Quadratische Funktionen einfach erklärt

Einführung

• Quadratische Funktion: Erkennbar an x² in der Funktionsgleichung.
• Graph: Parabel
• Einfachste Parabel: Normalparabel f(x) = x² mit Scheitelpunkt (0|0).

Verschiebungen

Verschiebung in y-Richtung

• Verschieben nach oben/unten ohne Formänderung.
• Beispiel: g(x) = x² + 3 (nach oben um 3 Einheiten)

Verschiebung in x-Richtung

• Verschieben nach links/rechts durch Veränderung in der Klammer.
• Beispiel Rechtsverschiebung: g(x) = (x - 3)²

Streckung und Stauchung

• Verändern der Breite der Parabel.
• Faktor a bestimmt Streckung (a > 1) oder Stauchung (0 < a < 1).
• Beispiel Streckung: g(x) = 3x²
• Beispiel Stauchung: g(x) = 0,25x²

Spiegelung an der x-Achse

• Negative Vorzeichen vor a führen zu einer Spiegelung.
• Beispiel: g(x) = -x²

Kombinationen von Transformationen

• Beispiel: g(x) = 3(x - 3)² - 2
  • Verschiebung nach rechts und unten, Streckung.

Formen der quadratischen Funktion

Scheitelpunktform

• Formel: f(x) = a(x - d)² + e
• Erlaubt direktes Ablesen der Verschiebung und Scheitelpunkte.
  • Beispiel: (3 | -2) bei g(x) = 3(x - 3)² - 2

Allgemeine Form

• Formel: f(x) = ax² + bx + c
• a: Streckung/Stauchung, c: y-Achsenabschnitt

Berechnung der Funktionsgleichung

• Ausgangspunkt: Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt der Parabel.
• Beispiel mit S(1|4,5) und P(4|0):
  • Schritte zur Bestimmung von a und Einsetzung in die Gleichung

Nullstellen

• Methoden zur Berechnung: Mitternachtsformel, pq-Formel.
• Mitternachtsformel für allgemeine Form, pq-Formel für Normalform.

Häufige Fragen

• Quadratische Funktion: Variable x wird quadriert, Graph ist Parabel.
• Erkennen: Präsenz von x², aber nicht x³, x⁴ usw.

Normalform und Scheitelpunktform

• Umwandlung zwischen den Formen.

Diese Notizen bieten eine Zusammenfassung, um die wichtigsten Konzepte und Transformationen quadratischer Funktionen zu verstehen und anzuwenden.