Poznámky z přednášky o geometrické posloupnosti

Úvod

• Téma přednášky: Geometrická posloupnost.
• Rozdíl od aritmetické posloupnosti:
  • Aritmetická: Následující člen se získá přičtením konstanty (diference).
  • Geometrická: Následující člen se získá vynásobením předchozího členu konstantou (kvocientem).

Definice geometrické posloupnosti

• Následující člen (A_{n+1}) se získává z předchozího (A_n) vynásobením kvocientem (q):
  A_{n+1} = A_n * q*

Příklad

• A1 = 1, q = 2:
  • A2 = 1 * 2 = 2
  • A3 = 2 * 2 = 4
  • A4 = 4 * 2 = 8
  • A5 = 8 * 2 = 16

Vztah mezi členy

• Vztah mezi libovolnými členy geometrické posloupnosti:
  • A_r = A_s * q^{(r-s)}
  • Můžeme vypočítat jakýkoliv člen, pokud známe jiný člen a kvocient.*

Kontrola geometrické posloupnosti

• Jak poznat, zda je posloupnost geometrická:
  • Vydělit libovolný následující člen předchozím:
    q = A_{n+1} / A_n
  • Kvocient musí být stejný pro všechny členy._

Součet členů geometrické posloupnosti

Součet prvních n členů

• Vzorec pro součet prvních n členů: S_n = A1 * (1 - q^n) / (1 - q)
• Příklad:
  • A1 = 2, q = 3, n = 5:
    • S_5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 2 * (1 - 243) / (-2) = 242*

Nekonečný součet

• Existuje pouze když je absolutní hodnota kvocientu menší než 1 (|q| < 1):
  • Vzorec pro nekonečný součet:
    S = A1 / (1 - q)
• Příklad:
  • A1 = 1/2, q = 1/2:
    • S = (1/2) / (1 - 1/2) = 1

Závěr

• Když je |q| >= 1:
  • Součet nekonečných členů neexistuje (buď nekonečno nebo oscilační).
• Konečný součet existuje pro jakýkoli q.

Shrnutí

• Geometrická posloupnost se pozná podle konstantního kvocientu.
• Vztah mezi členy: A_r = A_s * q^{(r-s)}.
• Součet prvních n členů a vzorec pro nekonečný součet (pouze pokud |q| < 1).*