ich bin mit peter und in diesem video schauen wir uns eine übersicht an zur vollständigen lage beziehung zwei ebenen im dreidimensionalen politischen raum grundsätzlich gibt es auch hier wieder nur die klassischen möglichkeiten dass die ebenen entweder parallel sind also identisch oder echt parallel dann könnten wir den abstand berechnen oder sie schneiden sich wenn sich aber zwei ebenen im dreidimensionalen raum schneiden dann nicht nur in einem einzelnen punkt wie es noch bei geraden der fall war sondern in unendlich vielen punkten und all diese unendlich vielen punkte die sind interessanterweise sortiert auf einer geraden das heißt wenn sich zwei ebenen im dreidimensionalen raum schneiden dann sprechen wir von der schnitt geraden aber wir können nicht nur die schnitt gerade berechnen sondern auch den winkel in dem sie sich schneiden wir schauen uns einfach mal im folgenden eine vollständige übersicht an über all diese fälle und die formeln die du brauchst und das zu berechnen bzw die herangehensweisen damit wir auch in zukunft eine vollständige lage beziehung von zwei ebenen durchführen kannst ausgangslage ist dass wir zwei ebenen haben die beide entweder in parameter form oder in koordinaten form vorliegen das heißt wir haben drei verschiedene ausgangs möglichkeiten entweder sind beide in parameter form bei den koordinaten formen oder wir haben ein gemischtes problem eins in parameter formen und das andere in koordinaten vor deswegen werden uns auch noch in den nächsten videos genügend beispiele anschauen damit wirklich mal jedes ausgangsszenario gesehen hast meine empfehlung ist allerdings dass du erst einmal deine ebenen in die koordinaten form überführt wenn du gerade nicht mehr weißt wie du von der parameter form zur koordinaten form kommst schau dir gern noch mal das video dazu an im wesentlichen basiert es aber einfach nur darauf dass du die normalen vektoren bestimmt also die die senkrecht auf der ebene draufsteht und wir haben glücklicherweise die komponenten von abc also hier diese vier faktoren von xy und z und wenn du jetzt rausfinden möchtest ob deine ebenen parallel sind oder sich schneiden dann mussten wir einfach nur diese normalen vektoren genauer anschauen denn es geht wenn die beiden ebenen parallel sind das dann auch die normalen vektoren parallel sein müssen also wenn die normalen vektoren parallel sind wenn die vielfache voneinander sind dann sind auch die ebenen parallel oder noch einfacher formuliert wir prüfen einfach nur ob es eine zahl gibt nennen wir sie zum beispiel kann die an den einen normalen weg dann multipliziert gleich den anderen normalen vector ergibt wenn so eine zahl existiert dann wissen wir ja die beiden ebenen sind parallel und wenn diese zeit kann nicht existiert also wenn es für jede komponente eine andere zahl wäre zum beispiel dann würden die sich schneiden und damit haben wir schon mal den grundstein gelegt um weitere untersuchungen vorzuführen denn wenn die beiden ebenen jetzt zum beispiel parallel sind also so eine zahl existiert die an den einen normalen vector multipliziert den anderen normalen vector ergibt dann kannst du diese zahl auch gleich noch verwenden um zu prüfen ob die beiden ebenen identisch sind oder echt parallel und nicht nur das sollten sie nämlich echt parallel seien dann kannst du diese zahl auch gleich noch verwenden um den abstand zu berechnen das heißt also auf diese weise kannst du wirklich mit minimalem aufwand maximal viele informationen über die beziehung der lage heraus finden und diesen letzten kleinen schritt denn fixe ziemlich einfach hin indem du einfach nur prüft ob dasselbe verhältnis was hier zwischen den abc werten des einen anderen weg besteht auch für die die werte also hier für die rechte seite gilt also wenn dasselbe verhältnis auch wie die idee werte gilt also wenn die einst gleich dem kasachen mit k fachmann nicht demselben vielfachen heer von d2 entspricht dann heißt es ja diese beiden ebenen sind identisch und das ist auch logisch denn wir dürfen ja bei so einer gleichung auf beiden seiten mit denselben faktor multiplizieren und die gleichheit bleibt erhalten wenn ich jetzt also auf beiden seiten mit k multipliziere also genau diesen faktor hier dann heißt es dass die punkt menge von aets weiß ich nicht geändert hat wenn dann aber beim x kam plötzlich die gleichung von e1 rauskommt dann heißt es wohl das e1 und e2 dieselbe punkt menge haben müssen sie haben dieselbe gleichung um ihre punkt mengen zu beschreiben mit anderen worten diese beiden ebenen müssen identisch sein und sollte das nicht funktionieren sollte da was anderes bei rauskommen wenn ich diesen kawert hier an die zwei multipliziert und er kommt nicht die eins raus na dann kannst du immerhin das was hier steht auch gleich zur abstandsberechnungen benutzen der abstand von y 1.2 ist gleich die differenz von diesen beiden seiten also die 1 - kam hd2 wichtig noch mit betrag denn die differenz kann noch negativ sein einen abstand ist mir etwas positives und diese differenz geteilt durch die länge des normalen weg durch das lässt sich auch ausdrücken mit hilfe des normalen vector cent 2 wir schauen uns das ganze aber einfach mal in einem eigenen video an wo wir uns auch diese formen hier genau herleiten im endeffekt basiert das aber einfach nur auf dem abstand eines punktes zu einer ebene also auf der hessischen normalform so wird es uns auch in dem video dazu herr gerettet haben denn überleg mal wenn die beiden wirklich parallel sind dann hat ja jeder punkt der 1 ebene denselben kürzesten abstand zu anderen ebene wie jeder andere punkt auch also in jedem punkt ist der kürzeste abstand zu anderen ebene identisch und das könntest du alternativ zu dieser methode hier auch verwenden um auf diesen abstand zu kommen und im endeffekt ist das nur eine kurze zusammenfassung wenn du mit diesen koordinaten form arbeiten möchte aber sagen wir zum beispiel du hast eine ebene in parameter formen gegeben oder kennst zumindest einen punkt von diesen ebenen dann könntest du alternativ auch so arbeiten dass du hier an der stelle eine punkt probe durch fürst also dass beispielsweise diesen den punkt auf den der orts vector b hier zeigt einfach mal in die koordinaten von y 1 1 setzt zum beispiel oder andersrum dass du diesen punkt a in die koordinaten form psion zwei einsetzt und damit meine ich die iks komponente von mb für das ixs die y komponente von b für das y und z komponente von mb für das z und sollte er wirklich eine gleichheit bei rauskommen sollten beide seiten überein stimmt kommt er wirklich eins raus dann heißt es wohl dass die ebenen identisch waren wenn es nicht der fall ist waren sie wohl nur echt parallel aber einen ab liefert dir das immer noch nicht dass du müsstest an dieser stelle hätten die entscheidung wirklich nein lautet die antwort auf die frage nein lautet dann müsstest du hier an der stelle noch eine abstandsflächen durchführen aber das geht auch ziemlich einfach du könntest zum beispiel die hessische normalform von y 1 benutzen die abstands rechnung es ist normal fort so aus 1 x iks + b 1 x y + c 1 x csd geteilt durch die länge des normalen weg thorsten also wir sind auch ein video dazu angeschaut haben und wenn du jetzt hier einen punkt von der ebene 1 1 setzt zwischen den punkt hierfür xyz dann kommt hier oben im zähler eine null bei raus solltest du einen punkt für xyz einsetzen denn nicht zur ebene gehört wie zum beispiel den punkt in diesem fall sagen wie zb der punkt b hat die koordinaten xy 0 z 0 dann setzt du einfach für xx 0 1 für das y das y 0 für das z das z 0 bekommst eventuell ein negatives ergebnis raus deswegen setzen den betrag und das was herauskommt ist der abstand von in dem fall von ebene 1 zum punkt b und das liefert dasselbe ergebnis wie hier oben ich persönlich muss aber ehrlich sagen ich finde diesen weg den ich in rot angemalt habe wesentlich angenehmer und wie gesagt braucht dafür nur die koordinaten formen die ich dir sowieso empfehle als allererstes zu bestimmen angenommen die beiden ebenen sind nicht parallel das heißt es gibt nicht diese eine zahl wieder in einen normalen vector dran multiplizieren können um auf den anderen normalen weg tor zu kommen in diesem fall bedeutet das im dreidimensionalen dass die ebenen sich in unendlich vielen punkten schneiden müssen der so genannten schnitt gerade um jetzt diese schnitt gerade zu bestimmen gibt es im allgemeinen mehrere möglichkeiten das liegt einfach daran dass unsere ebenen ja in verschiedenen formen dargestellt werden können eine möglichkeit ist dass wir mit den beiden parameter vorn arbeiten eine zweite möglichkeit dass wir mit einer parameter form und einer koordinaten form arbeiten und eine dritte möglichkeit wäre es dass wir mit den beiden koordinaten formen arbeiten lasst uns mal kurz alle drei möglichkeiten durch sprechen einfach nur damit wir eine grundlegende vorstellung davon haben was überhaupt alles mit fangen wir damit an uns anzuschauen was wir machen könnten wenn jetzt zwei parameter form habe ich habe hin zwei paare gemeint ist das und das du könntest diese beiden ebenen gleichsetzen da wir uns im dreidimensionalen befinden haben wir auch jeweils drei komponenten also auch drei gleichungen und dieses system aus lineare gleichungen das müssen wir auflösen nach unseren parametern nach diesen unbekannten land 11 land er zweimal zweiter kann sich auch anders nennen wenn du möchtest auf jeden fall haben wir rein mathematisch betrachtet drei gleichungen vier unbekannte und das ist in diesem szenario hier auf jeden fall möglich zu lösen über bleibt eine freie variable ein freier parameter denen wir dann hier für diese schnitt gerade benutzen ich weiß alles gerade sehr theoretisch aber keine sorge wir schauen uns das auch noch einmal explizit in einem eigenen video an und am eigenen beispiel ich muss aber dazu sagen dass dieser fall dass ich dir den nicht empfehlen kann denn die anderen beiden methoden die sind wesentlich einfacher und schneller und man macht weniger schüssel fehler und wir haben auch eine bessere struktur du kannst auch gerne machen wie gesagt es gibt auch ein eigenes video dazu besser würde ich aber finden wenn du mit einer parameter vor und einer koordinaten form arbeitest dann kannst du dem nicht wieder auf etwas zurückgreifen das du vielleicht schon kennt als wir den schnittpunkt von einer geraden in einer ebene bestimmt haben damit genauso gearbeitet sätze einfach die komponenten der parameter form in die koordinaten vom 1 also setzte die iks komponente für x1 die y komponente für y und die z komponente für z dann stelle diese gleichung nach einer der beiden parameter um und setzt das ganze wieder in diese ursprüngliche gleichung ein und du bist direkt beim endergebnis also im endeffekt ist das nichts anderes wie umstellen und einsetzen oder genaugenommen einsetzen um stellen einsetzen aber vom grundprinzip ist es das was ich dir empfehlen würde und wenn jetzt deine ebenen in parameter form gegeben sind dann bringt einfach eine parameter form in die koordinaten form sollte weil sie sind koordinaten formen haben um den fall der parallelität ganz einfach überprüfen zu können falle einer vollständigen lage beziehung aber selbst wenn du weißt dass sie sich schneiden weil das die vorgabe ist eine aufgabe bringt trotzdem 1 einfachen koordinaten form und setzt das ganze ein aber noch mal geschaut es ist alles noch mal im eigenen videos an die dritte methode wäre dann dass du mit beiden koordinaten formen arbeit ist und da funktioniert das ganze grundlegend sowie auch bei dieser ersten methode nur eben dass es einfacher ist auch hier haben wir wieder ein system aus gleichungen genau an zwei gleichungen mit drei unbekannten xyz weist wir müssen hier ein lgs lösen ein lineares gleichung system aber wir haben nicht mehr wie im ersten fall drei gleichungen und vier unbekannter sondern wir haben noch zwei gleichungen und drei unbekannte das ist weniger also ist auch einfach es geht schneller zu lösen und ganz ehrlich wenn ich schon die entscheidung habe dann bitte mit weniger arbeit zum selben ergebnis kommen als wir nicht mehr unnötig kompliziert mache also diese erste methode kann ich tatsächlich nicht empfehlen es ist nicht praktisch damit zu arbeiten wenn du unbedingt ein gleichnis system lösen möchtest dann doch einfach mit den beiden koordinaten form du kannst allerdings auch speziell hier im dreidimensionalen raum weil es so einfach geht anstatt dass ganz allgemein mit dem sogenannten gaus algorithmus zu machen und falls er den schwan gehört hast du kannst auch ganz einfach hier nach einer von diesen drei variablen umstellen und dann in den jeweiligen andere einsetzen hier ist genau funktioniert normal schauen wir uns alles in eigenen videos an macht sich darüber nicht freut es geht ja einfach nur darum dass du hier schon mal eine grundlegende übersicht hast was überhaupt möglich ist und was eventuell auch die zu kommen damit du auch wirklich selber die entscheidung hast welchen weg zu gehen möchtest zu guter letzt können uns auch noch in den fall dass die beiden ebenen sich schneiden den schnitt winkel bestimmen und ich nehme mir jetzt schon mal das ergebnis vorweg der winkel in dem sich die ebenen schneiden ist identisch mit dem winkel in dem sich die normalen lektoren schneiden wenn das jetzt nicht so intuitiv für dich klingt dann kann ich dich beruhigen da steckt wirklich eine kleine gemeinheit drin und die würde ich dir gerne kurz zeigen wir haben zwei ebenen die sich schneiden und gesucht ist der winkel in dem sie sich schneiden denn werden zb sie und meine behauptung war dass dieser winkel identisch ist mit dem winkel in dem sich die normalen vektoren schneiden nochmals erinnerung die normalen vektoren waren die die im rechten winkel 90 grad auf diesen innen draufstehen aber wenn du das ganze jetzt mal genauer anschauen dann ist doch dieser winkel ein anderer als dieser winkel hier oder dieser winkel ist in einer skizze ein spitzer winkel und dieser winkel hier ist im einer skizze ein stumpfer winkel ok es kann sein dass ich vielleicht nicht genau gezeichnet habe oder die perspektive aus der wir das betrachten nicht ganz funktioniert aber tatsächlich können wir zeigen und das machen wir auch gleich dass wenn er eine winkel spitz ist der andere stumpf ist demzufolge können die gar nicht gleich sein mit einer größe von 90 grad in der anderen klein hat sollen sich gerade dann sind die verschiedenen allerdings gilt jetzt dass der gesuchte winkel identisch ist mit diesen winkel hier und das ist vielleicht nicht ganz so intuitiv deswegen lass uns das ganze nochmal aufzeichnen aus einer anderen perspektive lasst uns das so aufzeichnen dass wir die ebenen von der seite sehen sie sehen aus wie geraten und die schnitt gerade hier die sieht aus wie ein punkt also wir gucken quasi geradezu auf die schnitt gerade drauf deswegen erscheint wie tot das hier ist der schnitt winkel viel den wir suchen und das hier sind die normalen vector die senkrecht auf unseren ebenen drauf stehen im rechten winkel dieses geometrische objekte hier ist ein viereck und dem viereck gilt im politischen raum dass die innen winkel summe 360 grad ist da wir aufgrund der rechten mitte hier und hier bereits schon mal 180 grad vergeben haben müssen die verbleibenden winkel in summe auch 180 grad sein damit auf 360 kommen also der winkel den wir suchen plus diesen winkel der winkel zwischen einzelnen 2 die ergeben in summe 180 grad und da nebeneinander liegende winkel auch 180 grad ergeben müssen also die beiden in summe 180 grad die beiden 180 grad heißt es dass diese beiden winkel gleich sein müssen auch wenn das vielleicht auf den ersten blick etwas seltsam wirkt also streng genommen könnte man sagen dass der gesuchte winkel einfach nur 180 grad - themen schnitt winkel ist zwischen 1 und 2 aber da gab es doch diese definition von einem schnitt winkel dass das immer ein spitzer winkel sein soll also immer zwischen 99 grad und das haben jetzt auch in mehreren videos angeschaut zum beispiel in dem video zum standardprodukt wo diese form hierher kommt aber auch in dem video zuschnitt winkel von zwei geraden dann wird gesagt wir können das geld produkt von zwei richtungs vektoren einfach nur teilen durch die längen dieser beiden sektoren und wenn diese skala produkte negativ wird dann ist dieser winkel ein stumpfer winkel wir wollen aber dass der schnitt winkel immer ein spitzer winkel ist das heißt wir müssen dafür sorgen dass dieses galt positiv ist manchmal einfach durch den betrag das funktioniert tatsächlich ganz einfach und in diesem fall wenn wir den schnitt winkel als etwas als als den spitzen winkel definieren stimmt es tatsächlich dass der schnitt winkel der ebenen identisch ist mit dem schnitt winkel der normalen vektoren na also dass diese beiden winkel tatsächlich immer gleich sind das aber gerade mal gezeigt auf dem geometrischen weg und das bedeutet also auch dass du den schnitt winkel zwischen den ebenen über diese bekannte formel wieder berechnen kannst allerdings achtung nochmal wir suchen nicht den ko sinus des winkels ja sondern die suchenden winkel selbst also am ende wenn du das hier ausgerechnet hast skala produkt geteilt durch die längen der beiden rektoren musst du noch das gegenteil von cosinus anwenden also den akkus cosinus um auch den winkel viel zu kommen wenn du das ergebnis im grad mass möchtest dann achte darauf dass in taschenrechner 1 d steht für die gries wenn du möchtest dass das ergebnis in bogen mars steht dann achte darauf dass ein r steht für radios du musst einfach wissen was man nicht stellen möchtest damit hast du eine vollständige übersicht über die lage beziehung zwei ebenen im raum viel spaß damit und schau dir auf jeden fall die videos zu den einzelnen punkten an die wir hier noch aufgeschrieben haben bis dann hätte ich hoffe das video hat er gerade gefallen wenn du dich demnächst auf eine mathe prüfung vorbereiten muss dann schaue unbedingt mal unter diesem video nach ich habe dort mehrere von meinen online kursen verlinkt die sich bestmöglich auf den mathe prüfungen vorbereiten wenn ihr das video weitergeholfen hat und du mich in zukunft unterstützen möchtest dann erzählt einfach seinen kommilitonen deinen freunden und einer familie von mir und abonniert den kanal danke dir