प्रेम प्र हेलो स्टुडेंट्स मैं डॉक्टर गजेद दुपरूरीत और आप देखने मेरा यूट्यूब चैनल जहां पर मैं वीडियोस अपलोड करता हूं फॉर इंजिनेरिंग मैथमेटिक्स बीएस इस तुन अगर आप किसी भी कॉंपिनिटिव एग्जाम की तैयारी कर बनने वाला हूं द इस वैक्टर स्पेस और यह लीनियर एलजब्रा की सीरीज है यहां पर में वैक्टर स्पेस है तो इस पैसे द डाइमेंशन बैस इस लीनियर ट्रांसमेशन द इन मैट्रेसेस है उसके अंदर फिर आइएगन वेल्यूज आइएगन वैक्टर के लि तो उसके बाद आगे जो diagonalization है और Jordan canonical form है यह सब topics मैं आपके साथ one by one लेके आने वाला हूँ और student मैं आपको बता दूँ कि मेरा एक नए channel है जहाँ पर मैंने वीडियो स्टार्ट किये हैं CSIR net exam के लिए student अगर आप life science, physics, chemistry, mathematics किसी भी subject के साथ अगर आप net के exam की तयारी कर रहे हैं और साथ में part A जो general aptitude मेरे previous videos देख सकते हैं student में बात करते हैं बात करूँगा vector space के बारे में, और जो vector space का जो concept होता है, यह linear algebra में बहुत ही important concept होता है, और पूरी linear algebra इसी concept से आगे चलती है, पर इस सो समझने से पहले आपको यहाँ पर group theory का idea होना ज़रूरी है, कि group की definition क्या होती है, then उसकी बाद ring की definition है, field के बारे में idea होना चाहिए, तो एक्सटरनल कंपोजिशन दो वर्ड बड़े इंपोर्टेंट होते हैं आप इंटरनल कंपोजिशन एक्सटरनल कंपोजिशन राइट तो यह क्या होता लेट वी बी द एनी सेट देखो इंटरनल का मतलब ताएगी सेट के बारे में बात की जाए रहे हैं तो यह नियुक्त वी वेक्टर ही होगा रहा है और नॉमली यहां पर वेक्टर एडिशन की बात करेंगे यहां पर ठीक है इस पर बात करेंगे एक्सनल कंपोजिशन क्या होता है लेट वी एंड एफ बी एनी टू नाउन एमटी सेट यहां पर वी और एफ दो देखो यहां पर है जो भी होता है हमारे पास क्या होता है वेक्टर होता है राइट दिन मैपिंग एफ वी क्रॉस एफ टू वी है ना हमारे जो मैपिंग जा रही हो गया जा रही है वी क्रॉस एफ टू वी जा रही है इस सेट विद एक्सनल कंपोजिशन इन वी और एफ और also called scalar multiplication, है ना, यहाँ पे जो field से एक element लेते हैं, है ना, alpha type का, और v से एक element लेंगे, तो ultimately इन दोनों का जो product है, है ना, वो हमेशा क्या होना चाहिए, क्या होना चाहिए, vector होना चाहिए, right, तो यह हमारे पास क्या होता, this is called scalar multiplication, right, और यहाँ पे हम excellent composition इसको बोलते हैं, clear, so इस बात करेंगे vector space की बारे में, let f dot, f plus dot be the field, the element of f, be called scalar, स्टूर्णी इस field के जितने भी elements होते हैं इसको हम क्या बोलते हैं scalars बोलते हैं right let V be any non-empty set V एक non-empty set है whose element will be called as a vector इसके जितने भी elements इसको हम vector बोलते हैं then V is a vector space over F स्टूर्णी यहाँ पे जो V होगा वो F पे क्या होगा vector space होगा V और F है न यह कुछ properties हैं वो satisfy होनी चाहिए सबसे पहली property क्या होगा there is a defined internal composition होना चाहिए in V called addition of a vector and denoted by plus, इसको हम plus से denote करते हैं, and also this composition V is an abelian group, इस तुर यहाँ पे हम, मैंने बुला कि जो हम internal composition की बात करेंगे, तो यह जो vector space का, जो V का set है, यह हमेशा plus में क्या होना चाहिए, abelian group होना चाहिए, इस तुर अबिलियन गुर्प की सभी properties यहाँ पे satisfy होनी चाहिए, पहली property क्या होती है, closer, दूसरी property क्या होती है, abelian, अबिलियन बुला तो commutative, इस तुर तुरी property होती है, associative, वो ही तीनो lines है, यहां पर क्या होगा identity जीवन इडिंटीटी होगा स्वेद नेक्स्ट क्या होती है इनवर्स वाले तो टेंशन लेने से इतनी बड़ी है कि इंटरनल कंपोजिशन लग रहा है एडिशन है ना नेक्स्ट बात करते आगे देन सेकंड पॉइंट देर एक्सपोजिशन इस प्रेडिशन कंपोजीशन भी और फिल्ड के एलिमेंट लेंगे ना और एफ इस कॉल्ड स्किलर मुल्टिप्लिकेशन एंड बाय दिल्ली प्लेटिव लेंटिप्लीकेटिव देट इस एलफा बिलॉक्स टू वी फॉर ए बिलॉक्स टू एफ इस फिल वेक्टर का एक एलिमेंट लेंगे, इन दोनों को प्रड़ट करें तो वो किस में जाना चाहिए? वेक्टर में जाना चाहिए, और अधर वर्ट्स वी इस कॉल्ड क्लोज़ विद रस्पेक्ट टू दा स्किलर मिल्टिप्लिकेशन है, मतलब ये जो वी है ये क्या होना चाह तो यह बड़ी important property होती है, मैं आपको बताऊंगा, क्योंकि हम एक example prove करेंगे यहाँ पर, कि जो Q और Z होता है, Q और Z जो होता है, वो कभी भी हमारे पास vector space नहीं होता है, तो इसी properties हम prove करेंगे, कि यह vector space, नहीं होता, मैं आपको बताओंगा, clear है, तो वे अगे बढ़ेंगे, देखेंगे, खैर आगे बढ़ते हैं, the two composition, that is scalar multiplication, देखो यहाँ पर सबसे पहली जो हमारी property थी, V plus क्या होना चाहिए, abelian group होना चाहिए, तो वो खाली plus के बारे में थी, right, वेक्टर addition के बारे में थी, next and addition of the vector satisfy the following properties क्या होना चाहिए alpha beta this is beta right into a तो a किस चारा यह जो a है यह scalar है और alpha beta हमारे पास क्या vector है तो यह distributed होना चाहिए लेकिन अंदर के तरफ multiply हो जाना चाहिए यह प्लस b अगर फिल्ड हमारे पास scalar है और alpha है तो यह भी क्या होना चाहिए a alpha प्लस b beta b alpha हो जाना चाहिए for all a,b belongs to f and alpha belongs to v अगर हम a,b alpha लें और 1.alpha is equal to बिल्कुल टू क्या होना चाहिए फॉर ऑल अल्फा बिलॉंग्स टू विन एंड वन इस एयर यूनिट एलिमेंट ऑफिल्ड ऐड फैन जो वन है यह क्या होना चाहिए इन दोनों कंपोजीशन का मिक्स होता है तो देखो पहली प्रॉपर्टी की आप भी प्लस जो होना चाहिए वह 1.α is equal to α, यहाँ पर एक property और आ जाती है, right, तो यह सब property मिलके हमारे पास यहाँ पर क्या होता है, vector space बनता है, clear, इस पर यहाँ पर कुछ example है, जो vector space पर होता है, सबसे पहले example ही है, बड़ा important example है, और n tuples वाला है, यह हमेशा vector space बनता है, r in over r, इसको बोलते है, r in over r, यह हमे� और जो field है, वो हमारे पास r plus dot है, तो यह हमेशा v over f क्या होगा, vector space होता है, clear है, इस विन अगर हमारे पास px कोई polynomial दे रखी है, इस type की कोई polynomial है, और जिसके polynomial के coefficient है, वो क्या है, real number है, right, तो यह हमेशा field of real number पे क्या होता है, vector space होता है, इस विन एक और example है, v हगर हमारे पास f mapping दे रखी है, यह एक real value function है, जो r to r mapping जा रही है, यह भी हमेशा field of real number पे क्या होता है, vector space होता है, इस विन सबके proof है, पर आपको proof में गुसने की जरूरत नहीं है, यह तक कोई exam में question पूछे नहीं जाते है, जो पूछे जाते हैं वो भी मैं कराऊंगा, clear है? So, next देखें student यहाँ पे, यह sequence, हमेशा इस type की जो sequence होती है, a belongs to r, बी sequence, तो यह हमेशा field of real number पे क्या होता है? Vector space बनाता है, right?
Every field is vector space over its subfield, student हर जो field होता है, हमेशा उसके subfield पे क्या होता है? इससे हम जाते हैं, Z belongs to, Z जो subset होता है, Q का होता है, तो यहाँ पे हमेशा C, C over R एक vector space होगा, है न, यह इसका subfield है, है न, हम जानते R जो होता है, वो subfield होता है C का, right, इस फिर C over Q भी हमेशा vector space होता है, clear है, है न, इस फिर R over Q भी हमेशा vector space होता है, clear है, यह हमेशा vector space होता है, पर इस फिर आगे बताना चाहता हूँ कि जो Q और Z है, यह vector space नहीं होता है, clear है, मतलब आप बताना चाहें यहाँ पर कि Q और Z जो होता है, वो हमेशा vector space नहीं होता है, clear है, यह ध्यान देने की जर होता है, clear है, क्यों नहीं होता है क्योंकि हम बात करें यहाँ पर, आपके पास जो एलिमेंट आते हैं है ना जो यहां पर हमारे पास स्किलर मल्टिप्लीकेशन वाला जो कंसेप्ट आता है वह यहां पर क्या होता है गड़बड़ कर जाता है क्लियर है और पैसे मां पूछा जिसे यहां पर क्या होना फिल्ड होना चाहिए Q root 2 over Q, इस vector space होता है, C over R vector space होता है, so like these are the example of vector space, clear है, इस पर कुछ example है, अब exam में एक कोई competitive exam है, वहाँ पर हमें equation यह prove करना है, यह vector space है या नहीं है, तो वह इता बाड़ा prove करने थोड़ी बेटे हैं, हम कुछ simple property से एक question को पता लगा सकते हैं, कि अरे vector space है या नहीं है, for example, check whether the vector space is this or not, यह हमें दे रखा है 2X 3Y QN 4Z square, clear है, हम देख रहे है 201, 201, 201, इस विरेंट 2 यहां र� और यह बन रखे तो 4-4 जीरो मतलब इसके अंदर जा रहा है क्लियर है क्योंकि सेटिस्ट करना जो इसको सेटिस्ट करेगा वह इसके अंदर जाएगा राइट तो यहां पर देखो 802 इसको सेटिस्ट कर रहा है क्लियर है अब यह भी वेक्टर पर देखो भाईया यह 10, 0, 3 लखने पर यह minus 36 आ रहा which is not equal to 0 इसका मतलब यह vector space नहीं होगा क्योंकि यहाँ पर जो additive vectors दिली this 10, 0, 3 does not belongs to V therefore set V is not a vector space वैक्टर स्पेस है ना तो इस तरीके से हम यहाँ पर कूर कर सकते हैं इस विन सेकंड एग्जांपल देखिए आप क्या बोल रहा है चेक वेदर द सेट वी देश ए माइनस बी इंटू सीज इकुल जीरो इस वैक्टर स्पेस और नोट आप से पूछा जा रही है कि क्या ए पर आप देखो इन दोनों का जो sum है student वो कितना रहा 362 आ रहा है ना तो 362 इसको क्या कर रहा है 0 नहीं कर रहा है ना इसका मतलब यह बाराबर 0 नहीं हो रहा है so therefore the closure property is not satisfied so this is not a vector space clear है यह vector space नहीं होगा next देखे student problem 3 यह exam में बहुत पूछा जाता है क्षेना ना show that the set of all order n tuples of a the element of any filled f is a vector space over the filled f यह जो एंटर वाला जो हमारे पास होता है यह मिश्चिया फैक्टर स्पेस और एफ होता है तो कैसे करेंगे देखो यहां पर पूल मिला कि आप यह प्रूव करना है कि जो भी प्लस होगा वह क्या होगा अब लेने ग्रूप होगा तो उसके बाद आप जैसे A1, A2 है तो वो two tuples हो जाएगी, यहाँ पर n tuples हो रहा है, it's called n tuples over F, and the set of all these n tuples over field F will denote it by, इसको हम इस तरह से denote करते हैं, वी एन एफ या वी एल से denote करते हैं, let us define the vector addition and scalar multiplication equality of the n tuples as follows, हम बात करेंगे vector addition, student यहाँ पर हमारे पास दो vector है, alpha और beta, यह ऐसा alpha है और यह हमारे प तो यह पहले से एड होगा ना दूसरा दूसरे से होगा कंपनेंट वाइस है तो यह तो इसका क्या होगा वेक्टर एडिशन होगा ठीक है अब यह होता है और हम जानते हैं यह चुकी दो वेक्टर है तो दोनों का समभी क्या होता वेक्टर होता है और इसको क्या है और एक बिलॉक्स टू एफ निकले ले एक इसके लिए तो इस प्लेस मिल्टिप्लाई करें तो हर एक से मिल्टिप्लाई और हम जानते हैं यह भी फिर क्या आगा, यह भी हमारा vector होता है, यह पूरा फिर हमारा n-tuple क्या हो जाएगा, vector हो जाएगा, हम जानते हैं यह सब element, all are element of f, right, hence the v and f is a close with respect to the scalar multiplication, right, हैं ना, now equality of n-tuples, now equality of n-tuples क्या होता है, यह two n-tuples है ना, तो इस पूरा हमारे पास यहां दे रहा है, alpha यह दे रहा है and beta यह दे रहा है, right, तो हम जानते हैं, it's said to be equal, कैसा एकवल, अगर यह element वाइस सबी क्या हो, इसके एकवल हो गया ना, a1, b1 के बाराबर जाए, a2, b2 के बाराबर जाए, पर इस तरह से होता है ना सुझानी यहां पर हम बात करेंगे कि सबसे पहले विजय जो है वह अब इन ग्रुप है किनी एडिशन में तो देखो यार मैं बताना चाहता हूं विन प्लस जो होता है वह मिशा अब इन ग्रुप बनेगा आप देखो एंट अपल यहां पर इसे एलिमेंट मिल जाएंगे इसमें सब के एलिमेंट को हम वापस वह एदर भी ऐसा भी कर सकते हैं तो लाइक यह पूरा बन जाएगा तो यह इजीली इसको यहां पर आसोसिटी हो जाएगा राइट नेक्स्ट देखिए इस पर यहां पर अगली प्रोपर्टी देखिए इस पर यह तो असोसिटी हो जाएगा इसमें बात करने कमीरिटी फॉर एडिशन तो दो अल्फा प्लस अगर मैं एवन प्लस बीवन को बीवन प्लस एवन कर लो पर नहीं पड़ने वाला नहीं है ना तो यह वापस बीटा प्लस अलफा जाएगा तो यह असोसिटिव हो जाएगा मतलब हमारे पास कमेटिटिव हो जाएगा और उसके बाद नेक्स्ट बात करेंगे अबिलियन ग्रुप यह होगी हमारे पास ना सॉरी जीरों अब बात करें इस एंटर का इनवर्स की बात करेंगे तो एवन एटू ए इसका इनवर्स क्या है का माइनस एवन माइनस एड करेंगे तो क्या जाएगा आइडेंटिटी 00 जाएगा तो बड़ा सिंपल है देखो यह रिका माइनस एवन माइनस एड राइट है ना यह प्रेमिनी भी कर रहा है एक्सिस कर रहा तो यह हमारे पास क्या हो जाएगा वी प्लस क्या हो जाएगा बिल्लैन ग्रुप हो जाएगा इस प्रेमिनी बात करेंगे स्किलर मल्टिप्लिकेशन इस डिस्ट्रिप्रेटिव और द वेक्टर एडिशन है तो वह यहां पर ह ले लेंगे अब क्या करेंगे ए ले लिया सबसे लेने अल्फा प्लस बीटा को एड करेंगे ना तो अल्फा प्लस बीटा को एड करेंगे इस रह सा जाएगा फिर यह इसके अंदर क्या होगा प्रोडक्ट होगा तो इन दोनों इस पर प्रोडक्ट हो जाएगा डिस्ट्रीबीट हो जाएगा और द वेक्टर एडिशन प्रेड नेक्स्ट देखिए आप द मल्टीप्लीकेशन बाय वेक्टर एडिशन इस डिस्ट्रीबीट व्यू और द इसके लिए एडिशन तो यहां पर क्या होता है हमारे अलफा निकालेंगे तो हम यह प्रूव करेंगे कि एलफा प्लस बीएलफा हो जाए लेरे हम यह प्रूव करना चाहिए तो वहीं अलग हो जाएगा फिर यह बीएट वन अलग हो जाएगा फिर यहां से आप देख रहे हैं क्या एक ओमन आज दर्श भी को मना रवापी से एलफा प्लस बीएट पाउज आइट तो बड़ा सिंपल है इजील इम्स को प्रूव कर सकते हैं नेक्स्ट इसमें यहां पर क्या देखा देखिए लिखेशन असोसिटी इसके लिए मडिप्ली केशिए क्या होता है आसोसिटी होता है वहीं अब यहां पर यहां पर यहां तो हम जानते है फिल्ड है तो अब इसलिए multiplicative identity होगी यहाँ पर है तो 1.alpha है तो 1 यहाँ पर 1 लेंगे a1, a2, a3, a4 यहाँ पर alpha के बाराबरी आएगा तो 1.alpha है alpha है ना since all the postulates of the vector space are satisfied देखो यहाँ पर सभी मैंने satisfy कर दिया कि जो हम बात करे थे vnf में जो v plus है उसके अंदर abelian group होना चाहिए तो उसके बाद यहाँ पर हमने scalar multiplication वाली property जो थी वो हमने देखी यहाँ पर तो उसके बाद distribution की property देखें देखी vector addition and scalar multiplication की तो like easily हम यहाँ पर इसको prove कर सकता है so student इस example को देखिया आप क्या बोल रहा है the question let V A, B belongs to R where R is filled show that V is not a vector space or R under the following addition and scalar multiplication student यहाँ पर operation दे रहे हैं इस operation में आपको पता लगाना है कि यहाँ पर क्या होगा vector space नहीं होगा right तो student यहाँ पर A.B plus C.D is equal to 0B plus D operation लगाते हैं यहाँ पर अलफा वन प्लस प्लस अलफा टू एक हमारे पास अब हम क्या करते हैं यहां पर यह प्लस अलफा टू एक हमारे पास अब हम क्या करते हैं यहां पर यह प्लस अलफा टू एक हमारे पास अब हम क्या करते हैं यह प्लस अलफा टू एक हमारे पास अब हम क्या करते हैं यह प्लस अलफा टू एक ह यह करते हैं अलफा वन अंदर जाएगा तो इसमें क्या हुआ यहां पर अलफा वन ए अलफा वन बी ठीक है ना प्लस यह आएगा अलफा टू ए पॉवर अलफा टू बी ले रहे हैं अब इन दोनों को एड करेंगे तो यह वाला ऑपरेशन लगेगा यह पर अल्फा वन प्लस बी प्लस अल्फा टू प्लस बी तो भाई आप आप देख रहे हो कि यही चीज की वेल्यू यहां पर यह आ रही है जबकि इसी को हमने इस दूसरे ऑप्शन की तरफ मतलब इसको इस तरफ मल्ट मल्टिप्लाई किया तो यहां पर इसकी वेल्यू यह आ रही है जबकि आने क्या चाहिए दोनों स्पेस नहीं होगा अगर हां कैसे होगा अगर यहां पर यह हो जाता है कि ए प्लस सी कोमा बी प्लस यह ऑप्शन यह हो space हो जाएगा, right, पर यहाँ पर यह zero हो गया, इस वज़ेसे यहाँ पर vector space नहीं हो जाएगा, because यहाँ पर यह property satisfy नहीं होगी, right, so student, मैंने जो यहाँ पर vector space का ग्यान दिया हो, आपको समझ में आया होगा, और student मैं आगे भी vector space sub space के बारे में, कि sub space होता क्या है, and वहाँ पर कुछ properties होती है, कैसे हम किसी भी set को sub space यहाँ पर approve करते हैं, उसके लिए condition होती है, condition का proof है, वो लेके आउँगा मैं, then basis, dimension, so student last minute, पास मेरे वीडियोस है यह सीएस एयरनेट की प्लेज लिस्ट जहां पर मैं अपनी वीडियोस कर रहा हूं इस विडियो में मेरे मैथमेटिकल में फिजिक्स के अंदर या जो ग्रुप थ्यूरी की वीडियो है यह आप देख सकते हैं इस विडियो मेरे दोनों लाइक करें शेयर करें और कमेंट जरूर करते रहे धन्यवाद झाल