Criterio de Cauchy y Otros Criterios de Convergencia
Introducci贸n
El documento presenta varios criterios que permiten determinar si una serie num茅rica converge o diverge. Se explican las condiciones espec铆ficas que se deben cumplir para cada criterio.
Criterio de Cauchy
- Descripci贸n: Se utiliza para series de t茅rminos positivos.
- Condiciones: Si existe un l铆mite ( L ) tal que:
- ( L < 1 ): La serie es convergente.
- ( L > 1 ): La serie es divergente.
- ( L = 1 ): Se requiere probar con otro criterio.
Condici贸n del Resto
- Utilidad: Sirve para determinar divergencia si el l铆mite es distinto de cero.
Criterio de D'Alembert o del Cociente
- Descripci贸n: Aplica a series de t茅rminos positivos.
- Condiciones: Similar al criterio de Cauchy:
- ( L < 1 ): La serie converge.
- ( L > 1 ): La serie diverge.
- ( L = 1 ): Indeterminado, probar otro criterio.
Criterio de Raabe
- Uso: Se aplica cuando otros criterios no resuelven.
- Condiciones:
- ( L > 1 ): La serie converge.
- ( L < 1 ): La serie diverge.
Criterio de la Integral de Cauchy
- Descripci贸n: Para funciones positivas y decrecientes.
- Condici贸n: La serie converge si la integral es finita.
Criterio de Condensaci贸n de Cauchy
- Condiciones: Aplica a series mon贸tonas y decrecientes de n煤meros positivos.
- Resultado: La serie converge si la serie condensada converge.
Criterio de Leibniz
- Descripci贸n: Para series alternadas.
- Condiciones:
- Los t茅rminos deben ser absolutamente decrecientes.
- Si se cumplen, la serie es condicionalmente convergente.
Criterios de Convergencia Comparativos
- Criterio de comparaci贸n directa: Si una serie conocida diverge o converge, se puede comparar con otra serie.
- Pasos al l铆mite del cociente:
- ( L = 0 ) y la serie conocida converge, entonces la serie en cuesti贸n converge.
- Si la serie conocida diverge, entonces la serie en cuesti贸n diverge.
Tipos de Convergencia
- Convergencia absoluta: Una serie alternada converge absolutamente si la serie de los valores absolutos converge.
Estas son las principales herramientas matem谩ticas para analizar la convergencia o divergencia de series num茅ricas en an谩lisis real.