इंटिग्रेशन

इंटिग्रेशन का महत्व

• इंटिग्रेशन डिफरेंशियेशन का विपरीत प्रक्रिया है।
• डिसप्लेसमेंट से वेलोसिटी निकालने के लिए डिफरेंशियेशन का प्रयोग होता है, जबकि वेलोसिटी से डिसप्लेसमेंट निकालने के लिए इंटिग्रेशन का प्रयोग होता है।

ग्राफ और इंटिग्रेशन

• ग्राफ के साथ x-axis के बीच का एरिया निकालने के लिए इंटिग्रेशन का प्रयोग होता है।
• पतली स्ट्रिप्स काटकर उनके एरिया को जोड़कर सम्पूर्ण एरिया निकाला जाता है।

इंटिग्रेशन का बेसिक फॉर्मूला

• इंटिग्रेशन फॉर्मूला:
  • ( \int x^n , dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C ) (जहां (n \neq -1))
  • ( \int \frac{1}{x} , dx = \ln|x| + C )

इंटिग्रेशन और लिमिट्स

• जब लिमिट्स दी हों तो definite integration करते हैं, जिसमें constant नहीं जुड़ता।

बेसिक फ़ॉर्मुलाज़

• ( \int e^x , dx = e^x + C )
• ( \int \sin x , dx = -\cos x + C )
• ( \int \cos x , dx = \sin x + C )

लॉग और इंटिग्रेशन

• ( \int \ln x , dx = x \ln x - x + C )

इंटिग्रेशन बाय पार्ट्स

• फॉर्मूला: ( \int u , v , dx = u \int v , dx - \int \left( \frac{du}{dx} \int v , dx \right) dx )
• I-LATE rule का प्रयोग: Inverse, Logarithmic, Algebraic, Trigonometric, Exponential के लिए प्राथमिकता।

प्रैक्टिकल इंटिग्रेशन

• जब किसी विशेष प्रकार की x के लिए differentiation से divide किया जाता है।

सब्स्टिट्यूशन मेथड

• किसी जटिल फंक्शन को सरल बनाने के लिए सब्स्टिट्यूशन का प्रयोग।

ध्यान देने योग्य बातें

• इंटिग्रेशन एक विस्तृत क्षेत्र है।
• धीरे-धीरे अधिक फॉर्मुलाज़ और ट्रिक्स सीखने की आवश्यकता होती है।