hey und herzlich willkommen zu einem video das ich wirklich schon seit einer halben ewigkeit für euch machen wollte aber aus zeitgründen habe ich leider nicht vorher geschafft es musste nämlich ziemlich viel recherchiert werden dafür und zwar habe ich es persönlich die letzten ich weiß nicht zehn oder zwölf jahre der abi klausuren in nrw komplett auseinander genommen und analysiert grundkurs und leistungskurs haupttermin nachhängen und habe geguckt welche aufgaben typen kommen eigentlich in den vektor abi klausuren safe dran und herauskristallisiert haben sich diesel neun punkte hier das heißt wenn man diese neuen punkte drauf hat besteht man das abi auf jeden fall und andersherum aber auch wenn man eine super note haben will dann muss man diese neuen punkte können weil wenn man die nicht kann tja dann lässt man auf jeden fall federn in der klausur heißt im klartext diese neun sachen müsst ihr drauf haben und damit ihr das drauf habt habe ich ein richtig schickes prisma hier mitgebracht und mir überlegt dass wir zu jedem der neun punkte eine aufgabe rechnen wenn ihr lust darauf habt empfehle ich euch das pdf dazu auszudrucken damit ihr wie in der klausur die aufgabenstellung auch habt und als erst mal selbst auszuprobieren bevor ihr mit mir hier im video vergleicht weil in der klausur bin ich ja leider auch nicht dabei ja ich würde sagen wir starten einfach vorne und zwar habe ich das alles schon wunderbar vorbereitet ist die aufgabenstellung dass wir in einem katholischen koordinatensystem also so einem 3d system die punkte also den ursprung 000 a b c d als fünf von acht der eckpunkten hier von dem schiefen prisma gegeben haben skipis prisma ist besonders fies weil das halt nicht irgendwie toll parallel zur koordinaten achsen liegt sondern komplett wird da in einem koordinatensystem drin hängt aber und das ist auch schon ein erster strategie tipp den ich euch geben will versucht solche sachen die sie kompliziert und vielleicht beängstigend wirken einfach auszublenden heißt schaut euch einfach an was habe ich ich habe punkte ich kenne ich kenne ich kenne ich kenne c und ich kenne sogar noch die und auch das jetzt schief oder gerade ist spielt für die ganzen aufgaben eigentlich keine mega große rolle und damit können wir auch schon die erste aufgabe direkt lösen ganz ganz typisch die koordinaten von einem fehlenden punkt sollen angegeben werden und wir sollen in dem fall die koordinaten vom punkte berechnet also von diesem hier manchmal muss man die koordinaten auch angeben das heißt man kann sich irgendwie über parallele achsen und so weiter erschließen und hinschreiben hier sollen wir es auf jeden fall berechnen und dass ihr diese strategie kennt ist ganz ganz wichtig weil es kommt hunderttausend dran als gegeben würde ich mir an eurer stelle den punkt annehmen und den punkt de hat die koordinaten 3 2 - 1 dh die koordinaten 04 5,5 und jetzt kann man sich überlegen ganz ganz wichtig wenn gesucht ist der punkt dann heißt das eigentlich für euch dass der orts weg dort zum punkt also der vector gesucht es ja das schreibt ihr nicht hin das denkt ihr euch und dann überlegt ihr euch wie kann ich das den bilden vom ursprung zum punkt das wäre ja quasi dieser weg durch hier der straight vom ursprung zum punkt hoch führt und bei vektoren müsst ihr immer über umwege laufen die ihr kennt das heißt in dem fall könnt ihr sagen ich glaube erst mal von o2 also hier diese richtung und dann laufe ich von a hoch zu allerdings kann ich den weg den ich hier jetzt anhängen müsste nicht bilden weil er kenne ich ja noch nicht und dann kommt die idee dass man sagt hey das ist ein prisma das heißt diese ganzen kanten müssen parallel sein anstatt dem weg da kann ich also auch die laufen dann mache ich plus.de bin also sozusagen ein umweg über bekannte punkte gegangen und wenn ich weiß dass der weg de jetzt hier zusammengesetzt ist aus sprich 321 und o d sprich 04 55 dann kann ich ganz einfach vektoren addieren kommen auf 36 4,5 und damit weiß ich wenn das der ortswechsel ist muss er selbst die koordinaten wieder gekippt haben also 36 4,5 und damit ist die aufgabe schon erledigt das sind die koordinaten vom punkt nächste aufgabe originalität kommt auch immer dran orthogonal i tät könnt ihr auch nennen rechtwinklig kite heißt also da geht es immer darum dass irgendwie zwei sachen im rechten winkel im 90 grad winkel aufeinander stehen und bei uns sind diese zwei sachen jetzt zwei strecken nämlich die diagonale ac und die diagonale obi und da rate ich euch ganz ganz dringend nutzt unsere strategie skizze machen skizzen kein scherz die helfen ungemein und manchmal denkt man oh wie lächerlich ich kann mir das auch vorstellen aber mit einer skizze geht das immer noch mal viel besser also die diagonale ac ist die verbindung hier von a nach c die diagonale op ist die verbindung hier von o2 und jetzt sollen wir zeigen dass die senkrecht zueinander stehen also dass wir hier irgendwie so einen rechten winkel bzw theoretisch sogar vier rechte winkel haben aber für uns reicht ja wenn wir uns einen angucken und die idee wie man da haben muss ist zwei strecken die heißen jetzt hier strecken weil er oben auch ein strich darüber ist heißt einfach sie haben einen anfangs- und einen endpunkt im gegensatz zu geraten nun geraden würden ja unendlich in beide richtungen weitergehen strecken strich darüber haben einen anfang und ein ende und wenn wir den winkel von zwei strecken berechnen sollen den die einschließen dann können wir uns auch vorstellen dass wir die beiden strecken ein bisschen verschieben anstatt die so anzugucken dass die sich kreuzen und quasi könnte ich mir ja auch sagen ich verschiebe die eine strecke hier rüber und der winkel den die hier einschließen ist immer noch genau derselbe und dann kann man sagen ich schiebe die noch mal ein stück hoch und der winkel den die da einschließen ist immer noch derselbe heißt im klartext der winkel zwischen der strecke ac und der strecke op ist nichts anderes als der winkel zwischen dem vector ac und dem vector b und wenn man jetzt überlegt wann zwei vektoren im rechten winkel aufeinander stehen dann muss einem einfach ja wenn das gar produkt 0 ist heißt also im klartext ich muss hier 26 machen zu zeigen ich soll was beweisen dass nämlich der vector ac im scala produkt mit dem vector b0 ergibt das muss eure idee sein und es ist natürlich sehr elegant wenn man diese idee mathematisch so perfekt formuliert und das würde ich sagen machen wir jetzt einfach mal der vector ac auch ganz wichtig nur verbindungs vektoren bilden ende - anfang ist also c32 - 1 - - - dann kommt a bust auch mit den vorzeichen 3 2 - 1 also ergibt sich - 6000 achtung - 1 - 1 ich hätte mich selbst fast vertragen hätte - zwei hingeschrieben auf jeden fall achten auf diese vorzeichen der vector op ist einfach weil es ein ortswechsel ist immer wenn man im ursprung anfängt heißt man orts vector der wer also einfach 0 8 -4 koordinaten von b sozusagen gekippt und jetzt machen wir das scala produkt aus dem ganzen heißt - 600 ins scala produkt sätzen mit 0 8 -4 rechnung ist oben mal oben plus mitte mai mit plus und einmal unten also hier - sechsmal 0 +0 8 + 0 - 4 und dann sieht man schon sofort alles klar dass es null haken dran und dann wissen wir also natürlich sollte man noch einmal kurz ausschreiben also natürlich ist der weg das ziel im rechten winkel zum vector und damit automatisch auch die strecke ac senkrecht zur strecke und damit haben wir die aufgabe gelöst und es wartet schon der dritte punkt auf der to-do-liste auf uns nämlich den mittelpunkt einer strecke ausrechnen das kommt auch immer immer immer irgendwie vor also habt es auf jeden fall drauf in dem fall wollen wir den mittelpunkt der strecke ac berechnen also wenn es ein zeichen strecke ac ist das da der mittelpunkt könnte für lanig zu ungefähr hier sitzen das wäre also unser gesuchter punkt können wir auch direkt als gesucht aufschreiben ist auch eine strategie sozusagen strategie struktur schreibt immer schön auf was es gegeben und was es gesucht m als mittelpunkt der strecke si und da gibt es mehrere möglichkeiten und meine liebste möglichkeit ist wieder mal zu sagen hey ich suche einen punkt also suche ich wie gerade auch eigentlich den orts weg dort zu diesem punkt und dann kann man genauso wie vorher überlegen und sagen ich lauf erst mal von o2 also hier diesen weg tor und dann laufe ich von a zu zäh aber nicht die ganze strecke sondern nur die halbe also genau bis zum mittelpunkt der strecke also kann ich sagen plus ein halb mal weg da c habe ich bis vor ein paar jahren auch immer so gemacht und dann bin ich plötzlich über eine viel bessere viel schnellere formel gekommen und diese hier habe ich seitdem fast nie mehr benutzt die idee ist nämlich dass man sagen kann ich rechne anfangs punkt der strecke also anfangs ortswechsel plus endpunkt der strecke endpunkt swords vector also uc und dann halbiert ich den ganzen spaß und das geht viel schneller und es viel weniger fehleranfällig als den verbindungsweg tor zu bildenden zu halbieren den zu addieren und so weiter also plus uc durch zwei wäre bei uns 3 2 - 1 plus minus 3 2 - 1 geteilt durch zwei heißt 3 -3 ist 0 2 bis 2 ist 4 -1 plus/minus 1 - -2 und das ganze wird jetzt noch halbiert also quasi mal ein halb gerechnet heißt im klartext da kommt raus 0 2 - 1 und das bedeutet wenn das der zweck tor zum punkt m ist das der punkt m selbst die koordinaten 02 - 1 haben muss und zack hat man die volle punktzahl eingeheimst und tatsächlich auch dasselbe ergebnis wie die kontrolllösung und das ist auch eine wichtige sache was glaubt ihr warum geben wir euch die kontrolllösung aus nettigkeit damit ihr gucken könnt ob er richtig gerechnet hat natürlich nicht die geben euch kontrolllösungen immer nur dann wenn ihr die später noch mal nutzen lässt das heißt wenn ihr eine kontrolllösung sieht behaltet die im hinterkopf es kann immer sein dass das das fehlende puzzleteil für die transfer aufgabe danach ist bei der man sonst nicht weiter kommen würde und bei uns jetzt es ist nicht so nahe sind ja standardaufgaben keine transfer aufgaben aber trotzdem brauchen wir diese kontrolllösung für die nächste aufgabe weil wir nämlich jetzt nachweisen sollen dass der punkt m auf der strecke op liegt und hätten wir den punkt im vorhin nicht berechnen können hätten wir das auch nicht machen können und hätten dann die schüler rechtsanwalts eltern würde das schulministerium ziemlich viele klagen auf dem tisch kriegen und deswegen gucken die dass sie immer wenn man damit weiter rechnen muss kontroll ergebnisse liefern also wenn wir die strategie skizze an wir wollen zeigen dass der punkte auf der strecke liegt heißt also wenn ich ein zeichner ziemlich perfekt habe ich mein mittelpunkt hier geschätzt dann muss der mittelpunkt auf opel liegen zeigen sie das ist übrigens auch so eine art kontrolllösung alle leute die diese aufgabe nicht hinkriegen wissen dann für aufgabe fünf trotzdem dass der punkte auf der strecke op liegt und das werden ihr nachher wieder nutzen müssen also weisen sie nach aufgaben sollte man auch so lesen dass man sagt okay ich merke mir das mal liegt auf der strecke op egal ob ich das nachweisen kann oder nicht weil wahrscheinlich muss man es später noch nutzen was machen wir jetzt hier gegeben habe ich schon aufgeschrieben sind die beiden relevanten punkte m und b und eine beweis aufgabe headset also zu zeigen der punkt es liegt auf der strecke op also op mit strich drüber die idee die man jetzt haben muss ist quasi dass man sagt ich stelle sozusagen eine geraden gleichung auf aber für mich strecke habe ich ja schon gesagt nicht gerade die gerade durch ezb wäre die strecke aber unendlich fortgesetzt in beide richtungen die strecke hört auf die startet und endet bei babys ist also nur diese einen abschnitt der uns da interessiert und trotzdem können wir auch so eine art geraden gleich um aufstellen stadt geht doppel punkt vectrix halt doppelpunkt vectrix gleich dann brauchen wir ein stück weg tor zum beispiel ganz stumpf 000 + er mal einen richtungswechsel also op in dem fall 084 und normalerweise sagt man ja wenn ich diesen richtungswechsel habe diesen hier dann kann ich den so oft laufen wie ich will weil ich bin ja unendlich lang in beide richtungen auch seiner geraden ich könnte ihnen also auch negativ laufen und nach links ich könnte ihn auch 1,5 mal anhängen an dann würde ich hier angekommen an dem punkt null thema gerade gleichungen habe ich hier oben mal ausführlich erklärt wie das funktioniert mit diesen richtungswechsel und dem stück vector und was ist mit seiltänzern zu tun hat aber hier für uns ist wichtig dass bei geraden immer eher element er steht das heißt man darf den richtungswechsel beliebig oft gehen weil die gerade unendlich in beide richtungen ist bei uns wenn wir eine strecke haben könnt ihr schon selber sehen wer das nicht okay wenn man vom ursprung zweimal den weg der ub läuft weil dann wäre man schon von der strecke runter und auch so was wie 1,1 mal in richtungs vector also ein ganzes mann und ein kleines stückchen wer nicht okay oder sowas wie - eineinhalb mal wäre auch nicht gut weil dann wäre ich auch in die andere richtung von der strecke runter gekommen das heißt wenn ich wirklich auf der strecke op sein will dann darf ich diesen richtungswechsel höchstens einmal laufen und auch nicht negativ heißt mein er muss zwischen 0 und 1 liegen so eine einschränkung brauchen wir also für die geraden gleichung damit sie zu einer strecke wird ja und jetzt kann ich mir überlegen der punkt legt ihr auf dieser strecke op also sm ein element der strecke und dafür kann ich ihn theoretisch wenn ich nicht sofort sehe als vectrix einsetzen hoch kann natürlich 021 ist gleich 000 die man sich auch sparen kann eigentlich ne als 000 vector ändert man ja nichts also ist gleich er mal 08 - 4 gibt es also so ein er damit das funktioniert und entweder macht man sich jetzt noch ein lgs draus wenn man das nicht sieht und sagt okay 0 ist gleich erste zeile er mal 02 jetzt gleich zweite zeile er mal acht und minus 1 ist gleich dritte zeile er mal - 4 und dann kann man hier einmal geteilt durch -4 rechnen hier teilt man einmal durch 8 und hier teilt man quasi durch 0 beziehungsweise das darf man ja nicht sagt man einfach naja da steht 0 gleich null und dann kommt man auf jeden fall auf die lösung dass es funktioniert für er gleich ein vierter und das bedeutet wenn ich vom ursprung ein viertel vom weg der bg also nicht die hälfte oder den ganzen sondern nur ein viertel dann landet bei diesem punkt m das heißt hier nach einem viertel der strecke bin ich beim punkten und damit weiß ich alles klar der punkt ist tatsächlich ein punkt auf dieser strecke und natürlich auch weil ich sie dass das ein viertel kleiner gleich eins und größer gleich null ist also sage ich checke ist ein element der strecke von a nach b und habe auch damit die punktzahl für aufgabe vier komplett eingeheimst nächster schritt aufgabe 5 kommt auch immer immer immer daran dass man so eigenschaften von geometrischen figuren nach rechnen muss und das ist meistens gekoppelt dass man die länge einer strecke also die länge eines sektors so gesehen vom anfangspunkt der strecke zum endpunkt der strecke ausrechnen kann und das ist hier in dem fall in eine dreiecks aufgabe verpackt könnte auch parallelogramm oder trapez oder sonst was bei euch sein aber hier als dreiecks aufgabe und wir sollen erstmal begründen dass das dreieck mbc rechtwinklig ist und danach prüfen ob es zusätzlich gleichzeitig ist oder gleich schenken oder gar nichts davon und dafür empfehle ich auch wieder spitze wo war der punkt m noch mal ach ja wenn man den punkt hier ein zeichnen will muss man die strecke ac genau in der mitte halbieren da wir also m und wo ist das dreieck mbc danach ja das muss also hier verbunden werden um das dreieck um das es geht das ist dieses dreieck hier ist ein ganz schmales ding irgendwie ja mit diesem dreieck rechnen wir jetzt erste überlegung ist das rechtwinklig antwort natürlich auf jeden fall weil wir gezeigt haben vorhin dass die strecke und die strecke op im rechten winkel zueinander stehen und das können wir quasi hier verwenden also wieder haben wir ein beweis ergebnis von vorher später nutzen können heißt merkt euch kontrollergebnisse und beweisergebnisse die kommen immer wieder vor ich schreibe also hin was sie machen ist quasi auch letztendlich ein beweis begründen zu zeigen wir wollen dass das dreieck mbc rechtwinklig ist und das können wir jetzt einfach mit dem argument machen und sagen da wie wir herausgefunden haben die strecke ac senkrecht ist zur strecke op muss automatisch auch der winkel den wir von mcc und von ihm zu wir haben also der den ich hier grün eingezeichnet habe gleich 90 grad groß sein und damit haben wir schon herausgefunden alles klar das dreieck mbc ist auf jeden fall mit hilfe von diesem argument rechtwinklig bei der ecke jetzt sollten wir aber auch noch prüfen ob es zusätzlich gleichzeitig oder gleichschenkligen nichts von beidem ist und dafür muss man erst mal wissen was das heißt gleich schenke ich nenne ich denke es immer so wie ein mensch wenn der mensch irgendwie so stehen würde und das wären seine beine dann wären das ja auch die ober und unterschenkel also gleich schenke ich haben dreiecke quasi mit uns gemeinsam wenn sie das sind die haben gleich lange schenkel und das ist quasi die idee von gleichschenkligen seitig ist ein bisschen mehr da werden alle drei seiten gleich lang und jetzt kann man sich schon mal überlegen diese basis winkel bei gleichschenkligen dreieck die sind immer gleich groß wenn also unser dreieck wo wir wissen dass es einen rechten winkel hat wirklich gleich schenk licht wäre dann kann der rechte winkel nicht der basis winkel sein weil dann hätten wir ja irgendwie sowas hier unten zwei rechte winkel als basis winkel funktioniert nicht das heißt dann wüssten wir schon mal safe unser dreieck hat den rechten winkel hier oben und dann könnte es gleich schädlich sein warum mache ich diese idee weil mir das ziemlich viel arbeit spart sprich ich könnte einfach nur die strecke wenn wir das hier als m einzeichnen und dass sie als b und dass sie als zäh die strecke mb ausrechnen und die strecke m c und damit anfangen zu prüfen wenn die gleich lang sind ok habe ich gleich schrecklichkeit schon mal gezeigt und muss noch weitermachen mit der dritten um nach gleichzeitigkeit zu gucken ob das auch noch gilt wenn ich aber schon merkel das mb und mcv betrag her also von der länge her nicht gleich sind dann weiß ich schon okay nicht geschenkt lich und erst recht nicht gleichzeitig und habe mir die arbeit gespart die dritte seite aus zu rechnen also strategie überlegt ganz smart was ihr machen müsst und macht nicht zu viel weil in mathe klausuren ist die zeit immer knapper und wenn man sachen macht die man gar nicht machen muss kriegt man keine punkte sondern verliert einfach nur die zeit die man hinten raus für andere aufgaben noch gebraucht hätte also das muss also unsere idee sein die idee ist wir gucken was mit mbs berechnen also die länge der strecke mb und die länge der strecke m c und dann können wir direkt schon entscheiden was bei uns sache ist für mb wisst ihr ja noch ne müssen wir den verbindungsweg tor bilden mit ende - anfang b war 0 8 -4 also 0 84 - dann kommt 021 heißt ich kriege hier 0 6 und minus 4 minus -1 ist dann - 3 weil sowas lasse ich auch federn leider solche vorzeichen geschichten habe ich öfter mal drin dann haben wir hier die längen formel für vektoren erste koordinate zum quadrat plus zweite zum quadrat plus dritte zum quadrat für mmc machen wir das gleiche da rechnen wir csm also natürlich koordinaten - 3 2 - 1 - und m hat die koordinaten 021 also 0 2 - 1 spricht da kommen wir auf minus 30 und 0 also wurzel aus - 3 zum quadrat +0 quadrat +0 quadrat kann ich mir mit der macht nicht zuviel idee auch einfach sparen und dann seht ihr schon kommt hier drei raus und ihr seht auch schon ohne dass ihr eigentlich weiter rechnen müsse macht nicht so viel seht ihr schon dass das nicht gleich sein kann weil wenn ich hier 13 quadratmeter der wurzel habe und hier auch aber noch mehr dann ist die obere wurzel auf jeden fall größer als die unter das heißt ich kann hier einfach schon so sagen ohne auszurechnen ist ein geschwungenes gleich mit strich durch es ist ungleich und damit weiß ich schon weil jetzt der vector mb nicht gleich lang ist wieder weg dmc dass das dreieck auf gar keinen fall gleich schenke ich sein kann und damit ist es auf jeden fall auch nicht gleichzeitig weil das wäre noch noch mehr sozusagen als gleichschenkligen genauso habe ich die argumente jetzt auch noch mal hier aufgeschrieben nein das ist immer ganz wichtig bei argumenten dass man die auch vernünftig formuliert damit man die volle punktzahl bekommt gut das haben wir uns in den punkt sechs auf der liste an länge einer strecke auf lkw wo das gerade war gk oder aber auf lkw kommt sehr sehr gerne so was mit zwei teilstrecken und dann dem verhältnis in dem diese beiden teilstrecken zueinander stehen und das ist auch so eine sache wenn man vorher gut aufgepasst hat könnte man es jetzt direkt beantworten aber von der idee das verhältnis ist so was wie beim fußball ich kann mich gar nicht so gut aus aber sagen wir mal ihr der bvb spielt gegen bayern münchen wenn sie überhaupt in der gleichen liga aber sind ihnen also bvb gegen bayern münchen es steht 1 zu 2 dann ist das ein verhältnis eins zu zwei heißt natürlich auch in prozent wäre das insgesamt sind drei tore gefallen also ein drittel der tore für bvb zwei drittel der tore für bayern münchen wenn man also prozentual an geben sollte wie es ausgegangen ist würde man sagen 33,3 33 und so weiter für bvb und 66 666 für bayern münchen und wir wollen halt nicht prozent jetzt sondern wir wollen das verhältnis also wir wollen dieses so und so viel zu so und so viel aber bei teilstrecken und hier rate ich euch auch wieder macht eine skizze der punkt erteilt die strecke obi also zeichne ich mir erst mal die strecke b 1 der punkt m haben wir gesagt war der mittelpunkt der strecke a c und e mag auf der strecke obendrauf heiß ist es eigentlich genau der schnittpunkt von diesen beiden diagonalen von diesen dingen unten von der grundfläche das wäre der punkt m und man sieht schon dass der tatsächlich diese strecke op in eine kürzere und eine längere teilstrecke zerlegt und wir müssen jetzt quasi genauso wie bvb gegen bayern münchen war die länge der kürzeren zu länge der längeren teilstrecke mit dem geteilten ins verhältnis setzen und dafür kann man es einfach mal sagen ich berechne die länge der strecke o m und ich berechne mir die länge der strecke mb beides jeweils über den vektor der diese strecke quasi repräsentiert und dann mache ich dazwischen eingeteilt zeichen und dann ist das hier schon das gesuchte verhältnis wenn man will rechnet man das aus und dann kriegt man irgendwas raus heißt also bei uns im klartext wir machen den weg der un 02 - einst den betrag striche und wenden die längen formel an wurzel aus 0 auf 2+2 auf zwei plus/minus 1 hoch 2 ist einfach wurzel aus fünf das gleiche machen wir mit mbe also b 08 - 4 - - - jetzt kommt am 02 - 1 spricht er ergibt sich der vector 0 6 und minus 4 - 1 ist - drei von dem wollen wir jetzt auch die länge also wurzel aus nur noch 26 hoch zwei und minus drei hoch zwei und da kriegen wir raus wurzel aus 36 +9 also wurzel aus 45 ja und damit hat man jetzt das teil uns verhalten ist nicht hübsch dargestellt aber es funktioniert wir wissen jetzt also der punkt m der teilt die strecke die strecke op im verhältnis wurzel 5 zu wurzel 45 und normalerweise will man keine verhältnisse irgend so komisch in naja wurzel zu wurzel haben und die idee dahinter ist dass man jetzt sagt okay ich guck mal was das eigentlich macht wurzel 5 geteilt durch wurzel 45 da wird rauskommen ein drittel heißt also man kann auch sagen im verhältnis eins zu drei und das ist natürlich sehr viel eleganter mit ganzen zahlen wie hätte man da jetzt komplett ohne rechnen drauf kommen können naja erinnert euch mal an die aufgabe wo wir nachweisen sollten das m auf der strecke op liegt da kam als parameter er ein viertel raus und das hieß ja wenn wir bei uhr starten und in richtung b laufen also quasi den vektor op zurücklegen dann laufen wir den ein viertel bis wir beim punkt ankommen weil man sieht auch schon okay ist genau ein viertel vom vector sieht man auf den ersten blick nur wenn man sich die zahlen einfach mal anguckt und dann weiß man okay wenn ich von o2 ein viertel der strecke zurückgelegt habe dann heißt das ja auch wenn ich die hier insgesamt in vier teile teilen würde dass eines der vier teile auf die kurze blaue strecke geht und drei der vier teile auf die lange grüne und damit hätte man also auch ohne irgendwelche streckenlängen ausrechnen zu können einfach mit den argumenten von vorhin sagen können dass das verhältnis eindeutig 1 zu 3 sein muss tja und das ist wieder eine zeit sparen wenn man smart denkt den manche aufgaben sehr viel schneller als wenn man da aufwendig rechnen muss bei der aufgabe sie kommt man aber nicht drumherum zu rechnen das ist der absolute klassiker da soll man jetzt eine ebenen gleichung aufstellen dafür habe ich zwei varianten im grundkurs ist dass in nrw nämlich immer ein parameter form und im lka ist das in der regel in koordinaten form gefordert und wenn wir jetzt hier sagen wir wollen gesucht die gleichung der ebene groß g aufstellen dann haben wir vier punkte zur auswahl b und c wir wissen dass alle diese punkte in der ebene liegen weil die energie die ebene sein soll die die grundfläche o a b c enthält und enthält weil natürlich so eine ebene in alle richtungen unendlich weit fortgesetzt wird ja und was machen wir da für die parameter darstellung eigentlich super easy wir schreiben den namen hinter ebene vector iks ist gleich dann brauchen wir eine stütz vector in dem fall empfehle ich euch tatsächlich einfach zu nehmen weil ihr könnt als spitz vector jeden beliebigen punkt der ebene nehmen dann kommt er mal da brauchen wir einen richtungswechsel und dafür empfiehlt es sich am besten a&o zu nehmen wenn man da am wenigsten rechnen muss er wäre einfach die koordinaten von ah gekippt 321 plus irgendwie so ein es mal die koordinaten von c gekippt also - 3 2 - 1 das heißt ich habe mir weil diese aufgabe ganz gezielt die einfachsten punkte rausgesucht und gesagt die verwende ich und schwupps ist meine parameter form der ebene auch schon fertig und der lkw bist du jetzt die koordinaten form aufstellen das heißt für die koordinaten form der ebene müssen wir als allererstes jetzt das kreuz produkt der richtungswechsel bilden also schreiben wir uns den ersten hin 3 2 -1 und nochmal darunter ist der trick 3 2 - 1 dann kommt der zweite - 32 -1 und nochmal - 3 2 - 1 dann werden die oberen beiden gestrichen dann wird ordentlich gekreuzt also zwei mal - 1 - 1 x 2 da sollte null rauskommen wenn es richtig rechnet dann der nächste - 1 x - 3 - dreimal - ein da sollte sechs rauskommen und in der letzte 3 x 2 - zweimal - 3 da sollte 12 rauskommen heißt wenn ihr das kreuz produkt richtig gebildet hat ist 06 12 das ergebnis und damit ein normal sekt oder ebene heißt ein vector der hier auf unserer ebene gehe im rechten winkel drauf steht also vielleicht irgendwie so hier hoch geht das wäre ein normalen vector der ebene wir können den kürzen empfehle ich euch auch weil die länge des rektors seht ihr auch schon entscheidet gar nicht über den winkel der da entsteht sprich wir nehmen lieber mit sechs gekürzt 012 als vektoren und dann haben wir dank dieser kleinen neben rechnung schon wenn wir uns die koordinaten form als x1 plus bex 263 gleichen die vorstellen dann haben wir schon mit dem normalen vector die vor faktoren a b und c heißt die sind genau die koeffizienten vom normalen vector also ist es 0 x1 +1 2 + 2 x3 gleich d und um das d auszurechnen setzen wir irgendeinen beliebigen punkt der ebene 1 und es empfiehlt sich natürlich im sinne des zeitfahrens einfach den puncto zulegen wenn wir da jetzt einsetzen also sozusagen eine punkt probe mitmachen dann steht da geh' doppelpunkt 00 + einmal 0 + 2 x 0 gleich d und damit ergibt sich eindeutig dass die gleich null ist man übrigens den fehler habe ich absichtlich eingebaut ihr dürft hier nicht mehr geht doppelpunkt davor schreiben weil sobald ihr koordinaten einsetzt ist es keine ebenen gleichung mehr sondern eine ganz normale gleichung also kein doppelpunkt schreiben wenn hier eine punkt probe macht sondern einfach nur die gleichung und dann wissen wir alles klar wir haben hier das ergebnis dass unser die 0 und damit haben wir eine koordinaten form der ebene perfekt vollständig aufgestellt und können sagen geh doppelpunkt 1x 2 + 2 x3 gleich null wäre eine mögliche koordinaten form der ebene aber auch wenn ihr anders weiter gerechnet hätte ihr könnt hier beliebig auch wieder versechsfachen sozusagen und mit 6 2 +12 x3 hättet ihr genauso gut volle punkte bekommen ja schauen wir uns die aufgabe 8 an da es jetzt für die leute aus dem gegner die das mit dem normalen weg tor gar nicht kennen explizit nochmal der normalen vector gegeben ohne dass das wort fällt einfach nur erklärt dass dieser sektor nämlich senkrecht auf der ebene g steht und wir sollen jetzt eine gleichung der geraden g angeben die durch den punkt die verläuft und die ebene groß g im rechten winkel schneidet heißt also durch den punkt ds all unsere gerade durch gehen und dann im rechten winkel also irgendwie vielleicht so auf unserer ebene groß g aufkommen und das heißt wir schreiben uns erst mal hin gesucht ist die vorschrift der geraden ging die durch den punkt de geht und für die gilt dass die gerade klein mit der ebene groß je einen rechten winkel einschließt und das schöne ist immer euer freund dieser operator wir sollen die gleichung der geraden einfach nur angeben heißt wir müssen nichts erklären wir können einfach hinschreiben g doppelpunkt vectrix es gleich und uns überlegen wie die aussehen müsste damit wären sicher durch die durchgehend können wir einfach mal sagen wir nehmen die als stütze weg doch das ist immer die einfachste variante zu sagen dass der punkt sicher drauf legt wenn er als stütz vector gewählt wird dann kommt hin so ein eher mal jetzt brauchen wir einen klug gewählten richtung sektor damit wir uns darauf verlassen können dass wieder echt diesen rechten winkel haben und dafür ist natürlich der vector 012 ideal weil von dem wissen wir das ist der normalen weckt oder ebene ist das heißt der steht safe im rechten winkel auf der ebene also vektoren damit die gerade eben hier senkrecht zur ebene steht und die haben wir genommen damit de auf der geraden drauf legt also ein element von gs und damit haben wir hier schon in kürzester zeit volle punktzahl ein übrigens auch noch mal so eine strategie tipp lasst euch nicht ins bockshorn jagen wenn ihr eine kontrolllösung bekommt und denkt teure ist falsch deswegen die kontrolle sung ist ja nicht immer exakt das was ihr rauskriegt es gibt ja unendlich möglichkeiten hier diese geraden gleichung zu bilden ich hätte ja auch zum beispiel 024 als richtungswechsel nehmen können oder nieren ganz anderen stütz weg durchaus rechnen können usw und die wollen euch natürlich nicht irgendwie dass ergebnisse verraten sondern die wollen euch nur ermöglichen im weiteren weiter zu rechnen wenn ich hier die gerade nicht gebildet haben es nicht geschafft habt das heißt achtung wenn ihr ein ergebnis habt nicht denken es ist falsch weil die kontrolllösung nicht eins zu eins das gleiche ist gut schauen wir uns die letzte aufgabe an auch super typisch kommt immer irgendwie dran den schnittpunkt einer gerade mit einer ebene berechnen und in unserem fall müssten wir jetzt hier mit den ganzen kontrollergebnissen die wir bekommen haben weiter rechnen beziehungsweise mit unserer eigenen geraden ging also mit 0 4 55 plus er mal 0 1 2 und mit der ebene gehe die könnt ihr euch hin schreiben wie ihr wollt je nachdem für den grundkurs wäre es die parameter form für den älter wäre die koordinaten form geeigneter aber ganz egal mit welcher darstellung gearbeitet das ergebnis wird dasselbe sein ihr sollt nämlich jetzt hier den schnittpunkt von der geraden mit der ebene bestimmen und bestimmen in nrw ganz ganz wichtig heisst nicht dass ihr das von hand ausrechnen müsst sondern bestimmen heißt das ihr den taschenrechner dafür verwenden könnt und da habe ich extra ein paar sachen eingebaut die schüler oft oft leider punkte kosten nämlich die falle dass man die gerade und die ebene selbst aufgestellt hat und bei beiden dass er genutzt hat da müsst ihr ganz arg darauf achten wenn ihr die gerade und die ebene gleichsetzt das ihr einst zum beispiel hier zu einem anderen buchstaben k meinetwegen abwandeln das ist ganz wichtig weil sonst werden die erst irgendwie verrechnet obwohl die gar nicht gleich sind also was würden wir ausschreiben gesucht ist der schnittpunkt von klein und groß geht und weil es bestimmen war lassen wir das wunderbar den taschenrechner machen der gk würde also die komplette geraden vorschrift gleichsetzen mit der kompletten ebenen vorschrift und dafür empfehle ich euch die vector schreibweise zu kippen und sofort das lgs zu notieren alle sofort zeilenweise aufzuschreiben die gerade wäre 0,04 + k x 1 und 5 5 + k x 2 die ebene auf der anderen seite wäre nur das kann man sich auch direkt sparen eigentlich ne also eigentlich einfach 3er -3 s2 plus 2 s und - ein eher - ein f und dann haut er das je nachdem was man taschen und ihr habt direkt rein oder ihr wandelt das noch mal kurz um und sagt ich hole mir alle unbekannten auf eine seite und alle zahlen auf die andere wenn ihr das richtig macht landet ihr hier bei -3 er +3 es gleich 0 3 1 k - zwei eher -2 es gleich - 4 und bei 2k plus ein air + 1 es gleich - 55 und sowie das ist könnt ihr es direkt schwupps in den taschenrechner reinhauen und der gibt euch dann lösungen für k&s aus und die richtige lösung ist da im zweifel tipps noch mal ein weil das sind die häufigsten fehler einfach irgendwelche tipps die man einen taschenrechner eintippt die richtige lösung wäre ks - 3 er ist ein viertel und es ist ein viertel und dann könnt ihr nämlich überlegen wie kriegt man den schnittpunkt naja entweder nehme ich das k das gehörte in die grade und setzt das wieder in ge ein oder ich nehme er und es die gehörten zur ebene und setzte die wieder in die ebene g ein gros gehen und was machen wir im sinne des zeitfahrens natürlich nehmen wir gleich -3 in klein gehen weil das ist viel viel schneller als zwei parameter in die große hässliche ebenen parameter darstellung einzusetzen und dann haben wir gegen doppel punkt vectrix ist gleich der stütz vector war 04 5,5 der richtungswechsel 012 also 04 55 + k x 0 1 2 in unserem fall also mit karl gleich -3 rechnen wir den drei mal runter - drei mal und dann dürfen wir wie vorhin auch nicht mehr geht doppelpunkt schreiben weil wir ja eine konkrete sache für den parameter eingesetzt haben die konkrete zahl - 3 das heißt da kommt jetzt ein vector aus und wir können ihn sogar benennen und sagen das ist der weg der us wenn wir den schnittpunkten besuchen es nennen weil der weg der hier raus kommt führt uns direkt zum ziel und dann haben wir hier 0 43 ist 155 - dreimal zwei ist minus 0,5 und wenn das jetzt der weg der us ist wissen wir automatisch dass der gesuchte schnittpunkt es dieselben koordinaten aber nebeneinander als punkt geschrieben hat und damit hätten wir in der gk variante den schnittpunkt bekommen mit hilfe des taschenrechners bestimmt im lka geht das ganze tatsächlich viel schneller weil wenn ihr die wahl habt solltet ihr immer die koordinaten form nutzen um den schnittpunkt zu berechnen in der koordinaten form also in diesem 1 x2 plus 2 x3 gleich null in der lk variante könnt ihr nämlich die gerade sofort einsetzen das heißt ihr nehmt die und ihnen diese form setzen wir die koordinaten der gerade ein heißt die gerade war ja doppelt vectrix ist gleich 04 55 + k x 0 12 also setzen wir diese gerade ein indem wir sagen die zweite koordinate das x2 ist eigentlich nur vier plus kabel eins die 3 koordinate ist eigentlich nur 55 + k x 2 und wenn wir das machen klein die in großgmain setzen dann kriegen wir ein wunderbares kleines gleichung sting einfach nur eine zeile nämlich einmal in klammern 4 + k plus zweimal in klammern 5,5 plus 2 k ergebnis soll 0 sein dann können wir noch ein bisschen aus multiplizieren haben 4 + k + 11 + 4 k ist gleich null und dann kommen wir auf 4 und 11 ist 15 und ska und 4k ist fünfter gleich null holen die 15 rüber haben dann fünfter ist - 15 teilen durch fünf mann kommen sehr viel schneller und ohne eigentlich dass wir den taschenrechner befragen mussten weil es länger gewesen wäre dass der einzutippen mit n12 oder so und komme auf ks - drei und damit würden wir genau so verfahren und sagen alles klar wir setzen jetzt klar gleich -3 in die gerade wieder zurück ein und das haben wir gerade in der gk variante schon gemacht da kommt ihr dann also zum selben punkt zu es 0 1 minus 0,5 und das ist was das müsste draufhaben schnittpunkt von gerade und ebene kommt in quasi jeder vector klausur im abi vor boah ich bin ganz schön geschafft muss ich sagen ich hätte nicht gedacht das ist so so viel wird was ich euch hier noch erklären will ich hoffe ich konnte euch einige tipps mit geben ich hoffe das video ist nicht zu lang geworden wenn ihr sagt so einen crash kurs hättet ihr super gerne auch noch mal für analysis und stochastik lasst es mich wissen danach ich das mega gerne ich glaube ist bringt ganz ganz viel so im schnelldurchlauf sich eben die zeit mal zu nehmen alles noch mal anzugucken was safe drankommt weil dann ist man in der lage komplette klausel an auch gut zu rechnen und die habe ich euch hier im playlisten sortiert schaut also auf jeden fall bahrain lebt auch noch ein paar tipps mitte ich euch gebe in dem video da hinten wenn ihr lust habt mich zu unterstützen freue ich mich riesig dann abonniert doch hier oben den kanal und empfiehlt ihn weiter viel erfolg hier packt das ich bin ganz optimistisch und glaubt an euch