Fundamentals of Set Theory in Mathematics

trach wir nun den ersten Teil des Abschnitts zu Mengen Mengen bilden die universelle Datenstruktur schlecht hin nichts ist so praktisch wie eine gute Menge zum Programmieren so wie Mathematiker programmieren wir fangen mit einfachsten Dinge an was ist überhaupt eine Menge eine Menge ist eine Zusammenfassung wovon von wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen also eine Menge ist eine Zusammenfassung zu einem Ganzen klar das passiert schon beim Zusammenfassen es entsteht ein ganzes aber die Objekte sind wohl unterscheidbar das heißt ich kann feststellen ob ein Objekt einem anderen Objekt gleich also Gleichheit ist das Wesentliche das nächste was für uns ganz wichtig ist wir müssen einwandfrei entscheiden können ob ein Objekt zu dieser Gesamtheit gehört oder nicht gehört also bist du drin oder nicht drin die Objekte einer Menge nennen wir Elemente dieser Meng hier noch mal wohl unterschiedene Objekte meint wir können wenn wir zwei Objekte A und B haben feststellen ob sie gleich sind also steht für das gleiche Objekt wir können es nicht unterscheiden oder ansonsten sagen wir sie sind ungleich also das ist das elementarste Konzept mehr brauchen wir nicht auf den Objekten also das ist ist das was der Datentyp hier Objekt äh unterstützen muss und eine Menge ist irgendwie jetzt eine Ansammlung davon eine Zusammenfassung und das Wesentliche was wir dort herausfinden müssen ist wenn ich eine Menge habe und ein Objekt kann ich einwandfrei entscheiden gehört es dazu ja oder nein damit wir uns nicht ständig irgendwie umgewöhnen müssen einige Konventionen Großbuchstaben verwenden wir um Mengen zu schreiben Kleinbuchstaben wenn wir Objekte bezeichnen in dieser Menge ja zumindest soweit das machbar ist wenn Wirich eine Menge haben von Mengen wird irwann anstrengend brauchen wir sehr groß Buchstaben dieser das nächste wir haben wir gesagt Dazugehörigkeit zu einer Menge wä das zentrale Konzept für dieses Konzept haben wir Notation wir schreiben a ist und jetzt kommt so ein stilisiertes e für Element a ist Element der Menge groß a und natürlich Ken auch Schre ist nicht Element der Menge groß a wenn man das durchstreicht dann manchmal interessant na ja wie viele Objekte sind denn da eigentlich drin wie viel verschiedene Objekte finden wir da das können wir entweder mit zwei senkrechten Strichen Betragsstriche auch genannt bezeichnen oder im amerikanischen notationsraum sehr geläufig das Doppelkreuz Kardinalität Anzahl von numerische Anzahl könen sich jetzt freius uchen ich verwende meistens die Anzahl strriche für die Kardinalität dazu mehr be unendlichen Mengen müssen wir uns mal Gedanken zu machen aber bei so einer einfachen Menge wie der hier a ist g 1 2 3 4 5 ja muss man nicht zu tief s nicht über das Konzept Kardinalität nachdenken das hat fünf Elemente also Anzahl von A = 5 gut das ist das ganze was wir für eine Menge so brauchen sich auch noch herrlich damit beschäftigen und philosophieren und das ist auch notwendig wenn die Mengen bisschen merkwürdiger werden aber unsere Mengen sind alle eigentlich ganz lieb und jetzt können wir damit losziehen jetzt können wir mal gucken ja was wollen wir machen wir wollen sie darstellen was ist denn eine Menge also endliche Mengen können wir dazu können Sie darstellen indem wir explizit alle Elemente hinschreiben ich kann also hinschreiben 1 5 mach so geschweifte Klammern drumum das sind die mengenklammern in diesem Zusammenhang ja das heißt die sind schon mal weg typischerweise diese Klammerung denn dann was da drin steht ist meist eine Menge ja seltene Ausnahmen die uns gar nicht begegnen die runden Klammern waren freieckige haben wir auch später noch für Intervalle aber die geschweifen sind überall eine Menge ja insbesondere wenn da noch ein Komma drin vorkommt 1 5 7 mit kommatag trennt Menge mit VI Elementen kann ich einfach durch Abzählen der komm und dann ein mehr heraus gut mein endlichen Menge geht das bei einer nichtendlichen Menge muss ich mir da anders behelfen die erste Variante ist ich formuliere das irgendwie aus ich sag die Menge M aller nicht negativen geraden Ganzzahlen ja wöt man sich schnell dran weiß man auch was gemeint ist manchmal will man ein bisschen expliziter sein und der Mensch ist ganz gut da drin an Beispielen zu erkennen was gemeint ist man kann stessen no schreiben m ist die Menge Doppelpunkt gleich also per Definition soll es ja so sein mit den Elementen 0 2 4 6 8 10 Punkt Punkt Punkt ja und das so ein fortsetzungsrätsel wie Intelligenztest was ist wohl die nächste Zahl und viele Leute kommen jetzt auf 12 und dann auf 14 und das ist genau das was wir meinen nicht negativ fängt ja bei Null an und dann sind nur die geraden Zahlen komm ja im Abstand von zwei daher gut wen Punkt pun Punkt nicht so ganz geheuer ist könnt ja irgendwie vielleicht die nächste Zahl 2 4 6 8 10 20 keine Ahnung warum jetzt aber vielleicht habe ich es noch nicht begriffen dann ist es vielleicht noch ein bisschen sicher dass man eine Auslese eine auswahlbedingung hinzufügt dass ich schreib stattdessen dann m ist die Menge aller x aus den natürlichen Zahlen mit als also dieser senkrechte Strich wird gesprochen mit einer Eigenschaft und die Eigenschaft steht da dahinter wie ich die jetzt angebe habe ich auch verschiedenste Möglichkeiten hier steht als Text die Aussage ist es soll gerade sein ja für alle die jetzt wissen wann eine natürliche Zahl gerade ist und das Null natürliche Zahl ist auch eine gerade Zahl sein muss ja für die ist klar dass das auch 0 2 4 6 8 und immer so weiter diese Zahlen sein müssen das die verschieden mög it ich zahlen darstelle und natürlich nimmt kann man auch für endliche Mengen solche Darstellungen nehmen ja mit mit so einer auslesebedingung insbesondere für sehr große endliche Mengen ist das natürlich auch hilfreich natürlich ich kann auch eine Million Elemente hinschreiben dauert halt nur ein bisschen dann ist so eine auslesebedingung ganz angenehm was kann es für Mengen geben ja Zahlenmengen können wir uns schon denken die Menge der europäischen hauptstätdte mit dem Anfangsbuchstaben B Berlin Budapest Brüssel Bukarest Belgrad bratislaava Bern ja nehmen mal anders stimmt ne ist ja kein geografiekurs hier die Menge der europäischen Hauptstädte mit Anfangsbuchstaben e Bo mir fällt gerade keins ein gucken sie auf die Landkarte ist also nichtx keine Elemente da die leere Menge K auch schreiben nehmen einfach nichts zwischen die geschweiften Klammern schreiben eine Möglichkeit oder dafür ist noch so ein lustiges Zeichen erfunden worden Kreis durchgestrichen heißt auch da ist nichts ja sie kennen noch die Menge der natürlichen Zahlen hatten wir die Menge der ganzen rationalen reellzahlen sind auch Mengen man kann sich allein mit diesen Zahlenmengen herrlich mathematisch beschäftigen oder die Menge der Primzahlen ja gibt's auch genug davon 2 3 5 7 ja wo ist die neun ach so 9 ist 3 x 3 gut 11 13 und so weiter vermut ist es besser ne die meisten Leute merken schon lang a es geht um Primzahlen vielleicht wäre es besser zu schreiben die Menge aller n mit der Eigenschaft n ist natürliche Zahl und die ist Primzahl ja und natürlich kann man das in so viel Notation packen dass man schon gar nicht mehr erkennt was gemeint ist aber es ist so schrecklich exakt das wä dann ganz genau P ist die Menge aller Zahlen n n ist natürliche Zahl und da gibt es eine Menge suchen sie mal das schließende betragszeichen fast ganz hinten also diese Menge da hat die größenordnungs 2 okay diese Menge da was ist die Menge da das ist die Menge aller M1 m2 aha die ich bekomme also mit der Eigenschaft dass die Zahl n die ich gerade betrachte sich schreiben lässt als M1 x m2 okay was mache ich also ich nehme die Menge ich bilde mir ich nehme n und zerlege es in zwei Faktoren M1 m2 alle möglichen Faktoren Pärchen die ich bilden kann um wenn ich sie multipliziere n zu erhalten die packe ich in eine Menge okay Primzahlen haben die Eigenschaft dass das eigentlich gar nicht geht also eigentlich in dem Sinne die einzige Möglichkeit eine Primzahl als Produkt zu schreiben ist dass eine Eins ist und der andere die Zahl selbst das heißt da kommen immer nur genau die beiden raus und deswegen ist bei Primzahlen die Menge zwei elementig bei allen anderen Zahlen nicht Primzahlen kann ich noch mal anders zerlegen deswegen kriegen sie mehr Fakt mehr Produkte die sie da bilden so hier ein Beispiel dafür ob das n hilfreich ist ja ist total exakt aber ob man das braucht ein bisschen also drei Möglichkeiten haben sie hier gesehen um die Menge der Primzahlen aufzuschreiben eine Punkt Punk Punkt Variante eine ein bisschen verbalisierte und eine wo man alles auffährt ja um das da zu machen sie müssen natürlich aber auch bedenken exaktit ist das eine Verständlichkeit was meine Intention darstellt das andere das hängt davon ab in welchem Kontext sie wie exakt für wen sein wollen schästrich müssen eine andere Menge a b c d e f g es geht weiter pun XY Z also hier pun pun Punkt nur das irgendwann Schluss sein soll ach das sind so alle klein Buchstaben bis ja von Anfang bis Ende A bis Z irendjemand hat mal gesagt das sind 26 Buchstaben ohne Umlaut und alle ist wunderbar endlich viele was kann ich noch machen die Menge aller Buchstabenketten der Länge fünf also Worte der Länge fünf so die den stehen alle Fünfer Längen wie viel gibt's denn für das erste Zeichen 26 für das zweite auch das dritte auch und so weiter 26 x 26 f mal also 26 hoch 5 Taschenrechner gezückt und Sie bekommen raus es sind 11 Millionen a und so weiter Elemente also knapp 12 Millionen das könnte man alles aufschreiben aber nicht mal als Strafarbeit wird das irgendwie durchgehen ne das ist schon kurz vor Folter also es ist auf jeden Fall unbequem das aufzulisten das sollte man vielleicht nicht machen Punkt Punkt Punkt oder andere Möglichkeiten sollte man da haben also nicht alles was endlich ist sollte man aufschreiben oder anders gesagt wenn die Menge irgendwann so groß wird das langsam Fragen will ich das auch schreiben und das in Haus vorkommt ähm machen sie es anders das will ich eigentlich nicht von ihnen da muss es was schöneres geben also z.B was könnte schöner sein eine Menge mittels der sie definierenden Eigenschaft aufzuschreiben also z.B die Menge aller geraden Zahlen ist a ist GLE ein N aus den ganzen Zahlen Z mit der Eigenschaft n ist durch 2 teilbar ja so habe ich das aufgeschrieben na klar gerade Zahlen durch zwei teilbar irgendwie verschoben worden aber nur als Beispiel für etwas wie man das aufschreiben kann statt durch zwei teilbar können natürlich auch ein viel viel komplexere oder andersartigere Eigenschaft aufgeschrieben worden sein was haben wir da hinten geschrieben wir haben also nach dem mit der Eigenschaft diesem senkrechten Strich haben wir etwas was wir schon kennen aufgeschrieben es ist nämlich eine Aussageform ja aussagenblock eine ein Satz mit einer Variablen x als Lehrstelle im Beispiel eben war hieß die Variable n n ist durch zwe teilbar war n der Platzhalter ich sollte was einsetzen und ich benutze diese Aussageform als Filter in dem Sinne ich nehme alle Elemente wenn ich die einsetze die müssen beim Einsetzen den Wahrheitswert W also wergeben alles was beim Filtern da übrig bleibt pack ich die Menge ja und die den wheitswert F ergeben die sind halt nicht in der Menge also ist ein filterungsprozess auch wieder nur vorgestellt wenn ich die ganzen Zahlen Filter das wird unendlich lange dauern geht also nicht also rein als Gedankenexperiment würde ich alle ganzen Zahlen Filtern ob sie die Eigenschaft bin durch zwei teilbar erfüllen oder nicht ja also wenn ich irgendwo vereinbart habe dass E von X die Aussageform ist X ist eine gerade Zahl über dem Universum Z ganze Zahl dann kann ich die obere Aussage also die obere Menge komplett kurz schreiben als Menge aller x aus z mit der Eigenschaft e von X das ist ser kompakt das kennen sie im Prinzip schon das kennen sie ewigen Zeiten irgendwo aus der sesten SB aten klasse da hatten sie aussageformen ja die Lagen vielleicht so aus x² - 3x + 2 ull wenn sie so etwas sehen und den dringenden Zwang verspüren das irgendwie nach Nullstellen auszurechnen hat Schule da vollständig ihre Wirkung getan dann haben sie mich folgenden drang sie müssen immer die Menge aller x aus den ganzen Zahlen oder sonst wie welchen Zahlen noch immer Mengen was da gerade sie so interessiert nehmen mit der Eigenschaft dass das da gilt man nennt das typischerweise eine Nullstelle ja also da muss etwas Null ergeben Menge Null stellen sollten s mal aufschreiben Menge aller XE für mit dieser Eigenschaft da oben überzeugen sich davon wenn ich da eine ein einsetze er giibt das Null Beier 2 auch ja eine Parabel Parabel hat maximal zwei Nullstellen also mehr wohl nicht vorbeik die Menge aller Nullstellen so so das typische was man da macht also die Menge aller Nullstellen hat man die immer abverlangt früher aufzuschreiben damit auch klar ist insbesondere dass 3 keine Nullstelle ist 3 kommt in dieser Menge nicht nicht vor das ist der wesentliche Zweck man sieht insbesondere was keine Nullstelle ist ja das sie auch damit ausdrücken wollen ja 1 und 2 sind Nullstellen das eine aber dass da auch Schluss ist dass die anderen Zahlen es nicht sind das ist das andere was sie mit dieser Darstellung kommunizieren können Zahlenmengen wir hatten schon einige Zahlen ganze Zahlen hab wir eben benutzt natürliche Zahlen mit der Null noch mal rationale Zahlen alle Brüche m durch n m ist eine ganze Zahl trägt also das Vorzeichen n dagegen ist eine natürliche Zahl wir brauchen nicht zweimal das Vorzeichen also sparen wir uns das ein N sollte auch nicht durch also n sollte nicht Null sein sie wissen durch Null Teilen hat so seine Probleme also nicht nur dass der Taschenrechner der Streik es geht nicht also man kann das nicht vernünftig definieren nicht unfallfrei definieren das geht so weiter reelle Zahlen R wenn man aus den reellen Zahlen etwas rausnimmt also dieser Strich es heißt ohne die Menge der reellen Zahlen ohne die rationalen Zahlen das sind irrationalen Zahlen Wurzel 2 so der erste Vertreter der zu Schulzeiten über den Weg läuft und dann gibt die komplexen Zahlen und die sind alle schön ineinander geschachtelt n ist eine Teilmenge von Z das von Q das von R das von C ja kleiner Vorgriff dieses Zeichen werden wir erst im nächsten Abschnitt einführen aber die sind alle jede natürliche Zahl ist eine ganze jede ganze ist ein Bruch jede Bruchzahl ist eine reelle Zahl je reelle Zahl ist eine komplexe Zahl so sind die aneinander gestaffelt ja was dieses umgekippte er irgendwie bedeutet Teilmenge oder gleich das kriegen wir auch ganz formal und bei zahlen auch wenn sie es noch nicht gewusst haben gelten Rechenregeln vielleicht kannten sie die Namen nicht oder haben Sie schon wieder vergessen Rechenregeln für die rationalen reellen Zahlen auch die komplexen Zahlen sind asoziativität also wie Sie bei einer Summe Klammern links oder rechts ist egal X + 0 + 0 0 ist neutrales Element da kommt nichts zu zu zahlen also zu jeder Zahl gibt es eine x Zahl wenn sie x und - x zusammen addieren kommt 0 raus das - x nennt sich inverselement also für den Mathematiker gibt es eigentlich keine Subtraktion das ist auch so ein hässlicher nichtasoziativer Operator und so weiter nicht komm alles ganz ganz aber addieren mit dem inversen - x ja dann dann ist die Welt übersichtlich die normale addition auf Zahlen ist kommutativ also X + y in welcher Reihenfolge y + X ging auch kommt das Gleiche raus das gleiche gibt sinngemäß denn noch mal für die Multiplikation wie sie da Klammern ist egal multiplizieren mit 1 verändert nichts ein ist das neutralelement bezüglich der Multiplikation also wenn Sie ein neutrales Element haben müssen Sie immer den Operator zunehmen 0 ist das additivneutrale 1 das multiplikativneutrale Element und auch da gibt es Division kennen wir eigentlich nicht aber wir wissen Zahlen haben ein Inverses x hoch -1 ist das inverse Element und wenn ich x mit seinem inversen multipliziere kommt das neutraleelement 1 raus bei der Multiplikation das ist toll geht für alle Elemente nur für die Null nicht ja null hat kein multiplikatives Inverses das ist die vornehme Formulierung für durch Null teilenes verboten ja weil wir es gewohnt sind ja wir multiplizieren natürlich nicht mit dem inversen sondern eigentlich dividieren wir durch x an der Stelle so gedanklich immer noch W durch ull Teilen geht immer noch nicht ne also x H -1 hat keins hat kein Inverses muss es auch nicht es ist kommutativ und wir dürfen Ausklammern von links ja x mal eine Summe kriegen wir die zwei summanten XY XZ und aderen die dürfen auch von rechts machen ja das sind die ganzen Rechenregeln die wir haben die gleichen Rechenregeln würden übrigens auch für die komplexen Zahlen selbst wenn sie die nicht kennen und ich sage ihn jetzt es gibt da diese komplexen Zahlen mit denen rechnet man so ja dann sagen sie gut nehme ich mal zur Kenntnis müsste ich mich gar nicht umgewöen kleine Notiz am Rande in der Schule irgendwann hatten sie die Bruchzahlen rationalen und dann schlicht der lehrerum die Ecke und sagte es gibt übrigens sagen Sie es nicht weiter es gibt Wurzel Z und das ist keine Bruchzahl alle sagen oh ja dann passiert aber komischerweise gar nichts ja man arbeitet ganz genauso so jetzt haben sie irrationale Zahlen nichts hat sich getan na ja hat sich schon eine Menge getan sie mussten sich nur nicht umgewöhnen warum weil die Rechenregeln für die rationalen und die reellen Zahlen gleich waren wir haben einfach weitergerechnet wie vorher entweder hat ihn keiner gesagt ja dass sie sich umgewöhnen sollen weil es ja klappt oder ma gesagt machen Sie einfach weiter so das ist richtig wir haben gesagt ja ma ich also das ist das schöne wenn Sie eine rechenstruktur haben und sie stellen fest da gilt diese Ansammlung von rechengesetzen sie müssen sich nicht umgewöhnen ja ich könnte jetzt also sagen ich definieren ein lustiges Plus und ein lustiges mal es gelten diese ganzen Gleichung dass dieses Kreuz dieses Pluszeichen bedeutet irgendwas we bestimm nicht Addition und dieser Punkt bedeutet irgendwas aber nicht Multiplikation was ganz abgefahrenes aber man dürfte so rechnen dann wird man wie in der Schule rechnen Terme vereinfachen können Nullstellen suchen was auch immer eine Nullstelle dann wäre könnte man alles machen das was ich da gerade skizziere ist Algebra also einfach das als symbolisches spielen mit Thermen thermeschubsen auch genannt machen das haben sie in der Schule gemacht ja seitenweise haben sie kopapier gefüllt und tererme umgeft umgerechnet also wir haben mal rechnen dazu gesagt eigentlich termumform ja sie hatten diese Rechengesetze haben Terme geschupst wenn sie noch mal kurz über denken welche dieser Regeln gelten für die ganzen Zahlen und welche nicht ja die ganzen Zahlen haben also gewisse Defizite ja welche sind das haben sie was gibt's dann noch also wo ist ein kleiner Exkurs wir hängen gerade bei speziellen Mengen bei Zahlenmengen wo wir gerade bei Mengen sind reelle Zahlen sind dadurch charakterisiert wenn ich Ihnen zwei gebe gilt genau eine der drei Lagebeziehung die Zahlen so haben können entweder erstens X ist kleiner als y zweiten sie sind gleich gut W auch eine Möglichkeit ich habe die gleiche Zahl zweimal gegeben oder X ist größer als y also eine von beiden ist größer oder sie sind gleich anders formuliert zwei verschiedene Zahlen XY eine von beiden die größere das klingt jetzt trivial aber ist es nicht denn für die komplexen Zahlen mit denen ich ja genauso rechnen kann würde es nicht mehr gelten da haben wir das nicht das dazu was haben wir denn noch wir brauchen manchmal akut aber gut schon mal zu haben Intervalle in den reellen Zahlen gibt's Intervalle gibt's mit eckigen und runden Klammern mit eckigen Klammern das Intervall zwischen a und B mit Ecken Klammern heißt es A und B dürfen mitspielen also alle re Zahlen x mit der Eigenschaft X ist größer = a und kleiner g=ich B sind die Klammern rund heißt es echt größer und echt kleiner Grenzen Spiel nicht mit gibt's natürlich auch noch gemischt ja das halboffene Intervall a darf nicht mitspielen also X ist echt größer als a und kleiner gleich B gibt es auch und rechts sei ich natürlich auch dann gibt's noch Bezeichnung eckige Klammer also wenn A und B die Grenzen dabei sind heißt dass das ein abgeschlossenes Intervall manchmal auch kompaktes Intervall und ohne die Grenzen ab heißt Intervall offenes Intervall und so ein Intervall hat eine gewisse Länge und da ist eigentlich egal bei den reellen Zahlen ja so dicht beieinander das ist egal ob die Grenzen dabei sind für die Länge also ob s wie wie wie lang ist das Intervall zwischen A b egal ob die Grenzen dabei sind oder nicht definieren erstmal so dass die Länge per Definition einfach B- a ist den B ist ja die größere Zahl wenn ich so ein Intervall aufschreibe ja WN das ist B- a das heißt das Intervall von 1 bis 7 hat gerade die länge 6 1,3 bis 6,5 machen kann rechnen Kopf was gibt noch uneigentlich Intervalle sie können natürlich das Intervall von A bis endlich gewissermaßen machen und zu sagen okay undendlich gehört natürlich nicht dazu deswegen da rechts die runde Klammer halbofen ähm dann soll x nur größer gleich a sein wir können natürlich x x echt größer als a machen D haben sie a ausschließlich und unendlich ne bis unendlich aber auch ausschließlich das können s natürlich auch linksseitig machen mit minus unendlich alle Zahlen bis an B ran inklusiv oder exklusiv halbofene Intervalle uneigentlich geht auch so und jetzt ist so ein bisschen die Frage das nur mal so als Anriss ohne es zu vertiefen wie hängen denn die rationalen Zahlen also die buchzahlen mit den reellen Zahlen zusammen die reellen Zahlen wo mindestens die wurzelzahlen sonstige komische Zahlen dazu gekommen sind also es liegt nicht daran dass es bei reellen Zahlen dass die da irgendwie mehr werden in gewissen Sinne also dieser Satz sagt ihn es gibt schon unendlich viele ganz dicht Pakte rationale Zahlen die rationalen Zahlen liegen dicht in R was meinen wir damit zwischen zwei reellen Zahlen liegt immer eine rationale das heißt es nicht so dass es da irgendwie so so körnigkeiten gibt also zwischen zwei rationalen Zahlen dass da irgendwie Luft wäre und diese Luft mit reellen Zahlen gefüllt wird es gibt in den reellen Zahlen keine Luft aber in rationalen auch nicht also die liegen da schon total dicht und obwohl kein Platz eigentlich mehr zwischen rationalen Zahlen ist passen noch die reellen Zahlen wieder neu dazwischen muss man sich nicht vorstellen können aber so ist es konzipiert und gemacht D fragt man sich was ist jetzt der Unterschied zwischen rationalen irrationalen kann man das irgendwie fassen ein bisschen unterbefriedigend festzustellen ja Wurzel 2 und Wurzel 3 und noch so paar Beispiele fertig denn die reellen Zahlen s dadurch charakterisiert wenn ich so Intervalle bilde ich habe erst das Intervall i0 und das ist ein oberintervall also ich mach jetzt kleiner ich nehme ein Intervall das er komplett drin ist i1 und neh noch Intervall was da komplett drin i2 das n sich Intervallschachtelung immer Intervalle die ineinander diese kleinen russischen Püppchen Russian dos so ineinander gestartelt werden immer kleinere Intervalle und das mache ich gedanklich Punkt Punkt Punkt also bis in alle Ewigkeit und zwar so dass das immer kleiner wird dass das im Grenzwert gegen Unendlich also limis grenzwertigst gegen die Breite Null strebt also die intervallschach also a eine die immer ineinander gestapelt wird und von der Größenordnung gegen Null strebt und die Aussage ist eine intervallschachtlung in den reellen Zahlen charakterisiert genau dann eine reelle Zahl also sie machen unendlich lange immer was kleiner strebt gegen Null ja das charakterisiert genau eine reelle Zahl das können sie machen auch in den rationalen Zahlen aber dann ist da halt nichts übrig geblieben ja wenn Sie das nälich so machen würden dass da Wurzel 2 übrig bliebe das können Sie in den rationalen Zahlen nicht darstellen das ist etwas wenn sie so Zahlentheorie ma dann ja dann haben sie solche Gedanken wir beenden das mal kurz an dieser Stelle und kommen wieder zum grundlegenden zurück nämlich wir haben jetzt Mengen nicht nur eine S vielleicht zwei jetzt fragen uns mal elementare Dinge wann ist denn eine Menge gleich einer anderen Menge und wir haben nur eine einzige Frage die wir in der Menge stellen können nämlich die mit Hilfe des Operators enthalten sein ja das der einzige Operator die einzige Frage die ich ein der Menge stellen kann s mal ist ein Element bei dir drin ja oder nein und das benutzen wir jetzt wir definieren dass zwei Mengen A und B gleich sein sollen das Notieren wir wie wir es immer notiert haben a = b für Mengen gilt auch für Zahlen dieses gleich ne ist schwer Laden jetzt für Mengen nehmen wir das gleiche Zeichen a = b und das soll genau dann gelten wenn jedes Element das in a drin ist dass das auch ein Element von B ist und andersum ja also Langform für jedes x das in a drin ist gilt auch das x in B drin ist und für jedes y das in B drin ist gilt auch dass y a drin ist ja hätte ich dies y ich auch wieder x nennen können einfach nur um das ein bisschen besser auseinanderhten zu können also jedes Element was im einen drin ist ist auch im anderen drin und umgekehrt und wenn das nicht gilt wenn Sie also nicht gleich sind notiert man das als ungleich B wunderbar wann sind also zwei Mengen ungleich a ist ungleich B na ja dann muss ein Element a existieren dass dieses Element in der Menge a drin ist aber nicht in B oder andersherum es muss irgendein Element in der Menge B geben das nicht in a ist kann auch beides sein also das oder ist nicht ausschließlich aber ein Element muss im einem drin sein im anderen aber nicht wenn das nicht gelten würde wären sie ja gleich wenn wir un diese Definition angucken ja bevor wir die Definition gesetzt haben war noch vieles möglich aber jetzt ist es halt so Definition 21 die sagt uns egal was eine Menge wirklich ist unter der Haube wir in der Implementation wie sich das sonst vorstellen [Musik] ähm für uns bei der gleichheitsdefinition haben wir gesagt bei Mengen gibt es keine Reihenfolge warum na ja weil in der Definition 21 ist von Reihenfolge nicht die Rede sondern es wird für alle XE und für alle y gesprochen ja die sind nicht in der sequenzreihung oder so das heißt eine Reihenfolge kommt da als Konzept nicht vor die nächste Frage ist wir könnten drüber philosophieren kann ein Objekt in einer Menge ist ja nur Zusammenfassung kann ich ein Objekt auch zweimal oder dreimal in der Menge haben m keine Ahnung ja keine Ahnung in dem Sinne ich kriege es nicht raus denn ich kann ja was kann ich bei Mengen nur fragen ich kann Fragen mit dem Operator enthalten sein ist das Element drin der sagt aber nur Ja Nein und nicht wie oft okay also so kriegen wir schon nicht raus genauso zwei Mengen also angenommen wir hätten zwei Mengen beide enthalten das Element A die eine Menge fünf Mal und die andere Menge acht Mal ja sind die dann gleich ja weil wir nur Fragen ist es im einem drin und im anderen auch und bei beiden lautet die Antwort gleich in diesem Fall gleichermaßen ja das heißt selbst wenn es wiederholungsanzahlen von Elementen gäbe dann würde es keine Rolle spielen für die Gleichheit von Meng ja selbst wenn es eine Reihenfolge gebe das fragt der gleichheitsoperator auch nicht angenommen sie hätten irgendwie so ein Behälter in dem es Fächer gebe und es gibt eine ein erstes und zweites Element danach das kriegen sie auch nicht raus sie können nur Fragen bist du drin sie können ja auch nur testen bist du gleich ein anderen Menge da spielt die Reihenfolge keine Rolle ja also etwas anderes als eine Sequenz und mehrfheiten sind auch nicht das können Sie alles rückwärts schließen durch die epte die sie bislang haben dass beim Mengen das offenbar keine Rolle spielt und das wollen wir auch so ja also wir haben nicht irgendwie die Definition gesagt und sagen huch da gibt's ja gar keine Wiederholung oh sondern natürlich hat sich diese Definition so bewrt man will diese Konsequenzen haben wenn sie eine Menge haben wollten mit Wiederholung na gut dann müssen sie neuen Begriff erfinden nennen sie das irgendwie neue hugomenge ja und und da müssen sie das alles so richtig stricken dass das mit Wiederholung möglich ist das kann man alles machen gibt's auch hat auch ein Namen brauchen wir jetzt gerade nicht aber könnte man auch machen haben wir nicht gemacht Mengen sind halt eben so wie sie sind und das ist gut so aber wir sollten uns klar machen wie sie sind ja so und nicht anders und am besten erfährt man wie etwas ist indem man sich auch klar macht wie es nicht ist natürlich braucht man mal ein Beispiel dafür aber viel spannender für sie könen Sie sich mal merken als Arbeitstechnik ist es sich zu merken ein Beispiel aufzuschreiben was irgendwie sagt ja was wäre denn das Ding XY nicht mehr also was ist keine Menge mehr ja oder was kriege ich da nicht mehr raus was geht da nicht das also viel spannender zu auszuloten wo sind da die Grenzen ja wann wann ist es nicht mehr das das können Sie sich immer mal paar Beispiele wenn sie Definition haben machen sie sich Beispiele versuchen sie auch wenn das anwendbar ist diese Fragestellung auch das Beispiel dagegen auch klar eine Feststellung die wir jetzt treffen sollten ist wenn ich zwei Mengen ab habe und die sind wie ich das ja machen kann mit Aussageform also durch Filterbedingung zustande gekommen eine Filterbedingung e eine Filterbedingung e strich über dem gleichen Universum dann kommen ja die Mengen raus a ist die Menge aller x aus dem Universum mit der Eigenschaft e von x und B ist die Menge aller x wieder das gleiche Universum u wieder u aber mit der Eigenschaft i Strich von X ja wann sind diese beiden Mengen gleich genau dann wenn diese Filterbedingung logisch zueinander equivalent sind also wenn für alle x gilt e von X ist logischquivalenz für alle x gilt e von X also für jedes a die weitwert übereinstimmen das müsste gelten an dieser Stelle den Beweis ja also er ist ein bisschen länger als Punkt Punkt Punkt aber den könnten sie mal doch als Hausarbeit mal für sich im Stillen kämerlein versuchen fahren wir fort was können wir noch machen das nächste Konzept wir können zu einer Menge eine neue Menge bauen die komplementäre Menge denn nehmen mal an wir haben wie bisher mit Hilfe der Aussageform e von X Elemente einer Grundmenge gefiltert ja wir nehmen aus dem Universum diejenigen raus die passen also m ist die Menge aller XE aus dem Universum u mit Eigenschaft e von x und bei so einer Aussageform was kann ich da machen ich kann sie logisch negieren und dann bekomme ich das Komplement ja also das Komplement einer Menge sind diejenigen Elemente die die negierte aussagenform erfüllen also die gerade die obige Eigenschaft e von X gerade nicht besitzen und um das auszudrücken dafür gibt's noch dann Operator ich mache einfach über das M so ein Querstrich und sag das ist jetzt das Komplement von M dieser Querstrich da drüber Menge aller XE die die Eigenschaft e gerade nicht haben Definition dazu wenn e von X eine Aussageform über dem Universum ist dann heißen diese beiden Mengen m und m quer oder m Komplement die gebildet werden durch die Aussage von E für m und m Komplement wird gebildet durch nicht e diese beiden Mengen heißen komplementär zueinander sie sind also durch eine Aussageform und ihre Negation entstanden m quer als komplementärmenge oder das Komplement von m in U ja ich muss ja noch wissen welches Universum was kann ich damit machen also das erste was ich feststellen kann ist ich kann jetzt was aus meinem gedächtniskram ich weiß nämlich doppelte Negation hebt sich auf das hatten wir schon mal also für jede Formel besondere auch für e von X gilt es ist logisch eququivalent zu nicht nicht e von x und daraus folgt jetzt wenn ich das durchrechne dass die komplementärmenge der komplementärmenge also m m von M das ist ja das Komplement von dem Strich zweimal komplementiert ergibt wieder m selbst kann ich nachrechnen m Doppel Strich ist ja die Menge aller XE die etwas negiert haben nämlich die Eigenschaft die m Strich definiert m Strich ist definiert durch nicht e also ist das Ganze definiert durch nicht nicht e so und jetzt nicht nicht e ich kann das durch was logisch equivalentes ersetzen wir hatten das zwei Mengen die durch zwei Aussagen die logisch equivalent zinander sind ersetzt werden wunderbar kann ich ersetzen also nicht nicht e darf ich gefahrlos durch einfach das equivalente e was viel einfacher ist ersetzen und bekommen dann alle XE aus u die e erfüllen das ist m also das Komplement des komplementes ist wieder die Menge selbst Beispiel für Komplement wenn ich also ganze Zahlen x habe mit der Eigenschaft X ist gerade davon das komplementri ich alle die nicht gerade sind um nicht zu sagen alle ganzen Zahlen die ungerade sind also mehr als das Universum kann es ja nicht sein das sind immer noch ganze Zahlen allerdings nicht gerade ungerade genauso natürliche Zahlen die eine Primzahl sind das Komplement dieser Menge sind alle nicht zahlen also alle zusammengesetzten natürlichen Zahlen und alle natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft s sind echt größer als fünf davon das Komplement na ja welche bleiben da übrig 0 1 2 3 4 5 alle die näich nicht größer sind um nicht zu sagen kleiner gleich F alle natürlichen das Beispiel hierzu jetzt gibt es eine sehr spezielle Menge hatten wir auch schon benutzt wir hatten no das Zeichen schon gesehen für die leere Menge wir können das jetzt mal auf Umwegen herleiten D sehen Sie auch gleich ja wie man mathematisch manche Sachen die eigentlich klar sind noch mal auf dem sauberes Fundament stellt wir nehmen also wieder eine Aussageform be der Grundmenge u die soll für alle Elemente u wahr sein also eine schöne Tautologie was nehmen wir da x= x das ist immer richtig gut jetzt kann ich folgendes machen ich nehme das Universum ja das kommt natürlich raus wenn ich sag nimm alle x die den Filter der immer war ergibt ja bestehen also ich Filter mit X = x alle x bestehen diesem Test deswegen alle XE bleiben übrig ich kriege also wieder das gesamte Universum gut also sehr umständliche Methode sich das Universum noch mal aufzuschreiben wenn ich hinten in der Eigenschaft eine Tautologie hinschreibe super wenn ich jetzt diese Eigenschaft negiere bekomme ich doch das Komplement also das Komplement des Universums bekomme ich wenn ich sag nimm alle XE für die ja unmögliches gilt x ungleich x ja kann gar nicht sein also es gilt nie kein einziges Element besteht diesen Test deswegen enthält Komplement von kein einziges Element und dann das muss man nicht klar machen das ist total in Ordnung dass wir das so gemacht haben wir haben gedanklich nur schöne Schritte gemacht alles korrekt alleso definiert das heißt wir dürfen alles so machen u Querstrich ist eine wohl konstruierte korrekt definierte Menge und diese so konstruierte Menge kann auch anders sein aber so haben wir es hingekriegt das Komplement des Universums nennen wir jetzt leere Menge im Universum u und bezeichnen wir mit diesem Kreis der durchgestrichen ist leere Menge im Universum u das U machen wir klein da dran als Skipt weil wir das ganze jah mit Aussageform gemacht und haben und an dieser Aussageform hängt immer ein Universum dran das heißt das ist getypt irgendwie die leere Menge für dieses Universum u das jetzt anders als sie das vielleicht kennen und sie kennen eigentlich die leere Menge Ende ohne jetzt gucken wir mal wir stellen also fest nach unserer bisherigen Konstruktion haben wir festgestellt die leere Menge ist abhängig vom Universum u äh und dann stellen wir fest ja das können wir uns aber eigentlich sparen denn wir können uns überlegen die leere Menge im Universum m und die leere Menge im Universum n die sind gleich also zwei leere Mengen sind gleich egal wie die Universen lautet warum ist das so ja das müssen wir strengenommen beweisen wir haben es irgendwie vielleicht so komisch irgendwie definiert dass man das was offensichtlich scheint noch jetzt beweisen was müssen wir da beweisen okay wir müssen nicht kreativ werden wir müssen do nicht sagen das ist doch klar oder Nein vergessen Sie jegliche Intuition wir machen es einfach so wie es steht wie ist Gleichheit von Mengen definiert wir müssen zwei Dinge zeigen jedes Element der einen Menge gehört zu anderen erstens und jedes Element umgekehrt der zweiten Menge gehört zu erstens also erstens und zweitens steht auch noch mal schön Logik da für alle Elemente a die mit der Eigenschaft a ist Element der leernmenge M impliziert das A ist auch Element der lernmenge von N und zweitens genau andersrum und das müssen wir beweisen ja müssen wir beweisen geht aber zum Glück ganz einfach warum wenn uns die Formel angucken wir müssen ja eine wenn dann Aussage beweisen also für jedes a das in der leerenmenge von M ist das ist die Prämisse dieser Implikation ja die leere Menge von M enthält ja gar kein Element okay das ist schön denn jedes Element a was ich jetzt mir angucken kann wird an dieser Stelle falsch ergeben die präiss ist immer falsch und das ist eine total angenehme entspannte Situation denn wir wissen schon eine Implikation deren Prämisse bereits falsch ist dann ist die Implikation wahr muss ich gar nicht mehr bei der Konklusion nachschauen das ist wahr okay also das gilt diese Implikation gilt für jedes Element a ganz analog für die zweite Implikation tauschen sie m und n aus und genau das gilt okay also beide Implikationen konnten wir beweisen an dieser Stelle ja ohne uns Gedanken drüber zu machen was wir da eigentlich tun konnten wir beweisen dass zwei leere Mengen für beliebige grundmengen n n gleich sind okay wenn für beliebige grundmengen gleich sind sagen wir okay dann macht es auch keinen Unterschied mehr wir müssen diese beiden leerenmengen ja gar nicht unterscheiden sind ja doch gleich ja es gibt nichts was ich an ihnen merken könnte was ununter was sie unterschiedlich machen werden vielleicht sind sie anders ja das eine keine Ahnung hat noch Haare und das andere nicht ich weiß es nicht ich kann es mit Gleichheit nicht herausfinden es gibt also nur diese eine leere Menge und dafür machen wir ein Kasten die Menge die kein Element enthält vöig abhängig vom Universum nennen wir leere Menge und bezeichnen sie mit Querstrich Kreis das das Symbol für die leere Menge völlig unabhängig von der Grundmenge ist das ein universelles Konstrukt sie ist eindeutig unabhängig vom univers jo weil das so eine total sinnvolle Datenstruktur ist ja die man gerne hätte mathematisch nette Eigenschaften hat gibt sie auch in Java also wenn sie da mal nachschlagen werden Sie feststellen es gab da mal ein Java util irgendwie seiner Zeit ewigen Zeiten Collection classes und Set war da auch dabei und es gab verschiedene Implementierung konnten ein HashSet haben ein treet ein linked HashSet und so weiter verschiedene Implementierung dieses Interfaces das hat auch schon wieder ein bisschen geändert aber prinzipiell die Idee war z wäre doch eine total duftige Datenstruktur und was für Schnittstellen erwarten Sie da sie können z.B so programmieren sie können sagen ich hätte gerne ein Set von Strings und es soll ein Hash Set sein okay und Sie können jetzt sagen okay be booen können Sie definieren fragen sich ist S1 dieses neue HashSet empty ist das die leere Menge ja ist gerade frisch initialisiert vermutlich ja das nächste contained contained S1 das Element a ist a da drin ne vermutlich nicht wenn es leer ist m wir können es hinzufügen S1 a wir vereinigen damit wir könnst auch wieder removen ja machen wir bestimmt nichts falsch war eben drin jetzt wieder raus wir können iterieren also jedes Element das ist genauso wie die Menge aller mit der Eigenschaft SAS Iterator die nächste Frage ist teilmengenbeziehung hat wir no nicht aber ist die Frage ob S1 alle Elemente von S2 enthält also ist S2 ein Teil von S wir können auch S1 ja Elemente hinzufügen nämlich alle Elemente von S2 oder wir können alle Elemente von S2 entfernen und so weiter wir können noch ein Durchschnitt kommt alles wir können es auch wieder clearen ja wie Set D wieder le solche Sachen kann man damit machen also die ganzen normalen Mengen Operation apropos Operationen apropos Beziehung also teilmengenbeziehung hatten wir irgendwie noch nicht kommt dann in Teil 2

trach wir nun den ersten Teil des Abschnitts zu Mengen Mengen bilden die universelle Datenstruktur schlecht hin nichts ist so praktisch wie eine gute Menge zum Programmieren so wie Mathematiker programmieren wir fangen mit einfachsten Dinge an was ist überhaupt eine Menge eine Menge ist eine Zusammenfassung wovon von wohlunterschiedenen Objekten zu einem Ganzen also eine Menge ist eine Zusammenfassung zu einem Ganzen klar das passiert schon beim Zusammenfassen es entsteht ein ganzes aber die Objekte sind wohl unterscheidbar das heißt ich kann feststellen ob ein Objekt einem anderen Objekt gleich also Gleichheit ist das Wesentliche das nächste was für uns ganz wichtig ist wir müssen einwandfrei entscheiden können ob ein Objekt zu dieser Gesamtheit gehört oder nicht gehört also bist du drin oder nicht drin die Objekte einer Menge nennen wir Elemente dieser Meng hier noch mal wohl unterschiedene Objekte meint wir können wenn wir zwei Objekte A und B haben feststellen ob sie gleich sind also steht für das gleiche Objekt wir können es nicht unterscheiden oder ansonsten sagen wir sie sind ungleich also das ist das elementarste Konzept mehr brauchen wir nicht auf den Objekten also das ist ist das was der Datentyp hier Objekt äh unterstützen muss und eine Menge ist irgendwie jetzt eine Ansammlung davon eine Zusammenfassung und das Wesentliche was wir dort herausfinden müssen ist wenn ich eine Menge habe und ein Objekt kann ich einwandfrei entscheiden gehört es dazu ja oder nein damit wir uns nicht ständig irgendwie umgewöhnen müssen einige Konventionen Großbuchstaben verwenden wir um Mengen zu schreiben Kleinbuchstaben wenn wir Objekte bezeichnen in dieser Menge ja zumindest soweit das machbar ist wenn Wirich eine Menge haben von Mengen wird irwann anstrengend brauchen wir sehr groß Buchstaben dieser das nächste wir haben wir gesagt Dazugehörigkeit zu einer Menge wä das zentrale Konzept für dieses Konzept haben wir Notation wir schreiben a ist und jetzt kommt so ein stilisiertes e für Element a ist Element der Menge groß a und natürlich Ken auch Schre ist nicht Element der Menge groß a wenn man das durchstreicht dann manchmal interessant na ja wie viele Objekte sind denn da eigentlich drin wie viel verschiedene Objekte finden wir da das können wir entweder mit zwei senkrechten Strichen Betragsstriche auch genannt bezeichnen oder im amerikanischen notationsraum sehr geläufig das Doppelkreuz Kardinalität Anzahl von numerische Anzahl könen sich jetzt freius uchen ich verwende meistens die Anzahl strriche für die Kardinalität dazu mehr be unendlichen Mengen müssen wir uns mal Gedanken zu machen aber bei so einer einfachen Menge wie der hier a ist g 1 2 3 4 5 ja muss man nicht zu tief s nicht über das Konzept Kardinalität nachdenken das hat fünf Elemente also Anzahl von A = 5 gut das ist das ganze was wir für eine Menge so brauchen sich auch noch herrlich damit beschäftigen und philosophieren und das ist auch notwendig wenn die Mengen bisschen merkwürdiger werden aber unsere Mengen sind alle eigentlich ganz lieb und jetzt können wir damit losziehen jetzt können wir mal gucken ja was wollen wir machen wir wollen sie darstellen was ist denn eine Menge also endliche Mengen können wir dazu können Sie darstellen indem wir explizit alle Elemente hinschreiben ich kann also hinschreiben 1 5 mach so geschweifte Klammern drumum das sind die mengenklammern in diesem Zusammenhang ja das heißt die sind schon mal weg typischerweise diese Klammerung denn dann was da drin steht ist meist eine Menge ja seltene Ausnahmen die uns gar nicht begegnen die runden Klammern waren freieckige haben wir auch später noch für Intervalle aber die geschweifen sind überall eine Menge ja insbesondere wenn da noch ein Komma drin vorkommt 1 5 7 mit kommatag trennt Menge mit VI Elementen kann ich einfach durch Abzählen der komm und dann ein mehr heraus gut mein endlichen Menge geht das bei einer nichtendlichen Menge muss ich mir da anders behelfen die erste Variante ist ich formuliere das irgendwie aus ich sag die Menge M aller nicht negativen geraden Ganzzahlen ja wöt man sich schnell dran weiß man auch was gemeint ist manchmal will man ein bisschen expliziter sein und der Mensch ist ganz gut da drin an Beispielen zu erkennen was gemeint ist man kann stessen no schreiben m ist die Menge Doppelpunkt gleich also per Definition soll es ja so sein mit den Elementen 0 2 4 6 8 10 Punkt Punkt Punkt ja und das so ein fortsetzungsrätsel wie Intelligenztest was ist wohl die nächste Zahl und viele Leute kommen jetzt auf 12 und dann auf 14 und das ist genau das was wir meinen nicht negativ fängt ja bei Null an und dann sind nur die geraden Zahlen komm ja im Abstand von zwei daher gut wen Punkt pun Punkt nicht so ganz geheuer ist könnt ja irgendwie vielleicht die nächste Zahl 2 4 6 8 10 20 keine Ahnung warum jetzt aber vielleicht habe ich es noch nicht begriffen dann ist es vielleicht noch ein bisschen sicher dass man eine Auslese eine auswahlbedingung hinzufügt dass ich schreib stattdessen dann m ist die Menge aller x aus den natürlichen Zahlen mit als also dieser senkrechte Strich wird gesprochen mit einer Eigenschaft und die Eigenschaft steht da dahinter wie ich die jetzt angebe habe ich auch verschiedenste Möglichkeiten hier steht als Text die Aussage ist es soll gerade sein ja für alle die jetzt wissen wann eine natürliche Zahl gerade ist und das Null natürliche Zahl ist auch eine gerade Zahl sein muss ja für die ist klar dass das auch 0 2 4 6 8 und immer so weiter diese Zahlen sein müssen das die verschieden mög it ich zahlen darstelle und natürlich nimmt kann man auch für endliche Mengen solche Darstellungen nehmen ja mit mit so einer auslesebedingung insbesondere für sehr große endliche Mengen ist das natürlich auch hilfreich natürlich ich kann auch eine Million Elemente hinschreiben dauert halt nur ein bisschen dann ist so eine auslesebedingung ganz angenehm was kann es für Mengen geben ja Zahlenmengen können wir uns schon denken die Menge der europäischen hauptstätdte mit dem Anfangsbuchstaben B Berlin Budapest Brüssel Bukarest Belgrad bratislaava Bern ja nehmen mal anders stimmt ne ist ja kein geografiekurs hier die Menge der europäischen Hauptstädte mit Anfangsbuchstaben e Bo mir fällt gerade keins ein gucken sie auf die Landkarte ist also nichtx keine Elemente da die leere Menge K auch schreiben nehmen einfach nichts zwischen die geschweiften Klammern schreiben eine Möglichkeit oder dafür ist noch so ein lustiges Zeichen erfunden worden Kreis durchgestrichen heißt auch da ist nichts ja sie kennen noch die Menge der natürlichen Zahlen hatten wir die Menge der ganzen rationalen reellzahlen sind auch Mengen man kann sich allein mit diesen Zahlenmengen herrlich mathematisch beschäftigen oder die Menge der Primzahlen ja gibt&#39;s auch genug davon 2 3 5 7 ja wo ist die neun ach so 9 ist 3 x 3 gut 11 13 und so weiter vermut ist es besser ne die meisten Leute merken schon lang a es geht um Primzahlen vielleicht wäre es besser zu schreiben die Menge aller n mit der Eigenschaft n ist natürliche Zahl und die ist Primzahl ja und natürlich kann man das in so viel Notation packen dass man schon gar nicht mehr erkennt was gemeint ist aber es ist so schrecklich exakt das wä dann ganz genau P ist die Menge aller Zahlen n n ist natürliche Zahl und da gibt es eine Menge suchen sie mal das schließende betragszeichen fast ganz hinten also diese Menge da hat die größenordnungs 2 okay diese Menge da was ist die Menge da das ist die Menge aller M1 m2 aha die ich bekomme also mit der Eigenschaft dass die Zahl n die ich gerade betrachte sich schreiben lässt als M1 x m2 okay was mache ich also ich nehme die Menge ich bilde mir ich nehme n und zerlege es in zwei Faktoren M1 m2 alle möglichen Faktoren Pärchen die ich bilden kann um wenn ich sie multipliziere n zu erhalten die packe ich in eine Menge okay Primzahlen haben die Eigenschaft dass das eigentlich gar nicht geht also eigentlich in dem Sinne die einzige Möglichkeit eine Primzahl als Produkt zu schreiben ist dass eine Eins ist und der andere die Zahl selbst das heißt da kommen immer nur genau die beiden raus und deswegen ist bei Primzahlen die Menge zwei elementig bei allen anderen Zahlen nicht Primzahlen kann ich noch mal anders zerlegen deswegen kriegen sie mehr Fakt mehr Produkte die sie da bilden so hier ein Beispiel dafür ob das n hilfreich ist ja ist total exakt aber ob man das braucht ein bisschen also drei Möglichkeiten haben sie hier gesehen um die Menge der Primzahlen aufzuschreiben eine Punkt Punk Punkt Variante eine ein bisschen verbalisierte und eine wo man alles auffährt ja um das da zu machen sie müssen natürlich aber auch bedenken exaktit ist das eine Verständlichkeit was meine Intention darstellt das andere das hängt davon ab in welchem Kontext sie wie exakt für wen sein wollen schästrich müssen eine andere Menge a b c d e f g es geht weiter pun XY Z also hier pun pun Punkt nur das irgendwann Schluss sein soll ach das sind so alle klein Buchstaben bis ja von Anfang bis Ende A bis Z irendjemand hat mal gesagt das sind 26 Buchstaben ohne Umlaut und alle ist wunderbar endlich viele was kann ich noch machen die Menge aller Buchstabenketten der Länge fünf also Worte der Länge fünf so die den stehen alle Fünfer Längen wie viel gibt&#39;s denn für das erste Zeichen 26 für das zweite auch das dritte auch und so weiter 26 x 26 f mal also 26 hoch 5 Taschenrechner gezückt und Sie bekommen raus es sind 11 Millionen a und so weiter Elemente also knapp 12 Millionen das könnte man alles aufschreiben aber nicht mal als Strafarbeit wird das irgendwie durchgehen ne das ist schon kurz vor Folter also es ist auf jeden Fall unbequem das aufzulisten das sollte man vielleicht nicht machen Punkt Punkt Punkt oder andere Möglichkeiten sollte man da haben also nicht alles was endlich ist sollte man aufschreiben oder anders gesagt wenn die Menge irgendwann so groß wird das langsam Fragen will ich das auch schreiben und das in Haus vorkommt ähm machen sie es anders das will ich eigentlich nicht von ihnen da muss es was schöneres geben also z.B was könnte schöner sein eine Menge mittels der sie definierenden Eigenschaft aufzuschreiben also z.B die Menge aller geraden Zahlen ist a ist GLE ein N aus den ganzen Zahlen Z mit der Eigenschaft n ist durch 2 teilbar ja so habe ich das aufgeschrieben na klar gerade Zahlen durch zwei teilbar irgendwie verschoben worden aber nur als Beispiel für etwas wie man das aufschreiben kann statt durch zwei teilbar können natürlich auch ein viel viel komplexere oder andersartigere Eigenschaft aufgeschrieben worden sein was haben wir da hinten geschrieben wir haben also nach dem mit der Eigenschaft diesem senkrechten Strich haben wir etwas was wir schon kennen aufgeschrieben es ist nämlich eine Aussageform ja aussagenblock eine ein Satz mit einer Variablen x als Lehrstelle im Beispiel eben war hieß die Variable n n ist durch zwe teilbar war n der Platzhalter ich sollte was einsetzen und ich benutze diese Aussageform als Filter in dem Sinne ich nehme alle Elemente wenn ich die einsetze die müssen beim Einsetzen den Wahrheitswert W also wergeben alles was beim Filtern da übrig bleibt pack ich die Menge ja und die den wheitswert F ergeben die sind halt nicht in der Menge also ist ein filterungsprozess auch wieder nur vorgestellt wenn ich die ganzen Zahlen Filter das wird unendlich lange dauern geht also nicht also rein als Gedankenexperiment würde ich alle ganzen Zahlen Filtern ob sie die Eigenschaft bin durch zwei teilbar erfüllen oder nicht ja also wenn ich irgendwo vereinbart habe dass E von X die Aussageform ist X ist eine gerade Zahl über dem Universum Z ganze Zahl dann kann ich die obere Aussage also die obere Menge komplett kurz schreiben als Menge aller x aus z mit der Eigenschaft e von X das ist ser kompakt das kennen sie im Prinzip schon das kennen sie ewigen Zeiten irgendwo aus der sesten SB aten klasse da hatten sie aussageformen ja die Lagen vielleicht so aus x² - 3x + 2 ull wenn sie so etwas sehen und den dringenden Zwang verspüren das irgendwie nach Nullstellen auszurechnen hat Schule da vollständig ihre Wirkung getan dann haben sie mich folgenden drang sie müssen immer die Menge aller x aus den ganzen Zahlen oder sonst wie welchen Zahlen noch immer Mengen was da gerade sie so interessiert nehmen mit der Eigenschaft dass das da gilt man nennt das typischerweise eine Nullstelle ja also da muss etwas Null ergeben Menge Null stellen sollten s mal aufschreiben Menge aller XE für mit dieser Eigenschaft da oben überzeugen sich davon wenn ich da eine ein einsetze er giibt das Null Beier 2 auch ja eine Parabel Parabel hat maximal zwei Nullstellen also mehr wohl nicht vorbeik die Menge aller Nullstellen so so das typische was man da macht also die Menge aller Nullstellen hat man die immer abverlangt früher aufzuschreiben damit auch klar ist insbesondere dass 3 keine Nullstelle ist 3 kommt in dieser Menge nicht nicht vor das ist der wesentliche Zweck man sieht insbesondere was keine Nullstelle ist ja das sie auch damit ausdrücken wollen ja 1 und 2 sind Nullstellen das eine aber dass da auch Schluss ist dass die anderen Zahlen es nicht sind das ist das andere was sie mit dieser Darstellung kommunizieren können Zahlenmengen wir hatten schon einige Zahlen ganze Zahlen hab wir eben benutzt natürliche Zahlen mit der Null noch mal rationale Zahlen alle Brüche m durch n m ist eine ganze Zahl trägt also das Vorzeichen n dagegen ist eine natürliche Zahl wir brauchen nicht zweimal das Vorzeichen also sparen wir uns das ein N sollte auch nicht durch also n sollte nicht Null sein sie wissen durch Null Teilen hat so seine Probleme also nicht nur dass der Taschenrechner der Streik es geht nicht also man kann das nicht vernünftig definieren nicht unfallfrei definieren das geht so weiter reelle Zahlen R wenn man aus den reellen Zahlen etwas rausnimmt also dieser Strich es heißt ohne die Menge der reellen Zahlen ohne die rationalen Zahlen das sind irrationalen Zahlen Wurzel 2 so der erste Vertreter der zu Schulzeiten über den Weg läuft und dann gibt die komplexen Zahlen und die sind alle schön ineinander geschachtelt n ist eine Teilmenge von Z das von Q das von R das von C ja kleiner Vorgriff dieses Zeichen werden wir erst im nächsten Abschnitt einführen aber die sind alle jede natürliche Zahl ist eine ganze jede ganze ist ein Bruch jede Bruchzahl ist eine reelle Zahl je reelle Zahl ist eine komplexe Zahl so sind die aneinander gestaffelt ja was dieses umgekippte er irgendwie bedeutet Teilmenge oder gleich das kriegen wir auch ganz formal und bei zahlen auch wenn sie es noch nicht gewusst haben gelten Rechenregeln vielleicht kannten sie die Namen nicht oder haben Sie schon wieder vergessen Rechenregeln für die rationalen reellen Zahlen auch die komplexen Zahlen sind asoziativität also wie Sie bei einer Summe Klammern links oder rechts ist egal X + 0 + 0 0 ist neutrales Element da kommt nichts zu zu zahlen also zu jeder Zahl gibt es eine x Zahl wenn sie x und - x zusammen addieren kommt 0 raus das - x nennt sich inverselement also für den Mathematiker gibt es eigentlich keine Subtraktion das ist auch so ein hässlicher nichtasoziativer Operator und so weiter nicht komm alles ganz ganz aber addieren mit dem inversen - x ja dann dann ist die Welt übersichtlich die normale addition auf Zahlen ist kommutativ also X + y in welcher Reihenfolge y + X ging auch kommt das Gleiche raus das gleiche gibt sinngemäß denn noch mal für die Multiplikation wie sie da Klammern ist egal multiplizieren mit 1 verändert nichts ein ist das neutralelement bezüglich der Multiplikation also wenn Sie ein neutrales Element haben müssen Sie immer den Operator zunehmen 0 ist das additivneutrale 1 das multiplikativneutrale Element und auch da gibt es Division kennen wir eigentlich nicht aber wir wissen Zahlen haben ein Inverses x hoch -1 ist das inverse Element und wenn ich x mit seinem inversen multipliziere kommt das neutraleelement 1 raus bei der Multiplikation das ist toll geht für alle Elemente nur für die Null nicht ja null hat kein multiplikatives Inverses das ist die vornehme Formulierung für durch Null teilenes verboten ja weil wir es gewohnt sind ja wir multiplizieren natürlich nicht mit dem inversen sondern eigentlich dividieren wir durch x an der Stelle so gedanklich immer noch W durch ull Teilen geht immer noch nicht ne also x H -1 hat keins hat kein Inverses muss es auch nicht es ist kommutativ und wir dürfen Ausklammern von links ja x mal eine Summe kriegen wir die zwei summanten XY XZ und aderen die dürfen auch von rechts machen ja das sind die ganzen Rechenregeln die wir haben die gleichen Rechenregeln würden übrigens auch für die komplexen Zahlen selbst wenn sie die nicht kennen und ich sage ihn jetzt es gibt da diese komplexen Zahlen mit denen rechnet man so ja dann sagen sie gut nehme ich mal zur Kenntnis müsste ich mich gar nicht umgewöen kleine Notiz am Rande in der Schule irgendwann hatten sie die Bruchzahlen rationalen und dann schlicht der lehrerum die Ecke und sagte es gibt übrigens sagen Sie es nicht weiter es gibt Wurzel Z und das ist keine Bruchzahl alle sagen oh ja dann passiert aber komischerweise gar nichts ja man arbeitet ganz genauso so jetzt haben sie irrationale Zahlen nichts hat sich getan na ja hat sich schon eine Menge getan sie mussten sich nur nicht umgewöhnen warum weil die Rechenregeln für die rationalen und die reellen Zahlen gleich waren wir haben einfach weitergerechnet wie vorher entweder hat ihn keiner gesagt ja dass sie sich umgewöhnen sollen weil es ja klappt oder ma gesagt machen Sie einfach weiter so das ist richtig wir haben gesagt ja ma ich also das ist das schöne wenn Sie eine rechenstruktur haben und sie stellen fest da gilt diese Ansammlung von rechengesetzen sie müssen sich nicht umgewöhnen ja ich könnte jetzt also sagen ich definieren ein lustiges Plus und ein lustiges mal es gelten diese ganzen Gleichung dass dieses Kreuz dieses Pluszeichen bedeutet irgendwas we bestimm nicht Addition und dieser Punkt bedeutet irgendwas aber nicht Multiplikation was ganz abgefahrenes aber man dürfte so rechnen dann wird man wie in der Schule rechnen Terme vereinfachen können Nullstellen suchen was auch immer eine Nullstelle dann wäre könnte man alles machen das was ich da gerade skizziere ist Algebra also einfach das als symbolisches spielen mit Thermen thermeschubsen auch genannt machen das haben sie in der Schule gemacht ja seitenweise haben sie kopapier gefüllt und tererme umgeft umgerechnet also wir haben mal rechnen dazu gesagt eigentlich termumform ja sie hatten diese Rechengesetze haben Terme geschupst wenn sie noch mal kurz über denken welche dieser Regeln gelten für die ganzen Zahlen und welche nicht ja die ganzen Zahlen haben also gewisse Defizite ja welche sind das haben sie was gibt&#39;s dann noch also wo ist ein kleiner Exkurs wir hängen gerade bei speziellen Mengen bei Zahlenmengen wo wir gerade bei Mengen sind reelle Zahlen sind dadurch charakterisiert wenn ich Ihnen zwei gebe gilt genau eine der drei Lagebeziehung die Zahlen so haben können entweder erstens X ist kleiner als y zweiten sie sind gleich gut W auch eine Möglichkeit ich habe die gleiche Zahl zweimal gegeben oder X ist größer als y also eine von beiden ist größer oder sie sind gleich anders formuliert zwei verschiedene Zahlen XY eine von beiden die größere das klingt jetzt trivial aber ist es nicht denn für die komplexen Zahlen mit denen ich ja genauso rechnen kann würde es nicht mehr gelten da haben wir das nicht das dazu was haben wir denn noch wir brauchen manchmal akut aber gut schon mal zu haben Intervalle in den reellen Zahlen gibt&#39;s Intervalle gibt&#39;s mit eckigen und runden Klammern mit eckigen Klammern das Intervall zwischen a und B mit Ecken Klammern heißt es A und B dürfen mitspielen also alle re Zahlen x mit der Eigenschaft X ist größer = a und kleiner g=ich B sind die Klammern rund heißt es echt größer und echt kleiner Grenzen Spiel nicht mit gibt&#39;s natürlich auch noch gemischt ja das halboffene Intervall a darf nicht mitspielen also X ist echt größer als a und kleiner gleich B gibt es auch und rechts sei ich natürlich auch dann gibt&#39;s noch Bezeichnung eckige Klammer also wenn A und B die Grenzen dabei sind heißt dass das ein abgeschlossenes Intervall manchmal auch kompaktes Intervall und ohne die Grenzen ab heißt Intervall offenes Intervall und so ein Intervall hat eine gewisse Länge und da ist eigentlich egal bei den reellen Zahlen ja so dicht beieinander das ist egal ob die Grenzen dabei sind für die Länge also ob s wie wie wie lang ist das Intervall zwischen A b egal ob die Grenzen dabei sind oder nicht definieren erstmal so dass die Länge per Definition einfach B- a ist den B ist ja die größere Zahl wenn ich so ein Intervall aufschreibe ja WN das ist B- a das heißt das Intervall von 1 bis 7 hat gerade die länge 6 1,3 bis 6,5 machen kann rechnen Kopf was gibt noch uneigentlich Intervalle sie können natürlich das Intervall von A bis endlich gewissermaßen machen und zu sagen okay undendlich gehört natürlich nicht dazu deswegen da rechts die runde Klammer halbofen ähm dann soll x nur größer gleich a sein wir können natürlich x x echt größer als a machen D haben sie a ausschließlich und unendlich ne bis unendlich aber auch ausschließlich das können s natürlich auch linksseitig machen mit minus unendlich alle Zahlen bis an B ran inklusiv oder exklusiv halbofene Intervalle uneigentlich geht auch so und jetzt ist so ein bisschen die Frage das nur mal so als Anriss ohne es zu vertiefen wie hängen denn die rationalen Zahlen also die buchzahlen mit den reellen Zahlen zusammen die reellen Zahlen wo mindestens die wurzelzahlen sonstige komische Zahlen dazu gekommen sind also es liegt nicht daran dass es bei reellen Zahlen dass die da irgendwie mehr werden in gewissen Sinne also dieser Satz sagt ihn es gibt schon unendlich viele ganz dicht Pakte rationale Zahlen die rationalen Zahlen liegen dicht in R was meinen wir damit zwischen zwei reellen Zahlen liegt immer eine rationale das heißt es nicht so dass es da irgendwie so so körnigkeiten gibt also zwischen zwei rationalen Zahlen dass da irgendwie Luft wäre und diese Luft mit reellen Zahlen gefüllt wird es gibt in den reellen Zahlen keine Luft aber in rationalen auch nicht also die liegen da schon total dicht und obwohl kein Platz eigentlich mehr zwischen rationalen Zahlen ist passen noch die reellen Zahlen wieder neu dazwischen muss man sich nicht vorstellen können aber so ist es konzipiert und gemacht D fragt man sich was ist jetzt der Unterschied zwischen rationalen irrationalen kann man das irgendwie fassen ein bisschen unterbefriedigend festzustellen ja Wurzel 2 und Wurzel 3 und noch so paar Beispiele fertig denn die reellen Zahlen s dadurch charakterisiert wenn ich so Intervalle bilde ich habe erst das Intervall i0 und das ist ein oberintervall also ich mach jetzt kleiner ich nehme ein Intervall das er komplett drin ist i1 und neh noch Intervall was da komplett drin i2 das n sich Intervallschachtelung immer Intervalle die ineinander diese kleinen russischen Püppchen Russian dos so ineinander gestartelt werden immer kleinere Intervalle und das mache ich gedanklich Punkt Punkt Punkt also bis in alle Ewigkeit und zwar so dass das immer kleiner wird dass das im Grenzwert gegen Unendlich also limis grenzwertigst gegen die Breite Null strebt also die intervallschach also a eine die immer ineinander gestapelt wird und von der Größenordnung gegen Null strebt und die Aussage ist eine intervallschachtlung in den reellen Zahlen charakterisiert genau dann eine reelle Zahl also sie machen unendlich lange immer was kleiner strebt gegen Null ja das charakterisiert genau eine reelle Zahl das können sie machen auch in den rationalen Zahlen aber dann ist da halt nichts übrig geblieben ja wenn Sie das nälich so machen würden dass da Wurzel 2 übrig bliebe das können Sie in den rationalen Zahlen nicht darstellen das ist etwas wenn sie so Zahlentheorie ma dann ja dann haben sie solche Gedanken wir beenden das mal kurz an dieser Stelle und kommen wieder zum grundlegenden zurück nämlich wir haben jetzt Mengen nicht nur eine S vielleicht zwei jetzt fragen uns mal elementare Dinge wann ist denn eine Menge gleich einer anderen Menge und wir haben nur eine einzige Frage die wir in der Menge stellen können nämlich die mit Hilfe des Operators enthalten sein ja das der einzige Operator die einzige Frage die ich ein der Menge stellen kann s mal ist ein Element bei dir drin ja oder nein und das benutzen wir jetzt wir definieren dass zwei Mengen A und B gleich sein sollen das Notieren wir wie wir es immer notiert haben a = b für Mengen gilt auch für Zahlen dieses gleich ne ist schwer Laden jetzt für Mengen nehmen wir das gleiche Zeichen a = b und das soll genau dann gelten wenn jedes Element das in a drin ist dass das auch ein Element von B ist und andersum ja also Langform für jedes x das in a drin ist gilt auch das x in B drin ist und für jedes y das in B drin ist gilt auch dass y a drin ist ja hätte ich dies y ich auch wieder x nennen können einfach nur um das ein bisschen besser auseinanderhten zu können also jedes Element was im einen drin ist ist auch im anderen drin und umgekehrt und wenn das nicht gilt wenn Sie also nicht gleich sind notiert man das als ungleich B wunderbar wann sind also zwei Mengen ungleich a ist ungleich B na ja dann muss ein Element a existieren dass dieses Element in der Menge a drin ist aber nicht in B oder andersherum es muss irgendein Element in der Menge B geben das nicht in a ist kann auch beides sein also das oder ist nicht ausschließlich aber ein Element muss im einem drin sein im anderen aber nicht wenn das nicht gelten würde wären sie ja gleich wenn wir un diese Definition angucken ja bevor wir die Definition gesetzt haben war noch vieles möglich aber jetzt ist es halt so Definition 21 die sagt uns egal was eine Menge wirklich ist unter der Haube wir in der Implementation wie sich das sonst vorstellen [Musik] ähm für uns bei der gleichheitsdefinition haben wir gesagt bei Mengen gibt es keine Reihenfolge warum na ja weil in der Definition 21 ist von Reihenfolge nicht die Rede sondern es wird für alle XE und für alle y gesprochen ja die sind nicht in der sequenzreihung oder so das heißt eine Reihenfolge kommt da als Konzept nicht vor die nächste Frage ist wir könnten drüber philosophieren kann ein Objekt in einer Menge ist ja nur Zusammenfassung kann ich ein Objekt auch zweimal oder dreimal in der Menge haben m keine Ahnung ja keine Ahnung in dem Sinne ich kriege es nicht raus denn ich kann ja was kann ich bei Mengen nur fragen ich kann Fragen mit dem Operator enthalten sein ist das Element drin der sagt aber nur Ja Nein und nicht wie oft okay also so kriegen wir schon nicht raus genauso zwei Mengen also angenommen wir hätten zwei Mengen beide enthalten das Element A die eine Menge fünf Mal und die andere Menge acht Mal ja sind die dann gleich ja weil wir nur Fragen ist es im einem drin und im anderen auch und bei beiden lautet die Antwort gleich in diesem Fall gleichermaßen ja das heißt selbst wenn es wiederholungsanzahlen von Elementen gäbe dann würde es keine Rolle spielen für die Gleichheit von Meng ja selbst wenn es eine Reihenfolge gebe das fragt der gleichheitsoperator auch nicht angenommen sie hätten irgendwie so ein Behälter in dem es Fächer gebe und es gibt eine ein erstes und zweites Element danach das kriegen sie auch nicht raus sie können nur Fragen bist du drin sie können ja auch nur testen bist du gleich ein anderen Menge da spielt die Reihenfolge keine Rolle ja also etwas anderes als eine Sequenz und mehrfheiten sind auch nicht das können Sie alles rückwärts schließen durch die epte die sie bislang haben dass beim Mengen das offenbar keine Rolle spielt und das wollen wir auch so ja also wir haben nicht irgendwie die Definition gesagt und sagen huch da gibt&#39;s ja gar keine Wiederholung oh sondern natürlich hat sich diese Definition so bewrt man will diese Konsequenzen haben wenn sie eine Menge haben wollten mit Wiederholung na gut dann müssen sie neuen Begriff erfinden nennen sie das irgendwie neue hugomenge ja und und da müssen sie das alles so richtig stricken dass das mit Wiederholung möglich ist das kann man alles machen gibt&#39;s auch hat auch ein Namen brauchen wir jetzt gerade nicht aber könnte man auch machen haben wir nicht gemacht Mengen sind halt eben so wie sie sind und das ist gut so aber wir sollten uns klar machen wie sie sind ja so und nicht anders und am besten erfährt man wie etwas ist indem man sich auch klar macht wie es nicht ist natürlich braucht man mal ein Beispiel dafür aber viel spannender für sie könen Sie sich mal merken als Arbeitstechnik ist es sich zu merken ein Beispiel aufzuschreiben was irgendwie sagt ja was wäre denn das Ding XY nicht mehr also was ist keine Menge mehr ja oder was kriege ich da nicht mehr raus was geht da nicht das also viel spannender zu auszuloten wo sind da die Grenzen ja wann wann ist es nicht mehr das das können Sie sich immer mal paar Beispiele wenn sie Definition haben machen sie sich Beispiele versuchen sie auch wenn das anwendbar ist diese Fragestellung auch das Beispiel dagegen auch klar eine Feststellung die wir jetzt treffen sollten ist wenn ich zwei Mengen ab habe und die sind wie ich das ja machen kann mit Aussageform also durch Filterbedingung zustande gekommen eine Filterbedingung e eine Filterbedingung e strich über dem gleichen Universum dann kommen ja die Mengen raus a ist die Menge aller x aus dem Universum mit der Eigenschaft e von x und B ist die Menge aller x wieder das gleiche Universum u wieder u aber mit der Eigenschaft i Strich von X ja wann sind diese beiden Mengen gleich genau dann wenn diese Filterbedingung logisch zueinander equivalent sind also wenn für alle x gilt e von X ist logischquivalenz für alle x gilt e von X also für jedes a die weitwert übereinstimmen das müsste gelten an dieser Stelle den Beweis ja also er ist ein bisschen länger als Punkt Punkt Punkt aber den könnten sie mal doch als Hausarbeit mal für sich im Stillen kämerlein versuchen fahren wir fort was können wir noch machen das nächste Konzept wir können zu einer Menge eine neue Menge bauen die komplementäre Menge denn nehmen mal an wir haben wie bisher mit Hilfe der Aussageform e von X Elemente einer Grundmenge gefiltert ja wir nehmen aus dem Universum diejenigen raus die passen also m ist die Menge aller XE aus dem Universum u mit Eigenschaft e von x und bei so einer Aussageform was kann ich da machen ich kann sie logisch negieren und dann bekomme ich das Komplement ja also das Komplement einer Menge sind diejenigen Elemente die die negierte aussagenform erfüllen also die gerade die obige Eigenschaft e von X gerade nicht besitzen und um das auszudrücken dafür gibt&#39;s noch dann Operator ich mache einfach über das M so ein Querstrich und sag das ist jetzt das Komplement von M dieser Querstrich da drüber Menge aller XE die die Eigenschaft e gerade nicht haben Definition dazu wenn e von X eine Aussageform über dem Universum ist dann heißen diese beiden Mengen m und m quer oder m Komplement die gebildet werden durch die Aussage von E für m und m Komplement wird gebildet durch nicht e diese beiden Mengen heißen komplementär zueinander sie sind also durch eine Aussageform und ihre Negation entstanden m quer als komplementärmenge oder das Komplement von m in U ja ich muss ja noch wissen welches Universum was kann ich damit machen also das erste was ich feststellen kann ist ich kann jetzt was aus meinem gedächtniskram ich weiß nämlich doppelte Negation hebt sich auf das hatten wir schon mal also für jede Formel besondere auch für e von X gilt es ist logisch eququivalent zu nicht nicht e von x und daraus folgt jetzt wenn ich das durchrechne dass die komplementärmenge der komplementärmenge also m m von M das ist ja das Komplement von dem Strich zweimal komplementiert ergibt wieder m selbst kann ich nachrechnen m Doppel Strich ist ja die Menge aller XE die etwas negiert haben nämlich die Eigenschaft die m Strich definiert m Strich ist definiert durch nicht e also ist das Ganze definiert durch nicht nicht e so und jetzt nicht nicht e ich kann das durch was logisch equivalentes ersetzen wir hatten das zwei Mengen die durch zwei Aussagen die logisch equivalent zinander sind ersetzt werden wunderbar kann ich ersetzen also nicht nicht e darf ich gefahrlos durch einfach das equivalente e was viel einfacher ist ersetzen und bekommen dann alle XE aus u die e erfüllen das ist m also das Komplement des komplementes ist wieder die Menge selbst Beispiel für Komplement wenn ich also ganze Zahlen x habe mit der Eigenschaft X ist gerade davon das komplementri ich alle die nicht gerade sind um nicht zu sagen alle ganzen Zahlen die ungerade sind also mehr als das Universum kann es ja nicht sein das sind immer noch ganze Zahlen allerdings nicht gerade ungerade genauso natürliche Zahlen die eine Primzahl sind das Komplement dieser Menge sind alle nicht zahlen also alle zusammengesetzten natürlichen Zahlen und alle natürlichen Zahlen mit der Eigenschaft s sind echt größer als fünf davon das Komplement na ja welche bleiben da übrig 0 1 2 3 4 5 alle die näich nicht größer sind um nicht zu sagen kleiner gleich F alle natürlichen das Beispiel hierzu jetzt gibt es eine sehr spezielle Menge hatten wir auch schon benutzt wir hatten no das Zeichen schon gesehen für die leere Menge wir können das jetzt mal auf Umwegen herleiten D sehen Sie auch gleich ja wie man mathematisch manche Sachen die eigentlich klar sind noch mal auf dem sauberes Fundament stellt wir nehmen also wieder eine Aussageform be der Grundmenge u die soll für alle Elemente u wahr sein also eine schöne Tautologie was nehmen wir da x= x das ist immer richtig gut jetzt kann ich folgendes machen ich nehme das Universum ja das kommt natürlich raus wenn ich sag nimm alle x die den Filter der immer war ergibt ja bestehen also ich Filter mit X = x alle x bestehen diesem Test deswegen alle XE bleiben übrig ich kriege also wieder das gesamte Universum gut also sehr umständliche Methode sich das Universum noch mal aufzuschreiben wenn ich hinten in der Eigenschaft eine Tautologie hinschreibe super wenn ich jetzt diese Eigenschaft negiere bekomme ich doch das Komplement also das Komplement des Universums bekomme ich wenn ich sag nimm alle XE für die ja unmögliches gilt x ungleich x ja kann gar nicht sein also es gilt nie kein einziges Element besteht diesen Test deswegen enthält Komplement von kein einziges Element und dann das muss man nicht klar machen das ist total in Ordnung dass wir das so gemacht haben wir haben gedanklich nur schöne Schritte gemacht alles korrekt alleso definiert das heißt wir dürfen alles so machen u Querstrich ist eine wohl konstruierte korrekt definierte Menge und diese so konstruierte Menge kann auch anders sein aber so haben wir es hingekriegt das Komplement des Universums nennen wir jetzt leere Menge im Universum u und bezeichnen wir mit diesem Kreis der durchgestrichen ist leere Menge im Universum u das U machen wir klein da dran als Skipt weil wir das ganze jah mit Aussageform gemacht und haben und an dieser Aussageform hängt immer ein Universum dran das heißt das ist getypt irgendwie die leere Menge für dieses Universum u das jetzt anders als sie das vielleicht kennen und sie kennen eigentlich die leere Menge Ende ohne jetzt gucken wir mal wir stellen also fest nach unserer bisherigen Konstruktion haben wir festgestellt die leere Menge ist abhängig vom Universum u äh und dann stellen wir fest ja das können wir uns aber eigentlich sparen denn wir können uns überlegen die leere Menge im Universum m und die leere Menge im Universum n die sind gleich also zwei leere Mengen sind gleich egal wie die Universen lautet warum ist das so ja das müssen wir strengenommen beweisen wir haben es irgendwie vielleicht so komisch irgendwie definiert dass man das was offensichtlich scheint noch jetzt beweisen was müssen wir da beweisen okay wir müssen nicht kreativ werden wir müssen do nicht sagen das ist doch klar oder Nein vergessen Sie jegliche Intuition wir machen es einfach so wie es steht wie ist Gleichheit von Mengen definiert wir müssen zwei Dinge zeigen jedes Element der einen Menge gehört zu anderen erstens und jedes Element umgekehrt der zweiten Menge gehört zu erstens also erstens und zweitens steht auch noch mal schön Logik da für alle Elemente a die mit der Eigenschaft a ist Element der leernmenge M impliziert das A ist auch Element der lernmenge von N und zweitens genau andersrum und das müssen wir beweisen ja müssen wir beweisen geht aber zum Glück ganz einfach warum wenn uns die Formel angucken wir müssen ja eine wenn dann Aussage beweisen also für jedes a das in der leerenmenge von M ist das ist die Prämisse dieser Implikation ja die leere Menge von M enthält ja gar kein Element okay das ist schön denn jedes Element a was ich jetzt mir angucken kann wird an dieser Stelle falsch ergeben die präiss ist immer falsch und das ist eine total angenehme entspannte Situation denn wir wissen schon eine Implikation deren Prämisse bereits falsch ist dann ist die Implikation wahr muss ich gar nicht mehr bei der Konklusion nachschauen das ist wahr okay also das gilt diese Implikation gilt für jedes Element a ganz analog für die zweite Implikation tauschen sie m und n aus und genau das gilt okay also beide Implikationen konnten wir beweisen an dieser Stelle ja ohne uns Gedanken drüber zu machen was wir da eigentlich tun konnten wir beweisen dass zwei leere Mengen für beliebige grundmengen n n gleich sind okay wenn für beliebige grundmengen gleich sind sagen wir okay dann macht es auch keinen Unterschied mehr wir müssen diese beiden leerenmengen ja gar nicht unterscheiden sind ja doch gleich ja es gibt nichts was ich an ihnen merken könnte was ununter was sie unterschiedlich machen werden vielleicht sind sie anders ja das eine keine Ahnung hat noch Haare und das andere nicht ich weiß es nicht ich kann es mit Gleichheit nicht herausfinden es gibt also nur diese eine leere Menge und dafür machen wir ein Kasten die Menge die kein Element enthält vöig abhängig vom Universum nennen wir leere Menge und bezeichnen sie mit Querstrich Kreis das das Symbol für die leere Menge völlig unabhängig von der Grundmenge ist das ein universelles Konstrukt sie ist eindeutig unabhängig vom univers jo weil das so eine total sinnvolle Datenstruktur ist ja die man gerne hätte mathematisch nette Eigenschaften hat gibt sie auch in Java also wenn sie da mal nachschlagen werden Sie feststellen es gab da mal ein Java util irgendwie seiner Zeit ewigen Zeiten Collection classes und Set war da auch dabei und es gab verschiedene Implementierung konnten ein HashSet haben ein treet ein linked HashSet und so weiter verschiedene Implementierung dieses Interfaces das hat auch schon wieder ein bisschen geändert aber prinzipiell die Idee war z wäre doch eine total duftige Datenstruktur und was für Schnittstellen erwarten Sie da sie können z.B so programmieren sie können sagen ich hätte gerne ein Set von Strings und es soll ein Hash Set sein okay und Sie können jetzt sagen okay be booen können Sie definieren fragen sich ist S1 dieses neue HashSet empty ist das die leere Menge ja ist gerade frisch initialisiert vermutlich ja das nächste contained contained S1 das Element a ist a da drin ne vermutlich nicht wenn es leer ist m wir können es hinzufügen S1 a wir vereinigen damit wir könnst auch wieder removen ja machen wir bestimmt nichts falsch war eben drin jetzt wieder raus wir können iterieren also jedes Element das ist genauso wie die Menge aller mit der Eigenschaft SAS Iterator die nächste Frage ist teilmengenbeziehung hat wir no nicht aber ist die Frage ob S1 alle Elemente von S2 enthält also ist S2 ein Teil von S wir können auch S1 ja Elemente hinzufügen nämlich alle Elemente von S2 oder wir können alle Elemente von S2 entfernen und so weiter wir können noch ein Durchschnitt kommt alles wir können es auch wieder clearen ja wie Set D wieder le solche Sachen kann man damit machen also die ganzen normalen Mengen Operation apropos Operationen apropos Beziehung also teilmengenbeziehung hatten wir irgendwie noch nicht kommt dann in Teil 2

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