikach, ale tych wzorów nie ma w karcie maturalnej, więc po co Wam podawać te wzory, skoro ich nie ma. Więc najprościej to zrobić sobie rysunek i odczytać z rysunku. Kolejne zadanie dziewiąte. Tu już sobie rysunki z rysunku. Rozsunek sporządzimy na bieżąco, ze względu na to, że nie jest on podany w zadaniu. No dobra, no i mam tak, cięciwa okręgu o długości 8 cm, czyli mamy jakiś okrąg. Tak, mamy okrąg i mamy cięciwa. Przypominamy sobie, że cięciwa jest to odcinek, który łączy dwa dowolne punkty okręgu. Czyli to jest nasza cięciwa w tym miejscu. I wiemy o tym, że ona ma jaką długość? Ma długość 8 cm. Teraz tak, jest ona oddalona od jego środka o 3 cm, czyli gdzieś tu mamy środek naszego okręgu, środek O i wiemy, że ta cięciwa jest oddalona o 3 cm. I teraz promień tego okręgu ma długość, czyli trzeba obliczyć promień. No to z tego środka wyznaczymy sobie oczywiście, nie wyznaczymy tego promienia byle jak, tylko zaznaczymy go sobie w ten sposób. No i teraz co zauważamy? No zauważamy, że co nam powstało? Powstał nam trójkąt równoramienny. Ten bok jest taki sam jak ten bok. Czyli wiemy, że wysokość, która pada na podstawę w trójkącie równoramiennym, dzieli nam tutaj tą podstawę na dwie równe połowy. Czyli w tym miejscu będzie 4. No to oczywiście wysokość pada pod jakim kątem? Pod kątem prostym. Czyli łatwo możemy sobie obliczyć albo pamiętać o tym, że to jest trójkąt egipski, ale nie mamy takiej obowiązku wiedzy tego pamiętać. To więc robimy sobie twierdzenie Pitagorasa. 3 do kwadratu plus 4 do kwadratu równa się nasze r do kwadratu. r jest oczywiście w tym miejscu. No i mamy 9 plus 16 równa się r kwadrat. 25 równa się r kwadrat, czyli r równa się pierwiastek z 25, czyli 5. I zadanko mamy zrobione. Prawidłową odpowiedzią jest oczywiście odpowiedź C. No i mamy kolejne zadanie. Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu... kwadratu jest równa. Czyli tak, mamy kwadrat, mamy kwadrat, prawda? I mamy okrąg, który jest opisany na tym kwadracie, czyli będzie na zewnątrz. Czyli mamy tutaj okrąg opisany na... Kwadracie. O, wyszło. No to trochę koślawie, ale wiemy o co chodzi. I teraz tak. Okrąg opisany na kwadracie ma promień, czyli okrąg ma promień, czyli zaznaczymy go sobie w tym miejscu. To jest nasz promień, R. I co mamy obliczyć w tym zadaniu? Długość boku tego kwadratu, czyli tutaj nasz bok A. No i musimy wiedzieć o tym i pamiętać. Mamy to w tablicach, ale to jest wiedza akurat ze szkoły podstawowej, więc nie wprowadzaliśmy sobie tego w... wstępie teoretycznym, ale dla tych, którzy nie pamiętają, szybko sobie jeszcze to powiemy. Średnica naszego kwadratu to są dwa promienie. Nie średnica, tylko przekątna kwadratu. Pokrywa się przekątna kwadratu, to są dwa promienie, a wiemy doskonale, że dwa promienie to jest co? To jest średnica okręgu. I teraz tak. Mamy tutaj taką sytuację, że pamiętamy o tym, że w kwadracie... przekątna A równa się A pierwiastek z dwóch. Czyli w naszym przypadku nasza przekątna naszego kwadratu to są dwa promienie, czyli jest to cztery, jest to cztery, czyli osiem, bo są dwa promienie. Czyli stosujemy sobie, tu jest nasze A, czyli nasze A pierwiastek z dwóch równa się osiem. Dzielimy sobie obustronnie przez pierwiastek z dwóch i mamy, dzielimy obustronnie przez pierwiastek. czyli mamy a równa się 8 przez pierwiastek z dwóch, usuwamy niewymierność mnożąc górę i dół przez pierwiastek z dwóch, wychodzi nam, że a równa się 8 pierwiastków z dwóch przez dwa, czyli 4 pierwiastki z dwóch. No i patrzymy sobie, która odpowiedź jest prawidłowa. No i oczywiście prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź... A. No i mamy następne zadanie. Troszeczkę trudniejsze, ale bardzo podobne do poprzedniego. I mamy pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe 1 trzecia pi do trzeciej. Długość boku tego trójkąta jest równa. Dobra, czyli tak, narysujmy sobie najpierw trójkąt równoboczny. Jest to zadanie również na poziomie szkoły podstawowej, aczkolwiek jest to zadanie trudne oczywiście, ale osoba, która idzie do matury bez problemu sobie z takim zadankiem poradzi. OK. I mamy ten nasz okrąg i trójkąt równoboczny. Tu są nasze boki A, A i A. Oraz weźmiemy sobie, zaznaczymy jeszcze wysokość tego trójkąta. Czyli wysokość naszego trójkąta w tym miejscu wynosi. Jest nasze H. I jeszcze tu zaznaczymy sobie środek naszego okręgu, bo jak za chwilkę zobaczycie, będzie to bardzo istotne. I teraz tak, przypominamy sobie środek naszego okręgu, czyli tu jest nasze duże R. I teraz tak, przypominamy sobie wiedzę. że jeżeli mamy okrąg opisany na trójkącie równobocznym, to jego r wynosi 2 trzecie wysokości. To trzeba pamiętać. W wysokości oczywiście tego trójkąta równobocznego. Jeżeli będziemy mieli trójkąt opisany na okręgu, czyli będzie taka sytuacja, że będziemy mieli trójkąt i w środku będzie okrąg, to jego promień, tego naszego okręgu, promień będzie wynosił 1 trzecią wysokości. Czyli 2 trzecie, jeżeli okrąg jest. jest opisany na trójkącie, 1 trzecia wysokości, jeżeli okrąg jest wpisany w trójkąt. I uzbrojeni w tą wiedzę, co musimy obliczyć sobie? Co jeszcze tutaj musimy przypomnieć sobie? Przypominamy sobie oczywiście wszystkie wzory, jeżeli chodzi o trójkąt równoboczny, czyli wzór przede wszystkim będziemy potrzebowali, że H równa się a pierwiastek z 3 przez a pierwiastek z 3 przez 2. Czyli po kolei. Mamy podane co dodatkowo? Mamy podane pole naszego trójkąta. I pole naszego trójkąta wynosi 1 trzecia pole trójkąta, nie pole okręgu mamy podane. Pole koła wynosi 1 trzecia pi do trzeciej. Czyli co będziemy musieli zrobić? Trzeba będzie z tego sobie tak, po kolei. Najpierw obliczyć sobie promień, skoro podane jest pole koła, to obliczymy z tego promień. Następnie z tego promienia obliczymy. obliczymy sobie wysokość, ile wynosi, a na samym końcu z tej wysokości obliczymy sobie długość boku, bo o to nas pytają. No to cóż, do dzieła w takim układzie, no i mamy. Przypominamy sobie, pole koła to jest, pole koła to jest oczywiście pi r kwadrat, czyli wstawiamy sobie pi r kwadrat, równa się 1 trzecia pi do trzeciej. Aha. Dobra, no i mamy dalej. Pi nam się jedno skróci, tu zostanie nam pi do kwadratu, czyli będzie r kwadrat równa się pi kwadrat przez 3, czyli r będzie się równał nam pierwiastek z pi kwadrat przez 3, czyli będzie tutaj nam, pierwiastek z kwadratem nam się tutaj zniweluje, czyli będzie pi przez pierwiastek z 3, a po skróceniu to będzie, po usunięciu niewymierności będzie pi pierwiastków z 3. przez 3. Czyli mamy obliczoną naszą, mamy nasz promień obliczony. I teraz tak, co następnie? Następnie weźmiemy, jak już mamy policzony promień, to skorzystamy sobie z tego i obliczymy sobie wysokość. Czyli mamy, w miejsce promienia wstawiamy sobie, że to jest pi pierwiastków z 3 przez 3 równa się 2 trzecie h. Dzielimy sobie obustronnie przez 2 trzecie. Przez 2 trzecie. I wychodzi nam, że trójki nam się skrócą, czyli H będzie się równało, oczywiście będzie się równało pi pierwiastka z 3 przez 2. I jak już mamy tutaj H równa się pi pierwiastków z 3 przez 2, wystarczy sobie tylko wstawić w to miejsce, H wstawić tutaj. I mamy, korzystając z tego wzoru, mamy pi pierwiastka z 3 przez 2 równa się A pierwiastka z 3 przez 2. pierwiastek z 3 przez 2 i widzimy, że obustronnie dzieląc przez pierwiastek z 3 przez 2 wyjdzie nam, że A równa się Pi. I zadanie, mamy odpowiedź, oczywiście jest to odpowiedź B. No, co było trudne w tym zadaju? No trudne było to, że nie było jakichś konkretnych liczb, tylko cały czas kazali nam się z tym Pi do 3 tutaj bawić, że najpierw było Pi do 3, później było Pi kwadrat, później z Pi kwadrat trzeba było wyciągnąć pierwiastek i tak dalej. Ale jak widzimy, że że wcale nie jest aż takie straszne to zadanie. No i mamy kolejne zadanie. Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4,9. Długość okręgu ma... No i zobaczmy sobie, mamy tutaj nasz okrąg, mamy środek naszego okręgu, mamy tu jakiś kąt alfa i pytają nas o ten łuk w tym miejscu, o ten łuk tutaj. nas pytają. I wiemy, że ten kąt środkowy oparty jest na łuku, który jest 4 dziewiąte. Czyli wiemy, że cały tutaj ma ile stopni? 360. Czyli wystarczy, że 360 stopni przemnożymy przez 4 dziewiąte. i nam wyjdzie wynik. 369 oczywiście nam się skraca, tu jest 1, tu jest 40 stopni i mamy 40 stopni razy 4, to jest 80 i 80 razy 2 to jest 160, czyli 40 razy 4 to jest 160 stopni. Czyli jednym słowem mamy tutaj odpowiedź. A kolejne zadanie. Zerknijmy sobie. Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P. Wykaż, że punkty B, P, D leżą na jednej prostokątce. Czyli co musimy wykazać? Że BPD, czyli tutaj, o, i to wszystko leży sobie na jednej prostej. I teraz tak, musimy się chwilkę nad tym... zastanowić. I to jest przykład dowodu geometrycznego na maturze. I tego typu dowodów zdarzają się. Bardzo często się dowody zdarzają. No i albo zauważysz, albo nie zauważysz. Ja to zawsze radzę na maturze zrobić wszystko po prostu, co umiecie, a dowody to sobie zostawić na sam koniec, bo to albo wpadniesz, albo nie wpadniesz. Czasami dowody są śmiesznie proste, że wystarczy jedną linijkę napisać i mamy dowód zrobiony. Z algebra przede wszystkim dowody są całkiem przyjemne. W jednym z następnych filmów sobie spróbujemy porobić parę dowodów z algebry. Ale tutaj jest akurat dowód geometryczny. I teraz tak, dowody geometryczne najczęściej po prostu polegają na tym, że albo trzeba sobie coś znaleźć, udowodnić, albo to będą trójkąty podobne, gdzieś trzeba będzie znaleźć, albo trzeba będzie jakieś tam własności zauważyć, że kąty są, czy coś z reguły z kątami. I teraz tak, patrzymy sobie tutaj. No i tu musimy zauważyć jedną ciekawą rzecz. Ten punkt bez... został tutaj podany nie bez przyczyny. I co zauważamy? Że tutaj jest, o, poprowadzimy sobie ten odcinek. I teraz tak, z treści zadania wiemy, że te to, AB i AD to są średnice. Pamiętamy, nie mylić średnicy z długością okręgu. To są średnice. Czyli skoro, i zauważmy sobie, mamy trójkąt ABP, jest na czym oparty? Jest oparty na średnicy. No to za... Zapisujemy sobie, że to w takim układzie, skoro on jest oparty na średnicy, to znaczy, że ma kąt jaki? Prosty. Czyli zapisujemy sobie, że trójkąt ABP, można oczywiście zapisać to sobie skrótem. Czyli tak, trójkąt mamy tutaj, trójkąt ABP jest oparty na średnicy, zatem... Kąt APB równa się 90 stopni. Teraz z kolei mamy drugi trójkąt i mamy tak samo. Trójkąt APD. Czyli ten trójkąt APD jest również oparty na średnicy, zatem kąt APD równa się 90 stopni. Czyli zauważamy... że w tym miejscu mamy 90 stopni i w tym miejscu mamy 90 stopni. I następne zadanie, które piszemy, to, że trójkąt A, P, B plus, nie trójkąt, tylko kąt, kąt oczywiście APB plus kąt APD równa się 180 stopni, zatem punkty APDB leżą na jednej prostej. Koniec dowodu. No i to byłoby na tyle, jeżeli chodzi o koła i okręgi. Mam nadzieję, że przybliżyłem Wam troszeczkę ten temat, że te zadaje maturalne, które rozwiązaliśmy, już będą o wiele prostsze dla Was. Oczywiście standardowo wzracam uwagę na to, żeby nie traktować tego filmu tak, że obejrzycie go i wszystko już umiecie. Trzeba sobie jeszcze na spokojnie zetknąć do podręcznika, do rakuszy, porozwiązywać sobie inne zadaje maturalne podobne. A póki co żegnam się z Wami i do zobaczenia. Cześć!

Ponadto będziemy sobie liczyli wszystko o... przypomnimy sobie definicje dotyczące kątów środkowych oraz kątów wpisanych w okrąg. No to cóż, przechodzimy do filmu i działamy!

No i zacznijmy od tego, co wszystkich intryguje. Przygotowałem tu sobie taki mały rekwizyt i weźmiemy sobie, wytłumaczymy sobie bardzo dokładnie, co to jest koło. I teraz tak, tu mam taką wstążkę przygotowaną. O, wiadomo, wstążka jest papierowa, co prawda, bo niskie budżety mamy, nie takie budżety, jak pewna stacja telewizyjna, więc muszę sobie radzić jak umiem. I teraz tak, to tutaj nazywamy, uwaga, długością okręgu.

Czyli jak mamy koło, o, to jest nasze koło, nie koło, tylko okrąg. Bo czym się różni koło od okręgu? Tym, że koło jest w środku, ma pole, a okrąg to jest tylko i wyłącznie tutaj ten zbiór punktów. I widzimy, to jest długość, o, długość okręgu. I ten okrąg ma co?

Ma średnicę. Co to jest średnica? Średnica to jest najdłuższa cięciwa okręgu. Co to jest cięciwa?

Cięciwa jest to dowolny odcinek, który łączy dwa punkty na okręgu. A średnica jest najdłuższą, czyli przechodzi przez środek. I to jest nasza średnica. Podpiszemy sobie ją.

S. Ponadto połowa średnicy to promień, czyli od tego środeczka tutaj, w to miejsce, mamy promień. I przypominamy sobie. Słyszeliśmy sobie dwa wzory, czyli teraz tak, wzór na długość okręgu, czyli że...

policzyć to tutaj, to, o, to, należy co zrobić? Należy sobie długość okręgu, napiszemy sobie dyły okręgu, równa się 2pi r, gdzie pi to jest liczba stała. Przypominamy sobie, że pi wynosi w przybliżeniu 3,14. Następnie mamy pole koła i pole koła to jest pi r kwadrat. Ponadto, żeby obliczyć sobie długość łuku i pole wycinka kołowego, zaznaczmy sobie na przykład, mamy jakieś dwa promienie, o, i dwa promienie tworzą nam jakiś kąt.

Alfa. I teraz ten kąt alfa, chcemy wiedzieć, czy ten kawałeczek, to taka pizza, nie? Ten kawałeczek, jaki ma pole, jaką ma długość ten łuk tutaj.

To stosujemy sobie dwa wzory. Długość łuku równa się alfa przez 360 razy 2PR. Z kolei pole wycinka równa się alfa przez 360 razy pi r kwadrat.

I będziemy potrzebowali te wzory. Kolejna rzecz, którą będziemy potrzebowali do rozwiązywania zadań, to jest teoria dotycząca kąta środkowego i kąta wpisanego. I teraz tak, jeśli mamy jakiś dowolny okrąg, i teraz tak, wpiszemy sobie w nim jakiś kąt. I ten kąt ma tutaj alfa. I jeżeli na tym samym łuku oprzemy sobie kąt, który będzie miał wierzchołek w środku okręgu oraz jego ramiona będą promieniami, czyli tu będzie R i tu będzie R, R i R, to ten kąt tutaj nazywamy środkowy i on jest dwa razy większy niż ten kąt tutaj.

Czyli ma on... Dwie alfy. Kolejnym wzorem, który będziemy potrzebowali, jest to, jeżeli sobie jakiś czworokąt wpiszemy w okrąg, to wychodzi nam pewna zależność.

I teraz tak, ta zależność wygląda tak, że przeciwległe kąty mają razem 180. stopni. Czyli jeżeli czworokąt jest w okręgu wpisany, to alfa plus gamma równa się beta plus omega, a one się razem równają 180 stopni. Analogicznie, jeżeli czworokąt opiszemy na okręgu, czyli będzie na zewnątrz, to przeciwległe boki są tej samej długości suma.

Czyli mamy, że A plus C równa się B plus D. Czyli suma tych przeciwległych boków jest taka sama. To plus to równa się to plus...

To. Okej, i przechodzimy do rozwiązywania zadań. Zadanie pierwsze. Zerknijmy sobie.

Punkty ABCD leżą na okręgu ośrodku S. Miara kąta BDC jest równa. I tak, żeby zaoszczędzić czas, pozwoliłem sobie już narysować ten...

rysunek. I teraz tak, patrzymy sobie, o który nas kąt pytają. Pytają nas o kąt BDC, czyli o ten kąt w tym miejscu.

Nazwiemy go sobie alfa. I teraz tak, już widzimy na tym rysunku, że mamy kąt środkowy. Kąt środkowy i kąt wpisany.

Czyli widzimy, że kąt ten tutaj jest dwa razy większy niż kąt ten tutaj. Czyli co wystarczy zrobić? 118 stopni podzielić na dwa i mamy tutaj oczywiście 59 stopni.

Czyli nasz kąt ADC, czyli kąt ADC równa się 59 stopni. I kiedy już wiemy, że on ma 59 stopni, to wystarczy... Wystarczy w takim układzie tutaj sobie policzyć tą alfę. No to alfa będzie się równała, alfa będzie 59 stopni minus 27 stopni, czyli będzie się równało nam to 32 stopnie.

Czyli naszą prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D. Zadanie drugie. Zerknijmy sobie. Punkty ABC leżą na okręgu ośrodku S, zobacz rysunek, miara zaznaczonego kąta wpisanego ACB jest równa. Czyli tak.

Znowu pozwoliłem sobie narysować rysunek dla oszczędzenia czasu, czyli ACB. Czyli mamy obliczyć ten kąt tutaj. To jest nasz kąt alfa.

I teraz co zauważamy? Że kąt ACB oraz kąt ASB są oparte na tym samym łuku. I ten łuk to jest ten łuk w tym miejscu. To jest ten łuk tutaj. Czyli to jest nasz kąt środkowy, a to jest kąt wpisany.

Czyli w takim układzie co wystarczy zrobić? A no wystarczy tylko i wyłącznie, że nasz kąt ACB równa się, równa 230. 30 stopni dzielone na 2, czyli równa się stopni 115. I mamy wynik, czyli odpowiedzią prawdopodobną jest odpowiedź C. Kolejne zadanie.

I mamy. Punkt O jest w środku. środkiem okręgu miara kąta LKM jest równa. Czyli mamy obliczyć kąt LKM.

Czyli kąt LKM jest który? Kąt LKM. I kąt LKM w którym miejscu jest?

Jest tu. K L K M. Czyli musimy obliczyć ten kąt. Czyli do czego to się będzie sprowadzało?

Tu będzie jakiś kącik alfa w tym miejscu oraz tu będzie jakiś kącik beta. I musimy obliczyć sobie tą alfę i betę, dodać do siebie. I my.

będziemy mieli kąt LKM. No to zerknijmy sobie na to. I teraz tak, mamy trójkąt wpisany w okrąg. I co patrzymy? Tu jest środek naszego okręgu.

I teraz tak, to I to są nasze promienie. Czyli tu jest R i tu jest R. Z kolei tu również jest promień w tym miejscu, czyli tu też jest R.

Czyli jeżeli tu wszędzie jest... to te trójkąty są jakie? Te trójkąty są równoramienne.

A wiemy, że w trójkącie równoramiennym, jak to jest trójkąt równoramienny, to kąty przy podstawie są takie same. Alfa, alfa. Czyli jeżeli tu jest 110 stopni, to... to ten kąt alfa, napiszemy sobie alfa, będzie się równał.

180 stopni minus 110 stopni, ale wiemy, że tych kątów jest dwa, czyli przez dwa. Oczywiście, co ja zrobiłem? No, źle, nieładnie zapisałem, bo to tak się nie zapisuje.

Pamiętamy oczywiście, że równa się musi być na wysokości kreski ułamkowej. Czyli alfa równa się. No to równa się.

Alfa równa się. I teraz mamy 180 minus 110. 10 to jest 70, 70 na 2 to się równa 35 stopni. I analogiczną rzecz robimy sobie z kątem beta.

I mamy, że beta równa się 180 stopni minus 130 stopni dzielone przez 2, równa się, równa się, 180 stopni minus 130 stopni to jest 50 stopni i 50 stopni dzielone na 2 to będzie 25 stopni. Czyli nasz kąt, a było tutaj... A bo sobie napiszę na tym miejscu kąt LKM równa się ile?

35 stopni plus 25 stopni, czyli to się nam będzie równało ile? 40, 60 stopni. I zadanie mamy zrobione. Jest to która odpowiedź?

Jest to odpowiedź oczywiście... I mamy następne zadanie, bardzo podobne do poprzedniego. Punkt O jest środkiem okręgu, kąt wpisany BAD ma miarę. Czyli znowu, który kąt odliczamy? BAD.

kąt tutaj. Czyli widzimy, że mamy dokładnie to samo zadanie. Czyli tu mamy kącik alfa w tym miejscu, tutaj jest kącik alfa, tu mamy kącik beta.

Wiemy, że ten trójkąt tutaj jest trójkątem równoramiennym. oraz ten trójkąt w tym miejscu jest trójkątem równoramiennym, czyli łatwo możemy sobie obliczyć, że kąt BAO, tu jeszcze był środek O, kąt BAO równa się 180 stopni minus 60 stopni przez 2, czyli będzie się nam równał 120, czyli 60 stopni. Z kolei kąt mamy dalej, mamy kąt...

OAD będzie się równał 180 stopni. minus 130 stopni przez 2 równa się, równa się. 180 stopni minus 130 stopni to będzie 50 i 50 na 2 to jest 25 stopni.

Czyli cały nasz kąt, o który nas pytali, czyli kąt BAD, równa się to plus to, czyli mamy 60 stopni plus 25 stopni, czyli równa nam się 85 stopni. I mamy zadanko zrobione. Sprawdzamy sobie, która odpowiedź jest prawidłowa.

Prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D. No i mamy kolejne bardzo ciekawe zadanie. Punkty ABCD leżą na okręgu ośrodku O. Miary zaznaczonych kątów alfa i beta są odpowiednio równe.

I teraz tak, patrzymy sobie tutaj na ten czworokąt wpisany w nasz okrąg. No i się zastanawiamy. Na pierwszy rzut oka mało co tu widać. Hmm, tutaj jest dużo kątów, dużo, prawda, odcinków pozaznaczonych, ale zobaczcie sobie.

Tu mamy alfę i jest jakiś kąt środkowy, oparty na jakimś łuku w tym miejscu. Mamy łuk jeden i tu mamy ten trójkąt środkowy. O, mamy kąt środkowy.

I teraz zwróćcie uwagę, który kąt jeszcze jest oparty na tym samym łuku. No, ten kąt w tym miejscu. O, tutaj jest. W tym miejscu.

Czyli skoro on ma 36 stopni... i jest kątem wpisanym, to ten kąt alfa, skoro jest kątem środkowym opartym na tym samym łuku, będzie miał dwa razy więcej. Czyli nasza alfa będzie się równała 2 razy 36 stopni, czyli będzie to się równało 7. 72 stopnie.

I mamy tutaj już to zrobione. I teraz tak. Patrzymy sobie na odpowiedź i w pełnej dobroci autor tego zadania maturalnego po prostu założył, że tylko i wyłącznie w jednym miejscu jest alfa równa 72 stopnie, czyli prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D.

W tym miejscu. Ale... D. Ale my sobie dla pewności policzymy jeszcze ten kąt beta, ile ma. I teraz tak.

Skoro tu jest 36, stopni i tu jest 30, bo tutaj mamy trójkąt jaki? Trójkąt równoramienny, czyli w tym miejscu również jest 36 stopni, to ten kąt tutaj będzie miał ile? 36 stopni plus 36 stopni to jest 72 stopnie, czyli kąt ADC kąt ADC będzie się równał 180 stopni minus 72 stopnie, czyli będzie się równał 108 stopni.

A teraz korzystając z tego twierdzenia że jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to suma tych przeciwległych kątów ile musi wynosić? 180 stopni. Czyli w takim układzie mamy, że kąt nasz ABC równa się 180 stopni minus 108 stopni i również wynosi 72 stopnie. Mamy tutaj.

I teraz tak. No i oczywiście jest to odpowiedź D. Sprawdziliśmy sobie, że nasz wynik jest prawidłowy.

Ta druga część zadania jest tylko i wyłącznie zrobiona ćwiczeniowo. No i mamy kolejne zadanie. Na okręgu ośrodku w punkcie O wybrano trzy punkty ABC.

Także AOB równa się 70 stopni i OAC równa się 25 stopni. Cięciwa AC przecina promień OB, wtedy miara kąta OBC jest równa. No to zerknijmy sobie.

Mamy który kąt wyobliczyć? OBC i on jest tutaj zaznaczony znakiem zapytania. No i zastanówmy się, jak tutaj to ugryźć wszystko.

Pierwszą rzeczą... którą możemy zauważyć, to jest to, że tu mamy kąt AOB, jest oparty na tym łuku tutaj. I jest to jaki kąt? Jest to kąt środkowy. I na tym samym łuku oparty jest kąt ACB.

To w takim układzie wiemy, że kąt ACB będzie ile wynosił, czyli kąt ACB będzie wynosił dwa razy mniej niż kąt środkowy. Czyli będziemy 70 stopni dzielone. przez 2 równa się 35 stopni. Ok, dobra. Czyli skoro tu już wiemy, zaznaczmy sobie, że ten kąt tutaj ma 35 stopni.

Jak policzymy sobie ten kąt tutaj w tym miejscu? Nazwiemy go sobie beton. No, tą beton zauważamy, że ten kąt i ten kąt tutaj są jakimi kątami? Są kątami środkowymi. Co to są kąty środkowe?

Mam nadzieję, że nie muszę nikomu tłumaczyć. Jeżeli muszę, no to przypominamy sobie. Jeżeli mam jakieś dwie proste przecinające się kąty, się w punkcie, to ten kąt alfa równa się temu kątowi alfa, ten kąt beta równa się temu kątowi beta.

Ok, no to tu mamy trójkąt, czyli jak obliczymy sobie kąt beta? No, suma kątów w trójkącie ile wynosi? 180 stopni, czyli nasza kąt, czyli nasz beta będzie się równał 180 stopni odjąć 70 stopni i odjąć 25 stopni, czyli będzie się równał 180-70 to jest 110, 110-25 to mamy 90 i 85. 85 stopni.

Czyli skoro mamy beta równa się 95 stopni, to znowu mamy trójkącik i znowu suma miar kątów równa się 180 stopni, czyli mamy, że kąt nasz, kąt OBC, o który nas pytają, OBC Równa się, równa się, 180 stopni, odjąć 85 stopni i odjąć 35 stopni. Równa się, równa się, 85 plus 35 to będzie ile? 90, 120. 80 odnieść 120 to jest 60 stopni. I naszą prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź B. I zadanko mamy zrobione.

Na okręgu o środku w punkcie O leży punkt C. Odcinek AB jest średnicą tego okręgu. Zaznaczony na rysunku kąt środkowy alfa ma miarę.

No i oczywiście zauważamy sobie, że średnica naszego okręgu, czyli tu mamy średnicę naszego okręgu. No oczywiście każdy... Każdy, który się nie uczy z telewizji publicznej wie, że to nie jest średnica okręgu, tylko średnica okręgu będzie w tym miejscu.

Jest to odcinek AB. Dobra, no i mamy teraz tą naszą średnicę okręgu i teraz tak, tutaj co zauważamy? Zauważamy sobie pewną ciekawą rzecz. Skoro jest trójkąt, jest wpisany w okrąg i ten trójkąt jest oparty na średnicy tego okręgu, to jest taka zależność, że jeżeli jest tak oparty na średnicy, to tu jest...

Tu jest kąt prosty, a wiemy, że kąt prosty to jest stopni 90. Czyli to w takim układzie kąt ACB równa się 90 stopni. W takim układzie kąt OCB, czyli kąt OCB, będzie się równał 90 stopni minus 56 stopni, czyli będzie się nam równał stopni 34 stopnie. Czyli skoro tu jest 34 stopnie w tym miejscu, 34 stopnie to 34 stopnie również jest w tym miejscu, ponieważ ten trójką będzie równoramienny to w takim układzie skoro jest równoramienny to wiemy, że alfa będzie się równała ile?

180 stopni odjąć, 34 plus 34 to jest 68 czyli odjąć 68 stopni czyli się będzie równała 112 stopni nieprawidłową odpowiedzią jest oczywiście odpowiedź C a pamiętamy o tym, że ... Średnica okręgu to jest ten odcinek. Kolejne zadanie. Dane są dwa okręgi o promieniach 12 i 17. Większy okrąg przechodzi przez środek mniejszego okręgu.

Odległość między środkami tych okręgów jest równa. Aha, dobrze. Czyli mamy tak. Najpierw sobie zaznaczymy ten mniejszy okrąg. I mamy jakiś środek tego okręgu.

I wiemy, że większy okrąg przechodzi przez ten środek. czyli tu jest większy okrąg. O, tak go zaznaczmy sobie.

I o co nas pytają w tym zadaniu? W tym zadaniu nas pytają o to, o odległość między środkami tych okręgów. I tu będzie jakaś tutaj w tym miejscu. O, tak. Tak.

No i teraz tak. Tu mamy mniejszy promień. Nazwiemy go sobie R.

Z kolei zaznaczymy sobie na rysunku Zaznaczamy sobie na rysunku. Większy promień będzie w tym miejscu. Tu jest nasze duże R. I co musimy wyznaczyć? Musimy wyznaczyć sobie odległość między tym środkiem O1 w tym miejscu, a środkiem O2.

I robiąc bardzo dobry rysunek, tak jak ja zrobiłem to w tym miejscu, w tym miejscu, łatwo zauważyć, że nasza odległość będzie wynosiła tyle, co promień dużego okręgu. Czyli w naszym przypadku będzie r wynosiło, r równa się 17, czyli nasza odpowiedź prawidłowa to jest odpowiedź C. I oczywiście jest to związane, taki był temat, wzajemne położenie okręgów. Tego typu zadania rzadko się pojawiają na maturze i prościej będzie, jak sobie tego typu zadania narysujecie, zobaczycie o co nas pytają, dobrze zrobimy rysunek i odczytamy sobie informacje z rysunku.

Bo jeżeli chodzi o wzory, to są wzory w podręcznikach, ale tych wzorów nie ma w karcie maturalnej, więc po co Wam podawać te wzory, skoro ich nie ma. Więc najprościej to zrobić sobie rysunek i odczytać z rysunku. Kolejne zadanie dziewiąte. Tu już sobie rysunki z rysunku. Rozsunek sporządzimy na bieżąco, ze względu na to, że nie jest on podany w zadaniu.

No dobra, no i mam tak, cięciwa okręgu o długości 8 cm, czyli mamy jakiś okrąg. Tak, mamy okrąg i mamy cięciwa. Przypominamy sobie, że cięciwa jest to odcinek, który łączy dwa dowolne punkty okręgu. Czyli to jest nasza cięciwa w tym miejscu. I wiemy o tym, że ona ma jaką długość?

Ma długość 8 cm. Teraz tak, jest ona oddalona od jego środka o 3 cm, czyli gdzieś tu mamy środek naszego okręgu, środek O i wiemy, że ta cięciwa jest oddalona o 3 cm. I teraz promień tego okręgu ma długość, czyli trzeba obliczyć promień. No to z tego środka wyznaczymy sobie oczywiście, nie wyznaczymy tego promienia byle jak, tylko zaznaczymy go sobie w ten sposób. No i teraz co zauważamy?

No zauważamy, że co nam powstało? Powstał nam trójkąt równoramienny. Ten bok jest taki sam jak ten bok. Czyli wiemy, że wysokość, która pada na podstawę w trójkącie równoramiennym, dzieli nam tutaj tą podstawę na dwie równe połowy. Czyli w tym miejscu będzie 4. No to oczywiście wysokość pada pod jakim kątem?

Pod kątem prostym. Czyli łatwo możemy sobie obliczyć albo pamiętać o tym, że to jest trójkąt egipski, ale nie mamy takiej obowiązku wiedzy tego pamiętać. To więc robimy sobie twierdzenie Pitagorasa.

3 do kwadratu plus 4 do kwadratu równa się nasze r do kwadratu. r jest oczywiście w tym miejscu. No i mamy 9 plus 16 równa się r kwadrat.

25 równa się r kwadrat, czyli r równa się pierwiastek z 25, czyli 5. I zadanko mamy zrobione. Prawidłową odpowiedzią jest oczywiście odpowiedź C. No i mamy kolejne zadanie. Okrąg opisany na kwadracie ma promień 4. Długość boku tego kwadratu...

kwadratu jest równa. Czyli tak, mamy kwadrat, mamy kwadrat, prawda? I mamy okrąg, który jest opisany na tym kwadracie, czyli będzie na zewnątrz.

Czyli mamy tutaj okrąg opisany na... Kwadracie. O, wyszło.

No to trochę koślawie, ale wiemy o co chodzi. I teraz tak. Okrąg opisany na kwadracie ma promień, czyli okrąg ma promień, czyli zaznaczymy go sobie w tym miejscu.

To jest nasz promień, R. I co mamy obliczyć w tym zadaniu? Długość boku tego kwadratu, czyli tutaj nasz bok A.

No i musimy wiedzieć o tym i pamiętać. Mamy to w tablicach, ale to jest wiedza akurat ze szkoły podstawowej, więc nie wprowadzaliśmy sobie tego w... wstępie teoretycznym, ale dla tych, którzy nie pamiętają, szybko sobie jeszcze to powiemy. Średnica naszego kwadratu to są dwa promienie.

Nie średnica, tylko przekątna kwadratu. Pokrywa się przekątna kwadratu, to są dwa promienie, a wiemy doskonale, że dwa promienie to jest co? To jest średnica okręgu.

I teraz tak. Mamy tutaj taką sytuację, że pamiętamy o tym, że w kwadracie... przekątna A równa się A pierwiastek z dwóch.

Czyli w naszym przypadku nasza przekątna naszego kwadratu to są dwa promienie, czyli jest to cztery, jest to cztery, czyli osiem, bo są dwa promienie. Czyli stosujemy sobie, tu jest nasze A, czyli nasze A pierwiastek z dwóch równa się osiem. Dzielimy sobie obustronnie przez pierwiastek z dwóch i mamy, dzielimy obustronnie przez pierwiastek.

czyli mamy a równa się 8 przez pierwiastek z dwóch, usuwamy niewymierność mnożąc górę i dół przez pierwiastek z dwóch, wychodzi nam, że a równa się 8 pierwiastków z dwóch przez dwa, czyli 4 pierwiastki z dwóch. No i patrzymy sobie, która odpowiedź jest prawidłowa. No i oczywiście prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź... A. No i mamy następne zadanie.

Troszeczkę trudniejsze, ale bardzo podobne do poprzedniego. I mamy pole koła opisanego na trójkącie równobocznym jest równe 1 trzecia pi do trzeciej. Długość boku tego trójkąta jest równa. Dobra, czyli tak, narysujmy sobie najpierw trójkąt równoboczny. Jest to zadanie również na poziomie szkoły podstawowej, aczkolwiek jest to zadanie trudne oczywiście, ale osoba, która idzie do matury bez problemu sobie z takim zadankiem poradzi.

OK. I mamy ten nasz okrąg i trójkąt równoboczny. Tu są nasze boki A, A i A. Oraz weźmiemy sobie, zaznaczymy jeszcze wysokość tego trójkąta. Czyli wysokość naszego trójkąta w tym miejscu wynosi.

Jest nasze H. I jeszcze tu zaznaczymy sobie środek naszego okręgu, bo jak za chwilkę zobaczycie, będzie to bardzo istotne. I teraz tak, przypominamy sobie środek naszego okręgu, czyli tu jest nasze duże R. I teraz tak, przypominamy sobie wiedzę. że jeżeli mamy okrąg opisany na trójkącie równobocznym, to jego r wynosi 2 trzecie wysokości.

To trzeba pamiętać. W wysokości oczywiście tego trójkąta równobocznego. Jeżeli będziemy mieli trójkąt opisany na okręgu, czyli będzie taka sytuacja, że będziemy mieli trójkąt i w środku będzie okrąg, to jego promień, tego naszego okręgu, promień będzie wynosił 1 trzecią wysokości.

Czyli 2 trzecie, jeżeli okrąg jest. jest opisany na trójkącie, 1 trzecia wysokości, jeżeli okrąg jest wpisany w trójkąt. I uzbrojeni w tą wiedzę, co musimy obliczyć sobie?

Co jeszcze tutaj musimy przypomnieć sobie? Przypominamy sobie oczywiście wszystkie wzory, jeżeli chodzi o trójkąt równoboczny, czyli wzór przede wszystkim będziemy potrzebowali, że H równa się a pierwiastek z 3 przez a pierwiastek z 3 przez 2. Czyli po kolei. Mamy podane co dodatkowo? Mamy podane pole naszego trójkąta.

I pole naszego trójkąta wynosi 1 trzecia pole trójkąta, nie pole okręgu mamy podane. Pole koła wynosi 1 trzecia pi do trzeciej. Czyli co będziemy musieli zrobić? Trzeba będzie z tego sobie tak, po kolei.

Najpierw obliczyć sobie promień, skoro podane jest pole koła, to obliczymy z tego promień. Następnie z tego promienia obliczymy. obliczymy sobie wysokość, ile wynosi, a na samym końcu z tej wysokości obliczymy sobie długość boku, bo o to nas pytają.

No to cóż, do dzieła w takim układzie, no i mamy. Przypominamy sobie, pole koła to jest, pole koła to jest oczywiście pi r kwadrat, czyli wstawiamy sobie pi r kwadrat, równa się 1 trzecia pi do trzeciej. Aha. Dobra, no i mamy dalej.

Pi nam się jedno skróci, tu zostanie nam pi do kwadratu, czyli będzie r kwadrat równa się pi kwadrat przez 3, czyli r będzie się równał nam pierwiastek z pi kwadrat przez 3, czyli będzie tutaj nam, pierwiastek z kwadratem nam się tutaj zniweluje, czyli będzie pi przez pierwiastek z 3, a po skróceniu to będzie, po usunięciu niewymierności będzie pi pierwiastków z 3. przez 3. Czyli mamy obliczoną naszą, mamy nasz promień obliczony. I teraz tak, co następnie? Następnie weźmiemy, jak już mamy policzony promień, to skorzystamy sobie z tego i obliczymy sobie wysokość. Czyli mamy, w miejsce promienia wstawiamy sobie, że to jest pi pierwiastków z 3 przez 3 równa się 2 trzecie h.

Dzielimy sobie obustronnie przez 2 trzecie. Przez 2 trzecie. I wychodzi nam, że trójki nam się skrócą, czyli H będzie się równało, oczywiście będzie się równało pi pierwiastka z 3 przez 2. I jak już mamy tutaj H równa się pi pierwiastków z 3 przez 2, wystarczy sobie tylko wstawić w to miejsce, H wstawić tutaj.

I mamy, korzystając z tego wzoru, mamy pi pierwiastka z 3 przez 2 równa się A pierwiastka z 3 przez 2. pierwiastek z 3 przez 2 i widzimy, że obustronnie dzieląc przez pierwiastek z 3 przez 2 wyjdzie nam, że A równa się Pi. I zadanie, mamy odpowiedź, oczywiście jest to odpowiedź B. No, co było trudne w tym zadaju?

No trudne było to, że nie było jakichś konkretnych liczb, tylko cały czas kazali nam się z tym Pi do 3 tutaj bawić, że najpierw było Pi do 3, później było Pi kwadrat, później z Pi kwadrat trzeba było wyciągnąć pierwiastek i tak dalej. Ale jak widzimy, że że wcale nie jest aż takie straszne to zadanie. No i mamy kolejne zadanie.

Kąt środkowy oparty na łuku, którego długość jest równa 4,9. Długość okręgu ma... No i zobaczmy sobie, mamy tutaj nasz okrąg, mamy środek naszego okręgu, mamy tu jakiś kąt alfa i pytają nas o ten łuk w tym miejscu, o ten łuk tutaj. nas pytają. I wiemy, że ten kąt środkowy oparty jest na łuku, który jest 4 dziewiąte.

Czyli wiemy, że cały tutaj ma ile stopni? 360. Czyli wystarczy, że 360 stopni przemnożymy przez 4 dziewiąte. i nam wyjdzie wynik.

369 oczywiście nam się skraca, tu jest 1, tu jest 40 stopni i mamy 40 stopni razy 4, to jest 80 i 80 razy 2 to jest 160, czyli 40 razy 4 to jest 160 stopni. Czyli jednym słowem mamy tutaj odpowiedź. A kolejne zadanie.

Zerknijmy sobie. Dany jest prostokąt ABCD. Okręgi o średnicach AB i AD przecinają się w punktach A i P. Wykaż, że punkty B, P, D leżą na jednej prostokątce. Czyli co musimy wykazać?

Że BPD, czyli tutaj, o, i to wszystko leży sobie na jednej prostej. I teraz tak, musimy się chwilkę nad tym... zastanowić.

I to jest przykład dowodu geometrycznego na maturze. I tego typu dowodów zdarzają się. Bardzo często się dowody zdarzają.

No i albo zauważysz, albo nie zauważysz. Ja to zawsze radzę na maturze zrobić wszystko po prostu, co umiecie, a dowody to sobie zostawić na sam koniec, bo to albo wpadniesz, albo nie wpadniesz. Czasami dowody są śmiesznie proste, że wystarczy jedną linijkę napisać i mamy dowód zrobiony. Z algebra przede wszystkim dowody są całkiem przyjemne. W jednym z następnych filmów sobie spróbujemy porobić parę dowodów z algebry.

Ale tutaj jest akurat dowód geometryczny. I teraz tak, dowody geometryczne najczęściej po prostu polegają na tym, że albo trzeba sobie coś znaleźć, udowodnić, albo to będą trójkąty podobne, gdzieś trzeba będzie znaleźć, albo trzeba będzie jakieś tam własności zauważyć, że kąty są, czy coś z reguły z kątami. I teraz tak, patrzymy sobie tutaj. No i tu musimy zauważyć jedną ciekawą rzecz.

Ten punkt bez... został tutaj podany nie bez przyczyny. I co zauważamy? Że tutaj jest, o, poprowadzimy sobie ten odcinek. I teraz tak, z treści zadania wiemy, że te to, AB i AD to są średnice.

Pamiętamy, nie mylić średnicy z długością okręgu. To są średnice. Czyli skoro, i zauważmy sobie, mamy trójkąt ABP, jest na czym oparty? Jest oparty na średnicy.

No to za... Zapisujemy sobie, że to w takim układzie, skoro on jest oparty na średnicy, to znaczy, że ma kąt jaki? Prosty.

Czyli zapisujemy sobie, że trójkąt ABP, można oczywiście zapisać to sobie skrótem. Czyli tak, trójkąt mamy tutaj, trójkąt ABP jest oparty na średnicy, zatem... Kąt APB równa się 90 stopni.

Teraz z kolei mamy drugi trójkąt i mamy tak samo. Trójkąt APD. Czyli ten trójkąt APD jest również oparty na średnicy, zatem kąt APD równa się 90 stopni.

Czyli zauważamy... że w tym miejscu mamy 90 stopni i w tym miejscu mamy 90 stopni. I następne zadanie, które piszemy, to, że trójkąt A, P, B plus, nie trójkąt, tylko kąt, kąt oczywiście APB plus kąt APD równa się 180 stopni, zatem punkty APDB leżą na jednej prostej. Koniec dowodu. No i to byłoby na tyle, jeżeli chodzi o koła i okręgi.

Mam nadzieję, że przybliżyłem Wam troszeczkę ten temat, że te zadaje maturalne, które rozwiązaliśmy, już będą o wiele prostsze dla Was. Oczywiście standardowo wzracam uwagę na to, żeby nie traktować tego filmu tak, że obejrzycie go i wszystko już umiecie. Trzeba sobie jeszcze na spokojnie zetknąć do podręcznika, do rakuszy, porozwiązywać sobie inne zadaje maturalne podobne. A póki co żegnam się z Wami i do zobaczenia.

Cześć!

Transcript for:Zagadanienia dotyczące koła i okręgu

Transcript for:
Zagadanienia dotyczące koła i okręgu