Introduction à la Logique Mathématique

Définition de la Logique

• La logique est la science du raisonnement, indépendante de sa matière et des processus psychologiques.
• Origines remontant à Aristote, évoluée vers la logique mathématique grâce à Bolzano, Boole, De Morgan et Frege.

Objectif de la Logique

• Étudier les raisonnements à partir d'énoncés initiaux (prémisses/hypothèses) pour en déduire d'autres (conclusions/conséquences).

Raisonnement en Langage Parlé

• Utilisation de connecteurs logiques pour l'argumentation: parce que, puisque, comme, car (cause) ; pour que, de sorte que, donc (conséquence).

Exemple de Raisonnement

• Syllogisme : "Tous les hommes sont mortels, Socrate est un homme, donc Socrate est mortel."

Modélisation du Raisonnement

• Nécessité de modéliser les raisonnements pour vérifier leur validité.
• Transformation du langage naturel en langage formel pour éliminer l'ambiguïté et obtenir un formalisme universel.

Composantes de la Modélisation

• Langage symbolique
• Système formel de déduction
• Sémantique: syntaxe du langage, règles d'inférence, sens ou interprétation des expressions.

Types de Logiques

• Logiques non classiques:
  • Multivaluées, floues, modales, temporelles.
• Logiques classiques:
  • Logique des propositions, logique des prédicats d'ordre 1 avec/sans égalité, logique des prédicats d'ordre 2.

Contenu du Module

Chapitre I : Logique des Propositions

• Symbole du langage
• Raisonnement méthodologique (syntaxique et sémantique)

Chapitre II : Logique des Prédicats d’Ordre 1 avec Égalité

• Symbole du langage
• Raisonnement syntaxique
• Interprétations et modélisation

Applications de la Logique Mathématique

• Programmation logique (ex. Prolog)
• Intelligence artificielle
• Représentation et utilisation des connaissances
• Résolution de problèmes en robotique et jeux vidéo
• Compréhension et traitement des langues naturelles

Bibliographie

1. C. B. Benyelles, Cours de Logique Mathématique
2. S. Mazouz et K. Akli, Cours de Logique Mathématique
3. Maurice Bernadet, Introduction pratique aux logiques classiques, Hermann, 2010
4. Michel Marchant, Outils mathématiques pour l'informaticien, De Boeck, 2005
5. Jacques Vélu, Méthodes mathématiques pour l'informatique, Dunod, 2005
6. Andreas Herzig, Site web IRIT
7. Christine Paulin-Mohring, Site web LRI