दोस्तो प्रदिविरी अकाइटमी चैनल में आपका बहुत-बहुत स्वागत है आज हम पूरी एड सीरीज में लेक्शन नंबर सिक्स लेकर आया है जिसके अंदर हमारा जो इंटरवल है दोस्तों जीरो टू एल वाला इंटरवल है मतलब अभी अब देखो यहाँ पे same जैसे हमने वहाँ पे formula यूज़ किये थे वैसे same यहाँ पे formula आएगा याद होगा हमने वहाँ पे a0 का formula लिखा था 1 upon 2 pi तो यहाँ पे आप क्या लिखोगे 1 upon pi की जग़ा पे क्या आएगा l और यहाँ पे interval क्या था दोस्तो आपको पता होगा 0 2 यहा� 1 upon π लेते थे तो 1 upon L आएगा कोई आपको नया formula याद करने की जरूरत नहीं है यहाँ पे 0 to 2L जैसे था और यहाँ पे क्या आएगा F of X और साथ पे क्या आएगा cos nx हम लिखते थे बस याद रखना कि nx के बदले यहाँ पे बस एक extra term आएगा πाए और नीचे के आता है दोस्तों L यह हमेशा याद रखना cos nπx upon L तो यह एक नया term यहाँ पे आपको बस दिखाई देगा, जो आपको, जिसके बारे में आपको पता होना चाहिए, कि n pi upon l into x, और दोस्तों इस साथ में क्या आएगा, यहाँ पे dx, तो यहाँ पे भी 1 upon pi लेते थे, तो 1 upon l, 0, 2, यहाँ पे क्या आएगा, 2l, यहाँ पे भी क्य तो दोस्तों इस तरह से यह हमारा पूरा का पूरा फॉर्बुला है जो फॉर्बुला आपको फिर से याद करनी की ज़रूरत नहीं है अब आपके मन में एक कॉशन यह आ रहा होगा कि सर L वाला टाइप कौन सा है कैसे हमें पदा चलेगा कि हमारे एकजाम में यह L वाले टा� और यहाँ पे हम क्या लिखते थे दोस्तो, cos nx, बस वही यहाँ पे, एस्टरट हम क्या आजाएगा, n, pi, l, x, और साथ में क्या आजाएगा, summation of n equal to 1, तो infinity, bn, और यहाँ पे क्या आजाएगा, दोस्तो, sin n, pi, by, x, और यहाँ पे क्या, pi, by, l, और यहाँ पे क्या जाएगा, बहुत अच्छे से चीजे आपको समझ में आएगी, देखो यहाँ पे हमने first question लिया है, find the Fourier expansion of something यहाँ पे हमें question में दिया हुआ है, और यहाँ पे लिखा है दोस्तो 0 to A, अब यहाँ पे आपको यह समझने की जरूरत है, कि यहाँ पे अगर आप देखोगे, तो यहाँ पे द और अगर समझो यहाँ पे कुछ लिखा होता, अभी हम इसके अंदर, जैसे हमने उसमें minus pi to pi पड़ा, तो यहाँ पे भी हम पड़ेंगे, minus L to L, सब कुछ अभी आगे one by one पड़ेंगे, तो देखो यहाँ पे कुछ भी value, अगर समझो pi के अलावा, अगर कुछ भी value दिखाई एल का वैल्यू कैसे निकालेंगे हमेशा कोशिशन को यह वाले इस टाइम 02 जो 02 दिया होगा उस वाले कोशिशन को हमेशा टूएल से कंपैयर करना यहां पर जो भी नंबर होगा उसको किसे कंपैयर करना है टूएल से अब टूएल तो आप क्या करोगे 2L equal to क्या लिखोगे C तो L equal to C by 2 तो इससे tension लेने की जोरत नहीं है अब देखो यहाँ पे मैं A0 की value निकाल रहो A0 का formula मैं वही वाले formula को याद रख रहा हूँ मैं कुछ नया नहीं कर रहा हूँ नया क्यों याद कर रहे है याद वही वाला हमारा formula क्या था 1 upon 2Pi यहाँ पे हमारा क्या था interval 0 to 2L तो यहाँ पे मैं 2L लिख रहा हूँ F of X का value हमारा क्या है दोस्तो X square और यहाँ पे क्या था DX एल का फॉर्मुला मुझे पता है, या तो मैं डारेक्ट 2L की जगा पे वैल्यू रख सकता हूँ, देखो 2L इकवाल टू क्या है, ए है, तो आप डारेक्ट यहाँ पे 2L की जगा पे, डारेक्ट यहाँ पे आप पूरे 2L की जगा पे आप डारेक्ट क् अब देखो यह 3 मैं बाहर ले रहा हूँ, अब यहाँ पे A अगर मैं पूट कर रहा हूँ, तो क्या आएगा, A क्यूब माइनस 0 क्यूब, तो जनरली अगर मैं इसे सॉल करूँ, तो 1 अपन 3A, मल्टिप्लाय बाए A क्यूब, तो फाइनली दोस्तो अगर मैं इ अब देखो यहाँ पे जो आपको answer दिखाई दे रहा है दोस्तो देखो एक ए इसमें से एक answer हो जाएगा तो a2 है मतलब हमें a square by 3 मिला मतलब यहाँ पे हमें दोस्तो a0 का answer कितना मिला a square by 3 यह भी आपको बहुत अच्छे से समझ में आ गया अब यह आपने अगर समझ लिय 0 to हम क्या लेंगे 2L और यहाँ पे क्या होगा दोस्तो F of X multiply by cos हम क्या लेते थे NX लेते थे पर यहाँ पे क्या हो जाएगा दोस्तो N, N को हम किसे Pi by L से multiply करेंगे और DX तो इस तरह से changes इसके अंदर बस यही रहेगा अब देखो यहाँ पे हमें L का जो value है वो हमें पता होना च तो प्लीज समझ नहीं कोशिश करना, लाइउ देखना, नहीं तो गडबड हो जाएगा, देखो ये 0 है, 2L का वैल्यू कितना है, दोस्तो A है, F of X का वैल्यू कितना है, दोस्तो X square है, और ये cos N pi, हाँ, L का जो वैल्यू है, वो हमारे पास है, तो L का वैल्यू किया है, दोस् यहाँ पे A आएगा, यहाँ पे क्या है दोस्तो X square, और यह दोस्तो यह उपर चले जाएगा, तो यह क्या हो जाएगा दोस्तो cos 2N pi by A, और यहाँ पे क्या है दोस्तो X और DX, बस यह ध्यान रखना, अब आपके लिए वही same integration कुछ changes करने की ज़रूरत नहीं है, बहुत सारे लोग बोलेंगे कि आप please यह वाला formula याद करो, यह formula compulsory आपको याद करना है, पर मैं हमेशा मना करूँगा कि कोई formula आपको याद करने की ज़रूरत नहीं है, same वुसी formula, बस याद रखो कि pi की जगा पे क्या put करना है, L. अब दोस्तों यहाँ पर अगर आपको पता होगा U into V rule का हम जो formula apply करते थे, यहाँ पर x square same रहेगा, यहाँ पर इसका अगर हम integration लेंगे, अब देखो cos 2n pi a by x का integration क्या आएगा, sin 2n pi x upon a, और आपको पता होना चाहिए कि हम क्या करते थे, उस टाइम पे cos, वहाँ पे उस टाइ अभी आप देखोगे x के आगे ये जो पूरा का पूरा term है, ये पूरा का पूरा term क्या है, constant है, तो हम किस से divide करेंगे, 2n pi by a से divide करेंगे, अब दोस्तों ये अपना part हो गया, अब ये होने के बाद हम क्या करते है, minus लेते हैं, अब minus जब आप लोगे, फिर x पर का derivative क्या हैग x यहाँ पे हमने लिख दिया, upon, अब देखो यह वाला term फिर से, यह नीचे आ जाएगा, तो यह वाला term अगर फिर से same term अगर नीचे आ रहा है, तो 2 into 2 कितना हो जाएगा, 4, n एक और आ जाएगा, n square, pi square, और नीचे क्या हो जाएगा, दोस्तो a square, अब यह होने के बाद दोस् अब आप फिर से क्या करोगे ये पूरे पार्ट का derivative निकालोगे तो देखो पूरे पार्ट का derivative ले रहा हो तो minus ऐसी रहेगा तो ये पूरे पार्ट का derivative ले रहा हो तो देखो पूरे पार्ट का derivative ले रहा हो तो देखो पूरे पार्ट का derivative ले रहा हो तो देखो पूरे पार्ट का derivative ले रहा हो तो देखो पूरे पार्ट का derivative ले रहा हो तो देखो पूरे पार्ट का derivative ले रहा हो तो देखो पूरे पार्ट है तो बहुत ही सिंपल तरीके से आपको ध्यान देना है यहां पर देखो यहां पर क्या इंटरवल के हमारा एडिटू यह जीरो टू यह है अब आपको क्या करना है दोस्तों बहुत अच्छे से सब्सक्राइब पूटिंग बहुत अच्छा करना है पूटिंग अगर गडबड़ किया तो सब गडबड़ हो जाएगा अब दोस्तों यहां पर टू बाइट और आप इतना लेक्शन को देखते जा रहे इतना हर दिन lecture जाएगा four-year series का, तो आज भी जाना चाहिए, आज मैं घर पे recording बाकी के lectures की हाँ, बाकी class के, पर में बाद time था, पर light चली गई थी, और यहाँ भी light आ जा रही थी, पर अच्छा है कि अभी है, देखते है कब तक है, बस यह वाला type complete हो जाए, तो मज़ा आ जाएगी, तो मतलब यहाँ पर यह पूरा 0 हो जाएगा तो इसको लिखने की जरूरत नहीं है, यहाँ पर अगर आप put करने जाओगे, देखो यहाँ पर अगर आप put करोगे यहाँ पर भी पाई है तो यह वाला भी term आएगा नहीं, तो मतलब बस हम putting इसके अंदर करेंगे, इसके अंदर बहुत अच्छे से आप द्यान से देखना देखो यहाँ पर कॉस है 2n पाए है अब देखो यहाँ पर एक्स की जगह पर ए आएगा तो एक जाएगा कैंसल हो जाएगा तो यहाँ पर बस 2n पाए मिला और कॉस 2n पाए कितना होता है वन होता है क्या बात है मैंने फॉर्स लेक आपको पता है कि साइन 0 होगा तो इसमें अगर मैं 0 पुट करने जाओंगा तो देखो x है, मैंने बोला है जब भी अगर x रहा तो cost भी 0 ही हो जाएगा, क्योंकि यह 0 इंटू करेंगे तो पुरा 0 हो जाएगा, अगर यह नहीं होता तो यहाँ पर answer आता, तो दोस्तों आगे नीचे क्या बचेगा दोस्तो 4 n square pi square अब यहाँ पे अगर आप देखोगे तो दोस्तो देखो ये a cancel हो गया ये 2 cancel हो गया ये 4 के साथ अब दोस्तो इसके बाद कुछ नहीं cancel हो रहा है तो n square a square n square pi square तो दोस्तो अपना यहाँ पे a not sorry a n का answer आ गया a n का answer क्या है a square n square और pi square तो ये हमारा answer है है अब दोस्तों हम चलते हैं आगे हमारा नेक्स्ट जो पार्ट है मतलब हमने एन निकाल दिया अब चलते हैं दोस्तों हम बीएन के लिए इसके लिए चल रहें बीएन के लिए अब हमने यहां तक की चीजें कंप्लीट कर ली दोस्तों अब हमें आएगा जीरो टू यहां पर लिखते थे टू पाई मतलब यहां पर टू एल और यहां पर दोस्तों एफ ऑफ एक्स और यहां पर आएगा हां कॉस्ट के जब यहां पर आएगा और साइन अ एन पाए एल एक्स और डीएस प्लीज याद रखना यह फॉर्मला अब दोस्तों यहां पर वन अपन मैंने बोला है कि एल की जगह पर आप एल का वैल्यू रख दो तो एल का वैल्यू जो हमारे पास था आप अगर देखोगे फिर से दिखा रहा हूं आपको एल का जो वैल्यू हमारे पास वह क्या है दोस्तों ए बाइट तो हम क्या करेंगे दोस्तों यहां पर ए बाइट रखेंगे देखो यहाँ पे है sign n पाई ऐसे ही है दोस्तों, L के जगब पे क्या आएगा दोस्तों, L का value के हमारा a by 2 और x ऐसे ही रहेगा और dx, अगर आप इससे simplify करोगे तो यहाँ पे 2 by a, 0 to a, x square, अब देखो दोस्तों यहाँ पे sign, यहाँ पे क्या आएगा दोस्तों, यह देखो यह 2 उपर यहां तक की चीज़े आपको बहुत अच्छे दरीगे से समझ में आई है, अब मजे से हम क्या करेंगे, यहां पर U into V rule अप्लाई करेंगे, और U into V rule अप्लाई करके हमारा answer 100% यहां पर आने वाला है दोस्तो, देखो U into V rule आपको बहुत अच्छे से अप्लाई करना है, अभी x upon, आपको पता है x के आगे जो भी term है, आपको यहाँ पे नीचे क्या करना है, दोस्तो लिखना है, यह भी हो गया, then हम क्या करते है, minus sign लेंगे, then x square का integration, derivative क्या है दोस्तो 2x, then अगर इसका हम cos का integration लेने जाएंगे, तो क्या है दोस्तो sign, 2n pi by a x upon, यहाँ पे अगर x के आगे पाइट हो जाएगा पाइट स्कूल एंट्रो एक हो जाएगा एक जब भी आप इंटीग्रेशन अप्लाइड करोगे इधर उधर देखने यह जो माइनस है मतलब यह जो माइनस है एक और माइनस आकर प्लस हो जाएगा तो मैं इसलिए माइनस लिख नहीं रहा हूं तो यहां पर जरूर करके आएगा साइन का किसमें आएगा दोस्तों कॉस टू एन पाए बाय एक्स और आपको पता है फिर से टू एन पाए नीचे जो मैं यहाँ पर ट्रिक बताता हूँ वो चीज पर आपको ध्यान रखना है अदरवाईस बहुत गढ़बड़ करोगे देखो मैं यह A पूट करने आ रहा हूँ यह अगर मैं यहाँ तो कोई दिक्कत नहीं क्योंकि यह कॉस्ट वाला टर्म है तो मैं पूट करूँगा तो देखो यहां पर जाएगा एस क्वेर्ड यहां पर जाएगा दोस्तों देखो यह माइनस है ना यह माइनस ऐसी बाहर ले रहा हूं देखो यहां पर यह अगर मैं पूट करूँगा तो अब देखो मैं इसके अंदर A आ रहा हूँ पुट करने पर यहाँ पे 2Nπ है, answer 0 आने वाला है, क्या जरूरत है मत पुट करो, sign वाले में, इसमें अगर मैं आ रहा हूँ, तो यहाँ पे मैं पुट कर सकता हूँ, तो यहाँ पे देखो मैं पुट करने जा रहा हूँ, तो दे� जो भी नीचे का term बचा है दोस्तो लिख दो n, n cube, pi cube by a cube, अब दोस्तो ये पूरा का पूरा term हो गया हमारा, अब ये होने के बाद अब क्या आएगा minus, अब हम put करेंगे दोस्तो 0, 0 अगर मैं इसके अंदर put करो देखो cost का term है, तो 0 put करने पर 0 नहीं आता, पर आगे x square या x हो यह वाले के साथ अगर इसमें हम जीरो पूट करेगे तो जीरो नहीं होगा, तो यह चीज़ का आपको ध्यान रखना है, तो यह टू ऐसी ही रहेगा, यहाँ पर अगर मैं जीरो पूट कर रहा हूँ, तो यहाँ पर यह पूरा एंगल जीरो हो जाएगा, और कॉस जीरो क्या ह बहुत सिंपल तरीके से इसे क्या करना है दोस्तों, देखो यहाँ पे 2a, यहाँ पे मैं क्या कर रहा हूँ, a वाला पार्ट उपर ले रहा हूँ, तो क्या आ रहा है, minus a cube, 2n pi, plus 2a cube उपर आ गया, 8n cube pi cube, minus 2a cube, 8n cube pi cube, बस light नहीं जाना चाहिए दोस्तों, देखो यह plus minus, cancel same term है इसलिए cancel हुआ, तो finally यहाँ पे दोस्तो देखो, एक a है, इसमें से एक a cancel होगे, square आ जाएगा, और साथ में दोस्तो, यह 2, 2 भी cancel हो जाएगा, तो minus a square upon n pi, तो यहाँ पे हमें यह किस का answer मिला, दोस्तो bn का, तो finally यहाँ पे हमें दोस्तो bn का भी answer मिल गया, bn का answer हमारे पास आ चुका है, अब आपके पास यहाँ पे series है, f of x which is equal to, ए नॉट समिशन ऑफ एन इकवाल टू वन टू इनफिनिटी और यहां पर गया था दोस्तों एन कॉज एन पाइल नहीं लिखना है मैंने बोला एन लिखो और साथ में पाइल लिखो और साथ में गया है दोस्तों एक्स प्लस समिशन ऑफ एन इकवाल टू वन टू इनफिनिटी यहां पर गया गांव बी एन यहां पर गया दोस्तों साइन एन पाइल बाय एक्स अब दोस्तों य x square आपको पता है कि हमारा जो function है वो x square है, a naught का जो भी answer आया दोस्तो, a naught का answer क्या आया दोस्तो, हमारे a naught का a cube by 3, तो जो भी answer आया तो यहाँ पे आपको लिखना है, a cube by 3 plus summation of n equal to 1 to infinity, a n का answer क्या आया दोस्तो, a n का answer, a cube, आप पर एसवेड एन स्क्वेर पाइस वेश्वेद चाहिए दोस्तों से एसवेड आप बाहर ले सकते हो और पाइस वेश्वेद भी आप बाहर ले सकते हो और दोस्तों साथ में गया है कॉस एन पाइट और यहां पर एक से एल का वैल्यू पूट कर दो यहां पर यहां पर टू आ जाएगा तो इस तरह से आप रख सकते हो तो इसके बाद प्लस फॉर मिशन ऑफ एन इक्वल टू वन तो infinity bn का जो भी answer है दोस्तों, क्या है minus a square upon n pi, और यहाँ पे गया दोस्तों, sign, देखो यहाँ पे भी l का value put करूँगा, a by 2, तो 2 पर आ जाएगा, तो क्या है, 2n pi upon a, और यहाँ पे गया जाएगा x, तो दोस्तों, यह पूरा का पूरा हमें series मिला, अब, अब शाओगे तो तो आप उस इस हाफ से कर सकते हो क्योंकि मैंने आपको सिखाया तो प्रूफ करने वाला पार्ट वही रहेगा सेव जैसे हम एक्स इक्वाल टू जीरो पूट करते थे एक्स इक्वाल टू पाइपूट करते थे तो उसमें कुछ अलग न कोशिश करते हैं कि साइड एक और क्वेश्चन हो जाये मेरा नहीं तो फिर यह वाले वीडियोस को हम इतना ही कवर करेंगे तो दोस्तों चलते हैं अब नेक्स्ट क्वेश्चन कियों अगर आपने यहां पर नेक्स्ट क्वेश्चन अगर आप देखोगे तो यहां पर आपको तो हम क्या करते हैं यह जैसे मैंने इसके पहले 2L से इसको compare किया था इस बार हमारे last में 2 है तो मैं 2L से किसे compare करूँगा दोस्तो 2 को तो finally L equal to क्या आएगा 2 divide by 2 then L equal to कितना आएगा दोस्तो 1 तो यहाँ से मैं L का value मिल गया और यहाँ से मैं 2L का भी value मिल गया अब दोस्तो हम यहाँ पे 0 to 2 pi था तो 0 to 2 L और यहाँ पे गया था दोस्तो F of X और यहाँ पे गया DX और दोस्तो यहाँ पे 1 upon 2 pi 2 L का जो value है वो कितना है 2 है यहाँ 0 to यहाँ पे 2 L का value क्या आएगा 2 F of X अब हमें जो लिखना है दोस्तो तो अगर आप यहाँ पे देखोगे तो F of X यहा तो इस टाइप पर आपको दो जगबें F of X लिखते टाइप इस तरह से आपको लिखना होगा, पहले आप 0 to 1 जाओ, फिर 1 से 2 जाओ, तो कोई दिक्कत का काम नहीं है, याद रखना कि इस टाइप के चीजों में हमें इस तरह से जाना है, जैसे मैंने आपको वहाँ पर इ पहला interval अपना क्या है 0 to 1 है तो देखो मैं 0 to 1 जा रहा हूँ और यहाँ पर f of x क्या है उस टाइम पर हमारा f of x है pi x dx फिर दोस्तों इसके बाद हमारा interval है 1 to 2 जा रहा हूँ और उस टाइम पर हमारा जो value है दोस्तों वो क्या है उस टाइम पर हमारा जो value है वो क्या है 0 है और dx x का integration क्या होगा, दोस्तो x square by 2, और finally, इसका जो, जो भी limit है, दोस्तो 0 to 1 है, plus, अगर आप देखोगे, तो 0 का integration by 0 ही आता है, तो इसको solve करने की भी ज़रूरत नहीं है, और अगर मैं इसे आगे चलू, इसको simplify करू, तो simplify करने पर हमें answer क्या है, दोस्तो 1 by 2, 5 by 2 बाहर ले लो आप, x square में 1 को put करो, का square और एक बार हम 0 को put करेंगे 0 का square तो finally यह जाएगा pi by 4 और 1 का square 1 और 1 minus 0 वन ही होगा तो finally दोस्तो हमें pi by 4 मिल गया हमें किस का value मिल गया a0 का देखो करना कुछ नहीं है वही है बस यहाँ पे यह वाला step से याद रखना और already मैंने इसके पहले इस तरह के question solve कराए है दोस्त इसके बाद आपको यहाँ पे AN find out करना है, AN में formula क्या होता है दोस्तो 1 upon πाई, पाई की जगब हम क्या लेंगे, L, यहाँ पे हम क्या लेंगे, दोस्तो 02, 2L आपको पता होगा, जिसे 2πाई लेते थे, और यहाँ पे क्या आता है दोस्तो F of X, into cos NπLXDX, यह थोड़ा सा ध्यान रखने वाली चीज है, अब यहाँ पे अगर आप लोग हैं, तो देखो AN, यहाँ पे 1 upon, L का value कितना है दोस्तो L का L का अगर आप value देखोगे तो हमने निकाला है L का value 1 है यहाँ पे क्या आ रहा है दोस्तो 0,2,2L का value कितना है दोस्तो 2 है F of X अब फिर से हमें वही दियान बखना होगा तो लो पहले मैं यहाँ पे F of X ही रख रहा हूँ cos n pi X dx हो जाएगा क्योंकि L का जो value हमारा 1 है अब दोस्तो यहाँ पे an equal to 1 upon 1 मतलब वही होगा अब दोस्तों पहला यहाँ पे interval क्या होगा, 0 से क्या हैगा हमारा 1, f of x का हमारा value क्या है दोस्तों, pi x, इंटू जो यहाँ पे लिखा हुआ है, cos n pi dx, प्लस यहाँ पे दूसरा interval है हमारा दोस्तों, 1 से 2, और यहाँ पे जो हमारा value है, वो क्या है दोस्तों, 0 into cos n pi dx, अब अगर आप इसे solve करने जाते हो, 0 to 1, π x cos n π x dx, यहाँ पे साइब मैंने x लिखते टाइम नहीं लिखा, x आएगा, और दोस्तों यहाँ पे यह वाले का answer की आएगा 0 आएगा तो इसे हमें solve करने की भी ज़रूरत नहीं है अब ध्यान से आपको आगे देखना है अब यहाँ पे अगर आप देखोगे तो देखो दोस्तों यहाँ पे an equal to same वही criteria वही चीजे देखो यह आपका u हो गया और यह प n pi जो भी x के आगे है minus यहाँ पे क्या आजाएगा pi x का derivative pi और यहाँ पे क्या आजाएगा minus cos n pi x upon n square pi square तो finally दोस्तो यहाँ तक हम पहुँच गए अब यहाँ तक पहुँचने के बाद यहाँ पे जो भी इसका limit दिया है 0 to 1 वो लिख दो an equal to मैं 1 का जो value है अगर मैं यहाँ पे समझो, यहाँ पे एक्स के ज़रूर पे वन का वैल्यू पुट करता हूँ, तो यहाँ पे साइन एन पाई है, तो जीरो ही आने वाला है, तो कुछ मतलब नहीं है लिखके, और अगर मैं यहाँ पे पुट करता हूँ, तो यहाँ पे पुट करत यह माइनस अब मैं देखो जीरो पूट करने जा रहा हूं तो यह वाला टम तो जीरो ही होने आला है बट यह वाला टम दोस्तों यहां पर आपको पता है माइनस प्लस है तो कोई दिक्कत नहीं है यह पाइड ऐसी रहेगा अब देखो दिया दो देखो एन विच इस इक्वल टू अब यहां पर अगर मैं दिया दूं तो यह पाइ माइनस वन रेस्ट वेन अ यहाँ पे चाहूँ तो मैं एक पाई और एक पाई cancel कर दू तो यह पाई यहाँ पे आएगा नहीं दोस्तो और अंदर गया बचेगा n square पाई और यहाँ से भी एक पाई और एक पाई cancel हो गया तो 1 upon n square पाई अब दोस्तो अगर मैं देखूँ तो n square पाई दोनों में आ रहा है यह जैसे हो गया, अब इसके बाद हमें AN हमें मिल गया, तो अब हमें क्या करना है, next part हमारा क्या है, दोस्तो BN निकालना है, तो please अच्छे से जान दो, देखो BN के लिए भी formula क्या है, 1 upon pi वही आता है, वही same formula, आपको कुछ नया नहीं याद रखना है, pi की जगब यहाँ पे एल इक्वल टू हमने देखा है एल इक्वल टू अभी थोड़े देर पहले हमने देखा कि एल इक्वल टू वन है फिर भी हम देख लेते हैं कि एल इक्वल टू क्या है तो यहां पर हमने निकाला एल इक्वल टू वन है तो यहां पर हम क्या कर रहे हैं दोस्तों एल इक्वल दोस्तों f of x का जो value है आपको पता है कि आपके f of x का value क्या है 2 term में आया तो हम direct नहीं लिख सकते और l का value मैं 1 लिख रहा हूँ तो इसलिए कुछ लिखने की जरूरत नहीं है अब देखो मैं इसे लिख रहा हूँ bn equal to यह 1 by 1 का कुछ मतलब नहीं है देखो पहला limit क्या है 0 to 1 यहाँ पे क्या है दोस्तों f of x f of x का value क्या है पहले limit के लिए f of x का value है pi x पहले के लिए क्या है दोस्तों pi x है आप चाहिए तो उपर भी देख सकते हो, पाए एक्स, और यहाँ पे गया दोस्तो, साइन, एन, पाए, एन पाए एक्स, और दोस्तो इसके बाद, डी एक्स, और अगर हम लेंगे दूसरा ला लिमिट लेंगे, तो एक वन टू टू, और आपको पता कि दूसरा ला लिमिट मे n pi x और d x, तो आपको पता है कि इस कैंसर 0 ही आने वाला है, तो इसको solve करने की ज़रूरत नहीं है, तो bn equal to यहाँ पर क्या है दोस्तो, यहाँ पर पाट को आप solve करो बहुत अच्छे से, देखो यहाँ पर pi x ऐसी है, तो यहाँ पर पाट को आप से देखो यहाँ पर, तो यहाँ पर पाट को आप से देखो यहाँ पर, तो यहाँ पर पाट को आप से देखो यहाँ पर, तो यहाँ पर पाट को आप से देखो यहाँ पर, तो यहाँ पर पाट को आप से देखो यहा� एन पाइ एक्स अपन यहां पर कहेगा दोस्तों एन स्क्वेर पाइ स्क्वेर अब यहां पर यह वाला पार्ट होने बदल में आगे क्यों नहीं जा रहा हूं आपको पता है पा� तो यहाँ पे 1 है, मतलब 0 to 1, अब देखो यहाँ पे value systematic आपको put करना है, देखो अगर मैं यहाँ पे put कर रहा हूँ, तो दोस्तो यहाँ पे pi answer हो जाएगा, क्योंकि x का value 1 है, यहाँ पे अगर मैं 1 put कर रहा हूँ, तो आपको पता है कि यहाँ पे यह minus already है, minus 1 raise to क्या हो जाए minus, अगर मैं यहाँ पर दोस्तो 1 put करने जा रहो थे, यहाँ पर n pi आ रहा है, और मैंने बोला कि sign के term में अगर pi कभी भी आता है, तो 0 होगा, तो यह put करने की ज़रूरत नहीं है, अगर मैं यहाँ पर 0 put कर रहा हूँ, तो दोस्तो यह x की वज़े से यह पूरा term 0 हो जाएगा, और यहाँ पर भी अगर 0 put करूँगा, तो यह भी 0 हो जाएगा, तो मुझे आगे put करने की ज़रूरत नहीं है, यहाँ पर अपना part हो गया है, अगर मैं इसे अच्छे से लिखने की कोशिश करूँ, तो दोस्तो देखो यहाँ पर क्या answer हैगा, bn equal to, देखो यह पाई cancel हो जाएगा, यह minus, minus 1 raise to n, upon n, तो यहाँ पे आपको आपका answer, बहुत ही अच्छे तरीके से मिल गया है दोस्तो, तो यह आपका यहाँ पे answer है, अब करना कुछ नहीं है, आपको standard formula apply करो, और वहाँ पे just value क्या कर दो, put कर दो, standard formula जो भी आपको बताया है, देखो जैसे मैंने यहाँ पे value put कि माइनस एल्टू एल का क्वेश्चन सॉल कराऊंगा या तो इवेन और ऑड उसी में मैं आपको करा दूंगा तो इससे आपको बहुत टेंशन नहीं होगा और एक लेक्शन मेरा हाफ एंगल के ऊपर आएगा तो वीडियो को देखने के लिए जिलसे टैंक्स