Geometrická posloupnost

Úvod

• Dnešní téma: geometrická posloupnost
• Rozdíl od aritmetické posloupnosti
  • Aritmetická: následující člen = předchozí člen + diference
  • Geometrická: následující člen = předchozí člen * kvocient (Q)*

Vzorec pro geometrickou posloupnost

• Obecný vzorec:
  • a_n+1 = a_n * Q
• Příklad:
  • a_1 = 1, Q = 2
  • a_2 = a_1 * Q = 2, a_3 = a_2 * Q = 4, a_4 = 8, a_5 = 16, ...*

Vypočítání členů

• Další člen (např. a_3) lze získat jako:
  • a_3 = a_2 * Q = (a_1 * Q) * Q = a_1 * Q^2
  • Obecně platí: a_r = a_s * Q^(r-s)
• Například:
  • a_10 = a_3 * Q^(10-3)

Jak poznat geometrickou posloupnost

• Následující člen musí být vždy vynásoben stejným kvocientem (Q)
• Kontrola:
  • Pokud a_n+1 / a_n = Q, pak posloupnost je geometrická

Součet členů geometrické posloupnosti

Součet prvních n členů

• Vzorec:
  • S_n = a_1 * (1 - Q^n) / (1 - Q)
• Příklad:
  • a_1 = 2, Q = 3, S_5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)
  • S_5 = 2 * (1 - 243) / -2 = 242*

Nekonečný součet

• Možnost vypočítat nekonečný součet:
  • Existuje pouze pokud |Q| < 1
• Vzorec:
  • S = a_1 / (1 - Q)
• Příklad:
  • Q = 1/2, S = 1/2 / (1 - 1/2) = 1

Vysvětlení nekonečného součtu

• Proč může být nekonečný součet konečný?
  • Příklad s čtvercem a rozdělením na menší oblasti
  • Obsah čtverce = 1, ale součet členů se blíží k tomu obsahu

Situace, kdy součet neexistuje

• Pokud |Q| >= 1, nekonečný součet neexistuje
  • Příklad:
  • Q = 2: 2, 4, 8, ... -> součet roste k nekonečnu
  • Q = -2: -1, 2, -4, 8, ... -> oscilující součet, neexistuje

Závěr

• Základní vlastnosti geometrické posloupnosti:
  • Rozdílné od aritmetických, závisejí na kvocientu Q
  • Vzorce pro součet konečných a nekonečných členů
  • Příští lekce: řešení příkladů geometrických posloupností.