Limiti Notevoli

Introduzione ai Limiti Notevoli

• I limiti notevoli sono forme indeterminate comuni e ricorrenti.
• Conoscere i risultati permette di risolvere molti altri limiti.

Limiti Notevoli Fondamentali

1. Limite di seno:

   • Limite per x tendente a 0 di seno di x / x è 1.
   • Forma indeterminata: 0/0.

2. Limite esponenziale:

   • Limite per x tendente all'infinito di (1 + 1/x) elevato a x è e (numero di Nepero, circa 2.718).
   • Forma indeterminata: 1^infinito.

Limiti Notevoli Derivati

1. Limite della tangente

• Limite di tangente:
  • Limite per x tendente a 0 di tangente di x / x è 1.
  • Si riscrive come seno di x / (coseno di x * x).*

2. Limite di (1 - coseno)

• Limite di (1 - coseno):
  • Limite per x tendente a 0 di (1 - coseno x) / x^2 è 1/2.
  • Si usa la relazione seno^2 + coseno^2 = 1 per riscrivere.

Esempi di Applicazione dei Limiti

Esempio 1: Limite con seno e tangente

• Calcolo del limite per x tendente a 0 di (2 seno x + 4x) / (x coseno x + 2 seno x).
• Risultato finale: 2.

Esempio 2: Limite con radice e coseno

• Calcolo del limite per x tendente a 0 di (radice(coseno x) - coseno^2 x) / (2x^2).
• Risultato finale: 1/2.

Altri Limiti Importanti

1. Limite del logaritmo naturale:

   • Limite per x tendente a 0 di log(1 + x) / x è 1.

2. Limite esponenziale (generalizzato):

   • Limite per x tendente a 0 di (e^x - 1) / x è 1.

Conclusione

• Da questi limiti derivano ulteriori risultati utili:

  • Limite per x tendente a 0 di a^x - 1 / x è ln(a).
  • Limite per x tendente a 0 di log_a(1 + x) / x è 1 / ln(a).

• Prossimo video: esercizi avanzati sui limiti notevoli.