Função Inversa: Definição, Análise Gráfica e Analítica

Introdução

• Bem-vindo! O foco deste vídeo é trabalhar com função inversa.
• Antes de inverter funções, é essencial entender a definição e o significado de função inversa, tanto graficamente quanto analiticamente.
• Exercícios e gráficos práticos estarão na ficha disponível na descrição do vídeo.

Definição de Função

• Função: Relação de A para B, onde cada elemento de A (conjunto de partida) possui uma correspondência com elementos de B (conjunto de chegada).
• Objeto: Elemento do conjunto A que está relacionado a algum elemento de B.
• Imagem: Elemento do conjunto B que está relacionado a algum elemento de A.
• Contra-Domínio: Todos os elementos possíveis de B, independentemente se estão em uma relação ou não com A.
• Domínio: Todos os elementos de A que têm uma relação com B.

Tipos de Funções

• Função Injetiva: Cada objeto distinto em A tem uma imagem distinta em B.
• Função Não Injetiva: Objetos distintos em A podem ter a mesma imagem em B.

Invertibilidade de Funções

• Função Injetiva e sua Inversão: Podemos inverter somente funções injetivas para obter uma nova função válida.
• Função Não Injetiva: Não forma uma função válida ao inverter, pois o mesmo objeto poderia ter diferentes imagens.

Comparação entre Funções Inversas

• Domínio da função inversa: Torna-se o contradomínio da função original e vice-versa.
• Ordenada da função inversa: Torna-se a abscissa da função original e vice-versa.

Análise Gráfica

• Simetria: O gráfico da função inversa é simétrico em relação à reta y = x.

Verificação da Injetividade Gráfica

• Teste da Linha Horizontal: Uma linha horizontal interceptando o gráfico em apenas um ponto em qualquer lugar indica uma função injetiva.

Exercícios e Exemplos Gráficos

• Função f(x): Determinar se é invertível e identificar a função inversa.
• Como encontrar a inversa graficamente: Observando simetria e ajustando os valores de domínio e contradomínio.

Funções Analíticas

• Função do Primeiro Grau: f(x) = 2x - 3

  • Inverter função do primeiro grau obtendo uma outra função do primeiro grau.
  • Processos detalhados para isolar a variável.

• Exemplo Prático (Exercício 3 de Ficha): Inversão de f(x) = x/2 + 1 e avaliação em F^(-1)(4).

Funções Homógrafas

• Definição: Função que apresenta uma variável no denominador, como f(x) = (ax+b)/(cx+d).
• Exemplo: Inversão detalhada de g(x) = (2x-1)/(x+3).

Funções Logarítmicas e Exponenciais

• Definição e Propriedades: Identificação de inversas por meio da definição de logaritmos e exponenciais.
• Exemplos e Exercícios: Isolamento de variáveis e conversão entre formas logarítmicas e exponenciais.

Conclusão

• Importância de Prática: Recomenda-se fortemente praticar os conceitos estudados através dos exercícios fornecidos na ficha.
• Próximo Vídeo: Continuação com funções trigonométricas e outras mais complexas.

Nota: Estudar e resolver exercícios é essencial para compreender completamente a inversão de funções.