概要
この講義では、連続だがどこでも微分不可能なワイエルシュトラスの有名な例を分析し、一般化、主要定理、および関連する微分不可能な関数について議論します。
ワイエルシュトラス関数の紹介
- ワイエルシュトラスは、( f(x) = \sum a^n \cos(b^n \pi x) ) を定義し、ここで ( 0 < a < 1 )、( b ) は奇数の整数、かつ ( ab > 1 ) です。
- この関数はどこでも連続ですが、任意の点で微分係数を持ちません。
- 一般化は、特定の収束条件を持つ ( \sum a_n \cos(b_n x) ) および ( \sum a_n \sin(b_n x) ) の形の級数を含みます。
- 以前の結果は、非微分可能性に対して様々な人工的条件を与えていました。
主要な結果と定理
- 定理1.31: ( C(x) = \sum a^n \cos(b^n \pi x) ) および ( S(x) = \sum a^n \sin(b^n \pi x) )、ここで ( 0 < a < 1 )、( b > 1 )、( ab \geq 1 ) の場合、有限の微分係数は存在しません。
- 定理1.32: 上記は無限の微分係数のみを考慮した場合には成り立ちません。
- ( ab > 1 ) の場合、すべての ( x ) に対して ( f(x+h) - f(x) = O(|h|^\alpha) ) ですが、より高次のオーダーでは成り立ちません。
補題と証明の概要（( b ) は整数）
- 補題は、境界近くでの関連する調和級数およびフーリエ級数関数の挙動を確立します。
- 主な議論は、有限の微分係数が存在すると仮定した場合に矛盾を示し、関連する級数とその境界の挙動を用います。
- 例外的な点（例：( x = p/b^q )）は特別な扱いが必要ですが、微分可能性には至りません。
拡張：( b ) が整数でない場合
- 類似の方法が非整数の ( b ) に対しても、積分表現（ディリクレ級数）を適用することで機能します。
- ( x ) の例外値はなく、結論は同じパラメータ条件下でどこでも微分不可能であることです。
他の微分不可能な関数と関連結果
- 例として、任意の ( \alpha > 0 ) のリプシッツ条件を満たさないフーリエ級数が示されています。
- バーンシュタインの定理：関数が ( \alpha > 1/2 ) のリプシッツ条件を満たす場合、そのフーリエ級数は絶対収束し（( 1/2 ) は最良の値）、
- リーマンの関数 ( \sum \frac{\sin(n^2 x)}{n^2} ) は任意の無理数 ( x ) に対して微分不可能であることが示されています。
重要用語と定義
- どこでも微分不可能 — どこでも連続だが、微分係数が存在する点がない関数。
- リプシッツ条件 — 関数がオーダー ( \alpha ) のリプシッツ条件を満たすとは、すべての ( x ) に対して ( |f(x+h) - f(x)| \leq K|h|^\alpha ) が成り立つこと。
- フーリエ級数 — 関数を正弦と余弦の級数で展開したもの。
- 調和関数 — ラプラス方程式を満 たす関数で、級数解析でよく現れます。
今後の課題 / 次のステップ
- 講義の主要な補題と定理の証明の詳細を復習する。
- 関連関数（リーマンの関数など）とその微分可能性の性質を学ぶ。
- 与えられたフーリエ級数がリプシッツ条件を満たすかどうかを検証する練習をする。