Geometrická posloupnost

Úvod

• Dnes se budeme věnovat geometrické posloupnosti.
• Dříve jsme probírali aritmetickou posloupnost.

Rozdíl mezi aritmetickou a geometrickou posloupností

• Aritmetická posloupnost: Následující člen se získá přičtením diference.
• Geometrická posloupnost: Následující člen se získá vynásobením předchozího člena kvocientem.

Příklad geometrické posloupnosti

• První člen (A1) = 1, kvocient (q) = 2:
  • A2 = A1 * q = 1 * 2 = 2
  • A3 = A2 * q = 2 * 2 = 4
  • A4 = A3 * q = 4 * 2 = 8
  • A5 = A4 * q = 8 * 2 = 16

Vztah mezi členy

• Platí:
  • A(n+1) = A_n * q
  • A3 = A2 * q = (A1 * q) * q = A1 * q^2
• Obecný vzorec:
  • A_r = A_s * q^(r-s)

Jak poznat geometrickou posloupnost

• Kvocient mezi libovolnými dvěma členy musí být stejný.
• Pokud například A2 = 2 a A3 = 6, není to geometrická posloupnost.

Součet geometrické posloupnosti

Součet prvních n členů

• Vzorec:
  • S_n = A1 * (1 - q^n) / (1 - q)
• Příklad:
  • A1 = 2, q = 3, n = 5:
    • S_5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) = 242

Nekonečný součet geometrické posloupnosti

• Existence nekonečného součtu:
  • Kvocient (q) musí být v absolutní hodnotě menší než 1 (|-1| < 1).
• Vzorec pro nekonečný součet:
  • S = A1 / (1 - q)

Případ, kdy q je menší než 1

• Příklad: q = 1/2
• Obsah čtverce jako příklad nekonečného součtu.

Když q je větší nebo rovno 1

• Součet nekonečně mnoha členů bude nekonečný.
• Kvocient větší než 1 nebo menší než -1 vede k divergenčnímu součtu.

Shrnutí klíčových poznatků

• Geometrická posloupnost má konstantní kvocient.
• Součet prvních n členů určíme pomocí vzorce S_n = A1 * (1 - q^n) / (1 - q).
• Nekonečný součet existuje, pokud |q| < 1 a je dán vzorcem S = A1 / (1 - q).*

Závěr

• Další příklady si ukážeme v příštím videu.