Geometrická posloupnost

Základní informace

• Geometrická posloupnost se liší od aritmetické tím, že následující člen je odvozen vynásobením předchozího člen kvocientem (k).
• Aritmetická posloupnost byla založena na sčítání, geometrická na násobení.

Příklady

• První člen (A1) = 1, kvocient (k) = 2
  • A2 = A1 * k = 1 * 2 = 2
  • A3 = A2 * k = 2 * 2 = 4
  • A4 = A3 * k = 4 * 2 = 8
  • A5 = A4 * k = 8 * 2 = 16

Vztahy mezi členy

• Vztah pro libovolné členy:
  A(n+1) = A(n) * k
  A(n) = A1 * k^(n-1)
• Můžeme také vypočítat menší členy:
  A3 = A10 / k^(10-3)
  A3 = A10 / k^7

Identifikace geometrické posloupnosti

• Geometrickou posloupnost poznáme, pokud je kvocient mezi libovolnými dvěma po sobě jdoucími členy stejný.
• Pokud Q není stejný pro všechny členy, není to geometrická posloupnost.
• Můžeme ověřit příkladem, například:
  a_n = (5/3)^n, kde Q = 5/3 je konstantní.

Součet členů geometrické posloupnosti

Součet prvních n členů

• Součet prvních n členů se spočítá podle vzorce:
  S_n = A1 * (1 - k^n) / (1 - k)
• Příklad:
  A1 = 2, k = 3, n = 5
  S_5 = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3)
  = 2 * (1 - 243) / (-2) = 242*

Nekonečný součet

• Existuje pouze pokud |k| < 1 (tedy k je v intervalu (-1, 1)).
• Vzorec pro nekonečný součet:
  S = A1 / (1 - k)
• Příklad:
  A1 = 1/2, k = 1/2
  S = 1/2 / (1 - 1/2) = 1.
• Myšlenkový experiment s čtvercem jako ilustrace, jak může nekonečný součet být konečný.

Chování součtu pro různé hodnoty kvocientu

• |k| > 1
  • Součet nekonečného počtu členů roste do nekonečna.
• k < -1
  • Součet osciluje a neexistuje.

Závěrečné shrnutí

• Geometrická posloupnost: násobení předchozího členu kvocientem.
• Vztahy mezi členy a součty první n členů i nekonečného součtu.
• Důležité je znát podmínky pro existenci nekonečného součtu.