हेलो बच्चों उम्मीद है आप फिट फैट होंगे और अपने एग्जामिनेशन की जबरदस्त तैयारी कर रहे होंगे आपको हेल्प करने की सीरीज में मैथमेटिक्स में हम लोग पहुंच गए चैप्टर नंबर फाइव पर जो की वनशॉट वीडियो में लेके ए रहा हूं यह वैन शॉट वीडियो और इस से बिल्कुल डिफरेंट है कैसे डिफरेंट है शुरू में बताता हूं आपको उससे पहले मैं कहूंगा की अगर ये वीडियो आपके लिए हेल्पफुल लगे तो आप इसको लाइक करने में कुछ नहीं जाता अरविंद सर को मोटिवेशन आता जी हान और एक आपसे अपील रहेगी की अगर वीडियो वाकई हेल्पफुल हो आपका इससे मदद हुआ हो तो अपने किसी एक दोस्त को कम से कम एक दोस्त को ये वीडियो शेयर कीजिएगा जिससे उसको एक अच्छा कंटेंट मिलेगा पढ़ने के लिए और मुझे मिलेगा पॉजिटिव मोटिवेशन की मुझे और अच्छा सपोर्ट आपको करना है और अच्छी वीडियो लेकर आने हैं ये आपकी तरफ से अरविंद सर को होगी गुरु दक्षिण जिसमें कोई भी खर्चा आपका नहीं लग रहा होगा चलिए बात को स्टार्ट करते हैं और आज का टॉपिक है चैप्टर नंबर फाइव कंटिन्यूटी एंड डिफर एबिलिटी और वीडियो और उसे अलग अरविंद शर्मा टी वैन शॉट वीडियो और ये औरों से अलग कैसे हैं ये हम लोग बेटा देख लेते हैं अरविंद सर के वनशॉट औरों से अलग हैं क्योंकि सभी टॉपिक इसमें कवर मिलेंगे अकॉर्डिंग तू योर लेटेस्ट सिलेबस साथ में जीरो तू जीरो सीरीज है अगर किसी बच्चे ने कुछ नहीं पढ़ा है शुरू से वीडियो देखें अंत तक नोट्स बनाए तो उसका कॉन्फिडेंस यहां से यहां पहुंच जाएगा डेट इस फॉर सर बहुत कुछ उसको ए जाएगा साथ में पढ़ते वक्त आपको पूरे टीचिंग मिलेगी कोई फालतू टॉक्स नहीं मिलेगी अभी जब पढ़ स्टार्ट होगी तो आप देखेंगे पूरेस्ट फॉर्म ऑफ टीचिंग होगी केवल पढ़ इसके अलावा कुछ नहीं कुछ बच्चे ऐसा बोलते हैं की मुझे ये प्रेजेंटेशन मिल जाए जो आप पढ़ते हैं तो मुझे काफी इससे हेल्प मिल जाएगी तो उसका भी बंदोबस्त कर दिया है अगर किसी बच्ची को उसका प्रेजेंटेशन चाहिए तो अरविंद अकादमी का टेलीग्राम चैनल है उसका लिंग में डिस्क्रिप्शन में लगा दूंगा क्लिक करके ज्वाइन कर सकते हैं वहां मैं पीडीएफ इसके अपलोड कर देता हूं कर लूंगा जिससे की आपको कहीं भगाना या दौड़ना ना पड़े साथ में कुछ बच्चे मुझसे पढ़ना चाहते हैं तो अरविंद अकादमी का ऐप भी आता है इसका लिंक भी डिस्क्रिप्शन में आपको मिलेगा क्लिक करके डाउनलोड कर लीजिए स्टोर सेक्शन में इसके काफी अच्छे कोर्सेज हैं जो आपको बहुत अच्छे मार्क्स दिलाने की संभावना रखते हैं आप लेके सूटेबल कोर्स देखिए लेकर अपनी पढ़ को आगे बढ़ा सकते हैं अरविंद अकादमी ऐप से चलिए बात को आगे लेके चलेंगे और पढ़ शुरू करते हैं तो हो जाती है पढ़ शुरू यानी पहली बात कंटिन्यूटी फिर आगे चलेंगे डिफरेंशियल की तरफ तो कंटिन्यूटी क्या है जैसे ये लिखा हुआ है सिंपल सी बात सरल भाषा में अगर समझे की आप किसी भी ग्राफ को अगर प्लॉट कर रहे हैं किसी कागज पर तो प्लॉट करते वक्त अगर आप पूरा प्लाटिंग कर दें मैन लीजिए इस पोजीशन से इस पोजीशन तक तो यह इन दोनों के बीच में कंटीन्यूअस है और अगर प्लाटिंग करते वक्त कहीं आपको पेंसिल उठानी पद जाए तो आप देख रहे हैं की यहां पर यह पॉइंट ऑफ डिस्कंटीन्यूटी है यह क्या है डिश कंटिन्यूटी यह कंटीन्यूअस हो गया अब ये बात ग्राफिकल या picturally या ज्योमैट्रिकली तो समझ में आती है लेकिन मैथमेटिक्स में कैसे हम इसको रिप्रेजेंट करें तो उसको कहने की जो भाषा है जो डेफिनेशन है जो फॉर्मूला है वो क्या है की लेफ्ट हैंड लिमिट हमारी राइट हैंड लिमिट के बराबर होनी चाहिए और उसे पॉइंट पर जिस पर हम चेक कर रहे हैं कंटिन्यूटी वहां पर फंक्शन की वैल्यू भी इसके बराबर आणि चाहिए अब लेफ्ट हैंड लिमिट को नॉर्मली जैसा लिखा हुआ है हम लिखते हैं लिमिट एक्स टेंड्स ए - ए - का मतलब क्या है ए से बस जरा सा छोटा है कितना जरा इतना जरा की आप उसे बस सोच सकते हैं जस्ट बगल वाला कुछ और नहीं कर सकते उसका इसी तरह राइट हैंड लिमिट तो उसमें लिख देंगे लिमिट एक्स टेंडिंग तू ए प्लस फॉर्मूला हो गया अगर ये कंडीशन आपकी मीत आउट हो जाए तो हम बोलेंगे क्या की फंक्शन इस इफेक्ट्स इसे कंटीन्यूअस इक्वल तू ए तो यह फॉर्मूला का लीजिए एक्सप्रेशन का लीजिए इक्वेशन का लीजिए जो भी भाषा आप उसे करें ये सेटिस्फाई होनी चाहिए अगर आप कंटिन्यूटी चेक कर रहे हैं तो मैं है भी जाता हूं वैसे तो आपको पता भी होगा फिर हम इसके आगे चलते हैं और देखते हैं क्या-क्या जानकारियां हमें लेनी चाहिए अब देखिए यहां पर प्रॉपर्टीज ऑफ कंटीन्यूअस फंक्शन लिखा है अगर दो फंक्शंस हमारे पास हैं फंग और वो किसी पॉइंट ए पर कंटीन्यूअस है [संगीत] दो फंक्शन से तू फंक्शंस कंटीन्यूअस एक्स = ए तब यह एफ-जी ये भी कंटीन्यूअस होता है ए पर एफ-जीबी कंटीन्यूअस होगा ए पर्फ * जी इस अलसो कंटीन्यूअस एट एक्स इस इक्वल तू ए एफ / जी इस कंटीन्यूअस एट ए प्रोवाइडेड जी इस नॉट इक्वल तू जीरो तो ये एफ / जी अलसो कंटीन्यूअस एट ए यानी इनका जोड़ इनका घटना है इनका घोड़ा इनका भाग अगर डिफाइंड है तो ये सब के सब क्या हो जाएंगे कंटीन्यूअस हो जाएंगे कहां एक्स = ए पर लेकिन ये फंक्शन होने चाहिए कंटीन्यूअस एक्सपर्ट तू पेपर ये प्रॉपर्टी बड़े कम की है और ध्यान रखिएगा कई जगह सवालों में बड़ी हेल्प कर देती है अपनी अगली बात मैं दिखाता हूं आपको ये कुछ मैंने यहां पर आपके लिए लेकर आया हूं कुछ फ्री डिफाइन रिजल्ट्स लिमिट के सेंस में ये आप याद कर लीजिएगा आपके सवालों में सीधे फॉर्मूले के तौर पर यह लग जाते हैं सैम स्टैंडर्ड रिजल्ट बेस्ड ऑन लिमिट में कुछ एक-दो पढ़ के आपको दिखा देता हूं बाकी रीड आउट करने से कोई लाभ नहीं है जैसे लिमिट एक्सटेंडिंग तू ए एक्स की पावर एन - ए की पावर एन / एक्स - ए ना - 1 सिन एक्स / एक्स लिमिट एक्स टेंडिंग तू जीरो इसकी वैल्यू आती है वैन इसी तरीके से बाकी जो लिखा हुआ है आपके सामने ध्यानपूर्वक देख ले अपनी कॉपी में नोट कर ले बेटा और उसके बाद इसको मतलब याद होना चाहिए फॉर्मूले की तरह इस्तेमाल हो जाएंगे सवालों के अंदर ठीक है मेरे ख्याल से आप अंदाजा लगा लिए होंगे इसका अब एक कदम और आगे चलते हैं बेटा ये कुछ सीरीज है यह भी बड़ी इंपॉर्टेंट रहती है अगर आपको यह सीरीज आती है तो जब भी आप लिमिट के सवाल कर रहे होंगे अच्छे-अच्छे सवाल आसानी से हो जाएंगे तो मैं है जाता हूं आप इसका स्क्रीनशॉट भी ले सकते हैं या पॉज करके नोट डाउन कर सकते हैं यह देखिए वनप्लस की पावर एन की सीरीज है ए की पावर एक्स जो आप जानते हैं उसकी सीरीज है ए ^ -एक्स की है ए की पावर एक्स की है लॉक की है और इसी तरह बाकी सीरीज है जो आपको दिखाई पद रही है अब कुछ कंट्रोवर्सी फंक्शन की और प्रॉपर्टीज का ज़िक्र कर लेते हैं तो वो प्रॉपर्टीज देखिए क्या है प्रॉपर्टीज ऑफ कंटीन्यूअस फंक्शन तो सैम फंक्शंस विच आर ऑलवेज कंटीन्यूअस इन देयर रिस्पेक्टिव डोमेन इस वर्ल्ड का ध्यान रखिएगा अपने डोमेन में ये कुछ फंक्शंस हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं अपने डोमेन में है ना जैसे सी एक कांस्टेंट है सी * एफ = 2 3 4 5 किसी से मल्टीप्लाई भी कर देंगे एफ अगर कंटीन्यूअस है तो 2 एफबी कंटीन्यूअस होगा कुछ भी कांस्टेंट मल्टीप्लायड करेंगे तो वो भी कंटीन्यूअस फंक्शन मिलेगा आपको एवरी कांस्टेंट फंक्शन इस कंटीन्यूअस फंक्शन जो कांस्टेंट फंक्शन होता है जिसे आप ए = एफसी = मैन लीजिए तू लिख दीजिए ये कांस्टेंट फंक्शन है तो ये हर जगह कंटीन्यूअस होता है इन बातों का ख्याल रखेंगे तो सवाल आसानी से निकलेंगे फिर रेशनल फंक्शन हर जगह कंटीन्यूअस होते हैं एफसी / जीएक्स के फॉर्म में जो लिखे गए हैं तो ये एफसी यह राशन फंक्शन भी हर जगह कंटीन्यूअस होंगे एवरी polynomeal फंक्शन इस कंटीन्यूअस फंक्शन अब इसका बहुत उसे होता है आपके सवालों में पॉलिनॉमियल किसे कहते हैं आपको पता है नाइंथ क्लास से आप सिख रहे हैं की एक्स की जो पावर होती है वो नॉन नेगेटिव इंतजार होनी चाहिए ठीक तो हम बोलते हैं पॉलिनॉमियल फंक्शन है तो पॉलिनॉमियल फंक्शन हर जगह कंटीन्यूअस पाए जाते हैं जैसे मैं एग्जांपल के तौर पर लिख डन 2x² + 5x + 6 तो ये पॉलिनॉमियल फंक्शन है और ये हर जगह आपको कंटीन्यूअस मिलेगा तो इस बात को भी ध्यान रखिए identifunction इस अलसो कंटीन्यूअस फंक्शन जो आइडेंटिटी फंक्शन है ए = एक्स वो भी आपका कंट्रोवर्सी फंक्शन होता है माड्यूल्स फंक्शन एफसी = एफ इस कंट्रोवर्सी फंक्शन आते एक्स = ए किसी भी पॉइंट पर अगर निकलेंगे तो यह आपको कंटीन्यूअस फंक्शन मिलेगा फंक्शन एंड एक्सप्लेनेशन फंक्शन इस कंटीन्यूअस फंक्शन यह लोग वाला और जो एक्स्पोनेंशियल फंक्शन है ये हर जगह कंट्रोवर्सी है ध्यान रखिएगा रिस्पेक्टिव डोमेन की बात कर रहे हैं जहां पर ये डिफाइंड है तो वहां पर भी एक कंटीन्यूअस आपको मिलेगा ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शंस आर अलसो कंटीन्यूअस फंक्शन इन देयर रिस्पेक्टिव डोमैंस है ना वर्ण आप कहीं 10x का ग्राफ दिखने लगेंगे तो आप कहेंगे सर ऐसे ही होता है वो तो पूरा कंटीन्यूअस नहीं है लेकिन उसकी डोमेन के अंदर की बात कर रहे हैं उतने डोमन में वो कंटीन्यूअस है समझ में ए रही है बात ना वर्ण 10x वाला ग्राफ निकलेंगे तो कहेंगे सर इसका तो ग्राफ सर इस तरह बनाता हूं इधर तो कंटीन्यूअस नहीं है इधर तो फिर ब्रेक हो जाता आगे चलके ऐसे ऐसे जिराफ़ आता है तो ये अपने डोमेन में continuvas है यह बात मैं बोल रहा हूं तो ये सारे फंक्शंस ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शंस भी इन देयर रिस्पेक्टेड डोमेन वो सारे कंटीन्यूअस होते हैं अगली चर्चा करते हैं आप एक सवाल ए गया जैसे की ऐसे सवाल भी आपके ए सकते हैं की डिस्कस डी कंटिन्यूटी ऑफ साइन फंक्शन कोई पॉइंट नहीं बोला है की इस पार्टिकुलर पॉइंट पर आप इसकी कंटिन्यूटी चेक करो इन जनरल की आप यह दिखाओ या प्रूफ करो यह बताओ की सिन एक्स कंट्रीब्यूट्स फंक्शन है की नहीं तो इन सवालों को देखिए कैसे करेंगे पहले आप मैं इसको चालू करता हूं लेट कर लीजिए लेट एफसी = सिक्स एंड लेट ए बी ए बी एन आर्बिट्रेरी टेरी रियल नंबर अब उसके बाद आप क्या कर सकते हैं इस ऐप और कंटिन्यूटी हम चेक करेंगे ये कौन सा नंबर है कोई भी नंबर आर्बिट्रेरी मतलब अपने मैन माफी कोई नंबर ले लिया रियल नंबर है क्वांटिटी चेक करें और कंटीन्यूअस प्रूफ कर दें तो सिन एक्स हर जगह कंटीन्यूअस हो जाएगा तो शुरुआत करते हैं पहली चर्चा हम लोग करते हैं राइट हैंड लिमिट के ले लो तो मैं यहां लिख देता हूं रहल राइट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट क्या हो जाएगा लिमिट एक्सटेंडिंग तू ए प्लस स्टैंडिंग तू एक्स की जगह ह पे ए जाओ ह टेंडिंग तू जीरो एफ ए + ह अब ध्यान रखिएगा बेटा यह जो सब्सीट्यूशन किया जाता है यह सब्सीट्यूशन का मुद्दा क्या होता है जब कोई भी एक्सटेंडिंग तू ए प्लस हो फॉर राइट हैंड लिमिट तो एक्स को लिख सकते हो ए प्लस की वैल्यू ए होगा दें हमारा ह टेंडिंग तू जीरो होगा यही बात यह पकड़ लेते हैं हम लोग यहां से ध्यान रखिएगा जो स्मॉल ह क्वांटिटी है वो पॉजिटिव क्वांटिटी है और बहुत करीब है जीरो के या लगभग जीरो के एकदम जस्ट बगल वाली है इस तरह से सब्सीट्यूशन किया जाता है तो ये मैं इसलिए बता रहा हूं की कई बच्चे इसको शायद तब्दील करने में अच्छा नहीं फुल करते होंगे तो मैंने कहा आपको बता डन थोड़ा अंदाजा आपको लग जाएगा या आता है तो रिवीजन हो जाएगा तो यहां पर देखिए यहां पर स्टैंडिंग तू जीरो क्यों लिख पाए क्योंकि एक्सटेंडिंग तू ए प्लस था और एक्स की जगह हम लोग ए + ह लिख पाएगा और अगर ये लेफ्ट हैंड लिमिट हो यहीं पर कलर बदलने की इच्छा है तो अगर यहां पर इतनी मजा आएगा क्या लेफ्ट हैंड लिमिट है जहां पर एक्सटेंडिंग तू ए माइंस लिखते हैं तो एक्स की वैल्यू तो बना रहेगा ये लेफ्ट हैंड लिमिट है और ये हमारी राइट हैंड लिमिट है उम्मीद है इस बात को किस तरह इसको चेंज करने पर क्या होता है हमारा कम बहुत आसान हो जाता है पकड़ पाए आप अब इसको एक आगे की चर्चा करते हैं यहां इसके आगे लिमिट लिख लेते हैं स्टैंडिंग तू जीरो और एफ ए + ह का मतलब है एफसी का साइन एक्स की जगह ए + ह है तो यहां एक ये एक्स की जगह ए + ह लिख दो सिन ए + ह कोई इसमें तकलीफ नहीं ठीक अब यहां सिन ए + बी का हम फॉर्मूला लगाने वाले हैं तो यहीं पर मैं यहां लिखता हूं शायद ए ना पाए इतने में तो मैं लिखता हूं लिमिट स्टैंडिंग तू जीरो साइन ए प्लस बी * बी यानी कोस h+ कोसेक * सिन बी यह फॉर्मूला लगा दिया साइन ए प्लस बी का बेटा अब ह टेंडिंग तू जीरो यहां पुट कर देते हैं तो यहां पर जब पुट करोगे तो पहले मैं ए जाएगा सिन ए लिमिट एक्स एक्स की जगह ह है स्टैंडिंग तू जीरो कोस ह प्लस ह आप देख पाए अब यहां पर मैं इसको इधर करने की कोशिश करता हूं नेसेसरी नीचे नहीं जाना चाहूंगा तो यहां पर ए जाता हूं अब इसके बाद देखिए क्या है की ह की वैल्यू यहां जीरो पुट कर दीजिए आप वैल्यू क्या हो जाएगी सिन ए और कोस जीरो प्लस कोस ए * सिन 0 आप जानते हैं कोस 0 की वैल्यू होती है वैन तो ये बचा सिन ए और यहां कोस सिन 0 होता 0 तो ये खत्म हो जाएगा डेट इस जीरो तो ये वैल्यू ए गई सिन ए ठीक तो यह जो राइट हैंड लिमिट निकल वह निकल साइन ए के बराबर और आप ये जान भी रहे हैं इसी तरीके से सिमिलरली आप लेफ्ट हैंड लिमिट निकलेंगे तो उसकी भी वैल्यू ए जाएगी लिमिट एक्स टेंडिंग तू ए माइंस एफसी इसकी वैल्यू ए जाएगी सिन ए जो आप निकल सकते हैं जिस तरह से मैंने राइट हैंड लिमिट निकली उसी तरह से लेफ्ट हैंड लिमिट निकल लीजिए और एफसी फ = सिन ए भी ए जाएगा अगर फ निकलूं तो इसकी वैल्यू सिन ए के बराबर ए जाएगी इसका मतलब क्या है की लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट और एफ ए हमारा बराबर है सिन एक्स इस कंटीन्यूअस इसका मतलब क्या है की सिन एक्स इस कंटीन्यूअस एवरीव्हेयर इसको मैं थोड़ा सा नीचे करता हूं एंड हर ए सैम आर्मी ट्राली रियल नंबर सो सिन एक्स इस कंटीन्यूअस एवरीव्हेयर इस तरह कर दिया भी मैं दिखाऊंगा इसको आप स्क्रीनशॉट निकल आया और करने का तरीका आप देख जरूर ले बेटा क्योंकि करने का तरीका मालूम रहेगा तो आप जहां पर पॉइंट नहीं भी दिया गया है उसको ऐसे डील करते हैं तो मैं इसको दिखा देता हूं आप इसको नोट कर सकते हो या स्क्रीनशॉट ले सकते हो जो भी तरीका आपको ठीक लगता है तो मेरे ख्याल से हो जाएगा स्क्रीनशॉट ले लीजिए अभी थोड़ा ऊपर कर दूंगा तो और चीज पुरी दिख जाएंगी आपको तो नोट कर लिया होगा आपने इसको मैं थोड़ा सा ऊपर कर देता हूं यह पुरी बात ए गई और अगले सवाल की तरफ चलते हैं आप इस बात को अच्छे से समझ पाए होंगे तो मैं कलर तो अगला क्वेश्चन देखते हैं 2022 में आया हुआ क्वेश्चन है इफ डी फंक्शन एफसी = दिस वैन इस कंटीन्यूअस दें डी वैल्यू ऑफ के तो ये बहुत सरल सवाल है क्योंकि फंक्शन अगर कंटीन्यूअस है तो वैल्यू ऑफ के बताओ तो हम ये जानते हैं की ये एक्स < 5 के लिए ये एक पॉलिनॉमियल फंक्शन है तो ये तो रिवर्स एवरीव्हेयर होता है बस एक्स = 5 पे बदल रहा है तो पंच पे चेक कर लेंगे तो कंटिन्यू एवरी बेयर हो जाएगा इसी तरह एक्स इस ग्रेटर दें फाइव के लिए 2K कांस्टेंट वैल्यू है जो एवरीव्हेयर कंटीन्यूअस रहती है यानी ये जो कहानी इफेक्ट्स की है ये कहां पर डिस्को सकती है केवल एक्स बराबर पंच पर जहां पर फंक्शन ने बदला है क्योंकि एक्स पंच से जब छोटा था तब ये पॉलिनॉमियल फंक्शन था पॉलिनॉमियल फंक्शन की हमने प्रॉपर्टी पड़ी है कंटिन्यू एवरीव्हेयर उसके आगे ये कांस्टेंट फंक्शन है वो भी कंटिन्यू एवरी वेयर है तो जिस पॉइंट पर ये बदल रहा है उसी पे चेक करने की बात खड़ी हो जाएगी तो अब हम चेक कर अगर फंक्शन कंटीन्यूअस है तो एफसी इस कंटीन्यूअस इक्वल तू फाइव यहां पर कंटीन्यूअस है तो लेफ्ट हैंड लिमिट आप समझ रहे हैं लेफ्ट हैंड लिमिट एक्स टेंड्स तू 5 - राइट और इसी पॉइंट पर इसकी वैल्यू यानी f5 यह अगर हम बराबर शो कर दें तो फंक्शनल से इसी से हमारा कम बन जाएगा इसको थोड़ा एफ माइंस ठीक ये लेफ्ट हैंड लिमिट है इसलिए की आप दिमाग में रख सकें राइट हैंड लिमिट और फंक्शन की उसे पॉइंट पर वैल्यू [संगीत] उम्मीद है ये बात अब पकड़ पाए होंगे लेफ्ट हैंड लिमिट ले लेते हैं यहां पर तो लिमिट एक्स टेंडिंग तू फाइव माइंस और उसे 5 से छोटा है फंक्शन तो पंच छोटा फंक्शन इस वाले स्टॉल में आएगा 3X - 8 तो यहां पर मैं लिख देता हूं 3X - 8 कैसे चीज किया ये आप देख पाए होंगे अब यहां पर पंच की वैल्यू रख दो तो 3 * 5 - 8 तो ये तो ए गई 0 आ 15 है भाई तो 15 - 8 = 7 और कंटीन्यूअस होने की वजह से अगर मैं बात करूं एफ बराबर [संगीत] होनी चाहिए अब ये 2K के बराबर होनी चाहिए फॉर continunity हमारा लेफ्ट हैंड लिमिट तो हमारा f5 के बराबर होना चाहिए तो f5 तो निकलोगे तो साथी ए जाएगा और साथ में ही जब राइट हैंड लिमिट लोग [संगीत] जो की 2K है कांस्टेंट फंक्शन तो ये वैल्यू 7 हमारी 2K के बराबर होनी चाहिए यानी के की वैल्यू 2 / 7 तो 2/7 इसे दी आंसर और इसके हिसाब से ऑप्शन है [संगीत] 2/7 उल्टा लिख गया क्या 7 / 2 सॉरी तो यह वैल्यू हो जाएगी 7 / 2 और ये ऑप्शन ए जाएगा यहां पर बेटा बी का तो इस तरीके से सवाल करेंगे बहुत ही प्यार से हो जाएगा नोट कर लीजिए अगला करते हैं तो मुझे लगता है ये आपने नोट कर लिया होगा आगे चलते हैं अब कुछ सवालों में तो ना आपको लिमिट निकलने की आवश्यकता भी नहीं होती है जैसे ये सवाल आपके सामने है देखिए लिखा है फंक्शन एफसी = ग्रेटेस्ट इंतजार फंक्शन एक्स है डेट इस लेस दें और इक्वल तू एक्स इस कंटीन्यूअस ऐड अब आप यह जानते हैं जो ग्रेटेस्ट इंतजार फंक्शंस होते हैं वो इंटीग्रल स्टेयरकेस क्या बोलते हैं ग्राफ इसका मिलता है तो जो ग्रेटेस्ट इंतजार फंक्शन है ग्रेटेस्ट इंतजार फंक्शंस जो की यह फैक्ट बराबर यह फंक्शन इस कंटीन्यूअस आते ऑल पॉइंट्स एक्सेप्ट ए इंटिगर्स एक्सेप्ट पर यह कंटीन्यूअस नहीं होंगे बाकी जगह कंटीन्यूअस होते हैं कंटीन्यूअस नहीं है दो पे कंटीन्यूअस नहीं है तीन पर नहीं है यूरोप पे नहीं है माइंस वैन पर नहीं है -2 पे नहीं है यहां पर ये कंटीन्यूअस नहीं है बाकी उसके बीच में ये कंट्रोवर्सी रहते हैं तो इसमें लिखा है कंटीन्यूअस तो कंटीन्यूअस कहां-कहां आपको मिलेगा की कंटीन्यूअस हैं तो यह इंटीग्रल वैल्यू पे कंटीन्यूअस नहीं है 1.5 पर कंटीन्यूअस है तो इसका आंसर हो जाएगा सी 1.5 तो यह आप पता करके रखेंगे या तो मालूम ही होगा तो झट से कर देंगे वर्ण क्या करना पड़ेगा आपको यहां पूरा प्रक्रिया एमसीक्यू है तो प्रक्रिया करने की आवश्यकता नहीं है आप अपनी नॉलेज का इस्तेमाल कर सकते हैं की जो इंटीग्रल वैल्यूज होती हैं वहां पर हमारा ग्रेटेस्ट इंतजार फंक्शन दिस कंटीन्यूअस होता है क्योंकि जैसे ये वैल्यू ए गई यहां मैन लीजिए एक तो जैसे ही एक तो यहां से शुरू हो जाओगे तो यहां पहुंच जाते हो एक से दो तो एक से दो के बीच में एक पर ब्रेक है क्योंकि एक से अगर लेफ्ट लोग तो इधर ए जाओगे राइट लोग उसपे चले जाओगे वैल्यू बदल रही है खैर यह आप जानते होंगे ज्यादा इसमें मैं विश्लेषण नहीं कर रहा हूं और एमसीक्यू आएं तो अपनी नॉलेज को उसे करके आप इसको कर सकते हैं ठीक है तो मेरे ख्याल से ये समझ गए होंगे कहानी क्या है चलते हैं एकदम और आगे और अगली बात को देखते हैं [संगीत] अगला क्वेश्चन आपके सामने है बेटा [संगीत] डिटरमिन वैल्यू ऑफ दी कांस्टेंट के सो था द फंक्शन की एक्स अपॉन माड्यूल्स ऑफ एक्स इफ एक्स < 0 एंड 3 आईएफ एक्स > एक्स = 0 एक्स बराबर पर जीरो है तो अगर हमें एफसी कंटीन्यूअस में शॉर्ट में लिख रहा हूं आते एक्स = 0 तो क्या मतलब है राइट हैंड लिमिट इसकी लेफ्ट हैंड लिमिट और इसकी इस पॉइंट पर वैल्यू यह आपकी बराबर होनी चाहिए है ना क्योंकि यह फंक्शन हमारा कंटीन्यूअस है ये बात हमारी पकड़ में ए गई तो शुरू करते हैं इसकी लेफ्ट हैंड लिमिट निकल लेते हैं यो हो गई हमारी क्या लेफ्ट हैंड लिमिट ठीक अब यहां पर फिर ह में हम चेंज कर देते हैं सिख चुके ना एक्स बराबर लेफ्ट हैंड लिमिट में क्या होता है जो आपको सिखाया था अभी की एक्स की वैल्यू अगर एक्सटेंडिंग तू ए माइंस है ए - की जगह तो यहां जीरो ही है तो जीरो माइंस लिख देते हैं तो यह जीरो माइंस ह के बराबर हो जाएगी तो एक्स टेंडिंग तू जीरो दें एस स्टैंडिंग तू अगेन जीरो तो यहां पर जीरो जो माइंस ए रहा है इसकी वैल्यू आगे बढ़ाएंगे तो लिखेंगे लिमिट ह टेंडिंग तू जीरो और ये एक्स की वैल्यू जीरो से थोड़ी सी छोटी है ये वाला फॉर्मेट यानी ख / माड्यूल्स ऑफ एक्स इसमें वैल्यू पुट करने वाले हैं हम लोग एक्स = 0 - ह तो यहां जगह शायद नहीं बन रही तो मैं यहां करता हूं लिमिट एस स्टैंडिंग तू जीरो के की जगह हो गया जीरो के तो कांस्टेंट है तो एक्स की जगह ए गया जीरो माइंस ह और यहां मॉडल इसमें जीरो माइंस ह तो यह देखिए वैल्यू कितनी हो जाएगी अब यहां पर जो वैल्यू निकलेगी वह निकलेगी लिमिट स्टैंडिंग तू जीरो ऊपर ए जाएगा -ख और नीचे क्योंकि मॉडल्स साइन है तो माइंस ह का प्लस ह निकलेगा डेट इसे प्लस ह तो ये वैल्यू कितनी होगी ह कट गया माइंस के ये लेफ्ट हैंड लिमिट ए गई अब क्योंकि कॉटन निवास है तो एफ बराबर 0 पर क्या होगा तो मैं यहां निकल देता हूं एफ जीरो पर एफ जीरो का मतलब है एक्स = 0 पर ये वैल्यू तीन देता है तो ये पुरी वैल्यू आपस में लेफ्ट हैंड लिमिट और फंक्शन की वैल्यू बराबर होनी चाहिए तो फंक्शन इस कंटीन्यूअस सो लेफ्ट हैंड लिमिट मतलब तो यह कहानी ऐसी लगनी चाहिए तो उसे समय माइंस के की वैल्यू तीन के बराबर होगी तो के की वैल्यू कितनी ए जाएगी माइंस तीन और ये आपका आंसर हो जाएगा आप पूरा प्रक्रिया समझ का रहे होंगे इसमें राइट हैंड लिमिट निकलने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि केक की वैल्यू पूछी है ना तो जब केक की वैल्यू लेफ्ट हैंड लिमिट से ही निकल ए रही है तो खाना खा क्यों आप इतनी एनर्जी वेस्ट करेंगे राइट हैंड लिमिट के लिए ठीक अगर बोले सवाल में करने के लिए तो कर दीजिएगा आदर वाइस अननेसेसरी कोई मतलब नहीं है तो इसे आप नोट स्क्रीनशॉट ले सकते हैं या नो डोंट कर सकते हैं अगले सवाल को मैं आपके सामने लेकर आता हूं चलिए तो नेक्स्ट क्वेश्चन देखते हैं अब यहां पर भी देखिए लिखा है इफ डी फंक्शन ऑफ डिफाइन sfx² - 9 / एक्स - 3 ओके जब ये नॉटिकल तू जीरो है जब ये बराबर रहती है इनके इस कंट्रोवर्सी आते एक्स = 3 फाइंड डी वैल्यू ऑफ के से वही चीज तब मैं पुरी कहानी लिख नहीं रहा हूं इतना आप समझ चुके हैं अब मैं यहां पे सीधे लेफ्ट हैंड लिमिट को फंक्शन की वैल्यू के बराबर कर दूंगा तो मैं निकलता हूं लेफ्ट हैंड लिमिट मतलब लिमिट तीन पर है तो एक्सटेंडिंग तू 3 माइंस एफसी तो इसको चेंज कर दो ह पर तो ह टेंडिंग तू जीरो और यह तीन ह ए जाएगा तो यहां पर देखिए वैल्यू काट सकते हैं आप मैं यहां पहले लिखी डन इसी फॉर्मेट में लिमिट एक्स टेंडिंग तू तीन माइंस और ये हो गया एक्स ² - 9 / एक्स - 3 यानी की वैल्यू कितनी है लिमिट रह गई और ये एक्स + 3 और एक्स - 3 / एक्स - 3 तो यहां पर लिमिट एक्स प्लस 3 रह गया केवल और यहां वैल्यू थी एक्स टेंडिंग तू थ्री माइंस ह की जरूरत नहीं सीधे तीन पुट कर दो तो 3 + 3 अब इस फंक्शन की जो वैल्यू है 3 पर वो कितनी है तो 3 पर वैल्यू के है यानी ये दोनों बराबर होने चाहिए तो केवल अवर छह और डेट इसे योर आंसर क्योंकि इस बारे में पीछे बता चुके हैं की जो फंक्शंस होगा तो लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट फंक्शन की स्पंज पर वैल्यू बराबर होनी चाहिए तो वो मैंने लिखा नहीं है अननेसेसरी आप लिख सकते हैं लिखेंगे आप मैं हर सवाल में वही से चीज रिपीट नहीं कर रहा हूं समझने का प्रक्रिया चल रहा है ठीक तो उसको आप नोट कर लीजिए और अगला क्वेश्चन आपके सामने लेकर आता हूं फिर से और उसको हम लोग करना चाहेंगे ठीक है तो मेरे ख्याल से आप में नोट कर लिया होगा आगे देखते हैं तो अगला क्वेश्चन है फाइंड डी वैल्यू ऑफ ए की वैल्यू निकालनी है सो डेट दिस फंक्शन इसे कंटीन्यूअस एट एक्स = 2 एक्स = 2 पर इसको कंट्रोवर्सी करना एक की वैल्यू बताओ लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट फंक्शन की वैल्यूज पॉइंट पर बराबर होनी चाहिए तो मैं लेफ्ट हैंड लिमिट लेता हूं पहले यानी लिमिट एक्स टेंडिंग तू तू माइंस और यहां पर यह फंक्शन एप्लीकेबल हो जाएगा 2a+5 आपको कोई असुविधा नहीं हुई राइट हैंड लिमिट पढ़ते हैं बेटा लिमिट एक्स की वैल्यू 2 प्लस तो लेफ्ट हैंड लिमिट राइट एंड लिमिट तो बराबर होगी साथ में फंक्शन की वैल्यू बराबर हो इसी से कम बन जाएगा तो 2a + 5 को आप वैन के बराबर कर दीजिए तो 2a बराबर कितना ए गया चार चार नहीं माइंस चार तो ए = -2 और ये आपका देखिए आंसर ए गया अब इसमें आप चेक भी कर सकते हैं एक्स = ए = -2 पे ये फंक्शन कंटीन्यूअस है की नहीं तो राइट हैंड लिमिट आपने निकल है दोनों बराबर हो गए फंक्शन की वैल्यू एक्स = 2 पर कितनी है f2 निकलने जाएंगे तो वैल्यू है और ये एक और इसकी भी एक ए गई है ये तीनों वैल्यू बराबर है यानी लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट और फंक्शन की वैल्यू किस पॉइंट का जिक्र था तू यह बराबर है इस वजह से ये वैल्यू हमारी एक्सेप्टेड है ठीक इसको भी नोट करें अगला सवाल देखते हैं इसको ध्यानपूर्वक देख लीजिए मेरे ख्याल से पुरी बात आपकी समझ में आई होगी [संगीत] अब फिर से अगला सवाल पढ़ते हैं हम लोग करने की कोशिश करेंगे और ऐसे ही सवाल आपके एग्जामिनेशन में आपको मिलेंगे तो अगला सवाल देखते हैं इस क्वेश्चन में डिस्कस डी कंटिन्यूटी ऑफ डी फंक्शन एफ डिफाइन एफसी एक्स + 2X - 2 एक्स की वैल्यू लेस दें इक्वल तू वैन ग्रेटर दैन देखिए जब भी यहां पर पॉइंट नहीं बोला है डिस्कस द continunity किस पॉइंट पे नहीं तो कैसे हम समझते हैं की किस पॉइंट पे में कोई चेक करना है देखिए एक्स इसे लेस दें और इक्वल तू वैन पर ये एक पॉलिनॉमियल फंक्शन है अब पॉलिनॉमियल फंक्शन हर जगह कंटीन्यूअस होता है तो जब एक्स की वैल्यू लेस दें वैन होगी तो हर जगह ये कंटीन्यूअस होगा क्योंकि polynomeal है चिंता मुक्त हो गए हम अब हम एक से बड़ी बात करें वहां पर भी एक्स - 2 एक पॉलिनॉमियल फंक्शन है यानी एक से छोटे में हर जगह कंटीन्यूअस एक से बड़े में हर जगह क्वांटिटी बस एक पर ही ये फूंक पॉलिनॉमियल बदल रहा है वही दिक्कत हो सकती है तो हमें इस पॉइंट पर चेक करना है वैन पर अगर वैन पर ही कंटीन्यूअस ए जाता है तो हम ये अनाउंस कर देंगे की फंक्शन एवरीथिंग क्योंकि कम एक से कम और एक से ज्यादा में तो ऑलरेडी कंटीन्यूअस है बात पकड़े में आई ना कैसे पॉइंट समझते हैं अब यहां पर सी विल चेक कंटिन्यूटी एंड एक्स = 1 और लेस दें नो ग्रेटर दें वैन की चर्चा मैंने का दी है ये आप समझ रहे हैं तो मैं लिख नहीं रहा हूं जबरदस्ती खैर लेफ्ट हैंड लिमिट की चर्चा करते हैं यानी लिमिट एक्स टेंडिंग तू एक से माइंस एफसी और फिर लिमिट पकड़ लिए एक्सटेंडिंग तू वैन माइंस और एक से छोटे में एक्स + 2 ए जाएगा एक वैल्यू रख देंगे तो 1 + 2 वैल्यू हो गई तीन अब इसी तरह से राइट हैंड लिमिट लेते हैं बेटा तो लिमिट एक्स टेंडिंग तू वनप्लस एक्स और फिर लिमिट एक्सटेंडिंग तू वनप्लस और वनप्लस मतलब ग्रेटर दें वैन तो एक्स - 2 की वैल्यू ए जाएगी माइंस वैन यहां पर देख क्या देख रहे हैं की राइट हैंड लिमिट लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट के बराबर नहीं है तीन इसे नॉट इक्वल तू -1 इसका मतलब ये फंक्शन एक्स बराबर वैन पर कंटीन्यूअस नहीं है हान नॉट कंटीन्यूअस अत एक्स इस इक्वल तू वैन बाकी सारी जगह कंटीन्यूअस है जो मैंने चर्चा करके आपको बताया की छोटा है तो कंटीन्यूअस बड़ा है तो कंटीन्यूअस एक्स = 1 पर कंटीन्यूअस नहीं है तो इसको आप नोट कर लीजिए ये कंटिन्यूटी का सेक्शन कंप्लीट हो जाता है इसी तरह के सवाल मिलेंगे बिल्कुल घबराने की आवश्यकता नहीं है कहीं यही लॉजिक यही चीज लगनी है घूम-घूम के ये मतलब यही है कॉन्सेप्ट ठीक है अगली बात करते हैं नोट कर लिया होगा अब तक आपने अब बात करते हैं डर की या डिफरेंशियल बोल देते हैं पहले देखिए कहीं पर ये अगर आपके सामने ए जाए की एक्स बराबर वैन पर एक्स = 2 पर चेक करिए की फंक्शन डिफरेंशियल है की नहीं तो उसके लिए जो फॉर्मूला लगाते हैं वो फर्स्ट प्रिंसिपल क्या लगाते हैं हम लोग तो कहीं पर ये चेक करना हो की इस पॉइंट पर फंक्शन डिफरेंशियल हैवी की नहीं अगर है तो फॉर्मूला लग जाएगा और है ही नहीं वो चेक कैसे होगा वो यहां से चेक होगा देखिए डर फ्रॉम फर्स्ट प्रिंसिपल और अब इनिशियो मेथड और व्हाइट डेल्टा मेथड तो किसी पॉइंट पर डिफरेंशियल चेक करने के लिए इस फॉर्मूले का हम लोग इस्तेमाल करेंगे जैसे सपोज efficien रियल नंबर रियल फंक्शन एंड सी इसे दी पॉइंट इन इट्स डोमेन डेरिवेटिव ऑफ एफसी इसे गिवन इस डिफाइंड की एफ-सी इस इक्वल तू लिमिट स्टैंडिंग तू जीरो एफ सी प्लस ह-एफसी/ह इस फॉर्मूले को नीचे वाले फॉर्मूले को आप याद रखेंगे ये ह के टर्म्स में फॉर्मूला है नीचे आप देखिएगा तो एक्स के टर्म में इसी को तब्दील कर देते हैं पकड़ के रखिएगा अब यहां पर प्रोवाइडेड दिस लिमिटिंग जस्ट अगर ये limitingist है तो हम बोल देंगे सी पर इसका डर ये जो वैल्यू ए रहा है वो आएगा लिमिट एक्जिस्ट बोलने का मतलब होता है लेफ्ट हैंड लिमिट या यहां पे डेरिवेटिव बोल दीजिएगा राइट हैंड लिमिट के बराबर आए तो हम बोलते हैं लिमिट एक्जिस्ट ठीक लेफ्ट राइट एंड लिमिट के बराबर क्लास 11th में पढ़ चुके हैं अब प्रोवाइडेड दिस लिमिट एक्जिस्ट और उसके बाद देखिए दो वैल्यूज और लिखिए इन फॉर्मूले को दिमाग में रखिएगा तो डेरिवेटिव ऑफ एफ ए सी इस डिनोटेड बाय एफ-सी और दी अपॉन डीएक्स एफसी आते सी पॉइंट 10 फंक्शन डिफाइन अब यहां पर देखिए एफ-13 एक्स की फॉर्मेट में लिमिट एक्सटेंडिंग तू जीरो एफसी + ह - एफसी / ह ये कुछ ऐसा ए गया सी कीजिएगा एक्स और दूसरा एफ-सी को इस तरीके से भी दिखाते हैं ये फंक्शन भी पकड़ के रखना बहुत जगह इस्तेमाल होगा कन्फ्यूजन ना हो इससे थोड़ा सा अलग लग रहा है बात एक ही है लेकिन बात की एक ही कैसे है यह कभी और ज़िक्र करेंगे लेकिन ये दोनों चीज एक ही चीज है बस वैल्यू रख दी जाती है यहां पर एक्स - सी बराबर ह तो एफ-c= लिमिट एक्सटेंडिंग तू सी एफ एक्स - एफसी/एक्स-सी अगर किसी पॉइंट सी पर निकल रहे हैं और किसी पॉइंट जीरो की चर्चा कर रहे हैं तो इस तरह लिख लेंगे समझ गया अब अगला इसका सवाल देखते हैं तभी हम लोग को समझ में ज्यादा आएगा अब लिखा है यहां पर डी फंक्शन अच्छा x² 4X < 1 यह ग्रेटर दैन इक्वल तू वैन है तू - एक्स अब इसमें कई बातें लिखी की नॉट डिफरेंशियल चेक करनी हो गई और डिफरेंशियल चेक करनी हो गई तो पहले तो कंटिन्यूटी चेक करो भाई इसकी चर्च क्या कहानी है एक्स बराबर वैन पर तो लेफ्ट हैंड लिमिट ले लेते हैं लिमिट एक्सटेंडिंग तू वैन माइंस एफसी और यह वैल्यू हो जाएगी लिमिट एक्स टेंडिंग तू वैन माइंस एफसी का मतलब एक से छोटा लिमिट ये कंटिन्यूटी के लिए हम लोग कर रहे हैं तो लिमिट एक्स टेंडिंग तू वनप्लस अफेक्ट्स तो लिमिट एक्स टेंडिंग तू वनप्लस और यहां वैल्यू 2 - एक्स है तो आपने क्या देखा की सही लिखा यहां ग्रेटर थन वैन ग्रेटर दें के लिए तो एक्स की वैल्यू यहां पर वैन पुट कर देंगे आप तो 2 - 1 = 1 लिमिट तो दोनों बराबर ए गई अब एफ हम वैन निकलती हैं F1 के लिए इसी फॉर्मूले का इस्तेमाल होगा 2 - एक्स का तो दो में से एक ghataoge एक रह जाएगा तो क्या ए गया लेफ्ट हैंड लिमिट राइट हैंड लिमिट और ये फंक्शन की वैल्यू बराबर है तो फंक्शन इस कंटीन्यूअस एट एक्स = 1 पहली बात पहला आंसर तो ये हमको मिल गया की फंक्शन हमारा कंटीन्यूअस है अब डिफरेंशियल है की नहीं इसकी चर्चा करेंगे तो एक खचा आपका हुआ तो जो हमने अभी यह फॉर्मूला पढ़ा था इसी का हम अप्लाई करेंगे अभी इसकी जो लिमिट लिमिट है ना तो लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव और राइट हैंड डेरिवेटिव के नाम से इसको पुकारते हैं लिमिट को तो यहां पर अगली बार शुरू करते हैं जो हम डेरिवेटिव के लिए चेक कर रहे हैं एलएसडी यानी लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव तो लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव डर के लिए तो लिमिट की वैल्यू हो गई एक्सटेंडिंग तू वैन माइंस सी यानी एक्स - 1 ये कहां से लिखा है देखिए ये यही फॉर्मूला है ये नीचे वाला है ये [संगीत] वैन पर निकल रहे हो तो वैन मैन लड्डू जो भी मतलब जिस पर भी कार्यक्रम कर रहे हो तो यह वैल्यू यहां पर इस तरीके से मैंने रख दिए अब यहां पर एफसी की लेस दें 1 के लिए ये x² था तो यहां कर देते हैं तो लिमिट लिख दीजिए एक्सटेंडिंग तू वैन माइंस ये है x² F1 की वैल्यू कितनी है F1 की वैल्यू वैन है यहां निकल हुई थी कहीं तो 1 / एक्स - 1 अब अब आप जानते हो ऊपर-नीचे फैक्टर कट जाएंगे यानी लिमिट एक्सटेंडिंग तू वैन माइंस ये हो गया x+1 एक्स - 1 और नीचे है एक्स - 1 लिमिट एक्स टेंडिंग तू वैन माइंस एक्स प्लस वैन एक पुट कर दोगे तो 1 + 1 यानी वैल्यू हो गई दो अब इसका राइट हैंड डेरिवेटिव निकलेंगे उसको मैं कलर बदल लेता हूं तो राइट हैंड डेरिवेटिव क्या होगा राइट हैंड डेरिवेटिव जिसे लिखोगे लिमिट एक्स टेंड्स तू वनप्लस [संगीत] एक्स तो ये वैल्यू हो गई 2 - एक्स इसकी जगह - ये तो वैन था और ये नीचे एक्स माइंस वैन था तो यहां पर आगे देखिए लिमिट एक्स टेंडिंग तू वैन प्लस यह ए जाएगा दो में से एक गया एक तो ये ए जाएगा 1 - एक्स - एक्स / एक्स - 1 काटोगे तो वैल्यू माइंस वैन ए जाएगी तो यहां पर आपको क्या दिखाई ये देखिए कलर फिर से बदलते हैं की लेफ्ट हैंड लिमिट लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव राइट हैंड डेरिवेटिव के बराबर नहीं है लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव आया था दो और राइट हैंड डेरिवेटिव था -1 इसका मतलब इट इस नॉट डिफरेंशियल अत एक्स = 1 तो इसका हंस या देयर फोर फंक्शन इस नॉट डिफरेंशियल अत एक्स = 1 तो कंटीन्यूअस तो है लेकिन डिफरेंशियल नहीं तो कौन सा ऑप्शन नॉट डिफरेंशियल हान सही है डिफरेंशियल गलत नॉट कंटीन्यूअस कंटीन्यूअस है नेत्र अंसारी [संगीत] ठीक तो मैं इसको सॉल्यूशन आपको दिखा देता हूं मेरे ख्याल से दिख रहा है इसको नोट करें आप फिर इसको थोड़ा मैं ऊपर कर दूंगा जिससे आप पुरी बात को बेहतर ढंग से समझ पाएं मेरे ख्याल से नोट कर लिया होगा इतना आपने और इसको मैं थोड़ा सा और ऊपर यहां तक ले आता हूं बात बन जाएगी यह आप इसको नोट कर लीजिए फिर आगे की चर्चा करेंगे जिससे हम लोग और बेहतर सिचुएशंस को समझ पाएं ठीक है तो आगे चलते हैं बेटा और नेक्स्ट चीज देखते हैं अब हमारा यह हमने सिख लिया है की कहीं पर डिफरेंशियल चेक करनी हो की एक्स बराबर वैन पर तू पर थ्री पर कहीं पर भी तो उसके लिए हम लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव बराबर राइट हैंड डेरिवेटिव khojenge अगर यह बराबर आएगा तो ये डिफरेंशियल है इस पॉइंट पर अगर ऐसा नहीं है तो डिफरेंशियल ढाबा नहीं है तो अब डिफरेंशियल है तो उसका डेरिवेटिव या डर की वैल्यू कितनी होती है उसके लिए कुछ फॉर्मूले का इस्तेमाल रहेगा तो मैंने इसको भी एक जगह कर दिया है जिससे आपको भटका भटकना ना पड़े तो इसको आप नोट कर लीजिएगा शायद कर लीजिएगा ये डिफरेंट फॉर्मूले हैं डर के जो आपके कम आएंगे सब पढ़ नहीं रहा हूं क्योंकि पढ़ोगे तो अननेसेसरी समय काफी लग जाएगा तो यह देखिए डी / डीएक्स सिन एक्स की वैल्यू कोस एक्स होती है तो इसको आप तैयार कर लीजिएगा जिससे बात बन सके अब एक कदम और आगे बढ़ते हैं बेटा अब यहां पर अब यहां देखिए लिखा हुआ है इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है वेरी इंपॉर्टेंट बोल रहा है प्रूफ डेट एफसी = मोड ऑफ एक्स माड्यूल्स ऑफ एक्स इस नॉट डिफरेंशियल आते एक्सिस इस इक्वल तू जीरो [संगीत] यानी जो माड्यूल्स ऑफ फंक्शन थोड़ी जानकारी देता हूं फिर सवाल करूंगा मोड ऑफ एक्स का फंक्शन इस तरीके का होता है बेटा ये एक्स एक्सिस है यू ए एक्सिस है एक्स दश ए दश एक्स = 0 यहां मिलेगा यहां पर ये फंक्शन डिफरेंशियल नहीं होता है पहले से हमको मालूम है और आप भी जान सकते हैं कैसे कोई भी फंक्शन अपना जो कॉर्नर पॉइंट्स बनाता है वहां पर वह कंटीन्यूअस नहीं होता है क्या मतलब है कहने का की अगर कोई फंक्शन आप खींचे मैन लीजिए ऐसे ऐसे खींच रहे हैं देखिए ऐसे कोई फंक्शन है तो यह फंक्शन यहां पर कंटीन्यूअस नहीं होंगे जहां भी कॉर्नर या शार्प टर्न आता है कोई फंक्शन ऐसे है तो यहां पर वह कंटीन्यूअस नहीं होगा और एंड पॉइंट पर भी नहीं होगा ये तो समझा एंड पॉइंट पर भी नहीं होगा क्योंकि आप जानते ही हैं की जब आप डर निकलती हैं की सरल भाषा के लिए दी / डीएक्स निकलती हैं और वो क्या होता है वो होता है टांगें का स्लोप ज्योमैट्रिकल या ग्राफिकल इंटरप्रिटेशन की बात की जाए तो अगर आप इस कॉर्नर पॉइंट पर कोई टैसेंट khinchenge तो infyanite नंबर ऑफ टैसेंट खींच सकते हैं भाई एक टैसेंट कहां आएगी जितनी खींच दीजिए तो ये डिफाइंड ही नहीं होता वहां पर ये एक एक्स्ट्रा जानकारी है एमसीक्यू है तो आप पहले ही उसे ग्राफ को अगर पहचानते हैं तो तुरंत आप का पाएंगे या फंक्शन डिफरेंशियल नहीं है किसी भी शार्प टर्न पर टर्न पर शार्प कॉर्नर पर एंड पॉइंट पर फंक्शन डिफरेंशियल नहीं होता केवल एक समझ गए होंगे बात अब यहां पर इस चीज को प्रूफ करने की बातचीत आएगी प्रूफ कर देते प्रूफ कर रहे हैं तो हम वो लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव लेंगे एक्स बराबर जीरो पर मैं कलर को थोड़ा बदल लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव ले लीजिए तो लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव यानी ह वाला फॉर्मूला लगा देते हैं दो फॉर्मूले पड़े द ना आपको दिखाना जरूरी है कहां है भाई कहां हो कहां हो यह ह जब जीरो मिल जाए तो प्यार से gilega और जब सी पे निकलना हो तो ये lagaiyega है दोनों एक ही चीज लेकिन सरलता के लिए मैं ऐसा बोल रहा हूं तो अभी हमें जीरो मिल गया है तो मैं ये वाला फॉर्मेट इस्तेमाल करूंगा लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव के लिए ए जाता है सी - ह राइट हैंड के लिए सी प्लस है ठीक तो यहां पर मैं जब चलूंगा यहां पर तो क्योंकि यह हमारा यह लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव भी बात कर रहे हैं तो ह टेंडिंग तू जीरो और ये फंक्शन में जीरो माइंस ह ए जाता है -एफ जीरो अपॉन - ह ठीक लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव जब होगा तो नीचे - वैल्यू चलेगी ह- लेकर चलेंगे आप अब इसी को आगे लिख दीजिए आप लिमिट स्टैंडिंग तू जीरो एफ - h0 अपॉन माइंस [संगीत] है माइंस एफ जीरो करोगे तो जीरो ए जाएगा अपॉन - ह अब वैल्यू देखिए क्या ए गई लिमिट ह टेंडिंग तू जीरो ये ए जाएगा ह और नीचे है माइंस क्योंकि ये तो मॉडल्स फंक्शन है तो एब्सलूट वैल्यू निकल देगा और इसको कैंसिल करोगे तो वैल्यू माइंस वैन मिल जाएगी तो यहां पर ये जो वैल्यू ए गई दिस इस माइंस वैन इसको ध्यान रखते हैं हम लोग और मैं कलर फिर से चेंज करता हूं ये है लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव की वैल्यू और राइट हैंड डेरिवेटिव कैसे करें इसके लिए निकलना है लेकिन निकलेंगे कैसे लिमिट लिखेंगे और यहां पे ऐप्स 0 + ह लिखेंगे मैं पूरा नहीं लिख रहा हूं शॉर्ट में फ रहेगा फ का मतलब है माड्यूल्स ऑफ ह और f0 तो - माड्यूल्स ऑफ जीरो नीचे केवल ह है अब ये वैल्यू देखिए क्या बनने वाली है हमारी लिमिट ह टेंडिंग तू जीरो क्योंकि ह हमारी पॉजिटिव क्वांटिटी था राइट हैंड डेरिवेटिव में तो ऊपर ए जाएगा केवल ह और नीचे भी है ये वैल्यू ए गई वैन दिस इसे राइट हैंड डेरिवेटिव तो आप देख रहे हैं की लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव राइट हैंड डेरिवेटिव के बराबर ही नहीं है इसका मतलब क्या है फंक्शन डिफरेंशियल नहीं है लेफ्ट हैंड डेरिवेटिव इस नॉट इक्वल तू राइट हैंड डेरिवेटिव लेफ्ट एंड डेरिवेटिव था -1 और यह प्लस वैन तो इसका मतलब क्या हुआ फंक्शन इस माड्यूल्स फंक्शन इस नॉट डिफरेंशियल थोड़ा ऊपर करते हैं वो चीज यहां पर इस तरीके से ए जाएगी इंपॉर्टेंट है ये बेटा अक्सर पूछा जाता है तो आपको अच्छे से आना चाहिए मैं इसको पूरा नोट करवा देता हूं फिर आगे का जिक्र करूंगा जिसे आप पुरी बात पकड़ पाएं तो मेरे ख्याल से ए गया तो यह इसको आप नोट कर सकते हैं बेटा फिर अगली अगले सवाल कैसे करें की जरूरत नहीं पड़ती है ठीक है आगे चलते हैं डर की और कहानियां देखते हैं क्या है ये सवाल मैं इसलिए कल ए रहा कर रहा हूं की इससे क्लेरिटी पुरी बन जाए आपकी अच्छा प्रोडक्ट रूल अब प्रोडक्ट रूल जानती है की दो फंक्शन अगर मल्टीप्लाई हो रहे हैं यू * वी तो डर कैसा होता है ये आपको अंदाजा है मैं दोबारा जबरदस्ती लिख रहा हूं फर्स्ट फंक्शन डर ऑफ सेकंड फंक्शन सेकंड फंक्शन डर ऑफ फर्स्ट फिक्शन इसी को आप बोलते हैं प्रोडक्ट रूल या आप जानते हैं ऐसा हो नहीं सकता की आप जानते ना हो इसी का एक भाई है जिसे बोलेंगे क्वेश्चन रूल तो क्वेश्चन रूल में चले आते हैं ये रहा क्वेश्चन टूल तो क्वेश्चन टूल यहां से उसकी जगह ये समझने में आसानी पड़ेगी तो जिओ अपॉन वी का डर कर रहे हैं तो ध्यान रखिएगा डी / डीएक्स यू / वी तो नीचे आता है डिनॉमिनेटर का स्क्वायर सी का स्क्वायर फिर शुरू में करेंगे तो सेकंड फंक्शन डर ऑफ फर्स्ट फंक्शन - फर्स्ट फंक्शन डर ऑफ सेकंड फंक्शन इसको आप याद रखेंगे और याद होगा भी आपको इसका इस्तेमाल जगह यह सवालों में मिलेगा आपको तो उम्मीद है समझ पाए होंगे सेकंड फंक्शन का जिक्र किस तरह से अप्लाई हो रहा है वह आप देख सकते हैं यह सवाल 2022 का इसको देखते हैं की इसमें क्या चीज कैसे करना चाहिए इसको तो इफ y² सॉल्यूशन [संगीत] तो यहां वैल्यू क्या ए जाएगी मैं एक बार लिख देता हूं फिर करके दिखाऊंगा यह ए गया डर और यहां ए गया की 2y / डीएक्स इसका डर समझ में आता होगा उसको तो ये वैल्यू हो जाएगी 2y / डीएक्स और यहां पर इसको क्वेश्चन टूल लगाएंगे तो 2 - एक्स का होल स्क्वायर फिर सेकंड फंक्शन डर ऑफ एक्स कब माइंस एक्स कब एंड डर ऑफ सेकंड फंक्शन [संगीत] और यहां वैल्यू क्या मिलेगी आपको 2-एक्स * 3x² - x³ और 2 - एक्स का करोगे तो -1/2 - x² है इसी वैल्यू को मैं यहां आगे यहां ले लेता हूं ए नीचे पहुंचा दूंगा तो क्योंकि मैं दी / डीएक्स चाहिए तो डिनॉमिनेटर में जो वैल्यू ए गई वो ए गई तू आई तू माइंस एक्स का होल स्क्वायर ये तो बराबर है ऊपर वैल्यू कितनी ए गई इससे आप मल्टीप्लाई करके लिखोगे तो ए जाएगा 6x² - 3x³ और प्लस एक्स कब / 2y2 - x² = एक्स = 1 ए = 1 पुट कर देंगे तो दी / डीएक्स वैन कमा वैन सिक्स इन वैन का स्क्वायर [संगीत] [संगीत] लगा है क्वेश्चन टूल कई जगह लगता मिलेगा आराम से हैंडल हो जाता है कोई परेशानी नहीं थोड़ी सी प्रैक्टिस चाहिए मैं हटा हूं इस का स्क्रीनशॉट ले ले या इसको नोट डाउन कर ले फिर हम लोग आगे चैन रूल की बात करेंगे तो यह नोट कर लिया होगा मेरे ख्याल से आपने अगली बात करते हैं चैन रूल की यह भी कोर्स में चैन रूल जो है वह कंपोजिट फंक्शंस के लिए लगता है कंपोजिट फंक्शन क्या होते हैं फंक्शन ऑफ फंक्शन फंक्शन ऑफ फंक्शन जैसे एग्जांपल के तौर पर कोई बताने की कोशिश की जाए तो फंक्शन में पहले लिख डन फंक्शन ऑफ फंक्शन [संगीत] यह सुना होगा आपने फाग ऑफ यही कंपोजिट फंक्शन होते हैं तो उसको वैसे फंक्शन अगर हमारे सामने ए जाएंगे तो हम उसी में चैन रूल लगाते हैं जैसे एग्जांपल के तौर पे अगला मैं कराऊंगा एग्जांपल यहां वही एग्जांपल दे रहा हूं जैसे आप ले लीजिए साइन कब 3X + 1 यह कंपोजिट फंक्शन है पहला फंक्शन यहां पर बात करें तो क्या आपको दिख रहा है ये देखिए पहला फॉर्मेटेड टी की पावर के और टी की वैल्यू यहां क्या ले रखे हो सिन एक्स फिर अगले में क्या है सिन एक्स नहीं सिन एक्स की जगह सिन यू अब यू की जगह क्या ले रखे हो 3X + 1 इस तरीके से फंक्शन बना हुआ है पकड़ में ए रही बात ये टी क्यों देखे यहां पर जैसे लिखा है टी के तो टी के लिखा आपने यह तो एक फंक्शन है और टी कब के अंदर टी की वैल्यू राखी सिन यू तो ये देखिए सिन कब बना फिर यू की जगह 3X + 1 रखा तो ये पूरा का कब बन गया तो ये देखिए तीन फंक्शन को मिला के माना है एसेट को डर हम कैसे सॉल्व करते हैं तो ऐसे को सॉल्व करने का तरीका होता है जैसे इसी को सॉल्व करते तो हमें मैन लीजिए यहां निकलना है दी / डीएक्स सपोज तो हम क्या करेंगे यहां पर या इस फंक्शन की बात कर लें फंक्शन वही डिवाइडेड का मतलब ही फंक्शन होता है वैसे तो डीएफ/डीएक्स लिख रहे हैं अगर या आप डिवाइस लिख रहे हैं ए बराबर अब इसको छोड़ो अब ये वैल्यू लिख रहे हैं ठीक अब यहां पर जब डिफरेंशिएट करेंगे तो टी के रिस्पेक्ट में करेंगे तो टी लिखेंगे और ये फंक्शन की जो पूरा फंक्शन है उसको लिखेंगे डीएफ / फिर क्या करेंगे आगे पी है साइन यू के बराबर तो यहां पर लिखेंगे डीटी और इस फंक्शन को टी को यू की रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट करेंगे फिर उसके बाद यू की वैल्यू दे राखी है तो यू को हम लोग एक्स की रिस्पेक्ट में करेंगे सिंपल बात अगर याद रखें याद रखने के लिए तो अगर हम डीटीडी यू डू काट दें तो ये डीएफ/डीएक्स मिल जाएगा ना कट्टा नहीं है याद रखने के लिए अगर मैं इसको उदा डन ये देखो तो यह वापस देतानी याद रखने के लिए इस तरह से फंक्शन ब्रेक करके हम लोग चैन रूल लगाते हैं जैसे आप समझ पाए ना फंक्शन के अंदर ये मैंने तीन ले लिया था अगर मैं दो लेता तो और सरलता से आपकी पकड़ में आती है मैंने सीधे तीन पकड़ लिया खैर फिर भी समझ पाए होंगे तो पहले फंक्शन को इस बुरे में जो t^3 था उसको टी की रिस्पेक्ट में कर फिर टी = सीनू था उसको यू की रिस्पेक्ट में किया और तीसरे वाले को डू अपॉन डीएक्स किया तो मैं इसको जो ये काटा है इसको हटाना चाहूंगा क्योंकि कट्टा नहीं है आपको समझने के लिए यही बात भाषा में लिखी जाती है याद रखिए फंक्शन है वो एफ कंपोजिट फंक्शन सी बराबर तो हम लोग पहले वी को डिफरेंशिएट करेंगे दे की रिस्पेक्ट में फिर टी को डिफरेंशिएट करेंगे एक्स के रिस्पेक्ट में और इसी तरीके से चैन कितनी भी लंबी हो सकती है यानी कंपोजिट फंक्शन में जो एक के अंदर दूसरा दूसरे के अंदर तीसरा तीसरे के अंदर चौथा चौथा के अंदर पांचवा कितना भी लंबा जाए यही चैन जरूर अप्लाई करते जाएगा बड़ा फेमस चैनल और लगाना भी बड़ा आसान होता बशर्ते आप आसानी से पहचान पाए खैर यहां जो चर्चा की थी वह नेक्स्ट करके दिखाता हूं इसी का डर तो ये देखिए यहां पर इस इसको डिफरेंशिएट करने की बात की गई है तो ये कंपोजिट फंक्शन है जैसा मैंने पीछे समझाया था आपको ये कैसा फंक्शन है कंपोजिट फंक्शन अब मैं क्या करता हूं जो आप डिफरेंशिएट करने की बात आती है आपको अंदाजा लग गया पीछे से की क्या कहानी थी जैसे यहां पर बात करूं तो मैं अगर इस पूरे फंक्शन को ए लेकर चलूं तो ए = ए = sin² 3X + 1 ये कहने का मतलब है तो ए बराबर क्या हो गया यहां इसको टी मैन लो तो t² है वेयर टी = सिन यू यह साइन यू इस इक्वल तो 3X + 1 अभी समझाया भी था समझ में ए रहा होगा आपके निकलना है तो चैन रूल लगाएंगे पहले इसको डिफरेंशिएट करने जाओगे तो लिखोगे देवी अपॉन डीटी फिर इस डीटी को ऊपर लिखना रहता है तो यह डीटी ऊपर लिख दो और फिर इसका वेरिएबल डू फिर डू के ऊपर लिख दो एक्स यह हो गया [संगीत] 3X + 1 और ये रहा डीएक्स ये इनरोल लगा रहे हैं ये अपलेइंग चैन रूल अब यह 30 स्क्वायर तो तू साइन यू कोस यू की जगह पड़े रहने देता हूं इन 3 इसको मैं यहां ले आता हूं देखिए कैसे हो जाएगा यह हो जाएगा तू साइन थीटा इन कोस थीटा 3 लिखा 2 लिखा और यू की वैल्यू पुट कर दीजिए यू कितना है 3X + 1 तो यह वैल्यू हो गई 3 सिन 6x+2 ये आपका आंसर है ये आंसर ए गया अच्छा ये जो सवाल है ना मैं यहां पर आपको समझने के लिए मैंने टीयूवी लिया है लेकिन जैसे ही आपकी प्रैक्टिस हो जाती है यह चीज बहुत सरल लगने लगती है कैसे मैं अगली स्लाइड में करके दिखा रहा हूं फिर ये टीयूवी मनी की आवश्यकता नहीं है इतनी कंपलेक्सिटी क्योंकि जाए जरा सी प्रेक्टिस हो जाए दो-चार मार लीजिए तो इसको सीधे ही niptaaiye जैसे मैं आपको करके दिखाता हूं जिसे आप फुल कर पाए और समझदारी का जल्दी कैसे करेंगे तो जैसे लिखा है आ स्क्वायर 3X + 1 तो मैं क्या करता हूं सेकंड मेथड ऐसे का लीजिए आप तो मैं क्या करूंगा इसको दी/डीएक्स लिखूंगा और यही पर फंक्शन तोड़-तोड़ के डिफरेंशिएट करूंगा क्या मतलब दी लिखा पहला फंक्शन था सिन 3X + 1 वाला तो इसको मैंने लिखा डी/डी सिन 3X + 1 और ये वैल्यू हो गई सिन स्क्वायर 3X प्लस वैन 3X + 1 फिर लिखो ये ऊपर दी थ्री एक्स प्लस वैन और वेरिएबल क्या था दी एक्स है देखिए वही चीज ये यहां पर हमने टी यू सी माना था भाई टी = कितना है टी = सीनू है सीनू को मतलब सिन 3X + 1 लिखा मैंने वही है लेकिन जल्दी होने लगेगा अब यह बात पकड़ में आई अब यहां पर यूवी नहीं होने की वजह से इसका आंसर ए जाएगा तू साइन थ्री एक्स प्लस वैन इसका वैल्यू क्या ए जाएगी सिन की कोस होती है तो ये रही कैसे 3X + 1 और इसकी वैल्यू क्या रही तीन अब तीन रही तो आप जा नहीं रहे तू साइन थीटा कोस थीटा होता सिन 2 थीटा तो 3 सिन 2 थीटा यानी 3 साइन 6x प्लस तू यह आपका आंसर ए गया रहता है वो चीज कब कर पाएंगे थोड़ी प्रैक्टिस हो जाए तो आपको दिखता है की किस फंक्शन के अंदर कौन सा फंक्शन है तो टीयूवी मानने की जरूरत क्या है पूरा-पूरा niptate रहो ये टी तो है इसका यही लिख मारो खत्म करो इसको दो लाइन में खत्म हो जाता है तो मैंने दोनों फॉर्मेट करके दिखाएं जो किताबों में होता है समझने के लिए कैसे समझे ए बी सी दी और एक जब सिख जाते हैं तो पूरे एक साथ निपटा देते हैं मैंने दोनों बताया जिससे आपको आइडिया हो जाए सवाल को करने का तरीका में मैं इसको आप दोनों नोट कर सकते हैं मैं हटा हूं इसको नोट कर लें आप मेरे ख्याल से नोट कर पाए होंगे इसका सेकंड मेथड भी आपको नोट कर देता हूं यह बेटा इसको इसको भी नोट कर लीजिए जब प्रैक्टिस बन जाए तो सीधे कर सकते हैं 100% कैरेक्टर कोई दिक्कत नहीं है पूरे एग्जाम में करेंगे 100% मार्क्स मिलेंगे मतलब कोई भी नंबर उंगली नहीं उठा सकते इस पे 100% करेक्ट मेथड ठीक है अब अगले की बात चित हम लोग करते हैं बेटा ये ए जाता है इंपलीसिट फंक्शन तो इंपलीसिट और एक्सप्लिसिट दो तरह के फंक्शन होते हैं एक्सप्लिसिट क्या है जहां पर ए एक्स को अलग कर सकते हैं ए = समथिंग यू एक्सक्लूसिव फंक्शन है जैसे मैं लिख डन ए = सिन एक्स तो यह एक्सप्लिसिट है अब यहां पर यह जो फंक्शन लिखा हुआ है इसमें से अगर एक तरफ ए करना चाहो ए इन टर्म्स ऑफ एक्स लिखना चाहो ए इन टर्म्स ऑफ एक्स तो आप नहीं लिख पाओगे ऐसे फंक्शन को क्या कहते हैं इंपलीसिट फंक्शन [संगीत] ठीक आप समझ पाए ना अब ऐसे जब इंपलीसिट फंक्शन होंगे जिसको ए = समथिंग नहीं लिख का रहे हो भाई सीधे वहां तो निकल लेते तो इसको निकलने का तरीका क्या है इसको निकलने का तरीका बेटा यही है की राइट डी गिवन फंक्शन इन एक्स एंड ए एक्स एंड ए दें डिफरेंटशिएट बोथ साइड्स दोनों ही साइड आप डिफरेंशिएट कर दो फिर उसके बाद टेक और टर्म्स इंवाल्विंग डिवाइस ऑन एलएस एंड ट्रांसफर रिमेनिंग टेंस रहा पूरा डिफरेंशिएट कर दो एलएस पर दी / डीएक्स रखो और अच्छे से बाकी टर्म कर दो कम खत्म हो जाएगा तो ये इंपलीसिट फंक्शन क्या होते हैं की अंदाजा मैंने आपको दे दिया बिल्कुल करेक्ट तरीके से जिससे आप पहचान पावे की इंपलीसिट कौन से फंक्शन है देखते हैं अगला क्वेश्चन अब यह देखिए यह कौन सा फंक्शन है इंपलीसिट क्योंकि यह इसको इसमें से आप केवल ए = एफसी नहीं लिख पाएंगे कैसे लिख पाएंगे दिस इस डी इंपलीसिट फंक्शन तो इंपलीसिट फंक्शन को करने का तरीका हमने क्या देखा दोनों तरफ डिफरेंशिएट कर दो आप पहले तो हम differenciating बोथ साइड डिफरेंटशिएटिंग बोथ साइड विद रिस्पेक्ट तू एक्स तो मैं अब हर स्टेटमेंट नहीं लिखूंगा सीधे डर की तरफ जाऊंगा इसका डर एक्स के रिस्पेक्ट में होता है 3x² इसका क्या होगा 3y² एंड दी / डीएक्स इसका डर करने जाएंगे तो ए जाएगा कैसे एक्स + ए और फिर एक्स + ए का डर तो 1 + दी / डीएक्स ये देखिए ये एक्सप्रेशन हमारे पास निकल आया है अब हमको क्या करना है हमको इसमें से डिवाइड बाय डीएक्स एक तरफ लेना बाकी सब एक तरफ वो कम खत्म हो जाएगा चलिए वर्किंग शुरू करते हैं तो मैं इसको लिखता हूं 3y² यहां मल्टीप्लाई करके लिख लेते हैं तो ए जाएगा कोस एक्स + ए और ये आएगा प्लस कोस एक्स + ए / डीएक्स ये वैल्यू उधर गई तो माइंस 3x² की तरफ ले लिए तो दी / एक्स कॉमन ले लीजिए तो दी / डीएक्स वैल्यू हो गई 3y² - कोस एक्स + ए और इधर को वैल्यू क्या हुई कोस एक्स + ए - 3x² एक्स + ए - 3x² / दिस होल टर्म विच इस 3y² - कोस एक्स + ए और यही आपका आंसर है कुछ करना थोड़ी है तो ये एग्जांपल क्या था दिस इस डी एग्जांपल ऑफ इंपलीसिट फंक्शन इंपलीसिट फंक्शन तो इंपलीसिट फंक्शन का एग्जांपल है जो आप इस तरीके से कर सकते हैं नोट कर लीजिए आगे की चर्चा करते हैं तो मेरे ख्याल से आप नोट कर पाए होंगे अब अगली चीज देख लेते हैं बेटा ये अब अगली चीज में ये है की डेरिवेटिव्स ऑफ इन्वर्स ट्रिगोनोमेट्रिक फंक्शन इसके फॉर्मूले कुछ याद करने होंगे आपको इसे मेमोराइज डी फॉर्मूला एंड उसे प्रॉपर सब्सीट्यूशन जिसे साइन इन्वर्स एक्स को डिफरेंशिएट करेंगे तो 1 / √1 - x² ए जाएगा और अगर आप सिन-1 एक्स को डिफरेंशिएट करेंगे तो ए ऊपर ए जाएगा √1 - a² x² ये पूरा आप ध्यान कर लीजिए इसको रीड आउट करके कोई लाभ निकलेगा नहीं लगाना तो हमको पड़ेगा ही तो उम्मीद है ये बात आप समझ गए होंगे ये फॉर्मूले याद कर लीजिएगा एक जगह ही मैं इसलिए दे रहा हूं क्योंकि आपको भटकना ना पड़ेगा अब एक कदम और आगे बढ़ते हैं यह एक सवाल ए जाता है हमारे पास इन्वर्स फंक्शन का ही है ये अब इसको करके देखते हैं लिखा है वाइस ए की पावर 2X दें फाइंड डिवाइड बाय डीएक्स तो यहां दे रखा है ए = 10 इन्वर्स आई की पावर 2X अब यहां दी / डीएक्स आप करोगे tan⁻¹ एक्स मैन के तो उसे क्या करोगे 1 / 1 + x² ये रहा तू एक्स का होल स्क्वायर इन डर ऑफ ए की पावर 2X इसका डर कितना होता है 2e की पावर 2X मैं एक बार लिख देता हूं लंबा करके नहीं कहीं बच्चे तो चिड़िया ना उद जाएगी तो ये दी अपॉन दी चैनल लगा रहे हैं पहले 2X चैन इन्वर्स आई की पावर 2X और फिर डिफरेंटशिएट किया ए की पावर 2X / ए की पावर एक्स यह किया यहां अब यहां पर जब किया जाएगा यह पूरा एक्स है 1 / 1 + x² और इसका डिफरेंशियेशन करोगे तो ए जाएगा 2e ^ 2X आंसर ए चुका है अब इसको आप सॉल्व करोगे तो आएगा 1 / 1 + आई की पावर 4X * 2 इस तरीके से सवाल बनाया जा सकता है आप देख लीजिए ये देखिए तन इन्वर्स एक्स का फॉर्मूला यहां कहीं होगा ये देखिए फॉर्मूला है इसी फॉर्मूले को हमने अप्लाई किया है आपको याद करना होगा जिससे आप बेहतर ढंग से अप्लाई कर सके नोट करें फिर अगला सवाल हम लोग अपने सामने लेकर आएंगे उम्मीद आपने इसको नोट डाउन कर लिया होगा नेक्स्ट क्वेश्चन देख लेते हैं बेटा अगला क्वेश्चन यह भी 2022 कई ताजा क्वेश्चन है तो इफ ए = ए की पावर माइंस सेकंड डेरिवेटिव तो सेकंड डेरिवेटिव का मतलब होता है एक बार डिफरेंशिएट करो फिर दोबारा फिर डिफरेंशिएट करो तो मैं दी/डीएक्स निकलता हूं इसकी वैल्यू इसको डिफरेंशिएट करोगे ए की पावर माइंस एक्स को तो वैल्यू हो जाएगी माइंस आई की पावर माइंस है इसको एक बार और डिफरेंशिएट कर दो तो इसको आप डिफरेंशिएट करने गए जब ए की पावर माइंस एक्स विच इस इक्वल तू ए जो दिया था फंक्शन और ये सेकंड डेरिवेटिव है दिस इसे इक्वल तू ए यही आपका आंसर है और इसके हिसाब से ऑप्शन नंबर बी इसे डी करेक्ट वैन इस तरीके से सवाल को आप कर पाएंगे नोट कर लीजिए आप अगली चीज देखेंगे अगला सवाल देखेंगे मतलब तो बड़े प्यार से इसको आप कर सकते हैं देखिए कहीं कोई असुविधा हो नहीं रही है खैर आगे बढ़ते हैं अगले सवाल की तरफ लिए अब देखिए नेक्स्ट क्वेश्चन लेते हैं लिखा डिफरेंटशिएट कॉस्ट इन्वर्स फाइव एक्स स्क्वायर प्लस ए तो यहां पर स मैन लीजिए आप फिर सवाल को करिए या मैं इस डायरेक्ट कर सकता हूं इसको खैर मैं आपके लिए भी स मानता हूं जब प्रैक्टिस आपकी हो जाए तब बढ़िया banaaiyega ये स हो गई वैल्यू फाइव x² + 4 पुट कर दीजिए लेट कर दीजिए जो भी भाषा इस्तेमाल करते हैं और ए बराबर हो गया कोस इन्वर्स स इसका डर निकलना है दी / डीएक्स वैल्यू क्या ए जाएगी डी / डीएक्स कोर्स इन्वर्स स अब आगे दी अपॉन डीजे कोस इन्वर्स स * डीजे अपॉन डीएक्स वर्ण इसको आप डायरेक्ट भी कर सकते हैं थोड़ी प्रैक्टिकल बन जाए तो अभी मैं आपको जिस तरीके से होता है उसे तरीके से बता रहा हूं कोस इन्वर्स एक्स का डर करेंगे तो -1/√1-z² ए जाएगा और डीएक्स डीजे / डीएक्स करेंगे इसका डर तो ए जाएगा 10x केवल टेनिस फोर का जीरो हो जाएगा इस तरह से इन्वर्स ट्रिगोनोमेट्री फंक्शन आप निपटा सकते हैं उसका नोट कर लीजिए अच्छा कई जगह इन्वर्स ट्रिगोनोमेट्री फंक्शन में कुछ सब्सीट्यूशंस करके सवाल को काफी आप हल्का कर सकते हैं वो सब्सीट्यूशन कैसे क्या हो सकता है वो भी दिखा देता हूं आपको जैसे पुरी बात कंप्लीट है ये देखिए ये बड़ा कम का स्लाइड है तो यहां पर आप देखें तो सैम इंपॉर्टेंट सब्सीट्यूशन लिखे हैं एक्सप्रेशन अगर है a² - x² तो आप यहां पर एक्स बराबर एक कोस थीटा एक्स बराबर ए साइन थीटा रख सकते हैं इसी तरह बाकी चीज लिखी रीड आउट करने से कोई लाभ नहीं है ये एक्सप्रेशन और इस सब्सीट्यूशन का इस्तेमाल कर कर आप चीजों को काफी तेजी से कर पाएंगे कंपलेक्सिटी काफी घाट जाएगी अगला क्वेश्चन लेते हैं वो करके दिखाते हैं वहां भी सब्सीट्यूशन लगाने का प्रयास होगा की पता नहीं क्या ए गया है यह ने चलिए आगे की बातचीत करते हैं तो इसका सॉल्यूशन हम लोग करेंगे अब यहां पर हम लोग इसको डायरेक्ट करने की जगह एक सब्सीट्यूशन का इस्तेमाल करेंगे जिससे हमारी चीज सरल हो जाए क्या सब्सीट्यूट करेंगे पुट कर देंगे या लेट कर देंगे पुट एक्स बराबर 10 थीटा अगर हम तन थीटा को पुट कर दें तो ये एक्सप्रेशन क्या बन जाएगा ए = एसईसी ^ -1 ऊपर वैल्यू ए जाएगी tan² थीटा प्लस वैन अपॉन 10 स्क्वायर थीटा माइंस वैन लिख देते हैं की जो सेक इन्वर्स थीटा होता है उसे हम लोग कोस इन्वर्स 1/3 भी लिख सकते हैं इससे इसको हम कोस में ले लेंगे इसको पलट के तो लिखा जा सकता है ए = कोस इन्वर्स टेन स्क्वायर थीटा माइंस वैन अपॉन टेन स्क्वायर थीटा प्लस वैन इसी प्रॉपर्टी का इस्तेमाल लगा के लिखा है अब आप माइंस ले लीजिए इसमें कॉमन तो इसको मैं लिख देता हूं कोस इन्वर्स - कॉमन ले लिया तो वैल्यू बनी वैन माइंस 10 स्क्वायर थीटा और ठीक है ऊपर जस्ट कर दी तो वनप्लस टेन स्क्वायर थीटा [संगीत] जैसे हम यहां पर अगेन एक खूबसूरत सा फॉर्मूला रहेगा पाएं ये फॉर्मूला किसका है कॉस्ट तू थीटा का अब वहां जगह नहीं है तो यहां लिख देता हूं कॉस्ट तू थीटा का फॉर्मूला जानते होंगे 1 - 10² थीटा / 1 + 10² थीटा अब ये इसी का हम लोग इस्तेमाल कर रहे हैं यहां पर थोड़ा सा अजीब टाइप लाइन बना दी इसलिए की कोई बच्चा कनेक्ट कर सके कहां से क्या हो रहा है खैर तो ए की वैल्यू अब क्या ए गई कोस इन्वर्स - और ये cos2θ आसान नहीं की तरफ जा रही हैं कोस इन्वर्स - कोस 2θ अब इसको जो वैल्यू लिखी जा सकती है देखिए कोस इन्वर्स जो माइंस एक्स होता है मैं यहां पे फिर लिखूंगा कोस इन्वर्स - एक्स की वैल्यू जो होती है वो पाई माइंस कॉस्ट इन्वर्स एक्स ये आपको अगर पता है पता होना चाहिए तो यहां पर हम लिख सकते हैं ए = पाई - कोस इन्वर्स कोस 2θ इसी प्रॉपर्टी का इस्तेमाल [संगीत] -2θ और 2 थीटा की जो वैल्यू है वो किसके बराबर है देखिए तो तू थीटा की वैल्यू है तन इन्वर्स थीटा की वैल्यू बराबर है 10 इन्वर्स एक्स के तो आप यहां पर इसका इस्तेमाल करिए पाई माइंस तू और थीटा की जगह हो गया tan⁻¹ एक्स यहां जानते ही नहीं अगर पता है तन इन्वर्स एक्स बराबर θ अब ये वैल्यू बन गई अब इसको डिफरेंशिएट कर दीजिए अब ये अब ये सब ट्यूशन के बाद एकदम हलवा सवाल है तो डिवाइस भाई दी एक्स कांस्टेंट है पाई तो जीरो हो गया तू इसका होता 1 / 1 + x² यानी - 2 अपॉन वनप्लस एक्स स्क्वायर यह आपका आंसर है तो यह आपको जैसे सवाल आए और आपको अंदाजा हो तो कर सकते हैं अगर यहां सब्सीट्यूशन नहीं करना चाहते हैं यहां चैन रूल वगैरा लगाना चाहते की मैं एसईसी इन्वर्स एक्स को इसी के रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट करूं आंसर तब भी ए जाएगा बस वो प्रक्रिया या मेथड लॉन्ग मेथड हो जाएगा बहुत ज्यादा वर्किंग करनी पड़ेगी और जहां ज्यादा वर्किंग करनी पड़ती है वहां चांसेस मिस्टेक्स की ज्यादा होते तो इसलिए सब ट्यूशन आप कर सकते हैं सब ट्यूशन में तो एक कम भर का सवाल करना पद गया कई सब्सीट्यूशन में तो झट सेंसर ए जाता है तो यह आप ध्यान रखिएगा सब्सीट्यूशन करके इस तरह इसको परफॉर्म किया जा सकता है मैं हटता हूं और उसको नोट कर लीजिए अगला सवाल देखेंगे फिर हम लोग तो यह आप नोट कर लीजिए किस तरीके से इसको किया गया है जिससे आपको अंदाजा क्लियर रहे अब दूसरा आता है लोग रिद्मिक डर तो लॉजिक डर जो होते हैं वो कहां इस्तेमाल किए जाते हैं जहां पर फंक्शन का पावर फंक्शन देखिए लिखा होगा की डर यूज्ड फॉर डर ऑफ फंक्शंस विच कंसिस्ट ऑफ डी प्रोडक्ट कोई मल्टीप्लिकेशन हो रहा हो किन्ही फंक्शंस का तो लोग लगाएंगे तो लोग ए + लोग बी लिख पाएंगे कोटिएंट एफसी / जीसीओ तो वहां पे लोग ले लेने पर लोग इफेक्ट्स - लोग जीएक्स लिख सकते हैं आपको ये पता है ना प्रॉपर्टी आगे लिखी हुई है इसको लिखते हो लोग ए प्लस लोग बी तो लोग ए और बी प्रॉपर्टी होती है लेकिन यह बेसिक बात तो जहां प्रोडक्ट है वहां पर इस तरह से लिख सकते हो जहां क्वेश्चन है उसको इस तरह से लिख सकते हो बातें तीसरी महत्वपूर्ण जो सबसे बढ़िया है नंबर ऑफ फंक्शंस क्वेश्चन ऑफ नंबर ऑफ फंक्शन एंड और गिवन फंक्शन ऑफ दिस टाइप दिस टाइप इसे वेरी इंपॉर्टेंट [संगीत] क्या की यहां अगर लॉक का सारा आप नहीं लेंगे तो सवाल करने में पसीने छूट जाएंगे क्या फायदा होता है लोग लेते हुए मैन लीजिए कोई टी बराबर एफसी की पावर जीएक्स है जब आप लोग लेते हो नेचुरल लोग ए बेस पर तो ये प्रॉपर्टी होती है ना जिक्स पावर ए गया जाती है फिर लोग है एफसी तो इसको आप सीधी से नीचे उतार लेते हो और अब डिफरेंशिएट करना आसान हो जाता है तो वहां पर आप लोग फंक्शन का इस्तेमाल करके बड़े प्रेम से सवाल को कर सकते हैं यही चीज यहां बताई गई की ए = एफसी की पावर जीएक्स है दें दी / डीएक्स क्या हो जाएगा इसी को इसी को सॉल्व करके लिखा है तो दी / डीएक्स क्या होगा ए लोग एफसी जी दश फॉर्मूले की तरह भी इसके इस्तेमाल कर सकते हैं आप याद रख पाए तो तो ए लोग एफसी जी'एक्स प्लस जीएक्स * 1 / एफसी * एफ-एक्स इसका करें इस्तेमाल ये जिस तरह से वहां करते हैं उसको उसे तरीके से परफॉर्म कर ले दोनों बातें एक ही हैं तो ये आप समझ पाएंगे लॉजिक फंक्शन में कुछ प्रॉपर्टीज हैं लोग की आपको ज्यादा घूमना फिरना ना पड़े इसलिए वो भी इकट्ठा कर दिए यह लोग अमन जो मैंने दिखाई थी लोग एम प्लस लोग इन लोग एक्स को आप इस तरह लिख सकते हैं इसी तरह बाकी प्रॉपर्टीज आप देख लीजिए मीन है तो माइंस में की पावर एन है तो एन बाहर ए जाता है ए की पावर लगी एक्स है तो एक्स बचत है एक्स > वगैरा वगैरा तो ये क्योंकि रीड आउट करके कोई लाभ नहीं मिलेगा ये प्रॉपर्टीज लेकिन आपके बड़े कम की है उम्मीद है बात समझ में आई होगी अब अगला क्योंकि ये ये वेरी इंपॉर्टेंट रहते हैं लोग वाले लोग डर जो है वो बहुत ज्यादा इंपॉर्टेंट होता है चलते हैं अगले सवाल पर अब देखिए यह जो सवाल है कई बार पूछा जा चुका है और वेरी इंपॉर्टेंट क्वेश्चन है और इस सवाल को करने के लिए क्योंकि सिन एक्स की पावर एक्स लिखा हुआ है बिना लॉक के नहीं हो पाएगा ऐसा सवाल अब यहां पर हम लोग क्या करते हैं दो फंक्शन हम यहां पे पढ़ते हैं कौन सा फंक्शन पढ़ते हैं तो एक को यू पढ़ते यहां पर लेट यू बराबर सिन एक्स की पावर एक्स एंड सी बराबर साइन इन्वर्स रूट एक्स दो फंक्शन दिख रहे हैं आपको ना ये एक ये एक अब हम दी / डीएक्स जब निकलेंगे तो इसका मतलब है डू/डीएक्स निकलना होगा उधर से करना चाहिए था इधर चलते हैं तो आपको दिखाई पड़ेगा लेकिन अब तो कर ही दिया है तो ऐसे ही कर लेते हैं और ये डी/डीएक्स ये एक तरह का फॉर्मूला टाइप हमने बना लिया अल्टीमेटली ये रिजल्ट हमको देगा तो एक बार यू वाला निकल एक बार सी निकलने निकले दोनों की वैल्यू हम पुट करेंगे तब ये वैल्यू बन पाएगी तो पहले हम लोग लेते हैं यू वाले को सॉल्व करने के लिए नौ यू इस इक्वल तू साइन एक्स का पावर एक्स चाहिए तो इसके लिए हम पहले लोग लेंगे मैं टेकिंग लॉन्ग वगैरा नहीं लिख रहा हूं डायरेक्ट लोग ले रहा हूं इतना तो समझ जाते ही आप पावर आगे ए जाएगी लोग लिया है इसको एक्स लोग सिन एक्स लिख सकते हो स्टेप्स को मैं बढ़ा नहीं रहा हूं ये बात सिक्स इसके साथ है तो ये आप यहां लिख सकते हैं अब इसको आप डिफरेंशिएट कर दें विथ रिस्पेक्ट तू एक्स वैन अपॉन यू डू अपॉन डीएक्स यह फर्स्ट फंक्शन इन तू सेकंड फंक्शन की कहानी हो गई तो फर्स्ट फंक्शन लिखते हैं इसका आप डर करेंगे तो लोग एक्स का डर होता है 1 / एक्स तो 1 / सिन एक्स ए जाएगा फिर साइन एक्स का करेंगे तो ए जाएगा कोस एक्स ध्यानपूर्वक फिर लॉक साइन इट्स बाहर और एक्स का डर जो की एक है यह आपने डिफरेंशिएट इसको कर दिया अब डू / डीएक्स निकलने की कोशिश करेंगे तो यह ड्यूपॉन्ट में क्या वैल्यू आएगी ये वैल्यू आएगी सिन एक्स की पावर यू तो यही था तो ये वैल्यू हो गई [संगीत] सिन एक्स की पावर एक्स कट एक्स ये कोस एक्स / सिन एक्स है तो एक्स कट एक्स + लोग सिन एक्स ये देखिए ये डू अपॉन डीएक्स आपने निकल दिया है अब हम लोग अगली बात करते यहां पर डी / डीएक्स हमको निकलना है सिन-1√x यहां लिखा हुआ है तो इसको मैं कलर बदल लेता हूं [संगीत] अब यहां वी की वैल्यू दे राखी थी साइन इन्वर्स रूट्स बेटा अब इसको डी / डीएक्स करता हूं तो ये पूरा एक्स मैन के चलो तो 1 / √1 - रूट x² पहला तो ये रहा फिर रूट एक्स का डर जो की 1 / 2√x ए जाएगा रूट एक्स का डर वैन अपॉन तू रूट एक्स ए जाएगा इसकी वैल्यू क्या बनेगी 1 / 2 इस एक्स को अंदर पहुंचा दो तो ये वैल्यू हो जाएगी X1 - एक्स ये दोनों ही डर निकल आए इसको चाहिए तो आप इक्वेशन नंबर वैन और इसको वैन का दो इसको यहां लिख सकते हो पुट द वैल्यूज ऑफ डू अपॉन डीएक्स एंड डी/डीएक्स * फर्स्ट इक्वेशन यहां लिखोगे यानी सिन एक्स की पावर एक्स फिरता एक्स कट एक्स प्लस लोग सिन एक्स और उसके बाद यह जो वैल्यू आई है यह वैन अपॉन तू अंडर रूट एक्स 1 - एक्स और यही आपका आंसर है इस तरह से यह जो लोग वाले सवाल हैं इनमें अगर दूसरा फैक्टर भी ऐड कर दिया जाए तो ये दो डर को समाहित कर लेता है लेकिन अधिकतर इसका इस्तेमाल लॉक का एफसी की पावर जीएक्स के रूप में किया जाता है क्योंकि गिग्स नीचे उतार लेते हैं उससे तो इसको ध्यानपूर्वक देखिए जिससे की आपको पूरा आइडिया मिल जाए मैंने ये सवाल पकड़ने की चेष्टा की है कोशिश की है इसको नोट कर लीजिए फिर अगला सवाल करते हैं जो की है पैरामेट्रिक फॉर्म अब पैरामीटर नोट कर लिया होगा अब तक आपने अभी जो पैरामीटर फॉर्म होता है इसका मतलब क्या होता है की कोई फंक्शन एक्स और ए डायरेक्टली रिलेटेड नहीं है आपका कोई दोस्त कॉमन दोस्त है कोई जिससे आप और आपकी गर्लफ्रेंड मिले द पहली बार [हंसी] उसकी बर्थडे पार्टी में वह टी है तो एक्स का रिलेशन टी से था वही का रिलेशन टी से था टी के यहां दोनों मिल गए द एक्स ए आपस में रिलेशन में ए गए इतना ही है यही इसी को बोलते पैरामेट्रिक फॉर्म तो एक्स बराबर 5t क्या हो गई इस तरह से एक्स ए क्योंकि टी से दोनों रिलेटेड हैं इसलिए एक्स ए आपस में रिलेटेड है आप समझ गए होंगे अब जब हमको दी / डीएक्स निकलना होगा तो हम दी / डीटी अलग से निकलेंगे डीआईजी भाई डीटी अलग दोनों को डिवाइड कर देंगे तो ये फॉर्मूला या डर निकलने का तरीका हमारे पास ए जाता है बात पकड़ में आई होगी अगला सवाल ले लेते हैं जो इसी पे बेस्ड होगा जिससे हमें सीखने का मौका मिल सके तो यह रहा एक डीटी एक्ट टी = 2pi / 3 निकलना है एक्स टी से रिलेटेड है व्हाइट टी से रिलेटेड है डायरेक्टली रिलेटेड नहीं है तो ये पैरामेट्रिक फॉर्म है पेरा मैट्रिक फॉर्म और उसके लिए हम लोग क्या करेंगे दी / डीटी अलग से और डीएक्स / डीटी अलग से निकलेंगे तो चलिए पहले डीएक्स / डीटी निकल लेते हैं तो एक्स की वैल्यू ले राखी है मैं एक बार लिख देता हूं चलो 10 टी - सिन टी और इसको आप निकलती हैं डीएक्स/डीटी तो टेन लिख दीजिए [संगीत] ए की वैल्यू दे राखी है 12 - कोस θ [संगीत] और डीएक्स -10 -1 है यह तो 10 1 - कोस टी अब पूछ रहा टी = 2 पाई / 3 पर क्या आंसर आएगा तो आप सीधे 2π/3 पुट कर दी इसके अंदर कुछ नहीं करना है अब ये निकालिए दी / डीएक्स आते स्ट = 2π/3 तो जहां जहां [संगीत] हो तो आप इसको निकल सकते हैं ऐसे सिन 2π/3 का मतलब सिन π - π/3 सिन 5 - 3 क्या है तो 180 - θ सिन θ तो सिन π/3 इसकी वैल्यू होती है √3 / 2 और आप दोनों जानते हैं इसी तरह कॉस्ट पाई / 3 निकलना हो तो इसे क्या लिख सकते हो कोस π-π/3 और इसकी वैल्यू होती कोस 180 - थीटा यानी माइंस कोस थीटा कोस π/3 - लिखिए कोस π/3 की वैल्यू होती है हाफ तो ये रहा माइंस ऑफ इन दोनों वैल्यूज को यहां पुट कर दीजिए आप तो ये ऊपर वाली वैल्यू हो गई √3 / 2 और नीचे वाली वैल्यूज हो गई माइंस हाफ यहां पर तो ये हो गया 1 - रखोगे तो प्लस हो जाएगा - पहले था अब ये एक्सप्रेशन बना और इससे अब सॉल्व कर लीजिए आप तो वैल्यू हो जाएगी ये हो जाएगा 3/2 और इसको जब सॉल्व करेंगे तो वैल्यू हो जाएगी तू रूट थ्री अपॉन फाइव ये आपका आंसर हो गया इस तरह सवाल को सॉल्व कर सकते हैं देख लीजिए नोट कर लीजिए फिर अगली सवाल की बात करेंगे जब हम लोग एक फंक्शन को किसी दूसरे फंक्शन के रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट करने की चेष्टा करते हैं तो फिर क्या कहानी बनेगी खैर इसको नोट कर लिया होगा अब तक आपने तो एक फंक्शन को दूसरे फंक्शन के रूप में डिफरेंशिएट करेंगे तो क्या कांड होगा वह डर ऑफ फंक्शन विथ रिस्पेक्ट तू अनादर फंक्शन तो सी फर्स्ट differencheate बोथ फंक्शन एफसी एंड जीएक्स विद रिस्पेक्ट तू एक्स सेपरेटली एंड दें पुट डीज वैल्यूज इन दी फॉलोइंग फॉर्मूला जिसे मैं अगला सवाल जो कराऊंगा वही लिख रहा हूं की सपोज करिए लोग वनप्लस x² है और इसको आपसे करें डिफरेंशिएट करिए विथ रिस्पेक्ट तू 10 इन्वर्स एक्स मतलब हम चाहते हैं इन्वर्स एक्स और डिफरेंशिएट कर रहे हैं लोग 1 + x² को यह हमको चाहिए एक फंक्शन को किसी दूसरे फंक्शन की रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट करना उसी के लिए ये बता रहा है की दोनों फंक्शन को अलग-अलग डिफरेंटशिएट करेंगे जैसे देवी बाय डीएक्स लिखा हुआ है और यहां पर इसका लिखा हुआ है तो दोनों फंक्शन को एक्स की रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट कर लीजिए यानी हम डी / डीएक्स निकलेंगे लोग वनप्लस एक्स स्क्वायर और इसी तरह दूसरे फंक्शन को तन इन्वर्स एक्स को भी हम निकलेंगे देखिए यहां पर 10 इन्वर्स एक्स और ए की जगह वैल्यू ली है आपने लोग 1 + x² स की रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट कर रहे हैं उसके हिसाब से जिओ वैल्यू हो गई दी / डीजे [संगीत] जाती है उम्मीद है आप समझ पाए होंगे ठीक तो इसी को मैं करके भी दिखाऊंगा तो आपको एकदम कनेक्टिविटी काफी बेहतर मिलेगी तो खैर चलिए आगे चलते हैं और इसी को देखेंगे जैसे लिखा हुआ है डिफरेंटशिएट लॉ ऑफ वनप्लस x² विद रिस्पेक्ट तू तन इन्वर्स एक्स तो जैसे हमने देखा था यह फॉर्मूले को याद कर लीजिए की हमें डिवाइड ऊपर रखना है और जिसकी रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट कर रहे द स की उसको डीजे/डीएक्स नीचे रखना है कम खत्म हो जाएगा ज्यादा दिमाग लगाने की आवश्यकता नहीं है तो यहां पर देखिए हमारा ये कहानी थी मैं एक बार लिख के दिखाऊं फिर से 10 इन्वर्स एक्स और लोग वनप्लस x² तो ए हमारा है लोग वनप्लस x² और स हमारा है तन इन्वर्स एक्स और यह वैल्यू जो लिखी है वो लिखिए जिसे कन्फ्यूजन ना हो तो आपको पहले डिवाइड चाहिए तो हमें पहले दी / डीएक्स चाहिए तो इसको आप लोग 1 + x² को डिफरेंशिएट करेंगे तो 1 / 1 + x² और वनप्लस वैन स्क्वायर का डिफरेंशियेशन वैन प्लस तू एक्स इसको डिफरेंशिएट करना आता ही होगा लोग एक्स का होता है 1 / एक्स फिर ये जो वैल्यू वैन प्लस x² था इसका डर तो 1 + 2X तो ये वैल्यू क्या मिल गई आपको दिस वैल्यू इस सॉरी 1 + x² में केवल 2X आएगा वैन तो कांस्टेंट है जीरो हो जाएगा तो ये वैल्यू हो जाएगी 2X / 1 + x²dx अब इसी तरीके से हमको निकलना है डीजल अपॉन डीएक्स 10 ^ डीजे निकलना हो तो हमें दी / डीएक्स और दी स अपॉन डीएक्स कर देना चाहिए तो दी / डीएक्स का रहा 2X / 1 + x² और डीजल / डीएक्स क्या रहा 1 + 1 / वनप्लस एक्स स्क्वायर वैसे मैं अपॉन में लिखने की जगह ना पलट के इन करने में विश्वास ज्यादा रखता हूं वो ज्यादा आसान जैसे ये लिखा है अब मैं लिखता ही दी / डीएक्स जिसे आप बचपन में करते द 2X / कहां गया 1 + x² अब जब जो वैल्यू अपॉन में उसको उल्टा करके मल्टीप्लाई कर दीजिए तो वनप्लस x² / 1 ये दोनों वैल्यू कट गई और इसका आंसर कितना ए गया 2X यही आपका आंसर है इस तरीके से किसी फंक्शन को दूसरे फंक्शन की रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट जब करना होगा तो इस चीज को इस्तेमाल करेंगे तो शानदार बहुत सरलता से आपका आंसर ए जाएगा नोट कर लीजिए फिर आगे हम लोग चर्चा करेंगे की infainight सीरीज वाले जो क्वेश्चंस होते हैं उनको कैसे टैकल करते हैं खैर इसको अपने नोट अब तक कर लिया होगा एक कदम और आगे बढ़ते हैं अब यहां पर देखिए डर ऑफ इंफिनिटी सीरीज जी देखिए इस तरह की ए लिखा है कंस लिखा है और इसके ऊपर cosecs का सीरीज चलती चली जा रही है इस तरीके से अब हम दी / डीएक्स शो करना है की वो शो करो इसी सवाल को पिकअप करते हैं वो करते हैं आपके सामने इसे बोलते हैं इंफिनिटी सीरीज वाला चेक कर ये सवाल है अब हम क्या करेंगे देखिए जैसा आप जानते हैं की ये जो पावर की पावर लग रहा है अगर इस पावर की पावर में से एक पावर हम कम कर लें तो भी इसकी वैल्यू ए की ए रहेगी क्योंकि पूरे की वैल्यू है ए [संगीत] जैसे मैं ए बराबर लिखूं 1 + 1 + 1 + और कहां तक लिखो infainight तक तो अगर मैं एक को यहां पर रोक लूं तो इतनी की वैल्यू भी तो आई होगी समुद्र में से एक लूटा पानी निकल लोग तो समुद्र का पानी क्या कम होगा कुछ नहीं तो वनप्लस वैन कहां तक जा रहा है इंफिनिटी तक एक को रोका और दूसरे को क्या किया पुरी सीरीज को क्या लिख दिया फिर वही ठीक तो यह समझने के लिए किया है आप इसको वनप्लस ए लिख के चलेंगे [संगीत] यानी ए = हाफ से निकलने लगेगा इसमें तो यहां पर यह समझने के लिए किया वर्ण आप ये मत समझ लेना आई वाइस कट जाएगा बना रहा है जैसे तो इस तरह की बात लिखी जा सकती है यह छोड़ देते हैं समझने के लिए इतनी चीज मानो ओन्ली फॉर समझाना [हंसी] इसे आपको यह बात आसानी से समझ में ए जाए इसको हमने रोक लिया और ऊपर जो इतनी कहानी है इसको पूरा गेट भाई का दिया तो आप लिख दोगे कोस एक्स की पावर ए यह समझने के बाद इसको पचना आसान है अब देखिए यह जो कांड है यह फंक्शन के ऊपर एक फंक्शन लगा हुआ है [संगीत] आपने शोले देखी नहीं देखी भगवान जाने नहीं पिक्चर तो है नहीं लेकिन बड़ी क्लासिक पिक्चर है वो नहीं देखी तो देखने का प्रयास कीजिएगा मजा आएगा आपको खैर एनीवे अब यहां पर लोग ले लेते हैं दोनों तरफ तो लोग ए और ये ए नीचे उतर आएगा ए लोग एक्स लिख सकता हूं कंस लिख सकते हो उम्मीद है समझ में आप डिफरेंशिएट कर दीजिए इसको दोनों तरफ 1 / ए / डीएक्स फर्स्ट फंक्शन ए लोग कोस एक्स का डिफरेंशियेशन तो लोग कोस एक्स का डर होगा 1 / कोस एक्स और कोस एक्स का डर जो वैल्यू ए जाएगी कितनी माइंस साइन एक्स फिर दूसरा है लोग कोस एक्स [संगीत] यह वैल्यू यहां पर आती हुई दिख रही है अब हम लोग क्या करेंगे तो वैल्यू बनेगी उधर ले आओ तो वैन अपॉन दी / डीएक्स ले लो कॉमन 1 / ए - लोग कोस एक्स और यहां वैल्यू ए गई माइंस ए लोग कोस एक्स इसी को आगे लेकर चलेंगे तो वायु ऊपर मल्टीप्लाई हो जाएगा ये नीचे चला जाएगा तो दी / डीएक्स क्या ए जाएगा वे मल्टीप्लाई करोगे तो - y² [संगीत] ले लीजिए काट दीजिए तो ऊपर प्लस हो जाएगा ए स्क्वायर 10x अपॉन यहां माइंस cosecs -1 यही आपका आंसर हो जाएगा इस तरीके से आप इसको कर सकते हैं मैं हटा हूं नोट कर लीजिए ऐसे सवाल आए तो बड़े प्रेम से करिएगा कोई सरल सवाल होते हैं वेरी इजी तो ये आप इसको नोट कर सकते हैं फिर हम लोग बात करेंगे सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव की तो लिए चलते हैं किसी से पहले हम लोग कर चुके हैं सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव को यही मतलब है की दिवाई/डीएक्स कहीं कुछ ए रहा है उसको एक बार और आप डिफरेंशिएट कर दें ऐसे तो इसकी वैल्यू जो बनती है d²y/dx² का दीजिए दिस इसे डी सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव बात समझ में आई होगी की हमें क्या करना है दी / डीएक्स को एक बार और डिफरेंशिएट करते हैं फंक्शन को दो बार डिफरेंटशिएट कर देना है बस सेकंड और थर्ड ऑर्डर है नहीं कोर्स में जब सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव ये रहा क्वेश्चन आपके सामने इसको भी करके देखते हैं अब यहां पर इस क्वेश्चन में बोला है एक्स बराबर ये पैरामेट्रिक फॉर्म में देखिए θ से लिंग है दोनों तो एक्स बराबर ए कोस थीटा ए = सेकंड डेरिवेटिव हमको निकलना है मैं उधर से करना चाहता हूं उधर से उल्टा जाना पड़ता है तो आपको दिखने में दिक्कत होगी तो अगर मेरे पास एक्स बराबर और मैं डिफरेंटशिएट कर डन तो डीएक्स अपॉन d3ta लिख दूंगा इसको और वैल्यू हो जाएगी माइंस ए साइन थीटा इसी तरह ए था हमारे पास 20 सिन थीटा लगाने ही पड़ेगा ना तो बी कोस थीटा अब हमें अगर डिवाइड चाहिए चाहिए तो हम लिखेंगे देवी बाय डी थीटा / डीएक्स / dθ दी / डी थीटा क्या था माइंस ए [संगीत] बी बी कोस थीटा और थीटा को उल्टा करके मल्टीप्लाई कर दे रहे हैं तो उल्टा करके मल्टीप्लाई करोगे तो यह नीचे ए जाएगा विच इसे माइंस ए ये वैल्यू यही थी तो इसमें उल्टा करने की जरूरत क्या है ये वैल्यू हो गई इसको सॉल्व करिए तो माइंस बी अपॉन ए कट थीटा तो ये तो हमने निकाला दी / डीएक्स [संगीत] सेकंड डेरिवेटिव निकलना है तो इसको एक बार हमको और डिफरेंशिएट करना है तो हम लोग एक बार और डिफरेंशिएट करते हैं d2 d2y/dx² अब यहां पर डर करने जाएंगे जब तो इसका डर करिए ठीक चैन रूल लगाते हुए तो माइंस बी अपॉन ए कट थीटा का मतलब है -कोस स्क्वायर थीटा * डी थीटा / डीएक्स थोड़ी आराम से देखिएगा प्रैक्टिस टी होगी वैसे आपकी अब डी थीटा / डीएक्स यहां कहीं निकाला है शायद ये दी θ/डीएक्स का उल्टा ए जाएगा तो पहले मैं लिख देता हूं इसको क्या [संगीत] कौशिक स्क्वायर थीटा कोस स्क्वायर थीटा डी थीटा जो होता है वो 1 / सिन थीटा कोस थीटा होता है और ये a² हो जाएगा तो मैं यहां वैल्यू लिख देता हूं सेकंड डेरिवेटिव और माइंस की फिगर ए गई बी/a2 क्योंकि ये बी रहा ये ए * ए मिल के a² 1 / सिन थीटा कोस sec² थीटा तो cosecut थीटा ए गया ये रहा कोसेक और यह आपका आंसर है आप इसको सेकंड डेरिवेटिव निकल सकते हैं जो पैरामेट्रिक वाला मेथड था वह तो आपको अप्लाई करके ही जाना पड़ेगा नोट करिए एक सवाल और करेंगे तो मेरे ख्याल से आपने इसको नोट कर लिया होगा और आगे बढ़ते हैं हम लोग ठीक है तो ये सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव का यही मतलब है एक क्वेश्चन हमारे पास और है सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव के लिए उसको भी करने का प्रयास करेंगे तो यहां पर हमको दिया है इफ ए = ए की पावर ए कोस इन्वर्स एक्स की वैल्यू -1 से बड़ी और एक से छोटी है फिर दें शो डेट फिर हमको ये प्रूफ कर रहा है यहां देखिए सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव लगा हुआ है इसलिए हमको सेकंड हमको सेकंड ऑर्डर डेरिवेटिव चाहिए होगा दो बार डिफरेंटशिएट करना पड़ेगा तो इसको पढ़ते हैं हमारे पास दे रखा था ए = ए की पावर ए कोस इन्वर्स एक्स अब यहां पर अगर आप चाहे तो लोग ले सकते हैं adervise ए की पावर एक्स की तरह ट्रीट कर लीजिए इसे फंक्शन की पावर फंक्शन नहीं है है ना तो यहां पर हम लोग लोग लेंगे तो भी सवाल कर पाएंगे आप लोग नहीं लेंगे तो भी हो जाएगा जहां पर इफेक्ट्स की पावर जीएक्स होता वहां बिना लॉक लिए नहीं होगा खैर अब इसको मैं सीधे तरीके से कर रहा हूं तो दी/डीएक्स लेता हूं इसकी रिस्पेक्ट में डिफरेंशिएट करेंगे तो ए की पावर ए कोस इन्वर्स एक्स ए जाएगा फिर ए कोस इन्वर्स को एक्स को डिफरेंशिएट करेंगे तो ए जाएगा कोस इन्वर्स एक्स को डिफरेंशिएट करेंगे तो -1 / √1 - x² ए जाएगा ध्यानपूर्वक देख लीजिए इसको अब इसको ये जो लिखा हुआ है ए की वैल्यू ये इसको मैं ए पुट कर देता हूं तो इसको लिखते वक्त दी / डीएक्स क्या हो जाएगा दिस इसे इक्वल तू माइंस ए ए अपॉन अंडर रूट वैन माइंस [संगीत] ए गया है अब इस रूट वाले को इसके साथ ले लो नहीं ये परेशानी थोड़ी देगा रूट 1 - x² कर देते स्क्वायर दोनों तरफ अगर हम इसको स्क्वायर कर देंगे तो वैल्यू ए जाएगी 1 - x² होली स्क्वायर और इसका स्क्वायर हो जाएगा [संगीत] ट्रीट किया जाएगा तो फर्स्ट फंक्शन लिखता हूं 1 - x² करने गए तो पहले क्या लिखेंगे तू इन दी / डीएक्स और फिर दी / डीएक्स का डर यानी डी/डीएक्स * दी / डीएक्स जो की सेकंड डेरिवेटिव ए जाएगा इसलिए ऐसा लिखा है ये कहानी आएगी शांति से देख लीजिएगा प्लस secondaryti बाहर और 1 - x² का डर जो की आएगा - 2X और यह वैल्यू किसके बराबर है a²y² तो a² तो ए गया इधर 2y आया और ये आया दी / डीएक्स ये कहानी अब पुरी कहानी में हम लोग दी / dxis को डिवाइड कर देते हैं तो डिवाइडिंग भाई और भी किसी चीज से कर सकते हैं तू से डिवाइड बाय [संगीत] डिवाइडिंग भाई इतना अब यहां पर यह वैल्यू क्या बचेगी 1 - x² और ये ए जाएगा सेकंड डेरिवेटिव यहां पर 2 और 1 / एक्स खत्म हो चुका है यानी में आएगी वैल्यू - एक्स / डीएक्स है चुका है तो वैल्यू ए जाएगी a²y ये देखिए यही चीज है बस ए स्क्वायर इधर लिया गया है मैं लिख देता हूं चलो तो ये देखिए x² सेकंड डेरिवेटिव - एक्स / डीएक्स - a²y = 0 एंड दिस इसे हंस प्रूव्ड अब इसको आप मैं सामने से हटा हूं नोट कर लीजिए शांति से करके भी एक बार क्या करिएगा क्वेश्चन सामने रखकर पॉज कर लीजिए और लगाइए एक बार देखिए लग रहा है की नहीं लग रहा है और नहीं लग रहा है तो आपको दिखाई पद ही रहा है कैसे करना है मैं है जाता हूं उसको नोट कर लीजिए फिर आगे की बात हम लोग करेंगे तो उम्मीद है आपने पॉज करके या स्क्रीनशॉट ले लिया होगा इस तरह से पूरा सिलेबस जो आपके सिलेबस में है वह मैंने पूरा कवर कर दिया है अगर यह वीडियो हेल्पफुल हो पसंद आया हो तो लाइक करने में कुछ नहीं जाता अरविंद सर को मोटिवेशन आता और अपने किसी एक दोस्त को यह वीडियो जरूर शेयर करना है आपको जिससे उसको पॉजिटिव अच्छा कंटेंट मिले पढ़ने के लिए और अरविंद सर को पॉजिटिव मोटिवेशन की और अच्छा सपोर्ट आपको ऑफर कर पाएं आपकी तरफ से अरविंद सर को यह गुरु दक्षिण होगी जिसमें आपका कोई खर्चा नहीं है यह सारे वनशॉट औरों से डिफरेंट है बेटा क्योंकि अरविंद सर की जो वैन शॉट है वो उसमें सभी टॉपिक आपको कवर मिलते हैं जीरो तू जीरो सीरीज ना आता हो देखिए काफी ए जाएगा पूरे टीचिंग थी कोई फालतू टॉक्स मैंने नहीं की पढ़ के दौरान आपने वीडियो पूरा देखा है अंदाजा आपको लगा होगा इसका प्रेजेंटेशन अगर आपको चाहिए चाहिए होता है बहुत बच्चों को तो अरविंद अकादमी टेलीग्राम चैनल को ज्वाइन कर सकते उसका लिंक डिस्क्रिप्शन में मैं दे रहा हूं क्लिक करके फ्री ऑफ ज्वाइन कर लीजिए और वहां पर पीडीएफ मिलती चलेंगी कुछ बच्चे मुझसे पढ़ना चाहते हैं तो अरविंद अकादमी ऐप आता है उसका लिंक भी डिस्क्रिप्शन में है आप डाउनलोड कर सकते हैं स्टोर सेक्शन में जाकर देखिए कई सारे कोर्सेज हैं जो आपको बहुत अच्छे नंबर दिलवा सकते हैं जो भी आपके सबसे सूटेबल आप ले ले और अच्छे नंबर लेकर लिए उम्मीद करता हूं की इस वीडियो ने आपके लिए हेल्प किया होगा और आप कड़ी मेहनत करके अपनी परफॉर्मेंस को सुपर परफॉर्मेंस में तब्दील कर देंगे थैंक यू वेरी मच विश यू ऑल डी बेस्ट