Appunti sulla lezione di Funzioni

Introduzione

• Benvenuto nel canale e introduzione al tema della lezione: il concetto di funzione in analisi matematica.

Definizione di Funzione

• Funzione: associa ogni elemento di un insieme (dominio) a uno e un solo elemento di un altro insieme (codominio).
• Indichiamo i due insiemi numerici come ( H ) (dominio) e ( Y ) (codominio).
• Scriviamo la funzione come ( f: H \rightarrow Y ).

Esempio di funzione

• Esempio di funzione: ( f(x) = x^2 - 2 )
  • Se ( x = 0 ), ( f(0) = 0^2 - 2 = -2 )
  • Se ( x = 1 ), ( f(1) = 1^2 - 2 = -1 )
  • Se ( x = -2 ), ( f(-2) = (-2)^2 - 2 = 2 )

Proprietà di Funzioni

1. Unicità dell'immagine

• Un valore di ( x ) nel dominio può corrispondere a un solo valore di ( y ).
• È possibile che più valori di ( x ) corrispondano allo stesso valore di ( y ).

2. Dominio della funzione

• Dominio: insieme di tutti i valori per cui la funzione è definita.
• Esempio: ( f(x) = \frac{x + 1}{x} )
  • Non è definita per ( x = 0 ) (divisione per zero).
  • Dominio: ( x \in \mathbb{R} \setminus {0} ).

3. Immagine della funzione

• L'immagine è l'insieme di tutti i valori che la funzione può assumere.
• Non sempre coincide con tutto il codominio ( Y ).

Tipi di Funzioni

1. Funzioni Iniettive

• Una funzione è iniettiva se valori distinti nel dominio corrispondono a valori distinti nel codominio.
• Esempio: ( f(x) = x + 1 ) è iniettiva.

2. Funzioni Soggettive

• Una funzione è soggettiva se ogni valore del codominio è immagine di almeno un valore del dominio.
• Esempio: Se consideriamo ( f(x) = x^2 ) con ( Y = \mathbb{R} ), non è soggettiva.

3. Funzioni Biunivoche

• Se una funzione è sia iniettiva che soggettiva, è biunivoca (o obiettiva).

Esempi di Funzioni

• Funzione ( f(x) = x^2 )

  • Non è iniettiva (poiché ( 1^2 = (-1)^2 )).
  • Non è soggettiva nel dominio di ( \mathbb{R} ) (non copre valori negativi).

• Funzione ( f(x) = x^2 ) limitata a ( [0, +\infty) )

  • Questa è iniettiva, ma non soggettiva se considerata su ( \mathbb{R} ).](streamdown:incomplete-link)

4. Conclusione

• Importanza di comprendere i concetti di iniettività e soggettività per analizzare le funzioni.
• Appuntamento per future lezioni su funzioni crescenti, monotone e calcolo dell'insieme di definizione.