W tym nagraniu wideo chciałbym omówić pułapki, jakie czyhają na nas podczas pierwiastkowania. Pokażemy sobie, jak je dostrzegać i jak sobie z nimi radzić. Zacznijmy może od takich najprostszych rzeczy, mianowicie od definicji pierwiastka.
Tak jak nas uczą pierwiastkowania w szkole podstawowej, to zazwyczaj mówią nam tak. Jeżeli chcesz obliczyć pierwiastek z jakiejś liczby, dajmy dla przykładu pierwiastek z 9, to szukasz... takiej liczby, która podniesiona do kwadratu da Ci to, co masz pod pierwiastkiem.
Czyli w tym przypadku bardzo łatwo zgadujemy, że chodzi o trójkę, nawet często tak piszemy, bo 3 w potędze drugiej daje nam 9. No i takiej definicji pierwiastka się uczymy. Z taką definicją działamy, obliczamy pierwiastki z różnych liczb i taka definicja jest bardzo dobra, ale tylko do czasu, kiedy nie poznamy liczb ujemnych. Zróbmy sobie kolejny przykład, może na razie jeszcze z liczbą dodatnią. Takie rozumowanie w drugą stronę sobie zapiszmy.
5 do kwadratu to jest oczywiście, jak wiemy, 25. Więc uczeń, który poznał dopiero co pierwiastki, mógłby napisać więc, i bardzo dobrze zresztą napisze, pierwiastek z 25 to jest 5. Bardzo dobry, poprawny zapis. Nie ma się tutaj oczywiście do czego przyczepić. Pewien kłopot może się pojawić w sytuacji właśnie, gdy poznamy liczby ujemne i byśmy napisali bardzo podobne równanie, tylko zamiast piątki weźmy sobie minus piątkę.
Napiszemy, że minus 5 do kwadratu to się równa, oczywiście 25, przy potęgowaniu minus znika, to jest inaczej minus 5 razy minus 5. Iloczyn dwóch liczb ujemnych daje liczbę dodatnią, czyli minus 5 do kwadratu, jak dobrze wiemy. To liczba dodatnia 25. No więc uczeń, który niedawno poznał pierwiastki i zapoznał się właśnie z taką definicją, jak sobie powiedzieliśmy na początku, mógłby napisać, więc pierwiastek z 25, no to jest tyle, ile tu podniosłem do kwadratu, czyli minus 5. Oczywiście to, co napisaliśmy w tym miejscu, to byłaby nieprawda. Możemy to sobie od razu skreślić. To jest bardzo źle zapisane.
Tak oczywiście nie jest. Pierwiastek zawsze musi być liczbą dodatnią. Nigdy nie może wyjść nam liczba ujemna. To jest coś, co bym chciał, żebyśmy przede wszystkim zapamiętali z tego nagrania. To jest kluczowa rzecz podczas pierwiastkowania.
Musimy pamiętać, że pierwiastek zawsze jest liczbą dodatnią. Nigdy nie może wyjść liczba ujemna. Trochę nam się zaburza to myślenie. Spotykamy się pierwszy raz zazwyczaj z takimi dylematami, kiedy liczba...
Jest ujemna, dodatnia, to znaczy z pierwiastkowaniem są związane zarówno dodatnie jak i ujemne liczby, gdy stykamy się z równaniem kwadratowym. Zróbmy sobie taki prościutki przykład, takie proste równanie kwadratowe x kwadrat, no już niech będzie ta sama liczba 25. My oczywiście wiemy, że takie równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania x równy 5 oraz x równy minus 5. Dlaczego? Bo zarówno 5 podniesiona do kwadratu, jak i minus 5 podniesiona do kwadratu daje nam 25, więc to równanie ma dwa rozwiązania.
To zresztą pokazaliśmy sobie tutaj. I 5 do kwadratu daje 25 i minus 5 do kwadratu daje 25. No dobrze, ale ktoś powie, zaraz, zaraz, jak myśmy rozwiązali to równanie, tak zgadliśmy sobie rozwiązania? No nie, ktoś mógłby powiedzieć, że takie równanie rozwiązaliśmy pierwiastkując... To równanie stronami.
Inaczej mówiąc, obliczając pierwiastek z 25, no i tutaj już się pojawia niebezpieczne myślenie. Zaraz, zaraz, pierwiastek z 25, tu nam wyszedł 5, tu nam wyszedł minus 5, a przecież przed chwilą powiedzieliśmy sobie, że tak być nie może. No to zapiszmy jeszcze raz to równanie i prześledźmy cały ten proces myślowy, gdzie tu jest haczyk, gdzie tu jest ta pułapka.
x kwadrat równa się 25. No i teraz bez zgadywania, właśnie robimy tak, jak nas często uczą w szkole, czyli przykładamy pierwiastkowanie do obu stron tego równania. Gdybyśmy chcieli się pośpieszyć, no to byśmy szybko napisali pierwiastek z x kwadrat, kwadrat skraca się z pierwiastkiem, mamy od razu x, równa się, a po prawej stronie pierwiastek z 25 równa się 5. Zgubilibyśmy w ten sposób jedno rozwiązanie, dlatego napiszmy powoli. Zamiast się tak śpieszyć, to napiszmy...
Po lewej stronie, tak jak było, x kwadrat. Napiszmy ten pierwiastek, który przykładamy, a po prawej stronie nie piszmy od razu piątki, tylko też napiszmy powoli, nigdzie się nie śpieszymy, pierwiastek z 25. No i rozwiązujemy dalej. Napiszę najpierw znak równości i najpierw napiszę prawą stronę.
Wiemy, że pierwiastek z 25 to jest zawsze 5. Minus piątka nie może wyjść, czyli tu musimy napisać 5. Ile to jest pierwiastek z x kwadrat? kwadrat to jest tutaj taka najtrudniejsza rzecz i może właśnie sprawić, że zapomnimy o tym rozwiązaniu minus 5, jeżeli po prostu byśmy napisali, że to jest x. Za chwilę może wrócimy do tego przykładu.
Zanim jeszcze napiszę, ile to jest pierwiastek z x kwadrat, to zrobimy sobie jeszcze jeden przykład piąty, taki trochę wyprzedzający. Mianowicie napiszmy sobie tak, pierwiastek z minus 5 do kwadratu. Ile to jest?
Jakbyśmy chcieli obliczyć taki pierwiastek, no to oczywiście byśmy napisali, że to jest pierwiastek z 25, minus 5 podniesione do kwadratu to 25, pierwiastek z 25 to jest 5, tak jak tu sobie pokazaliśmy. Czyli tak byśmy wyliczyli, ile jest równy taki pierwiastek. Błąd natomiast byśmy popełnili, gdybyśmy od razu pierwiastek skrócili z kwadratem. Jeszcze raz napiszmy ten przykład.
Minus 5 do kwadratu. No i też tak jak nas często uczą, że pierwiastek z kwadratem się skraca i zostaje ta liczba, która tu była podnoszona do kwadratu. Napisalibyśmy, że to jest minus 5. No to tu oczywiście popełnilibyśmy błąd. Tu jest prawidłowa odpowiedź.
5. Pierwiastek zawsze musi dać liczbę dodatnią. Nie może dać nam liczby ujemnej. Z pierwiastkowania nie może wyjść liczba ujemna. to jest źle napisane, no to jak wybrnąć z tego napisu?
Żeby nie podnosić tej liczby do kwadratu. Załóżmy, że nie umiemy tego zrobić lub nie chcemy tego zrobić, to żeby nie podnosić tej liczby do kwadratu, a żeby zagwarantować sobie, że wyjdzie tutaj wynik dodatni, no to wystarczy po prostu tutaj napisać wartość bezwzględną z tej liczby, która jest podnoszona do kwadratu. Jak wiemy, kwadrat potrafi zabić nam minus, czyli bez względu na to, czy do kwadratu podnosimy liczbę dodatnią czy ujemną, zawsze wyjdzie nam tutaj liczba dodatnia. Pierwiastek z liczby dodatniej zawsze będzie dodatni, czyli w ten sposób ginie nam minus, jeżeli tu jest liczba ujemna i dlatego nie możemy po prostu napisać tej liczby, którą tu podnosimy do kwadratu jako wynik pierwiastkowania, jeżeli ta liczba jest ujemna.
Musimy zmienić jej znak na dodatni, czyli przykładamy wartość bezwzględną do minus piątki. No i teraz gdybyśmy chcieli tak naprawdę powoli wykonać tą zamianę, no to żeby zmienić znak z minusa na plus, no to przykładamy minus przed całością kreski wartości bezwzględnej, zamieniamy już na nawiasy, minus 5. Dwa minusy dają plus, czyli wychodzi po prostu 5. To jest poprawne zapisanie takiego pierwiastka, poprawne jego obliczenie. Nie może nigdy nam wyjść liczba ujemna z pierwiastkowania. Zawsze musi wyjść dodatnie. No i skoro tutaj wyciągamy pierwiastek, wracamy teraz do naszego przykładu czwartego, wyciągamy pierwiastek z x kwadrat, a o x nie wiemy jaki jest, czy jest dodatni, czy ujemny, czyli skoro skracamy pierwiastek z kwadratem, a x nie wiemy jakiego jest znaku, to musimy dla bezpieczeństwa dać tutaj wartość bezwzględną.
No i oczywiście z takiego równania z wartością bezwzględną wyjdą nam te dwa rozwiązania. Wartość bezwzględna z jakiej liczby da nam 5? Oczywiście albo x może być równy 5, ale równie dobry tutaj jest x równy minus 5. Te dwa rozwiązania, te dwie liczby spełniają to nasze równanie, czyli w taki sposób, tak pierwiastkując bezpośrednio to równanie stronami, dochodzimy do tego samego wyniku, ale nie możemy zapomnieć właśnie o tym module tutaj. Pierwiastkując liczbę podniesioną do kwadratu, której znaku nie znamy, Nie możemy napisać jej bez modułu.
Musimy mieć gwarancję, że pierwiastek tutaj daje liczbę dodatnią. Prześledźmy może jeszcze to zjawisko na dwóch przykładach już takich liczbowych, bez x. Mianowicie napiszmy sobie może pierwiastek z czegoś bardziej skomplikowanego. Załóżmy 1 plus pierwiastek z dwóch.
Jeszcze weźmy to sobie w nawias i do kwadratu. Ile będzie równy taki pierwiastek? Oczywiście ta liczba, którą tutaj mamy jest dodatnia, czyli dodatnia liczba podniesiona do kwadratu, a potem spierwiastkowana.
To w sposób bezpośredni pierwiastek z kwadratem się skraca i otrzymujemy po prostu liczbę dodatnią. 1 plus pierwiastek z dwóch. Gdybyśmy nie byli tego pewni, czy ta liczba jest dodatnia, to oczywiście możemy napisać tutaj kreski wartości bezwzględnej. Tak samo tutaj, gdy liczyliśmy pierwiastek z 9, mogliśmy napisać, że to jest moduł z 3. No ale moduł z liczby dodatniej to jest ta sama liczba dodatnia, czyli 3. Nikt normalny tak nie pisze. No i tutaj też w zasadzie na oko widać, że 1 plus pierwiastek z 2 jest dodatni, czyli te kreski były niepotrzebne.
No ale jak już napisaliśmy, to teraz je opuśćmy poprawnie. Nic się oczywiście nie zmienia. Wartość bezwzględna z liczby dodatniej to ta sama liczba dodatnia. Trochę inaczej, trochę trudniej wyglądałby przykład, gdybyśmy go tak minimalnie chociaż zmienili. Dalibyśmy tutaj zamiast plusa minus.
1 minus pierwiastek z 2 do kwadratu to się równa. No i popatrzcie co mamy tutaj. 1 minus pierwiastek z 2 to już jest liczba ujemna. Czyli gdyby jako wynik tego pierwiastkowania skrócić pierwiastek z kwadratem i napisać po prostu tę liczbę, czyli 1 minus pierwiastek z 2. to popełnilibyśmy błąd. Oczywiście ta liczba jest ujemna.
Jako wynik pierwiastkowania nie może wyjść liczba ujemna, czyli tutaj musimy dopisać kreski wartości bezwzględnej. Wartość bezwzględna z tej liczby to się równa. Zmieniamy znak, tak samo jak tu przy piątce zmieniliśmy, czyli dopisujemy minus, nawias, 1 minus pierwiastek z 2, przypisujemy naszą liczbę, zamykamy nawias, równa się...
No i teraz tym minusem zmieniamy znaki. Minus 1 możemy napisać minus minus pierwiastek z dwóch, czyli plus pierwiastek z dwóch. Gdybyśmy chcieli jeszcze to ładniej zapisać, to moglibyśmy zamienić miejscami i napisać, że to jest po prostu pierwiastek z dwóch minus 1. No i to jest dopiero poprawny wynik tego pierwiastkowania.
Tu była liczba ujemna. Musieliśmy przyłożyć wartość bezwzględną do tej liczby, żeby stworzyć tutaj liczbę dodatnią. No i to wróci.
Rezultacie po uproszczeniu dało nam taki wynik. W tym przykładzie zauważenie tego, że trzeba dopisać tę wartość bezwzględną było takie dużo trudniejsze niż w tym przykładzie, ponieważ tutaj łatwo możemy sobie wyobrazić, że minus 5 podniesione do kwadratu daje nam 25, pierwiastek z 25 musi być dodatni, musi być równy 5, a tutaj... Tego wyrażenia 1 minus pierwiastek z dwóch do kwadratu tak ładnie by się nie dało podnieść. Wyszłoby jakieś wyrażenie z pierwiastkami.
Może nie do końca byłoby widać, czy jest ono dodatnie, czy nie, no ale musiałoby być dodatnie. Jeżeli podnosimy do kwadratu jakąś liczbę, to wynik zawsze musi nam być dodatni, czyli pod pierwiastkiem zawsze mamy dodatnią liczbę. Gdyby tu się pojawiła liczba ujemna pod pierwiastkiem, to byłoby wyrażenie sprzeczne.
Nie może. pod pierwiastkiem stać liczba ujemna. Wtedy taki pierwiastek nie ma rozwiązań w świecie liczb rzeczywistych. Możemy sobie nawet od razu zrobić taki przykład. To będzie nasz przykład ósmy.
Gdyby nawet napisać takie proste wyrażenie pierwiastek z minus czterech. Ile to jest? Oczywiście tutaj nie ma wyniku.
Nie możemy mówić w ogóle o takim zapisie, że wyciągamy pierwiastek z liczby ujemnej. To jest oczywiście wyrażenie sprzeczne. Nie ma rozwiązań w świecie liczb rzeczywistych. Dopiero gdybyśmy zaczęli rozważać tzw.
liczby zespolone, ale to dopiero na studiach, wtedy pierwiastki z liczb ujemnych mają rację bytu. Można je rozważać, wykonywać na nich działania, oznacza się je jako liczby zespolone. No ale to nie jest temat na ten odcinek, także nie będę go tutaj poruszał. W świecie liczb rzeczywistych nie ma prawa pojawić się taki zapis.
Równie dobrze moglibyśmy napisać sobie, załóżmy, taki przykład, że pod pierwiastkiem byłoby wyrażenie 1 minus pierwiastek z dwóch. Bardzo podobne do tego, tylko już bez kwadratu. Ten kwadrat gwarantuje nam, że tutaj mamy liczbę dodatnią, czyli jest bezpieczna sytuacja, a to, co napisałem tutaj, jest bardzo niebezpieczne. Ta liczba, którą mamy tutaj, jest ujemna, mniejsza od zera.
Pierwiastek z liczby ujemnej nie istnieje. Tak, żebyśmy napisali. że to jest wyrażenie sprzeczne. Także też musimy uważać na takie napisy.
Jeżeli pod pierwiastkiem pojawiają się jakieś podejrzane wyrażenia, co do których możemy mieć podejrzenia właśnie, że są ujemne, to musimy sprawdzić, ile taka liczba jest równa. Jak wyjdzie ujemna, to znaczy, że dana liczba, dany pierwiastek jest wyrażeniem sprzecznym. Czyli jeżeli to byłby wynik jakiegoś równania, no to po prostu rozwiązanie w takiej sytuacji nie istnieje.
Już wielokrotnie powiedzieliśmy sobie w tym nagraniu, że pierwiastek zawsze musi być źródłem dodatnim. To jest to, na co kładę tutaj największy nacisk, ponieważ to jest najważniejsze w zrozumieniu, jak działa pierwiastek. Może nawet, żeby lepiej sobie unaocznić ten fakt, to narysujemy sobie wykres pierwiastka. Pierwiastek oczywiście jest funkcją i można naszkicować jego wykres.
Znajduje się on w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Trochę mi się skrzywiła ta ośka. No ale nic.
Zaznaczymy sobie te liczby początkowe na osi x. 0, 1, 2, 3, 4 będzie ważne. 5, 6, 7, 8, 9 sobie jeszcze weźmiemy. I na osi y zaznaczymy sobie wartości.
I teraz będziemy brali pierwiastki z tych liczb na osi x. Pierwiastek z 0 to oczywiście 0. Pierwiastek z 1 to 1. Czyli ten punkt. Pierwiastek z czterech to dwa, czyli ten punkt i z dziewięciu to trzy, czyli ten punkt.
No i teraz jak przelecimy taką krzywą przez te... 3 punkty, no to to będzie wykres funkcji f od x. To się równa pierwiastek z x.
Tak wygląda wykres pierwiastka. Jest to funkcja, której dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych od zera włącznie do plus nieskończoności. Dla liczb ujemnych, czyli tutaj minus 1, pierwiastek nie jest określony. Gdybyśmy chcieli wyciągnąć pierwiastek z minus 1, no to wyszłaby nam jednostka urojona.
to o czym już wspomniałem właśnie w kontekście liczb zespolonych, także w świecie liczb rzeczywistych w ogóle nie ma co rozważać liczb ujemnych. Pierwiastek możemy wyciągać tylko z liczb dodatnich. No i gdyby tutaj ktoś chciał właśnie mieć tę wątpliwość, że pierwiastek raz może wyjść dodatni, raz ujemny, no to wtedy pierwiastek z jedynki mógłby być raz jedynką, raz minus jedynką. Czyli ten punkt tutaj, pierwiastek z czterech to 2 minus 2, i z 9, 3, minus 3, czyli ktoś by zaznaczył te punkty tutaj pod osią x i narysował takie jakby symetryczne odbicie tego wykresu, który mamy na górze, no i powiedziałby, że to jest cały wykres naszego pierwiastka. Wtedy to oczywiście nie byłby wykres funkcji.
Funkcja musi przyporządkowywać każdemu argumentowi tylko jedną, dokładnie jedną wartość. Nie może przyporządkowywać dwóch wartości. Wtedy to by nie była funkcja. Pierwiastek, ponieważ jest funkcją, nie może przyjmować dwóch wartości.
Czyli skreślamy tą część na dole. Ona nie istnieje. Pierwiastek to jest tylko to, co na górze.
Czyli tylko wartości dodatnie. Teraz zróbmy sobie może jeszcze jeden przykład, taki trochę podobny do tej sytuacji, którą mieliśmy tutaj. Wyciągaliśmy...
pierwiastek z x, co do którego znaku nie znaliśmy, czy x jest dodatni czy ujemny, ale był podniesiony do kwadratu, pierwiastek z kwadratem się zjada, ale w rezultacie otrzymujemy wartość bezwzględną z x. Tak samo będzie w każdym innym przykładzie tego typu. Gdybyśmy sobie wzięli na przykład pierwiastek z wyrażenia x-1 do kwadratu, no to znowu możemy oczywiście skasować pierwiastek z kwadratem, ale musimy napisać tę liczbę, która tu była podnoszona do kwadratu, ponieważ nie wiemy, czy jest dodatnia, czy ujemna, a wynik pierwiastkowania musi być dodatni, czyli piszemy wartość bezwzględna z x-1. Nie możemy zapomnieć o tej wartości bezwzględnej.
Dopiero teraz jest to poprawnie zapisane, także analogicznie do tej sytuacji, co by się nie pojawiło pod pierwiastkiem w kwadracie, jeśli jest z niewiadomymi i chcecie uprościć pierwiastek z kwadratem, to zawsze napiszcie. to wyrażenie pod kreskami wartości bezwzględnej. Tylko wtedy będzie poprawne, tylko wtedy nie zgubicie ewentualnych rozwiązań jakiegoś równania, tak jak to sobie pokazaliśmy na tym prostym przykładzie.
No i na sam koniec może jeszcze sobie zróbmy jeden przykład, taki trochę podchwytliwy. Napiszmy sobie jakieś takie proste równanie. x równa się pierwiastek, powiedzmy, z 7. No to jest od razu równanie, w którym mamy podany wynik x jest równe tyle.
Tu nic skomplikowanego nie ma, no ale powiedzmy, że chcielibyśmy trochę pokombinować. Wiemy, że możemy podnosić równania stronami do kwadratu. Czyli ktoś powie tak, wykonuję legalną operację, podnoszę równanie stronami do kwadratu. Co w wyniku tego otrzymamy?
No niewątpliwie po lewej stronie x kwadrat, a po prawej stronie pierwiastek z 7 do kwadratu. to niewątpliwie jest 7. No i teraz rozwiązujemy. Takie równanie kwadratowe, bardzo podobnie jak tutaj, ono oczywiście ma dwa rozwiązania, czyli x równa się pierwiastek z 7 oraz x równa się minus pierwiastek z 7. No i co tu się wydarzyło? Zrobiliśmy takie cudowne rozmnożenie. Z jednego rozwiązania zrobiły nam się dwa rozwiązania, czyli coś tu śmierdzi, coś tu jest nie tak.
Gdzie popełniliśmy błąd w tym rozumowaniu, w tym króciutkim zapisie, że pojawiła się taka niejednoznaczność? No oczywiście w tym miejscu. Kiedy podnieśliśmy do kwadratu obie strony tego równania, zawsze gdy podnosimy równanie stronami do kwadratu, to musimy... Uważać na to, czy obie strony są tego samego znaku, a jeśli nie mamy takiej gwarancji, to musimy to uwzględnić w założeniach. Tutaj prawa strona, czyli nasz pierwiastek z 7, oczywiście jest dodatni, czyli prawa strona jest większa od 0, czyli lewa strona, aby to równanie w ogóle miało szansę zachodzić, także musi być większa od 0. Dopiero jak założymy, że lewa strona też jest większa od 0, to nie ma to żadnego znaku.
to wówczas bezpiecznie możemy podnieść do kwadratu obie strony tego równania. Popatrzcie, co by się stało, gdyby napisać jakąś pozornie sprzeczną równość. Może tu wykorzystam wolne miejsce i coś takiego napiszę.
Na przykład minus 6 równa się 6. No niewątpliwie to jest równanie sprzeczne, nieprawdziwe. Minus 6 nie jest równa 6, ale gdy podniesiemy równanie stronami do kwadratu, to minus 6 do kwadratu da nam 36 i 6 do kwadratu da nam 36. Czyli otrzymaliśmy już równanie prawdziwe. Gdyby teraz wykonać pierwiastkowanie tego równania stronami, no to pierwiastek z 36 to jest zawsze 6, tak jak sobie pokazaliśmy, pierwiastek zawsze jest dodatni. No i z prawej strony to samo, czyli 6 równa się 6, już równanie prawdziwe.
Także jak widzicie trzeba bardzo uważać na takie... podnoszenie równań stronami do kwadratu i pierwiastkowanie, no bo można w ten sposób z czegoś sprzecznego zrobić równość prawdziwą i tak jak tutaj z jednego rozwiązania wygenerować sobie jedno równanie, jedno rozwiązanie nieprawdziwe. Dla tego trzeba koniecznie zrobić te założenia.
Tutaj zakładamy, że lewa strona jest także większa od zera, czyli x większa od zera. No i przy takim założeniu to rozwiązanie już nie spełnia naszych założeń. nie należy do dziedziny, bierzemy tylko to, czyli poprawnie wróciliśmy do punktu wyjścia.
Także to są generalnie takie pułapki, jakie na nas czekają przy pierwiastkowaniu. Musimy pamiętać przede wszystkim to, że pierwiastek zawsze jest dodatni. To jest najważniejsze. Zawsze kontrolujcie sprawę, czy to, co nam wychodzi z pierwiastkowania, to na pewno jest dodatnie. Jeśli nie, no to przykładacie wartość bezwzględną, jeżeli to był pierwiastek z kwadratu.
to do tej liczby przykładamy wartość bezwzględną zawsze na wszelki wypadek, żeby mieć gwarancję, że wynik wyszedł liczbą dodatnią, że nie wzięliśmy po prostu ujemnej liczby, która podniesiona do kwadratu daje taki sam wynik, tak jak sobie to pokazaliśmy tutaj. I piątka i minus piątka podniesiona do kwadratu daje 25. Ale tylko jedna z tych wersji jest poprawna. Tylko wersja dodatnia.
Pierwiastek nie może być ujemny. No i tak samo przy równaniach, uważajcie, nawet z podnoszeniem do kwadratu właśnie, żeby zrobić odpowiednie założenia, żeby nie rozmnożyć sobie tych poprawnych wariantów. Jak widać z czegoś sprzecznego, takimi pozornie prostymi operacjami, możemy sobie zrobić równanie prawdziwe, także musimy na to bardzo uważać.
Żeby czegoś nie zgubić, czegoś nie rozmnożyć, po prostu pamiętajmy, że pierwiastek zawsze musi być dodatni. Pamiętajmy o założeniach, jakie z tego wynikają dla równań. Jak będziemy ostrożni na tym polu, nie popełnimy takich błędów, że wyciągniemy pierwiastek z x w kwadracie i napiszemy po prostu x, no to będziemy bezpieczni.
Pamiętajmy o tym, że pierwiastki są dodatnie. To jest tutaj najważniejsze. Jak o tym będziemy pamiętali, no to nie damy się złapać na te wszystkie pułapki. Także w tym nagraniu z mojej strony byłoby na tyle. Mam nadzieję, że...
Ta wiedza Wam się przyda na co dzień w różnych zadaniach obliczeniowych. Także dziękuję serdecznie Wam za uwagę. Życzę wszystkiego dobrego.
Do usłyszenia.