Mathematik - Einsetzungsverfahren bei linearen Gleichungssystemen

Einführung

• Das Einsetzungsverfahren wird oft als am einfachsten empfunden.
• Ziel: Schnittpunkt zweier linearer Funktionen herausfinden.

Beispiel 1

Gleichungen:

1. 6x + 4y = 4
2. y = 5 - 2x

Schritte zur Lösung:

1. y in die erste Gleichung einsetzen:

• 6x + 4(5 - 2x) = 4

2. Klammern auflösen und zusammenfassen:

• 6x + 20 - 8x = 4
  • -2x + 20 = 4

3. Vereinfachen und lösen:

• -2x = -16
  • x = 8

4. x in die zweite Gleichung einsetzen:

• y = 5 - 2(8)
  • y = -11

Schnittpunkt:

• (8, -11)

Beispiel 2

Gleichungen:

1. 2x + 3y = 27
2. y = 4 + x

Schritte zur Lösung:

1. y in die erste Gleichung einsetzen:

• 2x + 3(4 + x) = 27

2. Klammern auflösen und zusammenfassen:

• 2x + 12 + 3x = 27
  • 5x + 12 = 27

3. Vereinfachen und lösen:

• 5x = 15
  • x = 3

4. x in die zweite Gleichung einsetzen:

• y = 4 + 3
  • y = 7

Schnittpunkt:

• (3, 7)

Beispiel 3 (Komplexer)

Gleichungen:

1. 2x + 4y = 18
2. 4x + 6y = 12

Schritte zur Lösung:

1. Erste Gleichung durch 2 teilen:

• x + 2y = 9

2. x ausdrücken und in die zweite Gleichung einsetzen:

• x = 9 - 2y
  • 4(9 - 2y) + 6y = 12

3. Klammern auflösen und zusammenfassen:

• 36 - 8y + 6y = 12
  • 36 - 2y = 12

4. Vereinfachen und lösen:

• -2y = -24
  • y = 12

5. y in die Gleichung für x einsetzen:

• x = 9 - 2(12)
  • x = -15

Schnittpunkt:

• (-15, 12)

Zusammenfassung

• Das Einsetzungsverfahren ist hilfreich, wenn eine Variable leicht in die andere Gleichung eingesetzt werden kann.
• Wichtig: Verschiedene Verfahren wählen je nach Gleichungssystem (Einsetzungsverfahren, Additionsverfahren, Gleichsetzungsverfahren).

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