Inverse Trigonometric Functions

Hello and welcome dear students to Unacademy JEE channel and you are watching the mathematics session alright मैं उम्मीद करता हूँ कि आप जो regular sessions हो रहे हैं सारे attend कर रहे हैं ठीक है तो अभी अभी जयन सर और पारस सर का session हुआ था physics और chemistry का ठीक है तो I hope आप सब लोगों ने वो attend किया होगा alright सुझल, प्रतीक, सीमा, नितेश, everybody तो आज actually हमारा functions chapter का नेक्स्ट टॉपिक स्टार्ट हो रहा है, which is inverse trigonometric function, alright, तो students, जो यहाँ पर नए हैं, उनको बता देता हूँ, कि ये particular series का नाम है, JEE Live Daily, जहाँ पर हम आपके लिए regular lectures लाते हैं, just like any other class, alright, तो we expect, जो भी नए बच्चे आ रहे हैं, उनको बता दू, कि we expect, कि you sit with your note, notebook and pen, alright, ताकि आप notes अच्छे से बना पाओ, और जो जो हम यहाँ पर सीख रहे हैं, वो आप अच्छे से question solve करके उसमें apply कर पाओ, ठीक है, तो बहुत ही जरूरी है जई की preparation के लिए, कि आप खुद के अच्छे notes बना कर question खुद से solve करो, alright, so my name is Samir Chincholikar, I am a graduate of IIT Roorkee, and I have been teaching for J डोमेन और रेंज का डिस्कर्शन करेंगे, स्पेसिफिकली इनवर्स ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन्स के लिए, ठीक है, ITF का आज हमारा पहला लेक्चर है, ठीक है, इसके पहले हम साथ लेक्चर कंप्लीट कर चुके हैं, जिसमें हमने फंक्शन्स बहुत ही डीटेल में कवर किया था, सुर्यान्शु, रामभक्त, अविशेक चलो, तो students जो अभी तक हमसे telegram app पर connected नहीं है उनसे मैं request करता हूँ कि जल्दी से connect हो जाओ काफी सारे students already connect हो चुके हैं ठीक है क्या करना है app download करके chrome browser में जाके आपको ये url type करना है tinyurl.com slash je live chat और यहाँ पर I would also request students to please subscribe to our channel है ना, that actually gives us a lot of motivation, that actually proves कि हाँ जो content हम आपके पास ला रहे हैं, it is worth it, ठीक है, तो do show your appreciation by subscribing to our channel Anacademy.je and also like the video अगर आपको कुछ सीखने को मिला है तो ठीक है, and comments are always welcome. है ना आपको अगर कुछ अच्छा लगा है कुछ नहीं अच्छा लगा कुछ आप जादा एक्स्ट्रा सीखना चाह रहे हैं तो डेफिनेटली यू कैन लेट इस नो इन दे कमेंट्स ताकि हम आगे उसको इनकॉरपरेट कर सकते हैं और एक और जानकारी मेरे ख्याल से हम सभी ठीक है, it is an in-house platform of Anacademy, जहाँ पर आपको special features मिलेंगे to learn concepts with us, ठीक है, तो हम सभी जो teachers हैं, जो यहाँ पर YouTube पर आपके साथ connected हैं, वो तो वहाँ classes ले ही रहे हैं, और भी काफी सारे teachers हैं, जो काफी well-known teachers हैं, ठीक है, India के, वो भी वहाँ पर present हैं, और Anacademy पर classes लेते हैं, ठीक तो उसके लिए क्या करना है आपको बस website पे जाना है आन एकाडमी की और IIT JEE वाला सेक्षन में जाकर you can actually subscribe है ना subscription तो I think सबको लेते आता है ये है ना जो भी आपका Netflix हो गया या Hotstar हो गया उसका भी आप लेते हैं you know monthly subscription बिल्कुल वैसा ही है ये ठीक है तो you can also join and you can browse through lot many courses जो already जो यहाँ पर बच्चे हमारे साथ connected हैं already YouTube पर उनके लिए specially हम 10% extra discount provide कर रहे हैं on the top of this very small amount जो यहाँ पर fees जैसा यहाँ पर आपको दिख रहा है ठीक है which is already 2000 per month ठीक है अगर 10% और हो जाएगा तो it will be further even less than 2000 तो I think it is very much affordable to almost everyone जिसको यह भी अगर ज़्यादा लग रहा है तो definitely YouTube प ठीक है बट द ओनली यहां पर पॉइंट इस कि हम केवल वन वे डिलीवरी दे पा रहे हैं है न यूट्यूब पर जबकि यहां पर कुछ पर्सनल हम इंटरेक्शन भी अच्छे से कर सकते हैं और राइट चलो तो दीपक पढ़ाई शुरू करते हैं विल्कुल है न नए आय हो आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेजस आज चलो तेज ठीक है चलो तो वहाँ पर जो हमने questions अभी homework में दिये थे वो काफी अच्छे questions थे and I hope कि आप सब लोगों ने उसको solve किया होगा right रिशीराज, निशान्त, तुषार, लास्ट क्लास में अगर थे तो जल्दी से आंसर बताओ पहला question जो था homework का वो ये था ये काफी अच्छा question है और ये इसमें अच्छी बात यह है कि already previous year में पूछा हुआ question है जब AIEEE के नाम से NIT में admission के लिए exam होती थी तब ये exam 2005 में आया था यालो question तो ये बहुत ही अच्छा question है जो replacement method हमने सीखा था नहीं sorry जो substitution method हमने सीखा था उ ठीक है, तो पहले इन questions को discuss करते हैं, उसके अब फिर हमारा topic start करेंगे, inverse trigonometric functions, alright, चलो, तो यहाँ पर जो equation दिया हुआ था हमें, काफी बड़ा सा equation दिया हुआ है, f of x minus y is equal to f of x into f of y minus f of a minus x into f of a plus y, एक तो पहली बात तो दो variables आ गए, इसके अंदर x और y, ठीक है, जो पूछा है उसने, वो भी कुछ अलग साई पूछ लिया है, ठीक है, data बहुत ही simple वाला दिया हुआ है यहाँ पे, f of 0 equal to 1, तो यहाँ से कहीं start करते हैं, और final result f of 2a minus a तक, f of 2a minus x तक पहुँचने की कोशिश करेंगे, अलराइट, चलो, तो यह solution में suggest कर रहा हूँ students आप लोगों, जरा इसको ध्यान से देखो कि पहले तो ये पता करते हैं कि question में पूछ क्या रहा है, ठीक है, तो मेरे पास एक original equation तो है ही, इसका तो use में कभी भी कर ही सकता हूँ, ठीक है, इसी के basis मुझे function पता करके बताना है क्या है, ठीक है, या इसका value पता करके बताना है क्या है, ठीक है, तो ऐसा करते हैं कि ये value क� अगर मैं 2a यूज़ करूँगा और y का value अगर x यूज़ करूँगा तो मुझे क्या चाहिए उसका expression मिल जाएगा मुझे ठीक है तो पहला step इसलिए मैं तो यही करने वालो क्या करेंगे कि x का value 2a और y का value x यूज़ करो ताकि आपको at least पता चले कि आपको क्या क्या requirement है इस question में ताकि आप answer तक पहुँच पाओ ठीक है तो जैसे मैंने यह expression यूज़ किया मुझे सुनमे आया कि अच्छा ठीक है मुझे f of 2a कुछ करके find करना होगा कहीं से और वैसे ह फाइंड करना होगा ठीक है जब यह वैल्यूज मेरे पास होंगी तब मैं आगे का सॉल्यूशन शायद फाइंड कर पाऊंगा ठीक है और राइट तो प्रिया ब्रत wants to know कि sets कब पढ़ाएंगे, तो sets के लिए शायद मैंने पहले भी बताया था आप लोगों, क्योंकि वो JEE के लिए all the इतना important नहीं है, all the boards का first topic sets ही होता है, we are all aware of that, तो उसको हम अलग से एक special class में ले लेंगे, ये जो JEE live series चल रही है, इसमें हम उसको include नहीं करेंगे, ताकि flow break ना हो, तो एक अलग से class रखेंगे, वैसे ही एक घंटे की class अलग से रखेंगे, चलो, प्रकांथ, हेलो, काजूल, शिवम, और राइट, चलो तो हम क्या डिसकस कर रहे थे, हम इस homework question का solution डिसकस कर रहे थे, तो देखो यहाँ पर जैसे ही मैंने देखा कि मुझे दो values find करनी है, 2a और f of minus a, ठीक है, तो अब थोड़ा सा build आ रहा है, ठीक है, कि हमें कैसे आगे proceed करू ठीक है तो बहुत ही सिंपल हो जाएगा एक शुरू आइएक अगर मैं दोनों जगह जी रोड़ा लूंगा तो एक सिंपल सी यहां पर निकल कर रहे और एफ ऑफ जीरो का फैल्यू जैसे ये दोनों terms cancel हो जाएंगे, आपके आप at least f of a का answer आ गया, ठीक है, तो पहले तो कुछ थाई नहीं आपके पास, लेकिन आप at least f of a का answer आ गया, which is very good value 0, ठीक है, तो ये हमें help definitely करेगी, ठीक है, अब क्योंकि आपके पास f of 0 था, अभी f of a आ गया है, ठीक है, तो आप क् अगर आप original equation में x और y की value दोनों की a use करते हो, तो फिर से एक बहुत simple equation बनता है, और जो आपको actually चाहिए, वो निकल के आया आप पहली बार, ठीक है, f of 2a का value minus 1 निकल के आया, जो मुझे actually question को solve करने में help करेगा, ठीक है, तो minus a find करने के लिए क्या substitution सोच सकते हो, तो उसके लिए आप x equal to 0 और y equal to a सोच लो, ठीक है, जैसे आप ये substitute करते हो तो F of minus A बन रहा है कि नहीं left में, ठीक है, अब साथ में right में जो बना है, दोनों ही terms में कितना आ रहा है, F of A आ रहा है, F of A और F of A, दोनों की ही value, आप 0 जैसे substitute करोगे, F of A 0 निकाल कर रखा है न, तो आपके पास F of minus A का भी value कितना आ गया, 0 ठीक है, यह काफी अच्छा question था, और exam के लिए तो मतलब काफी difficult question था, ठीक है, तो यह काफी अच्छे questions में rate करता हूँ मैं इस question को, I hope आपको solution समझ में आया है, flow समझ में आया है, कैसे करना है, ठीक है, even after looking at the solution, I guarantee कि आप अगर try करोगे तो आपको दिक्कत होगी, ठीक है, तो और नहीं आता है तो फिर से एक बार देखना, ठीक है, कि क्या-क्या steps involved है to get to the answer, आएँ बात सोच में, चलो, तो यहाँ से, आएँ बात आपको सोच में, जैसे आपके बास minus a आ गया, और आपके बास 2a का value आ गया, इसके अंदर substitute करोगे, और आपके बास required result आ जाएगा, ठीक अब है wants to know integral calculus कब start होगा, all right, तो integral calculus में तो अभी time है, क्योंकि देखो order तो यही होता है, पहले differential calculus होता है, उसके बाद integral calculus होता है, we cannot actually reverse that order, ठीक है, कुछ बच्चे ऐसे पूछ रहे थे कि matricious and determinants कब होगा, तो क्योंकि वो independent topic है, तो वो बीच में सो सकता है, ठीक है, but integral calculus अब है All right, चलो आगे बढ़ते हैं Matter Assess and Determinants नाम लेते से मोहित को कुछ याद आया, ठीक है मोहित हो जाएगी उसकी भी class, कोई दिक्कत नहीं ठीक है, अभी लेकिन इसके ओपर ध्यान दो काफी important topic आज हम start करने वाले लेकिन उसके पहले और एक दो questions है यह भी बहुत अच्छा question है, लेकिन calculation wise काफी simple है as compared to the previous one, ठीक है यहाँ पर हम substitution method नहीं use कर रहे हैं यहाँ पर हम replacement method use कर रहे हैं ठीक है, आपके आपस already एक equation दियूई थी और आपको इस question का use करके क्या निकालना था function निकाल के बताना है कि कौन सा function है fx जो ये satisfy करता है equation ठीक है तो यहाँ पर क्या suggested है replacement ऐसा करो कि ये terms आपस में exchange हो जाए ठीक है और इसलिए जो हम suggest कर रहे है solution उसमें क्या है कि हम x को pi by 2 minus x से replace करेंगे pi by 2 minus x से replace करके क्या फायदा होता है इस question में कि sign of pi by 2 minus x तो क्या हो गया sin of pi by 2 minus x हो गया, cos x, और cos of pi by 2 minus x कितना हो गया, sin x, ठीक है, जैसे ही चीज़े आगे बीचे हो गई, आपको क्या पता चला, कि अब तो आपके आज दो equation आ गई, एक equation तो question ही थी, और दूसरा equation आपने replacement method से find कर ली, तो आपके आज अब क्या हो गया, इसको अगर थोड़ी दर क आप ऐसा कर सकते हो कि दोनों में से कोई भी एक find कर लो, ठीक है, मैं यहाँ पर sign वाला बचा रहा हूँ और cos वाले को cancel करवा रहा हूँ, ठीक है, तो उसके लिए यहाँ step simple कर लेता है, कि मैं क्योंकि cos cancel करवाना चाह रहा हूँ, तो इसको 4 से multiply करवा लेता हूँ, ताकि यह 4 cos क्या आगे आपके बास, f of sine x, f of sine x ऐसा कुछ दिख रहा है, simple calculation देखना आराम से, ठीक है, अब यहाँ पर थोड़ा से भी problem आता है, कि f of sine x तो आगे लेकिन पूछा था ठीक है, तो कोई दिक्कत नहीं है, हम sin x को क्या डालना चाहें, f t बना लेते हैं पहले, ठीक है, sin x को x भी directly डाल सकते हो, लेकिन वो थोड़ा से confusing है, तो पहले कोई बात नहीं है, sin x को equal to t डाल दो, अगर sin x को equal to t डाल रहे हो, तो inverse लेके कितना हो जाएगा, x equal to sin inverse t हो जाए� ठीक है, चलो, तो जैसे यहाँ पर आपने x की place में sin inverse t डाला, और यहाँ पर ft बना, तो ft का answer आ गया, अगर ft का answer 2 pi by 5 minus sin inverse t आ गया है, तो बस t की जगह x डाल दो, तो आपके अस एफ x का answer आ जाएगा, ठीक है, तेज का answer कितना आएगा, a आएगा, आया ते सौंज में, हाँ, अच्छा काजूल wants to know कि tips for droppers तो droppers के लिए देखो एकी tip है कि बहुत मेहनत करना start कर दो ठीक है बहुत मेहनत करनी होती है droppers को ठीक है तो बिल्कुल सोना ओना कम करना पड़ेगा आपको क्योंकि आपको देखो डिसेंबर तक के टाइम है डिसेंबर तक के टाइम है आपको 12th 11 ठीक है चलो वैभव आईबा सोंज में काजोल बाताई सोंज में चलो अच्छा तुषार वांस तुनो की IIT एक साल में कैसे क्रैक करना है हाँ बिलकुल कोई बड़ी बात नहीं है ठीक है एक साल में भी हो सकता है लेकिन डबल काम करना पड़ेगा है ना जो बच्चे दो साल में मेहनत कर रहे हैं हो जाएगा ठीक है तो थोड़ी सी हिम्मत रखनी पड़ती है ले और यह एक और question था, यह I think best question है, ठीक है, इसके अंदर बहुत ही calculation intensive question है यह, और यह अभी तक हमने देखा नहीं था, तब ही मैंने दे दिया था, try करने के लिए आपको, कि let us see कोई कर पाता है क्या, ठीक है, चलो, तो यह जो question था functional equation का, इसके अंदर जो basically fx की cyclicity है, वो 2 है, x को उस quantity से replace करतो तो करेंगे इस question में भी वही लेकिन बाकी सारे question में क्या होता था automatically चीज़े exchange हो जाती थी इस question में ऐसा होता नहीं है इसलिए थोड़ा सा calculation लेंदी होता है इस question में तो देखो इसका calculation कैसा हो रहा है कि मैं x को x-1 upon x से replace कर रहा हूँ ठीक है, जो मुझे question में दिख रहा होता है, पहला attempt तो हम वो ही करते हैं, यह वो करके देखते हैं, ठीक है, और पहली बात तो मैं यह करने जाओंगा तो कुछ तो बड़ा से expression बनता है, लेकिन कोई बात नहीं, solve होके वो अच्छा हो जाता है, ठीक है, 1 upon 1 minus x, ऐसा कुछ तो यह लिबात आ रही सोच में, replacement method में, actually हम चाह क्या रहे होते हैं कि कुछ अच्छा बने, है न, लेकिन यह और खराब हो गया है, ठीक है, उपर वाले equation में कम से कम fx तो भी था, यहाँ पर तो fx भी नहीं है, यह खराब वाली quantity था अभी भी है, और यह extra quantity आ गई, है न, तो अ� ठीक है, अगर मैं equation 1 और equation 2 को subtract करता हूँ न, तो कम से कम यह हो जाता है, कि यह वाला factor कर जाता है यहाँ से, f of x minus 1 upon x वाला, ठीक है, और आपके आपस थोड़ी better equation आती है, क्योंकि better क्यों बोल रहा हूँ, इसके अंदर फिर से क्योंकि क्या है, fx है, इसका मतलब यह better है थोड ठीक है, तो जब आप ये करोगे, तो अब फिर से बड़ा calculation हो जाएगा, लेकिन डरना नहीं है, करते जाओ, ठीक है, यहाँ से आपके बाद simplify करके और एक expression आएगा, इसमें आप देखो अच्छी बात क्या हो गई, कि आपके बाद जो resultant expression बना, उसमें फिर से x minus 1 of x आ गया, ठीक है, तो f of 1 upon x, 1 minus x तो बना ही है, साथ में f of x minus 1 upon x फिर से बन गया, ठीक है, right side में जो calculation हो के, चीज़े बड़ी होती जा रही है, है न, start कहां से कहता है, right side में 1 plus x है, ठीक है, लेकिन जैसे ही आपके पास यहां तक equations create हो गई है, अब क्योंकि देखो कि इसकी cyclicity true थी, तो अब दो replacement से इसका काम बनने वाला है, ठीक है, क्या देखोगे आप, कि equation 1 में, जो values है मेरे पास, वो fx है, और f of x minus 1 upon x है, ठीक है, यह जो है, इसके अंदर भी similar values है, f of x minus 1 upon x लेकिन minus sign के साथ में मतलब 1 और 4 को add करूँगा तो यह बड़ी value cancel होगी ठीक है उसी में further add कर दो third equation तो third equation में एक यहाली quantity नीचे fourth में positive के साथ है third में यही वाली quantity negative के साथ है तो जब और इन तीनों को add कर देंगे तो यह खराब वाली सारी quantities cancel हो जाएंगे to add all these three equations बस twice of fx बचता है ठीक है, अब right side में तो calculation करना पड़ेगा, लेकिन चलो हम इतना कर पाए हैं, आई इतनी बास फर्मेंज में, ठीक है, तो काफी लंबा time लगा हमें इसको solve करने में, ठीक है, लेकिन इस question को भी मैं suggest करूँगा कि एक बार फिर से try करो, ठीक है, solution देख लिया है, तब भी try करो, है न, अभी भी शायद दिक्कत आएगी, all right, चलो, तो अब हम बढ़ते हैं, हमारे आज के नए topic के साथ, which is inverse trigonometric functions, ठीक है, तो inverse trigonometric function में सबसे पहला जो हमें discussion करना है, वो यह है कि, क्योंकि function बोल दिया न, तो function जैसे ही बोला, उसका क्या पता होना ची हमें, domain, range और graph पता होना चाहिए, ठीक है, लेकिन last class में, last chapter में, हमने already inverse function के बारे में कुछ चीज़े पढ़ी हुई है, है के नहीं, आज तो इनवर्स फंक्शन के बारे में हमने क्या-क्या पढ़ा हुआ है ठीक है वह एक बार रिकाइब करते हैं क्योंकि यह सारे पॉइंट्स यूज करके हम एक्चुली इनवर्स ट्रिग्नोमेट्रिक फंक्शन आगे प्रोसीट करेंगे ठीक है तो सबसे पहला पॉइंट for a function to be invertible it must be bijective, ठीक bijective का मतलब क्या होता है, कि 11 भी होना चाहिए, और onto भी होना चाहिए, कौन सा function, inverse function, अगर आपको create करना है, तो original function fx, 11 onto होना चाहिए, ये basic requirement है, ठीक है, दूसरी basic requirement, या फिर दूसरी understanding क्या है, कि अगर आपका function f, ठीक है, अगर ऐसा है, तो उस case में, जब भी आप inverse function define करोगे, तो उसका co-domain और domain exchange हो जाएगा, ठीक है, अगर ये a से लेके b तक defined है, तो वो b से लेके a तक defined होता है inverse function, ठीक है, और क्योंकि यहाँ पर ये function जो भी हम use करते हैं, वो 11 onto है, इसलिए co-domain के place में आपने range भी बोला तो भी चलेगा, because in case of onto functions, co-domain और range equal होते हैं, आगे बास समझ में? चलो, तो ये भी point याद रखना है, इसका use करेंगे, ठीक है? और किस बात का use करेंगे inverse trigonometric function के लिए? वो graph की understanding का, ठीक है? The graph of f and g are the mirror image of each other in the line y is equal to x, if f and g are inverse of each other, तो g के जगे और clarity के लिए f inverse लिख लेते हैं, ठीक है? The graph of f and f inverse are mirror image of each other in the line y is equal to x, ठीक है? ग्राफ बनाने में ये हमारी help करेगा. ठीक है, और देखो, all right, so, let me just complete this explanation, then I will reply to your query, all right, और एक point जो होता है, जो बहुत ही important, ठीक है, ये शायद आपने straight lines वाला chapter पढ़ते समय realize किया होगा, कि image of point x1, y1, अगर आप y equal to x line में निकालते हो, तो कुछ नहीं होता है, वो coordinate ऐसा लगता है कि exchange हो गए, ठीक है, y1, x1 हो ग ठीक है, यह point बहुत ही important है, इसका हम use करेंगे, image of point x1, y1 in the line y is equal to x is y1, x1, ठीक है, और एक point जो ध्यान रखना है हमें, वो क्या है, कि अगर fx की कोई asymptote है, अब asymptote क्या होता है, है न, जिन्होंने coordinate geometry 11th में पूरा पढ़ा हुआ है, उनको तो पता होगा, ठीक है, asymptote क्या होता है, किसी भी function को, अगर कोई एक tangent line है, at infinity, तो उसको asymptote बोलता है, ठीक है, simple example ठीक है, और आपको अगर trigonometer से related example चीज़े, तो हमारे पास होता है, y is equal to tan x, ठीक है, tan x को pi by 2 पे अगर आप एक dotted line बनाते हैं वार बार, ठीक है, pi by 2 पे dotted line जो बनाते हैं, वो उसके actually asymptote है, ठीक है, तो ये क्या कह रहा है, अगर fx की asymptote vertical है, तो फिर f inverse x की asymptote horizontal हो जाती है, ठी ठीक है अब यह जो सारी प्रॉपरीटीज हैं और राइ यह जो सारी properties हैं, हाँ बिल्कुल प्रतिक सही बोल रहे हो, tangent at infinity जो होता है, उसको हम क्या बोलते हैं, asymptote बोलते हैं, ठीक है, बिल्कुल, Pooja, Nikita, concept आप सब लोगों बिल्कुल पता है, ठीक है, तो अब इसका use करो, और आगे inverse trigonometry के graph बनाने की कोशिश करो, ठीक है, तो अब trigonometric का graph देखते हैं, ठीक है, y equal to sin x, यह एक function है, इसी का inverse को क्या बोलते हैं, sin inverse x बोलते हैं, ठीक है, अब यहां देखो, कि अगर इसका domain r है, और इसकी range minus 1 to 1 है, ठीक है, तो इस case में जो graph बनता है, वो तो यह graph बना हुआ है, sin x का, ठीक है, अगर यह sin x का graph है, तो इसका inverse exist कर सकता है क्या? करें नहीं सकता क्योंकि यह फंक्शन कैसा हो गया यह तो मैनीवन फंक्शन हो गया ना फॉर मैनी वैल्यूज ऑफ एक्स यू आर गेटिंग सेम वैल्यू ऑफ वाय इसका वाले फंक्शन कैसा है मैनीवन फंक्शन है तो यह तो इनवर्स होगा ही नहीं इसका इस फंक्शन का ठीक है तो यहाँ पर देखो क्या एक तरीका होता है हमारे पास हमें बोलते हैं कि ठीक है यह जो अभी हमने domain और range define करके रखा है for that particular domain and range या फिर domain and co-domain बोलो उसको यह function invertible नहीं है तो ऐसा करते हैं इसके अंदर थोड़े changes करते हैं ऐसा करते हैं एक नया function define करते हैं fx which is sin x only ठीक है बट this f is defined from minus pi by 2 to pi by 2 है ना इतना ही input में लूंगा और अगर ऐसा करता हूँ minus pi by 2 से लेके pi by 2 तक ही अगर मैं sin x का ग्राफ बनाता हूँ तो मेरा answer कहां से कहां तक आता है मतलब मेरी range क्या होती है minus 1 से 1 आ रही है वासोंज में, ठीक है, minus pi by 2 से pi by 2 जब मैं input लेता हूँ, तो मेरे पास ये पुरा graph बनता है, ठीक है, ये जो मैं shade कर रहा हूँ, ये पुरा graph मेरा बनता है, ठीक है, तो अब जैसे ही मैंने इतना सा जो shaded graph है, उतना ही अगर बनाया, और मैंने अगर specify कर दिया कि minus 1 to 1 ही इसका co-domain है, then this special function, sine x, becomes invertible, ठीक है, अब मैं इसका inverse find कर सकता हूँ, clear है, अब कोशिश करते हैं फिर inverse find करेंगे कैसे, ठीक है, इतना concept सोच में आया, क्योंकि पहले मुझे इसको, 11 onto बनाना पड़ा क्योंकि उसके पहले तो inverse exist नहीं कर सकता था clear है जैसे ही मैंने मेरी domain और co-domain अच्छे से define कर दी ये function अपने आप ही क्या हो गया 11 onto हो गया अब बताओ कि मुझे inverse find करने के लिए क्या करना चाहिए inverse find करने के लिए मुझे कुछ तो important points पढ़ा करने चाहिए जो inverse के graph पे lie करेंगे ठीक है inverse के graph पे क्या 0,0 lie करेगा क्या क्योंकि sin x के graph पे तो 0,0 लाइक कर रहा है, ठीक है, तो हमने क्या देखा था, कि अगर x1,y1 का, है न, जो आपके बास basically inverse का graph होगा, वो y equal to x में इसका image होगा, तो y equal to x, let us say, ऐसा कुछ है, y equal to x में इसका image बनाना है, तो image बनाना है, मतलब graph बनाना है, graph बनाने के लिए कुछ ठीक है, और आइट, तो जीरो जीरो को आगे बीचे कर दोगे, मतलब y equal to x में अगर image ले लोगे तो फिर से क्या बनेगा, जीरो जीरो भी बनने वाला है, राइट, इसका मतलब sin inverse x के उपर ठीक है, वैसे ही और एक important point देखते हैं, ये जो end point है, this is again important, ये कौन सा point है, pi by 2 डालने पर 1 आया, ठीक है, तो इसका coordinate क्या है, pi by 2,1, अब ये जो है, इसका अगर मैं image लूँगा, y equal to x वाली जो dotted line देख रही है, उसमें अगर मैं image लूँगा, तो ये क्या बन जाएगा, आग ठीक है और वैसे ही एक और इधर वाला एंड पॉइंट जो है यह भी इंपोर्टेंट है यह क्या है माइनस पाइ बाई टू डालने पर माइनस वन आ रहा है ठीक है क्या है माइनस पाइ बाई टू डालने पर माइनस वन आ रहा है तो इसका इमेज अगर मैं लूंगा तो मु� minus pi by 2, आगे बिछे कर दिया, ठीक है, अब मुझे क्या मिल गया, तीन important points मिल गया, एक बीच वाला point, एक इधर वाला end point, एक इधर वाला end point, ठीक है, अब मैं सोच रहा हूँ कि roughly अगर मैं इसका graph ड्राउ करना चाह रहा हूँ, तो फिर वो graph कैसा दिखना चाहिए, ठीक है, तो अब मुझे क्या बता है कि मुझे connect तो इन दोनो dots को करना ही है इन दोनो dots को मुझे connect करना है लेकिन मैं सोच रहा हूँ कि थोड़ा image वाल concept भी लगा लेते हैं ये graph इस side से नीचे आ रहा था तो फिर इसने उपर जाना चीज़ ठीक है ऐसा लग रहा है कि mirror अगर है y equal to x तो इसने ऐसा ही कुछ तो जाना चीज़ और वैसे ही ये क्योंकि इस तरह से उपर आ रहा था तो फिर इसने नी� clear है, तो अभी जो मैंने red से draw किया, आपका sin inverse का graph इस तरह से कुछ तो आप दिखने लगेगा, ठीक है, और क्योंकि आपका graph इस तरह से दिख रहा है, क्या आप इसका range और co-domain आराम, range और domain आराम से देख पा रहे हो क्या, ठीक है, अगर graph से देखने में दिक्कत आ रही है, त ठीक है, तो sin inverse जो बनने वाला है, वो कहां से कहां तक defined होगा, minus 1 to 1 input लेगा, और minus pi by 2 से pi by 2 output देगा, आई इतनी बास होने में, और उसका graph कैसा होगा, ऐसा कुछ तो graph होगा, जो मैंने अभी बनाया है यहाँ पर, ख्लियर है, तो अब इसी चीज़ को अच्छे से देख लो fair diagram में, ठीक है, y equal to sin inverse x जो है, उसका graph ऐसा कुछ बनेगा, ठीक है, कहां से कहां तक बनता है ये, minus 1 से लेके 1 तक ही बनता है, तो ये क्या हो गया, इसका domain हो गया, इतने ही x के input allowed रहेंगे इसके अंदर, ठीक है, और कहां से कहां तक जा रहा है ये y-axis के उपर, ये y-axis के उपर जा रहा है, minus pi by 2 से लेके pi by 2 तक, तो ये इसका हो जाएगा range, ठीक है, आ रही है इतनी मास्मन में, तो range और domain जो थे वो आगे पीछे कर दिये, तो inverse function के range और domain आ गए, ठीक है, graph कैसे पता किया हमने, important points लिये, उनको y equal to x के बावट, image निकाला उसका, और थोड़ा बहुत curve कैसा बनेगा, है न, curvature कैसा होगा, उसके लिए हमने थोड़ा सा ऐ विश्णू क्या हो गया डेटा पैक खतम हो गया आलरेट सोहम आज फिर से बहुत एक अच्छा कोशिन लास्ट क्लास में भी काफी अच्छा कोशिन पूछा था सोहम ने सोहम अभी पूछ रहा है कि सर आपको कैसे पता कि y equal to x y equal to sin x के नीचे लाइक करेगा ठीक है बहुत ही बढ़िया कोशन है पहले तो ये करो कि वेरिफाई करो कि ऐसा होता है कि नहीं ठीक है आप सबको याद इंटरनेट कनेक्शन है ठीक है अच्छे से आप कोई तो एक एप पे जाओ ठीक है और जो अच्छे से ग्राफ ड्रॉव कर सकता है ठीक है ठीक है, y equal to x यहाँ पर उपर होता है, और sin x नीचे होता है, जब left hand side की बात करते हो, तो y equal to x नीचे होता है, और sin x उपर होता है, ठीक है, इसका proof हम करेंगे application of derivatives में, ठीक है, जहाँ पर हम increasing decreasing function के property का use करके इसको proof करते हैं, आपको यह, graphically आप कैसे test कर सकते हो, actual software में चले जाओ, अभी के लिए उतना रखो, ठीक है, application of derivatives में actually यह question ही आता है, कि prove that sin x is less than x for x lying between 0 to pi, बट यह actual question है, ठीक है, तो बाद में हो पाएगा, all right, so I think query is answered, all right, तो, प्रकांत प्रकांत wants to know कि ये advance में directly help करेगा क्या तो advance 2019 के लिए ये focus नहीं है series ठीक है ये series 2020 advance के लिए focused है ठीक है तो यहाँ पर जो बच्चे पढ़ रहे हैं we are expecting कि वो 2020 में या even after that exam attempt करने वाले हैं ठीक है 2019 में जो exam देने वाले हैं उनके लिए अलग से course launch कर रहे हैं but it is not on youtube it is on JEE sorry an academy plus platform alright चलो, आगे बढ़ते हैं, तो मेरे ख्याल से आपको सौंज में आया है कि sin inverse x का ग्राफ कैसा होता है, तो sin inverse x का ग्राफ, sin inverse x का domain और co-domain, ठीक है, ये चीज़े याद करते चलो, ये आगे आपको use करने की ज़रूरत पड़ेगी, ठीक है, लेकिन अगर आपको ये आली महनत प ठीक है, cos x को देखे मुझे क्या समझ में आ रहा है, कि अच्छा, ये तो inverse exist करेगा है इसका, क्यों नहीं exist करेगा, क्योंकि ये minimum function है, तो फिर से हाँ मुझे क्या करना पड़ेगा, एक special cos function define करना पड़ेगा, ठीक है, तो अगर मैं fx equal to cos x define करूँ, such that f is defined from, अब यहाँ ढून वो सिलेक्ट कर रहा हूँ ठीक है, मैं क्या चाह रहा हूँ कि max to max range आ जाए उसकी तो max to max range आ गए, इसके निर minus 1 से लेके 1 तक सारे values आ गए, ठीक है और ये भी चाह रहा हूँ कि repetition ना हो तो 0 से 5 ठीक है, तो मैं क्या बोला हूँ, F function को define कर दो, 0 से लेके पाई तक, ठीक है, जब ऐसा करोगे, तो आपको minus 1 से लेके 1 तक सारे output मिलेंगे, अब ये जो special cos function है, ये हो गया 1, 1, on 2, और इसलिए इसका inverse exist करेगा, ठीक है, अब इसका जो inverse cos inverse x exist करेगा, उसका domain क्या होना चाहिए, वो कहा से कहा तक output देगा, तो वो 0 से पाई तक output देगा, ठीक है, यह बात हमें यहीं से सौन में आ गई, क्योंकि यह ऐसे बी तक defined है, तो फिर वो बी से ए तक defined होगा inverse function, ठीक है, इसका जो आपके पास graph का थोड़ा idea लगाना पड़ेगा आपको, तो फिर से क्या करो, y equal to x त पाई डालने में माइनस वन आता है, तो inverse में कितना आएगा, माइनस वन डालके पाई आएगा, माइनस वन डालके पाई आएगा, मतलब यहां कहीं जाएगा, ठीक है, एक important point है मेरे पास, पाई बाई टू डालके जीरो आता है, ओरिजिनल ग्राफ के उपर, ठीक है, देखते 0 डाल के पाई बाई 2 ठीक है और एक कौन सा important point लग रहा है आपको ये कुछ है ये कौन सा point था end point ये है 0 डाल के 1 आता है ठीक है ये 0 डाल के 1 दे रहा है तो इसका मतलब 1 डाल के क्या आएगा 0 आएगा यहाँ के आएगा 1 डाल के 0 बस अब इन तीनों को connect करना है लेकिन इस तरह से connect करना है कि वो image वाला concept भी लगे ठीक है ताकि आपको ये सौंज में आए कि उसका curvature कैसा होगा आरी बास होने में चलो तो यहाँ पर क्या करेंगे हम ऐसा कुछ draw करेंगे यह जो बना है यह आपका inverse का कॉस इनवर्स एक्स का ग्राफ है ठीक है लेकिन और फेयर डायग्राम देख लेते हैं ठीक है कॉस इनवर्स एक्स का ग्राफ यह है आपके सामने क्या क्या ध्यान रखना है, cos inverse x एक limited region में ही होता है, minus 1 to 1 ही वो input accept करता है, और output के अगर बात करो, तो output वो बस 0 से pi तक ही दे पाता है, इससे ज़्यादा output वो देगा भी नहीं, ठीक है, और आइट, तो यहां क्या क्या समझ में आया हमें, cos inverse x का domain, range और graph, ठीक है, यही आज का हमारा main target है, ठीक है, चलो. आपको प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक डोंट वर्य अबाउट देट चैप्टर्स देट आटू कम इनवर्स के बाद में क्या करेंगे देखते हैं अभी तो इनवर्स करने में काफी टाइम लाइव हमें ठीक है चलो तो टैनेक्स अब यह भी फंक्शन वाल दिक्कत वाला है है ना सारे ही एक्चुली ट्रि 11 और ऑन टू दोनों है ठीक है तो यहां पर यह स्ट्राइन दिख रहा है मुझे बहुत बढ़िया स्ट्राइन है ठीक है यह स्ट्राइन जो है टैन वाला यह अगर इतना मैं सिलेक्ट करता हूं तो फंक्शन 11 भी है और ऑन टू भी है ठीक है अगर मैं आर इसमें कोडो में ल F is such that it is defined from minus pi by 2 to pi by 2 क्योंकि end points allowed नहीं है इसलिए open bracket लगा लो और output तो कहां से कहां तक जा रहा है आपका R तक जा रहा है ठीक है तो अब इसका inverse exist करेगा किसका इस portion का जो इतना सा मैंने shade के हैं नो उसका inverse exist करेगा ठीक है और वो function लिखते हैं कैसे हैं ठीक है अब इनवर्स अगर एक्सिस करेगा तो फिर यह तो मेरे काल समय आगे बात आपको सबको ठीक है कि आर हो जाएगा अब इनवर्स फंक्शन का डोमेन और माइनस पाइ बाइ टू टो पाइ बाइ टू आएगी उसकी रेंज ठीक है अच्छे यहां थोड़ा सा यहाँ आपको ऐसी आदत होगी शायद बनाने की कि पाई बाई टू पर ऐसा डॉटेड बनाते होगे आप, है ना, और माइनस पाई बाई टू पर भी ऐसी डॉटेड लाइन बनाते होगे, ताकि आपका टैन का ग्राफ अच्छे से बने, ठीक है, तो यह जो दो डॉटेड ल इधर भी नीचे जाकर उसको minus infinity पर touch करने वाला है ठीक है तो यह जो दोनों portion से यह क्या हो गए हमारे asymptotes हो गए dotted वाली lines ठीक है तो इसकी asymptotes क्योंकि vertical है तो फिर हमने क्या बोले थी property कि inverse की asymptotes कैसे हो जाएंगी horizontal हो जाएंगी ठीक है और अगर आप इसका image लेने की कोशिश करोगे तो बहुत ही आसान है कोई बिलकुल दिक्कत वाली बात नहीं है यहाँ देखो यहाँ पर 0,0 एक point है तो inverse पर भी 0,0 होगा यहाँ एक point है pi by 2 डाल के infinity ऐसा बोलें क्या इसको ऐसा नहीं बोलते हैं इसको बोलते हैं पाई बाई टू मा क्या बोलेंगे, πाई बाई 2 उपर माइनस लिख लेते हैं, मतलब पाई बाई 2 से थोड़ा सा कम, क्योंकि exactly पाई बाई 2 दालना allowed ही नहीं है, ठीक पाई बाई 2 माइनस डालेंगे तो infinity आएगा, यह एक important point है, मतलब inverse के case में क्या हो गया, infinity डालेंगे तो पाई बाई 2 माइनस आएगा, और इधर वाला point कौन सा है, जो last important point है, वो यह है कि, डालने पर minus infinity आ रहा है इसका मतलब minus infinity डालने पर minus pi by 2 से थोड़ी सी बड़ी value आनी चाहिए अब ये जो सब हमने discuss किया है इसी बात को अगर आप draw करोगे तो ऐसा दिखेगा आई बास होन में ओजस अभी भी matrices के उपर अटके हो पहले समझ लो, mattresses actually बहुत ही simple chapter है, है न, वो ऐसे ही हो जाएगा ख़दम, पता भी न चलेगा, ठीक है, इसको समझो पहले, यह बहुत important है, यहाँ समझ में आ रही है बाद आपको क्या होने वाला है, ठीक है, एक 0, 0 point बनाया है मैंने, उसके बाद एक point बनाया है, infinity पे pi by 2 से जब मैं minus infinity पे गया तो minus 5 बिटो से थोड़ा सा उपर आया, ठीक है, तो यहाँ पर यह जो dotted line से यह कैसी हो गई, यह आपकी horizontal हो गई, ठीक है, तो horizontal asymptotes convert हो गई इसके, ठीक है, तो आपको क्या दिख रहा है, ग्राफ कहीं खतम नहीं हो रहा है, ठीक है, क्योंकि वाला strand भी कहीं ठीक है यह कहां से कहां तक value दे रहा है आपको minus pi by 2 से pi by 2 value दे रहा है और इसको क्या क्या allowed होता है 10 inverse को सब allowed होता है है ना कुछ भी डालो उसके अंदर आपको कुछ ने कुछ output तो पक्के से मिलेगा आरी इतनी बास होंगे चलो तो प्रतीक जे एच जो है, he wants to know कि advance portion, advance के पहले portion खतम होगा क्या, तो I think if you are talking about 2020 advance, तो उसके पहले तो पक्के से हो जाएगा, ठीक है, 2019 obviously नहीं होगा, 2019 is not the target for this series, ओके, आपको अगर 2019 की तैयारी करनी है, तो फिर दूसरा course है, उसको join करो, ठीक है, ओल राइट, तीन हो गए हमारे, और आगे चलते हैं, ठीक है, लेकिन अब क्या है, थोड़ा-थोड़ा हमें फ्लो बन रहा है, तो इसी फ्लो में आगे बढ़ते आते हैं, तो आपको तीनों जो बच्चे हुए ग्राफ्स वो भी आसानी से सौंज में आ जाएंगे, ठीक है, और राइट, क इसको कर लेता है ठीक है तो जैसे आपने स्ट्रांट सिलेक्ट करने का सोचा आपने डोमेन कहां रिस्टेट कर दी जीरो से पाए के बीच में रिस्टेट कर दी यह जो vertical line आई वो, है न, एक 0 वाली y-axis तो already बनी हुई थी, है न, इसलिए यहाँ पर double बनाने की ज़रूरत नहीं बड़ी, और एक पाय पर भी मैंने vertical line ड्रॉप कर दी, तो 0 और पाय के बीच में अगर मैं इसको restrict कर दूं तो यह bijective हो जाता है, इसलिए इसका inverse exist करेगा, ठ fx equal to cot x जो मैं define कर रहा हूँ वो f define कर रहा हूँ मैं 0 से लेके pi input लेगा और output देगा r ठीक है कहीं से भी लेके कहीं तक भी जा रहा है ठीक है सब ले रहा है आईबा सोन में तो इसका inverse exist करेगा इसका जो inverse होगा वो r input लेगा और 0 से pi तक ही output देगा बस ठीक है और यहाँ पर फिर से क्या सोचना है आपको important point सोचना है तो बीच वाला एक important point है एक यह वाला important point है एक यह वाला end point important है ठीक है जैसे यहाँ पर प्लॉट करने की सोच हो गया है मेरे कहल से अब आगे आपको प्लॉट करते हैं ठीक है क्या है यहाँ पर पाई बाई टू 0 से थोड़ी सी बड़ी value पे infinity आता है, तो infinity पे 0 से थोड़ा सा बड़ा बनना चाहिए, उल्टा बोल दो, ठीक है, तो यहाँ पर क्या, infinity पे 0 से थोड़ा सा बड़ा बन रहा है कि नहीं, ठीक है, infinity पे 0 से थोड़ा सा बड़ा बन रहा है, ठीक है, कि पाये से थोड़ा सा कम लेते हैं, तो minus infinity आता है, पाई से थोड़ा सा कम लेते हैं तो minus infinity आता है तो minus infinity पे पाई से थोड़ा सा कम आना चाहिए ठीक है तो minus infinity पे पाई से थोड़ा सा कम आना चाहिए मतलब यह actually आपकी asymptote पाई पे आएगी ठीक है, तो यह red हो गया आपका graph, ठीक है, और यह अच्छे से बनना चाहिए, यह ऐसा हो जाएगा, parallel हो जाएगा almost इसके, ठीक है, touch नहीं कर पाएगा, वो infinity पे करेगा, हमें दिखेगा नहीं हो, ठीक है, हारी बास होन में, तो इस case में क्या हो रहा है, r इसका range हो गया और, sorry, आज कार्टिक क्लासेस का टाइम पता कर लो क्लासेस का टाइम नौ बजे से है मैथमेटिक्स की उसके पहले साथ और आठ बजे फिजिक्स और केमिस्ट्री की क्लास भी होती है ठीक है आज चलो आज चलो आज चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो All right, चलो, कहां तक आ गए, 4 तक आ गए, 2 और बचे हैं हमारे, ठीक है, आगे वाले दो interesting हैं थोड़े से, है न, COSX, क्योंकि काफी सारे बच्चे तो COSX और SECANT के Trigonometry वाले ग्राफ्स में comfortable नहीं होते, ठीक है, तो उनका inverse पढ़ना है अभी हमें, कोई बात नहीं, दिक्कत तो इतने portion आएंगे मेरे पास एक ये portion आएगा और एक ये portion आएगा ठीक है इस बार continuity नहीं है अलग अलग portions आ रहे हैं चलेंगे लेकिन हमें ठीक है क्यों क्योंकि कहीं पर भी अब ये जो black shaded है उसी को graph मानो कहीं पर भी horizontal line अगर draw करोगे तो फिर उस portion को दो बार cut नहीं करेगा मत इसका co-domain select करना पड़ेगा, ठीक है, जो इसका range है, वही मेरा co-domain होना चाहिए, ठीक है, और क्योंकि co-domain select करना मेरे हाथ में है, तो मैं खुद ऐसा co-domain select करूँगा, ताकि मुझे ये bijective function बनते वे दिख जाए, ठीक है, तो देखो यहाँ पे क्या बोल रहा हूँ है, कि closed interval ले लेते हैं, लेकिन, zero नहीं आएगा बीच में, ठीक है, zero allowed नहीं होता इसको, है ना, क्योंकि 0 पे क्या हो रहा है, दिक्कत हो रही है, 0 पे not defined हो रही value, ठीक है, तो ये मेरे input ले लेता हूँ मैं, ठीक है, minus pi by 2 से pi by 2, except 0, और अगर ऐसा करता हूँ, तो मुझे इसका range जो दिख रहा है ना, वही इसका code domain बता देते हैं, ताकि range equal to code domain आ जाए, तो मुझे range क sorry, minus infinity say minus 1, union 1 say infinity, क्योंकि मुझे इसकी range दिख रही थी black shaded वाले portion की, तो मैंने इसका core domain भी वोई ले लिया, अब मुझे guarantee हो गई कि ये जो भी मैंने function नया define किया है, हाला कि उसका नाम cosec x ही अभी भी, ठीक है, लेकिन ये जो नया define किया है, ये basically bijective function है, तो इसका inverse exist करेगा, अब इसका जो inverse होगा उसका domain है ये माइनस इंफिनिटी से माइनस ओन यूनियन वन से इंफिनिटी और ऐसा करने पर जो आउटपुट आएगा वो क्या है वो आउटपुट यह है तो यह रेंज बनने वाला है आगे चलके ठीक है तो मेरे खाल से अब ग्राफ के बारे में तो मेरे खाल से आपक और अब ऐसा कुछ ग्राफ बनेगा इसका, ठीक है, यह कोजिक इनवर्स का ग्राफ है, ठीक है, देखो यहाँ पे जरा, मैच करते आ रहा है क्या, कोजिक और कोजिक इनवर्स, ठीक है, यहाँ पर आपके पास एक पॉइंट है, पाई बाई टू पे वन आता है, तो क्या वहा minus pi by 2 पे minus 1 आ रहा है तो यहाँ क्या minus 1 पे minus pi by 2 आ रहा है क्या आ रहा है ठीक है और एक बार देखते हैं 0 से थोड़ी सी बड़ी value डालता हूँ तो infinity आता है 0 से थोड़ी सी बड़ी value डालता हूँ तो infinity आता है तो क्या यहाँ पे infinity पे 0 से थोड़ी सी बड़ी value आ रही है क्या infinity पे 0 से थोड़ी सी बड़ी value आ रही है बिल्कुल ठीक है और देखते हैं 0 से थोड़ा सा कम डालता हूँ तो minus infinity आता है तो क्या यहाँ पे minus infinity पे minus infinity वे 0 से थोड़ी सी कम value आ रही है क्या, आ रही है, ठीक है, तो graph ऐसा ही होगा, ठीक है, अगर किसी student को confusion है कि cosec inverse x का graph कैसे बनेगा, ठीक है, तो याद रखने के लिए, समझने के लिए तो यही तरीका है, ठीक है, लेकिन याद रखने के लिए देखो shortcut क्या है, शौर्टकट यह है कि sine inverse x का graph जहां खतम होगा, वहां से cosec inverse x का graph start होगा, ठीक है, sine inverse x का graph याद है सबको, सबसे पहला वाला, सबसे आसान वाला, वो ऐसा छोटा सा ग्राफ हुआ करता है, यह जो ब्लैक से बनाया मैंने क्या है, यह sin inverse x का ग्राफ है, तो यह जहां खतम हुआ है, वहीं से cosec inverse start हो रहा है, ऐसा अगर याद रखेंगे, तो शायद मुझे as a student काफी comfortable लगता था है, all right, चलो तो ये red वाला जो graph है वो क्या है cosec inverse का graph है ठीक है और एक देखो secant secant का graph अगर ऐसा है तो बताओ कि इसके अंदर मैंने क्या इसका domain लेना चाहिए और क्या code होने लेना चाहिए ताकि secant function कैसा हो जाए, secant function bijective हो जाए, ठीक है, fx मेरा नाम तो secant x ही है, लेकिन देखो मैं क्या strand select कर रहा हूँ, आधा strand उपर वाले का और आधा strand नीचे वाले का select कर रहा हूँ, ठीक है, ताकि मेरे पास ये उपर जाने वाला portion आए, और ये नीचे जाने वाला portion भी आजाए, ठीक है, ये बीच में कहां दिक्कत दे रहा है, ये pi by 2 पे दिक्कत दे कोई बात नहीं तो वाला point हटा देंगे हम domain में से ठीक है तो अब इसका जो मैं domain define कर रहा हूँ वो क्या है 0 से लेके पाई तक except पाई बाई 2 ठीक है, और ऐसा करने पर मुझे क्या क्या मिल रहा है, minus infinity से लेके minus 1, बिल्कुल वैसा ही जैसा पहले मिला था, minus infinity से लेके minus 1, union, 1 से लेके infinity, ठीक है, यह लिखना इसलिए जरूरी है, फिर से बदाते ता हूँ, क्योंकि inverse function का answer यहां से directly आता है, inverse function में यह जो नीचे लिखा हुआ है, यह हो जाएगा आपका domain, और उपर लिखा हुआ जो है, वो हो जाएगा आपका core domain, ठीक है, जो core domain होता है, bijective function में वो ए रेंज भी होता है, ठीक है, तो यह आपका range आजाएगा, ठीक है, ग्राफ कैसे ड्रॉप करेंगे, ग्राफ ड्रॉव करना बहुत ही सिंपल है, फिर से तीन चार पॉइंट्स ले लो, एक ये पॉइंट इंपोर्टेंट है, ये पॉइंट इंपोर्टेंट है, ये भी इंपोर्टेंट है, और ये भी इंपोर्टेंट है, ठीक है, चार पॉइंट्स अगर प्लोट करोगे, तो वहाँ से secant inverse x शुरू होता है, ठीक है, अच्छा, लेकिन एक बात और important है, क्योंकि यहाँ पर pi by 2 पर vertical asymptote है, तो यहाँ पर pi by 2 पर horizontal asymptote आएगी पक्के से, ठीक है, तो यह pi by 2 की horizontal asymptote है, ठीक है, आधा portion उस side जाकर touch कर रहा है इसको, आधा portion इस side आकर touch कर रहा है, ठीक है, और रहेट, तो फिर से याद रखने के लिए, मैं यहाँ पर cos inverse x भी बना देता हूँ, है न, minus 1 to 1 के बीच में cos inverse x ऐसा कुछ था, black से जो बना है, ठीक है, बस जहाँ खतम हुआ है, वहीं से क ठीक है और राइट हां तो अमियेंद्र पूछ रहा है अमियेंद्र सिनापती पूछ रहा है कि हम इसकी डोमेन जीरो से माइनस पाई क्यों नहीं ले सकते थे बहुत ही अच्छा कोशिश है ये कोशिश अगर वाकई दूसरों को भी आ रहा है तो मतलब वो सही सोच रहे है ठी तो हाँ students में ले सकता था मैं minus pi से zero भी अगर लेता तो यह function bijective बन गया होता लेकिन यह वो function नहीं बना होता कुछ और बना होता हो ठीक है although उसका नाम अभी भी secant x ही होता लेकिन आपने क्योंकि उसका domain change कर दिया तो वो function अब यह function नहीं बचा है जिसके हम बात कर रहे हैं ठीक है आईबा सोन में यहाँ पर हमें जो function discuss करना है वो यह standard वाला function है जो हर कोई discuss करता है ठीक है आप जो बता रहे हो वो भी सही है तरीका लेकिन उससे जो function बनेगा वो दूसरा रहेगा बाकि हर कोई उसकी बात नहीं कर रहा होगा तो आपके answer कुछ और निकल के आएंगे और आपके classmates के answer कुछ और निकल के आएंगे ठीक है तो हम वो नहीं चाह हम वो वाला basically यहाँ पर discuss करने लेकिन आपका idea बिल्कुल सही है कुछ और भी हम select कर सकते हैं actually इसके ऊपर काफी अच्छे question बनते भी हैं ठीक है कि अगर यहाँ पर 0 से pi की जगे minus pi से 0 domain लिया होता तो जो function बनता उसके inverse की value क्या है इस type की questions आते हैं और definitely आपको standard books में मिलेंगे All right, चलो, चलते हैं, why always take function according to our convenience, हाँ, तो, so, हम, ये हमारा convenience नहीं है, है न, ये actually standard है, तो, जो standard है, वो हम ले रहे हैं यहाँ पे, ठीक है, आप, जैसे मैं अभी इसको भी समझा रहा था, है न, कि अगर आप ले लोगे कुछ और, तो उससे भी सही answer आएगा, logically, ठीक है, लेकिन वो दूसरों से match करेगा नहीं, तो फिर आपको फिर number नहीं मिलेंगे, ठीक है, तो basically standard कुछ तो follow करना पड़ेगा न, है न, standard हमने जो select करके र� कुछ बचा नहीं हमारे पास है ना, हमारे पास क्या क्या आ गया है, सभी 6 inverse trigonometric function के domain range और graph का understanding आ गया है, ठीक है, एक दो question करके देखते हैं, बहुत ही simple वाल है, cos inverse of minus root 3 by 2 का answer कितना होगा, ऐसा मुझे सोच के बताओ, तो ऐसा जब भी आपको सोचना पड़ेगा, तो सबसे simple तरीका क्या होता है, कि cos inverse of minus root 3 by 2 कोई तो angle होगा कि नहीं, cos inverse का answer कहां से कहां तक आता है, 0 से πाई के बीच में आता है, 0 से पाई के बीच में आता है, तो 0 से पाई मतलब क्या है, वो angle है, तो हमेशा कैसे सोचना होगा आपको, कि ये कोई तो angle है, ठीक है, अब ये कौन सा angle होगा, ये वो angle होगा, जिसके लिए cos theta का answer minus root 3 by 2 बन जाए, ठीक है, लेकिन ये equation और ये equation बहुत अलग equations है, ठीक है, ये inverse trigonometry की equation है, ये trigonometry की equation है, ठीक है, trigonometry की equation हमने पढ़ा हुआ है पहले, है न, ट्रिक्नोमेट्रिक एक्वेशन हमने मतलब आप लोगों ने ट्रिक्नोमेट्रिक एक्वेशन आप लोगों ने पढ़ा हुआ है पहले ठीक है जह ठीक है, लेकिन हमें infinite solutions नहीं चाहिए, हमें कौन सा theta चाहिए, हमें वो theta चाहिए, जो 0 और पाए के बीच में आए, बस वही वाला theta चाहिए, ठीक है, क्योंकि cos inverse को बात कर रहा हूँ, इन्वर्स का एक answer आएगा, लेकिन trigonometric equation के infinite answers आएगे, ठीक है, यह difference होता है, तो अब क्या तो वहाँ पर आएगा, 5π्या 6 पर आएगा क्या? ठीक है? तो 5π्या 6 लिख लो वहाँ पर, तो मुझे क्या calculate करना है? देखो जरा, मुझे चाहिए tan of π्या 3 plus 5π्या 6, यह सब करते आता है ट्रिक्नोमेट्री वाले concept आपको? ठीक है? और राइट, तो 5π्या 6 plus प्या 3 कितना हो ज आई थिंगी हो जाएगा यह पाई प्लस पाई वाइ सिक्स हो जाएगा आइटिंग है ना इसमें पाई वाइ सिक्स कम पड़ रहा है पाई बनने के लिए ठीक है तो पाई वाइ सिक्स उसको दे दूंगा तो फिर यह कितना हो जाएगा यह खुद भी पाई वाइ सिक्स हो जाएगा ठीक है तो यह पा� जाएगा ठीक है और बी आंसर आएगा जो बिल्कुल सही बात है और किसी का आया बी आंसर बिल्कुल मोहित का भी आ गया और आइट मोहित प्रकांत प्रकांत फ्रस्टेटेड होने की जरूरत नहीं है तो आई के निधर एक्सप्लेइन और वी केंड जस्ट चैट है ना तो आई थिंग थोड़ा सा तो टाइम एक्सप्लेइनेशन भी देना पड़ेगा मुझे तो बीच में जब भी मुझे टाइम मिलता है तो डेफ अब ये question आता है हमारे सामने कि the domain of fx equal to कितना ठीक है, तो domain के concept में अब पहली बार क्या आया है, inverse function आया है इसके पहले जो हमने functions पूरा chapter के वास पर बहुत बार domain के question solve किये है, लेकिन वहाँ कहीं पर भी inverse function use नहीं किया था, क्योंकि हमने पढ़ा ही नहीं था अब हमें पता है कि inverse function क्या है, ठीक है तो मुझे क्या चाहिए, कि pi by 4 minus sine inverse, domain का concept तो पता ही सबको question के थुरू हमें और अच्छा clear होगा ठीक है, तो मैं क्या बोल रहा हूँ कि क्योंकि under root के अंदर लिखा हुआ है और मुझसे domain पुछा है, तो मैं बोलूंगा कि pi by 4 minus sin inverse x जो है, वो greater than or equal to 0 होना चाहिए, इसका क्या मतलब है, कि sin inverse x जो है, वो less than or equal to pi by 4 होना चाहिए, ठीक है, तो पहली बार हमारे पास inverse trigonometric function की inequality ठीक है, तो students यहाँ पर एक अच्छा तरीका सीखो, कि आपके पास चाहे trigonometric inequality आए, चाहे आपके पास में ITF inequality आए, आपको solve उसको graphically करना चाहे, ठीक है, अगर graph बना लोगे, तो आपके पास जो answer आएगा वो बिल्कुल सही होगा, अगर आप और कुछ करने जाओगे, तो ग कि नहीं हुआ अभी तक, ठीक है, sin inverse x minus pi by 2 से pi by 2 तक बनता है, minus 1 से 1 तक input लेता है, ठीक है, तो अगर मैं यह बोलना चाहरा हूँ कि sin inverse x less than pi by 4 होना चाहिए, कि less than or equal to, तो pi by 4 यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के ठीक है तो अब यह output अगर मुझे चलेंगे तो फिर x कहा से कहा तक जा रहे है उन output के लिए वो देख लो बस ठीक है तो यह end point पे minus 1 है और ये endpoint पे pi by 4 answer आना चाहिए तो क्या x डाल के pi by 4 answer आता है 1 by root 2 डाल के answer आता है ठीक है तो क्या answer आना चाहिए फिर इसका minus 1 से लेके minus 1 से लेके 1 by root 2 यही method सीखो इससे करोगे तो अच्छा रहेगा ठीक है अदरवाइस यहाँ पर कभी-कभी तो x less than or equal to 1 by root 2 आ गया जो सही नहीं है R U A SON में क्योंकि sin inverse x कम होते होते कितना कम हो सकता है sin inverse x जो है minus इससे तो कम हो नहीं सकता ना minus 1 से कम नहीं हो सकता तो वो जो दिक्कते हैं ना वो नहीं आएंगी अगर आप graphically इस चीज़ को already देख रहे होगे तो ठीक है तो इन सारे questions को graphically हमेशा करो तो इसका answer मेरे पास जो आ रहा है वो minus 1 से 1 by root 2 आ रहा है C answer आ रहा है बिल्कुल सही अंकित प्रतमेश प्रतमेश ए आंसर नहीं है सी आंसर है ना यह गलती जो मैंने एक्सप्लेइन की समझ में आई आपको माइनस इंफिनिटी से वन बार रूट तू नहीं आएगा माइनस वन से वन बार रूट तू आएगा अनिकेट ने बिल आपके भी सही answer आया है आए बास वाज़ में सबको चलो तो यह एक और question देखते हैं the number of real solutions of this particular equation हम क्या सोच रहे हैं कि हमने जो भी अभी inverse function के बारे में पढ़ा है क्या वो basic knowledge यूज़ करके भी हम यह questions कर पा रहे हैं क्या तो हाँ I think कर पाएंगे है ना मतलब greater than 0 वाला तो condition आएगा ही आएगा ठीक है यहाँ देखो कि sine inverse के अंदर कुछ तो दिया हुआ है अब sine inverse का domain क्या लिखा है हमने sine inverse का domain हमने लिखा है minus 1 to 1 ठीक है, तो 1 से बड़ा उसको कभी मत देना, ठीक है, minus 1 to 1 के बीच में ही कहने कहीं उसको रखना पड़ेगा, ठीक है, तो यहाँ पर यह देखो, problem क्या है, क्योंकि मुझे पहला वाला under root बोलेगा, कि x square plus x, ओपन कर लिया मैंने उसको, x square plus x आपको greater than 0 या equal to 0 रखना ज़रूरी है, ठीक है तो यह सेम एक्सप्रेशन मुझे दूसरे वाले में भी दिख रहा है दूसरा वाला बोल रहा था कि अगर आप इसको ग्रेट दैन और इकॉल्ड जीरो रखोगे क्योंकि दोना आपस में बात कर रहे हैं ठीक है इंटरसेक्शन लेना है दोनों की बात माननी है ठीक है साइन इन्वर्स की तो लिमिटी आ गई साइन इन्वर्स को मैं वन से ज़्यादा दे नहीं सकता था ठीक है तो अगर मैं इसको बोल रहा हूँ ग्रेट देन और इक्कॉल टू जीरो और यह बोल रहा है कि नहीं यह तो वन से बड़ा हो जाएगा उस पर्टिकलर केस में अगर यह expression 0 होगा तब ही actually आपको दोनो conditions मानने वाली मिलेगी otherwise दोनो में कोई नुकवे तो गड़बड करेगा ठीक है कैसे सोचने समझ में आ रहा है यह domain को सोचने का तरीका है ठीक है यह under root of 1 मतलब 1 हो जाएगा ठीक है तो क्या इससे answer आ रहा है क्या आया नहीं इसे answer, ठीक है, कि इसको 0 करने से काम बन रहा है, तो अगर मैं इसको 0 करता हूँ, x into x plus 1 equal to 0, तो मेरी बात बन रही है, क्यों बन रही है, क्योंकि यहाँ पर sin inverse of 1 बनेगा, which is actually pi by 2, अगर यहाँ पर instead आपको letter से 0 दिया हुआ होता, अगर यहाँ पर आपको minus pi by 2 दि कब कब आएंगे, x equal to 0 पे आएंगे, और x equal to minus 1 पे आएंगे, क्योंकि इन दोनों पर ही equation satisfy हो रही है, ठीक है, तो कितना solution हो जाएंगे फिर आपके, सोहम, मोहित, C answer आ रहा है, निकिता B answer आ रहा है आपका, और एक solution आया गया, अपूर D नहीं आएगा, ठीक है, infinite solutions नहीं आएंगे इसके, तो यही difference होता है, inverse trigonometric equation में और trigonometric equation में, ठीक है, trigonometric के infinite solutions आता हैं, यहाँ पे infinite नहीं मिलेंगे आपको कभी भी, ठीक है, all right, तो चलो, अब यह question लो आप homework के लिए, यह domain वाला अच्छा question था, ठीक है, यहाँ पे कुछ नया सीखा हमने, यह ठीक है, तो log के अंदर 10 universe बहुत ध्यान से करना इसको अच्छा question है, ठीक है, तो यह रहा आपका homework का आज का पहला question, screenshot लेना है तो ले सकते हो, ठीक है, हाला कि आपको notes मिलेंगे बाद में, ठीक है, तो वहाँ से भी refer कर सकते हो, but this is one of the questions which I would like you to try, ठीक है, और एक question देखो, यह question बहुत special question है, ठीक है, क्योंकि यह advance में आया था, ठीक है, और अगर आपको एक ही lecture attend करके, ITF का एक ही lecture attend करके, advance का question करते आ रहा है, ठीक है, तो I think बहुत ही अच्छी बात है, इससे यादा fruitful time थे, इसका मतलब होई नहीं सकता हमारा, ठीक है, तो इसको जरूर करना, और वह the latest question है, I think 2015 का question है थी, ठीक है, advance में आया था, तो ये दो questions आप करके आओ, next class में हम इसको discuss करेंगे, ठीक है, और देखते हैं फिर इनके solution कैसे आते हैं ठीक है चलो तो that's it मिलते हैं next class में अगर आपको ये lecture अच्छा लगा अगर आपको कुछ सीखने को मिला अगर आपको graph, domino, range के concept सुनदे आया है ठीक है तो please like this video थोड़े कुछ comment भी कर दो अगर आपको कुछ लगता है कि इसके अंदर कोई change होना चीज़ comment कर सकते हैं ठीक है do subscribe to our channel अनाकेडमी जेई जहाँ पर हम ये lectures आपको deliver कर रहे हैं ठीक है bell icon प्रेस करोगे तो आपको notifications regularly मिलते रहेंगे ठीक है और pdf डाउनलोड करना मत भूलना, PDF आ जाएगा आपके पास में 5-10 मिनित के अंदर, description के अंदर, ठीक है, वहाँ से आप अभी जो lecture में हमने questions यूज़ किये, वो सारे, और theory जो हमने यूज़ किये, वो सारी आपको मिल जाएगे, ठीक है, चलो, good night, have a nice day.

और किस बात का use करेंगे inverse trigonometric function के लिए? वो graph की understanding का, ठीक है? The graph of f and g are the mirror image of each other in the line y is equal to x, if f and g are inverse of each other, तो g के जगे और clarity के लिए f inverse लिख लेते हैं, ठीक है? The graph of f and f inverse are mirror image of each other in the line y is equal to x, ठीक है?

ग्राफ बनाने में ये हमारी help करेगा. ठीक है, और देखो, all right, so, let me just complete this explanation, then I will reply to your query, all right, और एक point जो होता है, जो बहुत ही important, ठीक है, ये शायद आपने straight lines वाला chapter पढ़ते समय realize किया होगा, कि image of point x1, y1, अगर आप y equal to x line में निकालते हो, तो कुछ नहीं होता है, वो coordinate ऐसा लगता है कि exchange हो गए, ठीक है, y1, x1 हो ग ठीक है, यह point बहुत ही important है, इसका हम use करेंगे, image of point x1, y1 in the line y is equal to x is y1, x1, ठीक है, और एक point जो ध्यान रखना है हमें, वो क्या है, कि अगर fx की कोई asymptote है, अब asymptote क्या होता है, है न, जिन्होंने coordinate geometry 11th में पूरा पढ़ा हुआ है, उनको तो पता होगा, ठीक है, asymptote क्या होता है, किसी भी function को, अगर कोई एक tangent line है, at infinity, तो उसको asymptote बोलता है, ठीक है, simple example ठीक है, और आपको अगर trigonometer से related example चीज़े, तो हमारे पास होता है, y is equal to tan x, ठीक है, tan x को pi by 2 पे अगर आप एक dotted line बनाते हैं वार बार, ठीक है, pi by 2 पे dotted line जो बनाते हैं, वो उसके actually asymptote है, ठीक है, तो ये क्या कह रहा है, अगर fx की asymptote vertical है, तो फिर f inverse x की asymptote horizontal हो जाती है, ठी ठीक है अब यह जो सारी प्रॉपरीटीज हैं और राइ यह जो सारी properties हैं, हाँ बिल्कुल प्रतिक सही बोल रहे हो, tangent at infinity जो होता है, उसको हम क्या बोलते हैं, asymptote बोलते हैं, ठीक है, बिल्कुल, Pooja, Nikita, concept आप सब लोगों बिल्कुल पता है, ठीक है, तो अब इसका use करो, और आगे inverse trigonometry के graph बनाने की कोशिश करो, ठीक है, तो अब trigonometric का graph देखते हैं, ठीक है, y equal to sin x, यह एक function है, इसी का inverse को क्या बोलते हैं, sin inverse x बोलते हैं, ठीक है, अब यहां देखो, कि अगर इसका domain r है, और इसकी range minus 1 to 1 है, ठीक है, तो इस case में जो graph बनता है, वो तो यह graph बना हुआ है, sin x का, ठीक है, अगर यह sin x का graph है, तो इसका inverse exist कर सकता है क्या? करें नहीं सकता क्योंकि यह फंक्शन कैसा हो गया यह तो मैनीवन फंक्शन हो गया ना फॉर मैनी वैल्यूज ऑफ एक्स यू आर गेटिंग सेम वैल्यू ऑफ वाय इसका वाले फंक्शन कैसा है मैनीवन फंक्शन है तो यह तो इनवर्स होगा ही नहीं इसका इस फंक्शन का ठीक है तो यहाँ पर देखो क्या एक तरीका होता है हमारे पास हमें बोलते हैं कि ठीक है यह जो अभी हमने domain और range define करके रखा है for that particular domain and range या फिर domain and co-domain बोलो उसको यह function invertible नहीं है तो ऐसा करते हैं इसके अंदर थोड़े changes करते हैं ऐसा करते हैं एक नया function define करते हैं fx which is sin x only ठीक है बट this f is defined from minus pi by 2 to pi by 2 है ना इतना ही input में लूंगा और अगर ऐसा करता हूँ minus pi by 2 से लेके pi by 2 तक ही अगर मैं sin x का ग्राफ बनाता हूँ तो मेरा answer कहां से कहां तक आता है मतलब मेरी range क्या होती है minus 1 से 1 आ रही है वासोंज में, ठीक है, minus pi by 2 से pi by 2 जब मैं input लेता हूँ, तो मेरे पास ये पुरा graph बनता है, ठीक है, ये जो मैं shade कर रहा हूँ, ये पुरा graph मेरा बनता है, ठीक है, तो अब जैसे ही मैंने इतना सा जो shaded graph है, उतना ही अगर बनाया, और मैंने अगर specify कर दिया कि minus 1 to 1 ही इसका co-domain है, then this special function, sine x, becomes invertible, ठीक है, अब मैं इसका inverse find कर सकता हूँ, clear है, अब कोशिश करते हैं फिर inverse find करेंगे कैसे, ठीक है, इतना concept सोच में आया, क्योंकि पहले मुझे इसको, 11 onto बनाना पड़ा क्योंकि उसके पहले तो inverse exist नहीं कर सकता था clear है जैसे ही मैंने मेरी domain और co-domain अच्छे से define कर दी ये function अपने आप ही क्या हो गया 11 onto हो गया अब बताओ कि मुझे inverse find करने के लिए क्या करना चाहिए inverse find करने के लिए मुझे कुछ तो important points पढ़ा करने चाहिए जो inverse के graph पे lie करेंगे ठीक है inverse के graph पे क्या 0,0 lie करेगा क्या क्योंकि sin x के graph पे तो 0,0 लाइक कर रहा है, ठीक है, तो हमने क्या देखा था, कि अगर x1,y1 का, है न, जो आपके बास basically inverse का graph होगा, वो y equal to x में इसका image होगा, तो y equal to x, let us say, ऐसा कुछ है, y equal to x में इसका image बनाना है, तो image बनाना है, मतलब graph बनाना है, graph बनाने के लिए कुछ ठीक है, और आइट, तो जीरो जीरो को आगे बीचे कर दोगे, मतलब y equal to x में अगर image ले लोगे तो फिर से क्या बनेगा, जीरो जीरो भी बनने वाला है, राइट, इसका मतलब sin inverse x के उपर ठीक है, वैसे ही और एक important point देखते हैं, ये जो end point है, this is again important, ये कौन सा point है, pi by 2 डालने पर 1 आया, ठीक है, तो इसका coordinate क्या है, pi by 2,1, अब ये जो है, इसका अगर मैं image लूँगा, y equal to x वाली जो dotted line देख रही है, उसमें अगर मैं image लूँगा, तो ये क्या बन जाएगा, आग ठीक है और वैसे ही एक और इधर वाला एंड पॉइंट जो है यह भी इंपोर्टेंट है यह क्या है माइनस पाइ बाई टू डालने पर माइनस वन आ रहा है ठीक है क्या है माइनस पाइ बाई टू डालने पर माइनस वन आ रहा है तो इसका इमेज अगर मैं लूंगा तो मु� minus pi by 2, आगे बिछे कर दिया, ठीक है, अब मुझे क्या मिल गया, तीन important points मिल गया, एक बीच वाला point, एक इधर वाला end point, एक इधर वाला end point, ठीक है, अब मैं सोच रहा हूँ कि roughly अगर मैं इसका graph ड्राउ करना चाह रहा हूँ, तो फिर वो graph कैसा दिखना चाहिए, ठीक है, तो अब मुझे क्या बता है कि मुझे connect तो इन दोनो dots को करना ही है इन दोनो dots को मुझे connect करना है लेकिन मैं सोच रहा हूँ कि थोड़ा image वाल concept भी लगा लेते हैं ये graph इस side से नीचे आ रहा था तो फिर इसने उपर जाना चीज़ ठीक है ऐसा लग रहा है कि mirror अगर है y equal to x तो इसने ऐसा ही कुछ तो जाना चीज़ और वैसे ही ये क्योंकि इस तरह से उपर आ रहा था तो फिर इसने नी� clear है, तो अभी जो मैंने red से draw किया, आपका sin inverse का graph इस तरह से कुछ तो आप दिखने लगेगा, ठीक है, और क्योंकि आपका graph इस तरह से दिख रहा है, क्या आप इसका range और co-domain आराम, range और domain आराम से देख पा रहे हो क्या, ठीक है, अगर graph से देखने में दिक्कत आ रही है, त ठीक है, तो sin inverse जो बनने वाला है, वो कहां से कहां तक defined होगा, minus 1 to 1 input लेगा, और minus pi by 2 से pi by 2 output देगा, आई इतनी बास होने में, और उसका graph कैसा होगा, ऐसा कुछ तो graph होगा, जो मैंने अभी बनाया है यहाँ पर, ख्लियर है, तो अब इसी चीज़ को अच्छे से देख लो fair diagram में, ठीक है, y equal to sin inverse x जो है, उसका graph ऐसा कुछ बनेगा, ठीक है, कहां से कहां तक बनता है ये, minus 1 से लेके 1 तक ही बनता है, तो ये क्या हो गया, इसका domain हो गया, इतने ही x के input allowed रहेंगे इसके अंदर, ठीक है, और कहां से कहां तक जा रहा है ये y-axis के उपर, ये y-axis के उपर जा रहा है, minus pi by 2 से लेके pi by 2 तक, तो ये इसका हो जाएगा range, ठीक है, आ रही है इतनी मास्मन में, तो range और domain जो थे वो आगे पीछे कर दिये, तो inverse function के range और domain आ गए, ठीक है, graph कैसे पता किया हमने, important points लिये, उनको y equal to x के बावट, image निकाला उसका, और थोड़ा बहुत curve कैसा बनेगा, है न, curvature कैसा होगा, उसके लिए हमने थोड़ा सा ऐ विश्णू क्या हो गया डेटा पैक खतम हो गया आलरेट सोहम आज फिर से बहुत एक अच्छा कोशिन लास्ट क्लास में भी काफी अच्छा कोशिन पूछा था सोहम ने सोहम अभी पूछ रहा है कि सर आपको कैसे पता कि y equal to x y equal to sin x के नीचे लाइक करेगा ठीक है बहुत ही बढ़िया कोशन है पहले तो ये करो कि वेरिफाई करो कि ऐसा होता है कि नहीं ठीक है आप सबको याद इंटरनेट कनेक्शन है ठीक है अच्छे से आप कोई तो एक एप पे जाओ ठीक है और जो अच्छे से ग्राफ ड्रॉव कर सकता है ठीक है ठीक है, y equal to x यहाँ पर उपर होता है, और sin x नीचे होता है, जब left hand side की बात करते हो, तो y equal to x नीचे होता है, और sin x उपर होता है, ठीक है, इसका proof हम करेंगे application of derivatives में, ठीक है, जहाँ पर हम increasing decreasing function के property का use करके इसको proof करते हैं, आपको यह, graphically आप कैसे test कर सकते हो, actual software में चले जाओ, अभी के लिए उतना रखो, ठीक है, application of derivatives में actually यह question ही आता है, कि prove that sin x is less than x for x lying between 0 to pi, बट यह actual question है, ठीक है, तो बाद में हो पाएगा, all right, so I think query is answered, all right, तो, प्रकांत प्रकांत wants to know कि ये advance में directly help करेगा क्या तो advance 2019 के लिए ये focus नहीं है series ठीक है ये series 2020 advance के लिए focused है ठीक है तो यहाँ पर जो बच्चे पढ़ रहे हैं we are expecting कि वो 2020 में या even after that exam attempt करने वाले हैं ठीक है 2019 में जो exam देने वाले हैं उनके लिए अलग से course launch कर रहे हैं but it is not on youtube it is on JEE sorry an academy plus platform alright चलो, आगे बढ़ते हैं, तो मेरे ख्याल से आपको सौंज में आया है कि sin inverse x का ग्राफ कैसा होता है, तो sin inverse x का ग्राफ, sin inverse x का domain और co-domain, ठीक है, ये चीज़े याद करते चलो, ये आगे आपको use करने की ज़रूरत पड़ेगी, ठीक है, लेकिन अगर आपको ये आली महनत प ठीक है, cos x को देखे मुझे क्या समझ में आ रहा है, कि अच्छा, ये तो inverse exist करेगा है इसका, क्यों नहीं exist करेगा, क्योंकि ये minimum function है, तो फिर से हाँ मुझे क्या करना पड़ेगा, एक special cos function define करना पड़ेगा, ठीक है, तो अगर मैं fx equal to cos x define करूँ, such that f is defined from, अब यहाँ ढून वो सिलेक्ट कर रहा हूँ ठीक है, मैं क्या चाह रहा हूँ कि max to max range आ जाए उसकी तो max to max range आ गए, इसके निर minus 1 से लेके 1 तक सारे values आ गए, ठीक है और ये भी चाह रहा हूँ कि repetition ना हो तो 0 से 5 ठीक है, तो मैं क्या बोला हूँ, F function को define कर दो, 0 से लेके पाई तक, ठीक है, जब ऐसा करोगे, तो आपको minus 1 से लेके 1 तक सारे output मिलेंगे, अब ये जो special cos function है, ये हो गया 1, 1, on 2, और इसलिए इसका inverse exist करेगा, ठीक है, अब इसका जो inverse cos inverse x exist करेगा, उसका domain क्या होना चाहिए, वो कहा से कहा तक output देगा, तो वो 0 से पाई तक output देगा, ठीक है, यह बात हमें यहीं से सौन में आ गई, क्योंकि यह ऐसे बी तक defined है, तो फिर वो बी से ए तक defined होगा inverse function, ठीक है, इसका जो आपके पास graph का थोड़ा idea लगाना पड़ेगा आपको, तो फिर से क्या करो, y equal to x त पाई डालने में माइनस वन आता है, तो inverse में कितना आएगा, माइनस वन डालके पाई आएगा, माइनस वन डालके पाई आएगा, मतलब यहां कहीं जाएगा, ठीक है, एक important point है मेरे पास, पाई बाई टू डालके जीरो आता है, ओरिजिनल ग्राफ के उपर, ठीक है, देखते 0 डाल के पाई बाई 2 ठीक है और एक कौन सा important point लग रहा है आपको ये कुछ है ये कौन सा point था end point ये है 0 डाल के 1 आता है ठीक है ये 0 डाल के 1 दे रहा है तो इसका मतलब 1 डाल के क्या आएगा 0 आएगा यहाँ के आएगा 1 डाल के 0 बस अब इन तीनों को connect करना है लेकिन इस तरह से connect करना है कि वो image वाला concept भी लगे ठीक है ताकि आपको ये सौंज में आए कि उसका curvature कैसा होगा आरी बास होने में चलो तो यहाँ पर क्या करेंगे हम ऐसा कुछ draw करेंगे यह जो बना है यह आपका inverse का कॉस इनवर्स एक्स का ग्राफ है ठीक है लेकिन और फेयर डायग्राम देख लेते हैं ठीक है कॉस इनवर्स एक्स का ग्राफ यह है आपके सामने क्या क्या ध्यान रखना है, cos inverse x एक limited region में ही होता है, minus 1 to 1 ही वो input accept करता है, और output के अगर बात करो, तो output वो बस 0 से pi तक ही दे पाता है, इससे ज़्यादा output वो देगा भी नहीं, ठीक है, और आइट, तो यहां क्या क्या समझ में आया हमें, cos inverse x का domain, range और graph, ठीक है, यही आज का हमारा main target है, ठीक है, चलो. आपको प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक प्रतिक डोंट वर्य अबाउट देट चैप्टर्स देट आटू कम इनवर्स के बाद में क्या करेंगे देखते हैं अभी तो इनवर्स करने में काफी टाइम लाइव हमें ठीक है चलो तो टैनेक्स अब यह भी फंक्शन वाल दिक्कत वाला है है ना सारे ही एक्चुली ट्रि 11 और ऑन टू दोनों है ठीक है तो यहां पर यह स्ट्राइन दिख रहा है मुझे बहुत बढ़िया स्ट्राइन है ठीक है यह स्ट्राइन जो है टैन वाला यह अगर इतना मैं सिलेक्ट करता हूं तो फंक्शन 11 भी है और ऑन टू भी है ठीक है अगर मैं आर इसमें कोडो में ल F is such that it is defined from minus pi by 2 to pi by 2 क्योंकि end points allowed नहीं है इसलिए open bracket लगा लो और output तो कहां से कहां तक जा रहा है आपका R तक जा रहा है ठीक है तो अब इसका inverse exist करेगा किसका इस portion का जो इतना सा मैंने shade के हैं नो उसका inverse exist करेगा ठीक है और वो function लिखते हैं कैसे हैं ठीक है अब इनवर्स अगर एक्सिस करेगा तो फिर यह तो मेरे काल समय आगे बात आपको सबको ठीक है कि आर हो जाएगा अब इनवर्स फंक्शन का डोमेन और माइनस पाइ बाइ टू टो पाइ बाइ टू आएगी उसकी रेंज ठीक है अच्छे यहां थोड़ा सा यहाँ आपको ऐसी आदत होगी शायद बनाने की कि पाई बाई टू पर ऐसा डॉटेड बनाते होगे आप, है ना, और माइनस पाई बाई टू पर भी ऐसी डॉटेड लाइन बनाते होगे, ताकि आपका टैन का ग्राफ अच्छे से बने, ठीक है, तो यह जो दो डॉटेड ल इधर भी नीचे जाकर उसको minus infinity पर touch करने वाला है ठीक है तो यह जो दोनों portion से यह क्या हो गए हमारे asymptotes हो गए dotted वाली lines ठीक है तो इसकी asymptotes क्योंकि vertical है तो फिर हमने क्या बोले थी property कि inverse की asymptotes कैसे हो जाएंगी horizontal हो जाएंगी ठीक है और अगर आप इसका image लेने की कोशिश करोगे तो बहुत ही आसान है कोई बिलकुल दिक्कत वाली बात नहीं है यहाँ देखो यहाँ पर 0,0 एक point है तो inverse पर भी 0,0 होगा यहाँ एक point है pi by 2 डाल के infinity ऐसा बोलें क्या इसको ऐसा नहीं बोलते हैं इसको बोलते हैं पाई बाई टू मा क्या बोलेंगे, πाई बाई 2 उपर माइनस लिख लेते हैं, मतलब पाई बाई 2 से थोड़ा सा कम, क्योंकि exactly पाई बाई 2 दालना allowed ही नहीं है, ठीक पाई बाई 2 माइनस डालेंगे तो infinity आएगा, यह एक important point है, मतलब inverse के case में क्या हो गया, infinity डालेंगे तो पाई बाई 2 माइनस आएगा, और इधर वाला point कौन सा है, जो last important point है, वो यह है कि, डालने पर minus infinity आ रहा है इसका मतलब minus infinity डालने पर minus pi by 2 से थोड़ी सी बड़ी value आनी चाहिए अब ये जो सब हमने discuss किया है इसी बात को अगर आप draw करोगे तो ऐसा दिखेगा आई बास होन में ओजस अभी भी matrices के उपर अटके हो पहले समझ लो, mattresses actually बहुत ही simple chapter है, है न, वो ऐसे ही हो जाएगा ख़दम, पता भी न चलेगा, ठीक है, इसको समझो पहले, यह बहुत important है, यहाँ समझ में आ रही है बाद आपको क्या होने वाला है, ठीक है, एक 0, 0 point बनाया है मैंने, उसके बाद एक point बनाया है, infinity पे pi by 2 से जब मैं minus infinity पे गया तो minus 5 बिटो से थोड़ा सा उपर आया, ठीक है, तो यहाँ पर यह जो dotted line से यह कैसी हो गई, यह आपकी horizontal हो गई, ठीक है, तो horizontal asymptotes convert हो गई इसके, ठीक है, तो आपको क्या दिख रहा है, ग्राफ कहीं खतम नहीं हो रहा है, ठीक है, क्योंकि वाला strand भी कहीं ठीक है यह कहां से कहां तक value दे रहा है आपको minus pi by 2 से pi by 2 value दे रहा है और इसको क्या क्या allowed होता है 10 inverse को सब allowed होता है है ना कुछ भी डालो उसके अंदर आपको कुछ ने कुछ output तो पक्के से मिलेगा आरी इतनी बास होंगे चलो तो प्रतीक जे एच जो है, he wants to know कि advance portion, advance के पहले portion खतम होगा क्या, तो I think if you are talking about 2020 advance, तो उसके पहले तो पक्के से हो जाएगा, ठीक है, 2019 obviously नहीं होगा, 2019 is not the target for this series, ओके, आपको अगर 2019 की तैयारी करनी है, तो फिर दूसरा course है, उसको join करो, ठीक है, ओल राइट, तीन हो गए हमारे, और आगे चलते हैं, ठीक है, लेकिन अब क्या है, थोड़ा-थोड़ा हमें फ्लो बन रहा है, तो इसी फ्लो में आगे बढ़ते आते हैं, तो आपको तीनों जो बच्चे हुए ग्राफ्स वो भी आसानी से सौंज में आ जाएंगे, ठीक है, और राइट, क इसको कर लेता है ठीक है तो जैसे आपने स्ट्रांट सिलेक्ट करने का सोचा आपने डोमेन कहां रिस्टेट कर दी जीरो से पाए के बीच में रिस्टेट कर दी यह जो vertical line आई वो, है न, एक 0 वाली y-axis तो already बनी हुई थी, है न, इसलिए यहाँ पर double बनाने की ज़रूरत नहीं बड़ी, और एक पाय पर भी मैंने vertical line ड्रॉप कर दी, तो 0 और पाय के बीच में अगर मैं इसको restrict कर दूं तो यह bijective हो जाता है, इसलिए इसका inverse exist करेगा, ठ fx equal to cot x जो मैं define कर रहा हूँ वो f define कर रहा हूँ मैं 0 से लेके pi input लेगा और output देगा r ठीक है कहीं से भी लेके कहीं तक भी जा रहा है ठीक है सब ले रहा है आईबा सोन में तो इसका inverse exist करेगा इसका जो inverse होगा वो r input लेगा और 0 से pi तक ही output देगा बस ठीक है और यहाँ पर फिर से क्या सोचना है आपको important point सोचना है तो बीच वाला एक important point है एक यह वाला important point है एक यह वाला end point important है ठीक है जैसे यहाँ पर प्लॉट करने की सोच हो गया है मेरे कहल से अब आगे आपको प्लॉट करते हैं ठीक है क्या है यहाँ पर पाई बाई टू 0 से थोड़ी सी बड़ी value पे infinity आता है, तो infinity पे 0 से थोड़ा सा बड़ा बनना चाहिए, उल्टा बोल दो, ठीक है, तो यहाँ पर क्या, infinity पे 0 से थोड़ा सा बड़ा बन रहा है कि नहीं, ठीक है, infinity पे 0 से थोड़ा सा बड़ा बन रहा है, ठीक है, कि पाये से थोड़ा सा कम लेते हैं, तो minus infinity आता है, पाई से थोड़ा सा कम लेते हैं तो minus infinity आता है तो minus infinity पे पाई से थोड़ा सा कम आना चाहिए ठीक है तो minus infinity पे पाई से थोड़ा सा कम आना चाहिए मतलब यह actually आपकी asymptote पाई पे आएगी ठीक है, तो यह red हो गया आपका graph, ठीक है, और यह अच्छे से बनना चाहिए, यह ऐसा हो जाएगा, parallel हो जाएगा almost इसके, ठीक है, touch नहीं कर पाएगा, वो infinity पे करेगा, हमें दिखेगा नहीं हो, ठीक है, हारी बास होन में, तो इस case में क्या हो रहा है, r इसका range हो गया और, sorry, आज कार्टिक क्लासेस का टाइम पता कर लो क्लासेस का टाइम नौ बजे से है मैथमेटिक्स की उसके पहले साथ और आठ बजे फिजिक्स और केमिस्ट्री की क्लास भी होती है ठीक है आज चलो आज चलो आज चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो चलो All right, चलो, कहां तक आ गए, 4 तक आ गए, 2 और बचे हैं हमारे, ठीक है, आगे वाले दो interesting हैं थोड़े से, है न, COSX, क्योंकि काफी सारे बच्चे तो COSX और SECANT के Trigonometry वाले ग्राफ्स में comfortable नहीं होते, ठीक है, तो उनका inverse पढ़ना है अभी हमें, कोई बात नहीं, दिक्कत तो इतने portion आएंगे मेरे पास एक ये portion आएगा और एक ये portion आएगा ठीक है इस बार continuity नहीं है अलग अलग portions आ रहे हैं चलेंगे लेकिन हमें ठीक है क्यों क्योंकि कहीं पर भी अब ये जो black shaded है उसी को graph मानो कहीं पर भी horizontal line अगर draw करोगे तो फिर उस portion को दो बार cut नहीं करेगा मत इसका co-domain select करना पड़ेगा, ठीक है, जो इसका range है, वही मेरा co-domain होना चाहिए, ठीक है, और क्योंकि co-domain select करना मेरे हाथ में है, तो मैं खुद ऐसा co-domain select करूँगा, ताकि मुझे ये bijective function बनते वे दिख जाए, ठीक है, तो देखो यहाँ पे क्या बोल रहा हूँ है, कि closed interval ले लेते हैं, लेकिन, zero नहीं आएगा बीच में, ठीक है, zero allowed नहीं होता इसको, है ना, क्योंकि 0 पे क्या हो रहा है, दिक्कत हो रही है, 0 पे not defined हो रही value, ठीक है, तो ये मेरे input ले लेता हूँ मैं, ठीक है, minus pi by 2 से pi by 2, except 0, और अगर ऐसा करता हूँ, तो मुझे इसका range जो दिख रहा है ना, वही इसका code domain बता देते हैं, ताकि range equal to code domain आ जाए, तो मुझे range क sorry, minus infinity say minus 1, union 1 say infinity, क्योंकि मुझे इसकी range दिख रही थी black shaded वाले portion की, तो मैंने इसका core domain भी वोई ले लिया, अब मुझे guarantee हो गई कि ये जो भी मैंने function नया define किया है, हाला कि उसका नाम cosec x ही अभी भी, ठीक है, लेकिन ये जो नया define किया है, ये basically bijective function है, तो इसका inverse exist करेगा, अब इसका जो inverse होगा उसका domain है ये माइनस इंफिनिटी से माइनस ओन यूनियन वन से इंफिनिटी और ऐसा करने पर जो आउटपुट आएगा वो क्या है वो आउटपुट यह है तो यह रेंज बनने वाला है आगे चलके ठीक है तो मेरे खाल से अब ग्राफ के बारे में तो मेरे खाल से आपक और अब ऐसा कुछ ग्राफ बनेगा इसका, ठीक है, यह कोजिक इनवर्स का ग्राफ है, ठीक है, देखो यहाँ पे जरा, मैच करते आ रहा है क्या, कोजिक और कोजिक इनवर्स, ठीक है, यहाँ पर आपके पास एक पॉइंट है, पाई बाई टू पे वन आता है, तो क्या वहा minus pi by 2 पे minus 1 आ रहा है तो यहाँ क्या minus 1 पे minus pi by 2 आ रहा है क्या आ रहा है ठीक है और एक बार देखते हैं 0 से थोड़ी सी बड़ी value डालता हूँ तो infinity आता है 0 से थोड़ी सी बड़ी value डालता हूँ तो infinity आता है तो क्या यहाँ पे infinity पे 0 से थोड़ी सी बड़ी value आ रही है क्या infinity पे 0 से थोड़ी सी बड़ी value आ रही है बिल्कुल ठीक है और देखते हैं 0 से थोड़ा सा कम डालता हूँ तो minus infinity आता है तो क्या यहाँ पे minus infinity पे minus infinity वे 0 से थोड़ी सी कम value आ रही है क्या, आ रही है, ठीक है, तो graph ऐसा ही होगा, ठीक है, अगर किसी student को confusion है कि cosec inverse x का graph कैसे बनेगा, ठीक है, तो याद रखने के लिए, समझने के लिए तो यही तरीका है, ठीक है, लेकिन याद रखने के लिए देखो shortcut क्या है, शौर्टकट यह है कि sine inverse x का graph जहां खतम होगा, वहां से cosec inverse x का graph start होगा, ठीक है, sine inverse x का graph याद है सबको, सबसे पहला वाला, सबसे आसान वाला, वो ऐसा छोटा सा ग्राफ हुआ करता है, यह जो ब्लैक से बनाया मैंने क्या है, यह sin inverse x का ग्राफ है, तो यह जहां खतम हुआ है, वहीं से cosec inverse start हो रहा है, ऐसा अगर याद रखेंगे, तो शायद मुझे as a student काफी comfortable लगता था है, all right, चलो तो ये red वाला जो graph है वो क्या है cosec inverse का graph है ठीक है और एक देखो secant secant का graph अगर ऐसा है तो बताओ कि इसके अंदर मैंने क्या इसका domain लेना चाहिए और क्या code होने लेना चाहिए ताकि secant function कैसा हो जाए, secant function bijective हो जाए, ठीक है, fx मेरा नाम तो secant x ही है, लेकिन देखो मैं क्या strand select कर रहा हूँ, आधा strand उपर वाले का और आधा strand नीचे वाले का select कर रहा हूँ, ठीक है, ताकि मेरे पास ये उपर जाने वाला portion आए, और ये नीचे जाने वाला portion भी आजाए, ठीक है, ये बीच में कहां दिक्कत दे रहा है, ये pi by 2 पे दिक्कत दे कोई बात नहीं तो वाला point हटा देंगे हम domain में से ठीक है तो अब इसका जो मैं domain define कर रहा हूँ वो क्या है 0 से लेके पाई तक except पाई बाई 2 ठीक है, और ऐसा करने पर मुझे क्या क्या मिल रहा है, minus infinity से लेके minus 1, बिल्कुल वैसा ही जैसा पहले मिला था, minus infinity से लेके minus 1, union, 1 से लेके infinity, ठीक है, यह लिखना इसलिए जरूरी है, फिर से बदाते ता हूँ, क्योंकि inverse function का answer यहां से directly आता है, inverse function में यह जो नीचे लिखा हुआ है, यह हो जाएगा आपका domain, और उपर लिखा हुआ जो है, वो हो जाएगा आपका core domain, ठीक है, जो core domain होता है, bijective function में वो ए रेंज भी होता है, ठीक है, तो यह आपका range आजाएगा, ठीक है, ग्राफ कैसे ड्रॉप करेंगे, ग्राफ ड्रॉव करना बहुत ही सिंपल है, फिर से तीन चार पॉइंट्स ले लो, एक ये पॉइंट इंपोर्टेंट है, ये पॉइंट इंपोर्टेंट है, ये भी इंपोर्टेंट है, और ये भी इंपोर्टेंट है, ठीक है, चार पॉइंट्स अगर प्लोट करोगे, तो वहाँ से secant inverse x शुरू होता है, ठीक है, अच्छा, लेकिन एक बात और important है, क्योंकि यहाँ पर pi by 2 पर vertical asymptote है, तो यहाँ पर pi by 2 पर horizontal asymptote आएगी पक्के से, ठीक है, तो यह pi by 2 की horizontal asymptote है, ठीक है, आधा portion उस side जाकर touch कर रहा है इसको, आधा portion इस side आकर touch कर रहा है, ठीक है, और रहेट, तो फिर से याद रखने के लिए, मैं यहाँ पर cos inverse x भी बना देता हूँ, है न, minus 1 to 1 के बीच में cos inverse x ऐसा कुछ था, black से जो बना है, ठीक है, बस जहाँ खतम हुआ है, वहीं से क ठीक है और राइट हां तो अमियेंद्र पूछ रहा है अमियेंद्र सिनापती पूछ रहा है कि हम इसकी डोमेन जीरो से माइनस पाई क्यों नहीं ले सकते थे बहुत ही अच्छा कोशिश है ये कोशिश अगर वाकई दूसरों को भी आ रहा है तो मतलब वो सही सोच रहे है ठी तो हाँ students में ले सकता था मैं minus pi से zero भी अगर लेता तो यह function bijective बन गया होता लेकिन यह वो function नहीं बना होता कुछ और बना होता हो ठीक है although उसका नाम अभी भी secant x ही होता लेकिन आपने क्योंकि उसका domain change कर दिया तो वो function अब यह function नहीं बचा है जिसके हम बात कर रहे हैं ठीक है आईबा सोन में यहाँ पर हमें जो function discuss करना है वो यह standard वाला function है जो हर कोई discuss करता है ठीक है आप जो बता रहे हो वो भी सही है तरीका लेकिन उससे जो function बनेगा वो दूसरा रहेगा बाकि हर कोई उसकी बात नहीं कर रहा होगा तो आपके answer कुछ और निकल के आएंगे और आपके classmates के answer कुछ और निकल के आएंगे ठीक है तो हम वो नहीं चाह हम वो वाला basically यहाँ पर discuss करने लेकिन आपका idea बिल्कुल सही है कुछ और भी हम select कर सकते हैं actually इसके ऊपर काफी अच्छे question बनते भी हैं ठीक है कि अगर यहाँ पर 0 से pi की जगे minus pi से 0 domain लिया होता तो जो function बनता उसके inverse की value क्या है इस type की questions आते हैं और definitely आपको standard books में मिलेंगे All right, चलो, चलते हैं, why always take function according to our convenience, हाँ, तो, so, हम, ये हमारा convenience नहीं है, है न, ये actually standard है, तो, जो standard है, वो हम ले रहे हैं यहाँ पे, ठीक है, आप, जैसे मैं अभी इसको भी समझा रहा था, है न, कि अगर आप ले लोगे कुछ और, तो उससे भी सही answer आएगा, logically, ठीक है, लेकिन वो दूसरों से match करेगा नहीं, तो फिर आपको फिर number नहीं मिलेंगे, ठीक है, तो basically standard कुछ तो follow करना पड़ेगा न, है न, standard हमने जो select करके र� कुछ बचा नहीं हमारे पास है ना, हमारे पास क्या क्या आ गया है, सभी 6 inverse trigonometric function के domain range और graph का understanding आ गया है, ठीक है, एक दो question करके देखते हैं, बहुत ही simple वाल है, cos inverse of minus root 3 by 2 का answer कितना होगा, ऐसा मुझे सोच के बताओ, तो ऐसा जब भी आपको सोचना पड़ेगा, तो सबसे simple तरीका क्या होता है, कि cos inverse of minus root 3 by 2 कोई तो angle होगा कि नहीं, cos inverse का answer कहां से कहां तक आता है, 0 से πाई के बीच में आता है, 0 से पाई के बीच में आता है, तो 0 से पाई मतलब क्या है, वो angle है, तो हमेशा कैसे सोचना होगा आपको, कि ये कोई तो angle है, ठीक है, अब ये कौन सा angle होगा, ये वो angle होगा, जिसके लिए cos theta का answer minus root 3 by 2 बन जाए, ठीक है, लेकिन ये equation और ये equation बहुत अलग equations है, ठीक है, ये inverse trigonometry की equation है, ये trigonometry की equation है, ठीक है, trigonometry की equation हमने पढ़ा हुआ है पहले, है न, ट्रिक्नोमेट्रिक एक्वेशन हमने मतलब आप लोगों ने ट्रिक्नोमेट्रिक एक्वेशन आप लोगों ने पढ़ा हुआ है पहले ठीक है जह ठीक है, लेकिन हमें infinite solutions नहीं चाहिए, हमें कौन सा theta चाहिए, हमें वो theta चाहिए, जो 0 और पाए के बीच में आए, बस वही वाला theta चाहिए, ठीक है, क्योंकि cos inverse को बात कर रहा हूँ, इन्वर्स का एक answer आएगा, लेकिन trigonometric equation के infinite answers आएगे, ठीक है, यह difference होता है, तो अब क्या तो वहाँ पर आएगा, 5π्या 6 पर आएगा क्या?

ठीक है? तो 5π्या 6 लिख लो वहाँ पर, तो मुझे क्या calculate करना है? देखो जरा, मुझे चाहिए tan of π्या 3 plus 5π्या 6, यह सब करते आता है ट्रिक्नोमेट्री वाले concept आपको?

ठीक है? और राइट, तो 5π्या 6 plus प्या 3 कितना हो ज आई थिंगी हो जाएगा यह पाई प्लस पाई वाइ सिक्स हो जाएगा आइटिंग है ना इसमें पाई वाइ सिक्स कम पड़ रहा है पाई बनने के लिए ठीक है तो पाई वाइ सिक्स उसको दे दूंगा तो फिर यह कितना हो जाएगा यह खुद भी पाई वाइ सिक्स हो जाएगा ठीक है तो यह पा� जाएगा ठीक है और बी आंसर आएगा जो बिल्कुल सही बात है और किसी का आया बी आंसर बिल्कुल मोहित का भी आ गया और आइट मोहित प्रकांत प्रकांत फ्रस्टेटेड होने की जरूरत नहीं है तो आई के निधर एक्सप्लेइन और वी केंड जस्ट चैट है ना तो आई थिंग थोड़ा सा तो टाइम एक्सप्लेइनेशन भी देना पड़ेगा मुझे तो बीच में जब भी मुझे टाइम मिलता है तो डेफ अब ये question आता है हमारे सामने कि the domain of fx equal to कितना ठीक है, तो domain के concept में अब पहली बार क्या आया है, inverse function आया है इसके पहले जो हमने functions पूरा chapter के वास पर बहुत बार domain के question solve किये है, लेकिन वहाँ कहीं पर भी inverse function use नहीं किया था, क्योंकि हमने पढ़ा ही नहीं था अब हमें पता है कि inverse function क्या है, ठीक है तो मुझे क्या चाहिए, कि pi by 4 minus sine inverse, domain का concept तो पता ही सबको question के थुरू हमें और अच्छा clear होगा ठीक है, तो मैं क्या बोल रहा हूँ कि क्योंकि under root के अंदर लिखा हुआ है और मुझसे domain पुछा है, तो मैं बोलूंगा कि pi by 4 minus sin inverse x जो है, वो greater than or equal to 0 होना चाहिए, इसका क्या मतलब है, कि sin inverse x जो है, वो less than or equal to pi by 4 होना चाहिए, ठीक है, तो पहली बार हमारे पास inverse trigonometric function की inequality ठीक है, तो students यहाँ पर एक अच्छा तरीका सीखो, कि आपके पास चाहे trigonometric inequality आए, चाहे आपके पास में ITF inequality आए, आपको solve उसको graphically करना चाहे, ठीक है, अगर graph बना लोगे, तो आपके पास जो answer आएगा वो बिल्कुल सही होगा, अगर आप और कुछ करने जाओगे, तो ग कि नहीं हुआ अभी तक, ठीक है, sin inverse x minus pi by 2 से pi by 2 तक बनता है, minus 1 से 1 तक input लेता है, ठीक है, तो अगर मैं यह बोलना चाहरा हूँ कि sin inverse x less than pi by 4 होना चाहिए, कि less than or equal to, तो pi by 4 यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के यहाँ के ठीक है तो अब यह output अगर मुझे चलेंगे तो फिर x कहा से कहा तक जा रहे है उन output के लिए वो देख लो बस ठीक है तो यह end point पे minus 1 है और ये endpoint पे pi by 4 answer आना चाहिए तो क्या x डाल के pi by 4 answer आता है 1 by root 2 डाल के answer आता है ठीक है तो क्या answer आना चाहिए फिर इसका minus 1 से लेके minus 1 से लेके 1 by root 2 यही method सीखो इससे करोगे तो अच्छा रहेगा ठीक है अदरवाइस यहाँ पर कभी-कभी तो x less than or equal to 1 by root 2 आ गया जो सही नहीं है R U A SON में क्योंकि sin inverse x कम होते होते कितना कम हो सकता है sin inverse x जो है minus इससे तो कम हो नहीं सकता ना minus 1 से कम नहीं हो सकता तो वो जो दिक्कते हैं ना वो नहीं आएंगी अगर आप graphically इस चीज़ को already देख रहे होगे तो ठीक है तो इन सारे questions को graphically हमेशा करो तो इसका answer मेरे पास जो आ रहा है वो minus 1 से 1 by root 2 आ रहा है C answer आ रहा है बिल्कुल सही अंकित प्रतमेश प्रतमेश ए आंसर नहीं है सी आंसर है ना यह गलती जो मैंने एक्सप्लेइन की समझ में आई आपको माइनस इंफिनिटी से वन बार रूट तू नहीं आएगा माइनस वन से वन बार रूट तू आएगा अनिकेट ने बिल आपके भी सही answer आया है आए बास वाज़ में सबको चलो तो यह एक और question देखते हैं the number of real solutions of this particular equation हम क्या सोच रहे हैं कि हमने जो भी अभी inverse function के बारे में पढ़ा है क्या वो basic knowledge यूज़ करके भी हम यह questions कर पा रहे हैं क्या तो हाँ I think कर पाएंगे है ना मतलब greater than 0 वाला तो condition आएगा ही आएगा ठीक है यहाँ देखो कि sine inverse के अंदर कुछ तो दिया हुआ है अब sine inverse का domain क्या लिखा है हमने sine inverse का domain हमने लिखा है minus 1 to 1 ठीक है, तो 1 से बड़ा उसको कभी मत देना, ठीक है, minus 1 to 1 के बीच में ही कहने कहीं उसको रखना पड़ेगा, ठीक है, तो यहाँ पर यह देखो, problem क्या है, क्योंकि मुझे पहला वाला under root बोलेगा, कि x square plus x, ओपन कर लिया मैंने उसको, x square plus x आपको greater than 0 या equal to 0 रखना ज़रूरी है, ठीक है तो यह सेम एक्सप्रेशन मुझे दूसरे वाले में भी दिख रहा है दूसरा वाला बोल रहा था कि अगर आप इसको ग्रेट दैन और इकॉल्ड जीरो रखोगे क्योंकि दोना आपस में बात कर रहे हैं ठीक है इंटरसेक्शन लेना है दोनों की बात माननी है ठीक है साइन इन्वर्स की तो लिमिटी आ गई साइन इन्वर्स को मैं वन से ज़्यादा दे नहीं सकता था ठीक है तो अगर मैं इसको बोल रहा हूँ ग्रेट देन और इक्कॉल टू जीरो और यह बोल रहा है कि नहीं यह तो वन से बड़ा हो जाएगा उस पर्टिकलर केस में अगर यह expression 0 होगा तब ही actually आपको दोनो conditions मानने वाली मिलेगी otherwise दोनो में कोई नुकवे तो गड़बड करेगा ठीक है कैसे सोचने समझ में आ रहा है यह domain को सोचने का तरीका है ठीक है यह under root of 1 मतलब 1 हो जाएगा ठीक है तो क्या इससे answer आ रहा है क्या आया नहीं इसे answer, ठीक है, कि इसको 0 करने से काम बन रहा है, तो अगर मैं इसको 0 करता हूँ, x into x plus 1 equal to 0, तो मेरी बात बन रही है, क्यों बन रही है, क्योंकि यहाँ पर sin inverse of 1 बनेगा, which is actually pi by 2, अगर यहाँ पर instead आपको letter से 0 दिया हुआ होता, अगर यहाँ पर आपको minus pi by 2 दि कब कब आएंगे, x equal to 0 पे आएंगे, और x equal to minus 1 पे आएंगे, क्योंकि इन दोनों पर ही equation satisfy हो रही है, ठीक है, तो कितना solution हो जाएंगे फिर आपके, सोहम, मोहित, C answer आ रहा है, निकिता B answer आ रहा है आपका, और एक solution आया गया, अपूर D नहीं आएगा, ठीक है, infinite solutions नहीं आएंगे इसके, तो यही difference होता है, inverse trigonometric equation में और trigonometric equation में, ठीक है, trigonometric के infinite solutions आता हैं, यहाँ पे infinite नहीं मिलेंगे आपको कभी भी, ठीक है, all right, तो चलो, अब यह question लो आप homework के लिए, यह domain वाला अच्छा question था, ठीक है, यहाँ पे कुछ नया सीखा हमने, यह ठीक है, तो log के अंदर 10 universe बहुत ध्यान से करना इसको अच्छा question है, ठीक है, तो यह रहा आपका homework का आज का पहला question, screenshot लेना है तो ले सकते हो, ठीक है, हाला कि आपको notes मिलेंगे बाद में, ठीक है, तो वहाँ से भी refer कर सकते हो, but this is one of the questions which I would like you to try, ठीक है, और एक question देखो, यह question बहुत special question है, ठीक है, क्योंकि यह advance में आया था, ठीक है, और अगर आपको एक ही lecture attend करके, ITF का एक ही lecture attend करके, advance का question करते आ रहा है, ठीक है, तो I think बहुत ही अच्छी बात है, इससे यादा fruitful time थे, इसका मतलब होई नहीं सकता हमारा, ठीक है, तो इसको जरूर करना, और वह the latest question है, I think 2015 का question है थी, ठीक है, advance में आया था, तो ये दो questions आप करके आओ, next class में हम इसको discuss करेंगे, ठीक है, और देखते हैं फिर इनके solution कैसे आते हैं ठीक है चलो तो that's it मिलते हैं next class में अगर आपको ये lecture अच्छा लगा अगर आपको कुछ सीखने को मिला अगर आपको graph, domino, range के concept सुनदे आया है ठीक है तो please like this video थोड़े कुछ comment भी कर दो अगर आपको कुछ लगता है कि इसके अंदर कोई change होना चीज़ comment कर सकते हैं ठीक है do subscribe to our channel अनाकेडमी जेई जहाँ पर हम ये lectures आपको deliver कर रहे हैं ठीक है bell icon प्रेस करोगे तो आपको notifications regularly मिलते रहेंगे ठीक है और pdf डाउनलोड करना मत भूलना, PDF आ जाएगा आपके पास में 5-10 मिनित के अंदर, description के अंदर, ठीक है, वहाँ से आप अभी जो lecture में हमने questions यूज़ किये, वो सारे, और theory जो हमने यूज़ किये, वो सारी आपको मिल जाएगे, ठीक है, चलो, good night, have a nice day.

Transcript for:Inverse Trigonometric Functions

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