Cours de probabilités et statistiques

Le modèle probabiliste

Introduction

• Modélisation d'expériences aléatoires avec des probabilités.
• Exemples : sexe de l'enfant à naître, résultats d'un match, lancer de dé.
• Proportion, fréquence et opinion comme manières d'assigner des probabilités.

Espace des possibles et événements

• Espace des possibles : ensemble des résultats possibles d'une expérience.
• Événements élémentaires : résultats individuels.
• Événement : sous-ensemble des résultats possibles.
• Notation des événements : lettres majuscules (A, B, etc.).

Probabilité

• Probabilité : entre 0 et 1, somme des probas élémentaires égale à 1.
• Propriétés : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B), P(A^c) = 1 - P(A).

Indépendance et conditionnement

• Probabilité conditionnelle : P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A).
• Indépendance : P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Répétitions indépendantes

• Probabilité uniforme : événements élémentaires équiprobables.

Variables aléatoires discrètes

Définitions

• Variable aléatoire (v.a.) : Fonction associant un nombre à chaque résultat d'une expérience aléatoire.
• Loi d'une v.a. : Liste des valeurs possibles et leurs probabilités.

Indépendance et conditionnement

• Indépendance des v.a. : P(X = i, Y = j) = P(X = i)P(Y = j).
• Formule des probabilités totales.

Schéma de Bernoulli et loi binomiale

• Épreuve de Bernoulli : deux résultats possibles (succès/échec).
• Loi binomiale : P(X = k) = (n k) p^k (1-p)^(n-k).

Trois autres lois discrètes

• Loi géométrique : Durée jusqu'au premier succès.
• Loi de Poisson : Approximation de la loi binomiale pour np petit.
• Loi uniforme : Équiprobable sur un ensemble fini.

Variables aléatoires continues

Loi d'une v.a. continue

• Densité de probabilité : Fonction définissant la loi d'une v.a. continue.
• Fonction de répartition F(x) = P(X ≤ x).

Loi uniforme

• Densité constante sur un intervalle [a, b].

La loi normale

• Loi normale centrée réduite : N(0, 1).
• Loi normale générale : N(μ, σ^2).

La loi exponentielle

• Modélise le temps entre deux événements (ex. temps d'attente).

Fonction d'une v.a. continue

• Utilisation de transformations pour déterminer la densité d'une fonction de v.a.

Théorèmes limites

Loi des grands nombres

• Convergence de la moyenne empirique vers l'espérance.

Théorème central limite

• Convergence de la distribution des sommes de v.a. vers la loi normale.

Intervalles de confiance

• Estimation d'un paramètre avec un intervalle autour de l'estimation.

Tests statistiques

Tests d'hypothèses

• Comparaison d'hypothèses nulles et alternatives.
• Décision basée sur un seuil de signification (p-valeur).

Test d'ajustement du chi-deux

• Vérification si une distribution suit une loi théorique.

Test d'indépendance du chi-deux

• Évaluation de l'indépendance entre deux variables catégorielles.

Annexes

Cardinaux et dénombrement

• Techniques de comptage et de combinatoire.

Tables statistiques

• Tables pour la loi normale et le test du chi-deux.

Statistique descriptive univariée

• Présentation et résumé des données, calcul de statistiques descriptives et représentations graphiques.