Poznámky k přednášce o geometrické posloupnosti

1. Úvod do geometrické posloupnosti

• Geometrická posloupnost se liší od aritmetické.
• Následující člen (An+1) se získává vynásobením předchozího členu (An) kvocientem (q).

2. Příklady geometrické posloupnosti

• Příklad:
  • A1 = 1, q = 2
  • A2 = 1 x 2 = 2
  • A3 = 2 x 2 = 4
  • A4 = 4 x 2 = 8
  • A5 = 8 x 2 = 16

3. Vztahy mezi členy

• Třetí člen je možné vypočítat jako:
  • A3 = A1 x q^2
  • A10 = A1 x q^9
• Obecný vztah: An = A1 x q^(n-1)

4. Poznávání geometrické posloupnosti

• Kvocient (q) musí být stejný mezi libovolnými dvěma členy.
• Pro ověření geometrické posloupnosti lze vypočítat:
  • q = An+1 / An

5. Součet členů geometrické posloupnosti

5.1 Součet prvních n členů

• Vzorec pro součet prvních n členů:
  • S_n = A1 x (1 - q^n) / (1 - q)

5.2 Příklad výpočtu součtu

• A1 = 2, q = 3, n = 5
• Výpočet součtu:
  • S_n = 2 x (1 - 3^5) / (1 - 3)
  • S_n = 2 x (1 - 243) / (-2) = 2 x (-242) / (-2) = 242

6. Nekonečný součet

• Nekonečný součet existuje, pokud |q| < 1.
• Vzorec pro nekonečný součet:
  • S = A1 / (1 - q)
• Příklad s A1 = 1/2, q = 1/2:
  • S = (1/2) / (1 - 1/2) = 1

7. Situace s vyšším q

• Pokud |q| ≥ 1:
  • Součet prvních n členů existuje, ale nekonečný součet neexistuje.
• Příklad s kladným q:
  • A1 = 2, q = 2
  • Součet nekonečných členů → nekonečno.

8. Shrnutí

• Geometrická posloupnost: následující člen se získává vynásobením předchozího člen kvocientem.
• Součet prvních n členů a nekonečný součet existují za určitých podmínek.
• V příštím videu se budou řešit příklady.