Teorema fundamentală a asemănării

Introducere

• Se consideră triunghiul $ABC$ și un punct arbitrar $D$.
• Paralela prin $D$ la dreapta $BC$ intersectează dreapta $AC$ în punctul $E$.

Demonstrație

Cazul 1: Ordinea $A - D - B$

• Se consideră unghiul $\angle ADB$, punctele $P$ și $Q$ pe $DE$ și $BC$.
• Din Teorema lui Thales: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}$.
• Dreptele $DE$ și $BC$ sunt tăiate de secantele $AB$ și $AC$, deci unghiurile corespunzătoare sunt congruente.
• Se definește punctul $P'$ astfel încât $AD = DP'$ și $DE = EP'$.
• Se obțin relațiile: $\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = \frac{AP}{PB}$.
• Verificare condiții definiție asemănare triunghiuri.

Cazul 2: Ordinea $A - B - D$

• Situația se reduce la Cazul 1 cu punctul $B$ în loc de $D$.
• Se folosește proprietatea de simetrie a relației de asemănare.

Cazul 3: Ordinea $B - A - D$

• Simetricul lui $D$ față de $A$ este notat $D'$ și la fel $E'$, simetricul lui $E$.
• Dacă $\angle ADE \cong \angle ABC$, unghiurile sunt alterne interne și congruente.
• Se aplică situația din Cazul 1 pentru $\triangle ADE \sim \triangle ABC$.

Probleme propuse

Problema 1

• Triunghiul $ABC$: $BC = 10cm$, $AB = 20cm$, $AC = 15cm$.
• Puncte $M$ și $N$ pe $AB$ și $AC$: $MN = 6cm$.
• Determinarea perimetrului triunghiului $AMN$.
• Soluție: Folosind $MN \parallel BC$ și Teorema fundamentală a asemănării: $AM = 12cm$, $AN = 9cm$.
• Perimetru $= 12 + 6 + 9 = 27cm$.

Problema 2

• Trapezul $ABCD$, $AB \parallel CD$: $AB = 12cm$, $CD = 20cm$, $AC = 24cm$, $BD = 16cm$.
• Calcularea $AO$, $OC$, $BO$, $OD$.
• Soluție: Din $AB \parallel CD$ și T.f.a: $\frac{AO}{OC} = \frac{BO}{OD} = \frac{12}{20}$.
• Calcul: $24 = \frac{12}{20}(OC + AO)$, $OC = 15cm$, $AO = 9cm$.
• $16 = \frac{12}{20}(OD + BO)$, $OD = 10cm$, $BO = 6cm$.

Concluzii

• Teorema fundamentală a asemănării oferă un cadru pentru demonstrarea și rezolvarea problemelor de geometrie care implică paralelism și triunghiuri similare.

Prof. Pop Virgil

• Școala Gimnazială Lucian Blaga, Satu Mare
• E-mail: [email protected]