Limiti Notevoli

Introduzione ai Limiti Notevoli

• I limiti notevoli sono forme indeterminate classiche e ricorrenti.
• Imparare i risultati consente di risolvere molti altri limiti.

Limiti Fondamentali

1. Limite di seno

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata: 0/0.

2. Limite esponenziale

   [ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e ]

   • Forma indeterminata: 1^infinito.
   • Valore di e (numero di Nepero): circa 2,718.

Limiti Conseguenti

• Fatti derivare da quelli fondamentali:
  1. Limite della tangente:
     [ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 ]
     • Rappresenta una forma indeterminata 0/0.
  2. Limite del coseno:
     [ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} ]
     • Forma indeterminata 0/0; si ottiene tramite manipolazione.

Applicazione dei Limiti

Esempio 1

• Calcolare:
  [ \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin(x) + 4x}{x \cos(x) + 2 \sin(x)} ]
  • Forma indeterminata 0/0;
  • Dopo manipolazione, il limite risulta essere 2._

Esempio 2

• Calcolare:
  [ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos(x)} - \cos^2(x)}{2x^2} ]
  • Forma indeterminata 0/0;
  • Risultato finale: ( \frac{1}{2} )._

Altri Limiti Importanti

1. Limite del logaritmo naturale:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 ]

2. Limite esponenziale:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1 ]

3. Limiti derivati:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x} = \ln(a) ]

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\log_{a}(1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln(a)} ]_

Conclusione

• Importanza di memorizzare i limiti notevoli e le loro conseguenze.
• Prossimo video: esercizi avanzati sui limiti notevoli.