📐

Teorema fundamentală a asemănării

May 11, 2025

Teorema fundamentală a asemănării

Introducere

  • Se consideră triunghiul $ABC$ și un punct arbitrar $D$.
  • Paralela prin $D$ la dreapta $BC$ intersectează dreapta $AC$ în punctul $E$.

Demonstrație

Cazul 1: Ordinea $A - D - B$

  • Se consideră unghiul $\angle ADB$, punctele $P$ și $Q$ pe $DE$ și $BC$.
  • Din Teorema lui Thales: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
  • Dreptele $DE$ și $BC$ sunt tăiate de secantele $AB$ și $AC$, deci unghiurile corespunzătoare sunt congruente.
  • Se definește punctul $P'$ astfel încât $AD = DP'$ și $DE = EP'$.
  • Se obțin relațiile: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{AP}{PB}$.
  • Verificare condiții definiție asemănare triunghiuri.

Cazul 2: Ordinea $A - B - D$

  • Situația se reduce la Cazul 1 cu punctul $B$ în loc de $D$.
  • Se folosește proprietatea de simetrie a relației de asemănare.

Cazul 3: Ordinea $B - A - D$

  • Simetricul lui $D$ față de $A$ este notat $D'$ și la fel $E'$, simetricul lui $E$.
  • Dacă $\angle ADE \cong \angle ABC$, unghiurile sunt alterne interne și congruente.
  • Se aplică situația din Cazul 1 pentru $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.

Probleme propuse

Problema 1

  • Triunghiul $ABC$: $BC = 10cm$, $AB = 20cm$, $AC = 15cm$.
  • Puncte $M$ și $N$ pe $AB$ și $AC$: $MN = 6cm$.
  • Determinarea perimetrului triunghiului $AMN$.
  • Soluție: Folosind $MN \parallel BC$ și Teorema fundamentală a asemănării: $AM = 12cm$, $AN = 9cm$.
  • Perimetru $= 12 + 6 + 9 = 27cm$.

Problema 2

  • Trapezul $ABCD$, $AB \parallel CD$: $AB = 12cm$, $CD = 20cm$, $AC = 24cm$, $BD = 16cm$.
  • Calcularea $AO$, $OC$, $BO$, $OD$.
  • Soluție: Din $AB \parallel CD$ și T.f.a: $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{12}{20}$.
  • Calcul: $24 = \frac{12}{20}(OC + AO)$, $OC = 15cm$, $AO = 9cm$.
  • $16 = \frac{12}{20}(OD + BO)$, $OD = 10cm$, $BO = 6cm$.

Concluzii

  • Teorema fundamentală a asemănării oferă un cadru pentru demonstrarea și rezolvarea problemelor de geometrie care implică paralelism și triunghiuri similare.

Prof. Pop Virgil