Bugün sizlerle matematiğin en gizemli problemlerinden birini konuşacağız ama başlamadan önce bize sadece matematiği değil herhangi bir bilgiyi öğrenmenin güzelliğini gösteren, sayıların ve harflerin dünyasında bize rehberlik eden tüm öğretmenlerimize teşekkür etmek istiyorum. Çünkü onlar bize... Sadece formülleri değil, aynı zamanda problem çözme sanatını, vazgeçmemeyi ve merak etmeyi de öğrettiler.
Bu video çözülmemiş bir matematik problemi üzerine ama aslında her problemi çözmek zorunda da değiliz. Bazen önemli olan o yolculukta öğrendiklerimiz. İşte o yolculukta hep bizim yanımızda olan tüm öğretmenlerimizin öğretmenler günü kutlu olsun. Şimdi sizinle çok basit bir matematik oyunu oynayacağız.
Fakat şimdiden söyleyeyim, bu oyunun sırrını çözebilmeyi başaran kimse yok dünyada. Yani en zeki matematikçiler bile bir araya geldi ama yine de çözemediler. Hatta durum öylesine umutsuz ki, boşu boşuna öyle çözmeye çabalamanızı bile tavsiye etmiyorlar. Neymiş diyeceksiniz bu oyun, kurallar çok basit. İçinizden bir sayı tutuyorsunuz.
İstediğiniz sayı olabilir. Şimdi ben tuttuğum sayıyı şuraya yazıyorum. Gizleme de gerek yok.
Çünkü 6. Onu şuradaki kutuya atacağım şimdi. Ve o da bana karşılığında bir sayı verecek. Bu kutu ona verdiğim sayıya yalnızca iki şey yapabilir.
Bunu gösterebilmek için de şöyle bir şey yapalım. Eğer kutuya attığım sayı çift bir sayıysa onun yarısını bana geri verecek. Eğer attığım sayı tek bir sayıysa onu 3 ile çarpıp 1 ekleyip geri verecek. Anladık mı? Ve o bana kağıdı geri verdikçe ben de çıkan sonucu tekrar içine atacağım.
Ve attığım sayının tek mi çift mi olmasına göre o da bana yine yeni kağıtlar vermeye devam edecek. Hazır mısınız? Şimdi 6'yı kutuya atıyorum. Vatana millete hayırlı olsun.
Çift bir sayı olduğu için kutu yarısını aldı ve bana 3'ü verdi. 3 tek bir sayı. Şimdi onu tekrar kutuya atıyorum. Tek bir sayıyı attığım için. 3 ile çarptı ve 1 ekledi.
Sonuç 10. Yani çift bir sayı. Şimdi onu da tekrar kutuya atıyorum. Çift sayıları kutuya atınca ne oluyordu?
2'ye bölüyordu yani 5. Tek sayı. 5'e atıyorum. Tek sayıyı atınca ne yapıyordu? 3 ile çarpıp 1 ekliyordu. Sonuç?
16 yani çift sayı. Çift sayıyı atıyorum. Yarısını verecek bana. Verdi. 8. Bu da çift bir sayı.
Atıyorum. 4. 4 de çift. Bunu da atıyorum.
2'ye böldü. 2. Yine çift. Atıyorum.
2'ye bölüyorum. 1 verdi. Tek sayı. Şimdi bu tek olduğu için tekrar atarsam ne oluyor?
3 ile çarpıp 1 ekliyor. Sonuç 4. Çift sayı. At.
2'ye böl. 2. Çift sayı at içine 2'ye böl 1. Tek sayı at içine 3 ile çarp 1 ekle 4. E ne oldu şimdi biz buralardan zaten geçmiştik. Bir döngüye girdiğimizi fark ettiniz mi?
En başta 6 ile başladım. Sonra 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1, 4, 2, 1. Sonsuza kadar bu döngüye hapsoldum. Tabi sonsuza kadar kutuya kağıt atmaya devam etmeyeceğim. Fakat başka bir sayıyı deneyebilirim.
Hatta siz de deneyin. İstediğiniz sayıda seçebilirsiniz. Öyle illa 1 ila 10 arasında filan seçmenize gerek yok. İsterseniz doğum yılınızı seçin. Alın bir hesap makinesi ya da bilgisayar.
Başlayın bu kutunun yaptığını yapmaya. Eğer sonuç çiftse 2'ye böl. Yani x bölü 2. Sonuç tekse de 3 ile çarpıp 1 ekle. Yani 3x artı 1. Hangi sayıyı seçerseniz seçin eninde sonunda yine 4, 2, 1 döngüsüne hapsolacaksınız.
Bu kutu her ne yapıyorsa ki aslında ne yaptığını da biliyoruz. Çiftse ikiye bölüyor tekse üç katına bir ekliyor. Ama her ne büyüsü varsa tüm sayıları bire geri gönderiyor. Yani en azından bu kutunun iddiası bu. Matematikte buna kolats konu.
Injecture yani kolat sanısın ya da basitçe 3x artı 1 deniyor. Hangi sayıyı seçersek seçelim eninde sonunda bu döngüye hapsolacağımızı iddia ediyor bu sav. Fakat tüm çabalara rağmen bunun matematiksel olarak bir ispatı yapılamadı.
Bir yerlerde bu zinciri kırıp da sonsuza giden bir sayı var mı? Yoksa 4, 2, 1'den başka kendi döngüsünü kuran başka bir sayı var mı? Bunları bilmiyoruz.
Bu problem neredeyse... 90 yıldır çözülemedi. Bu çok eğlenceli derse geçmeden önce bu konularda daha derin araştırma yapabilmenizi kolaylaştıracak İngilizcenizi geliştirmek için şu anın çok uygun bir zaman olduğunu hatırlatmak istiyorum. Çünkü Kemli'nin Black Friday kampanyası Cuma günü sona eriyor. Cambly'de İngilizceyi gerçek konuşmalar yaparak öğreniyorsunuz.
Anadili İngilizce olan eğitmenler size özel hedeflerinize ulaşmanızda rehberlik ediyor. Gerçek hayatta ihtiyaç duyabileceğiniz becerileri ve özgüveni geliştirmenize yardımcı oluyorlar. Üstelik tüm bunları istediğiniz yerde, istediğiniz anda yapabiliyorsunuz.
Ayrıca Cambly'nin 4-15 yaş arası çocuklar için sunduğu özel bir platform da var. Cambly Kids adlı bu platformda dersler çocukların farklı gelişim aşamaları göz önünde bulundurularak uzmanlar tarafından tasarlanmış. Dünyanın dört bir tarafından sertifikalı, ana dili İngilizce olan eğitmenlerle birebir yapılan tüm online dersler kaydedildiği için de ebeveynler çocuklarının ilerlemesini gözlemleme fırsatı buluyor.
Üstelik burası için de Black Friday kampanyası var. Yılın en iyi fiyatlarıyla Cambly'e abone olmak için açıklamalar bölümündeki bağlantıları ve size özel kodları kullanabilirsiniz. Çünkü İngilizcenizi geliştirmeye başlamak için şimdi en uygun zaman. Ne dersiniz? 3x artı 1'e devam edelim mi?
Bakın dünyanın en meşhur matematikçileri bunun üzerine kafa yordular ama ne ispatlayabildiler ne de çürütebildiler. Hatta büyük matematikçi Erdöz bu problem hakkında ne dedi biliyor musunuz? Matematik bu problemi çözebilmeye henüz hazır olmayabilir.
Yani bu kadar basit görünen ama böylesine zor bir soruyu çözeneyse öyle hani daha önce anlattığım milenyum sorularında olduğu gibi milyon dolarlık bir ödül filan da yok. Peki bu problem niye böyle dışlandı? Gerçekten çözmek imkansız mı? Neden 3x artı 1 diyoruz da 3x eksi 1 ya da 2x artı 3 ya da başka bir şey yapmıyoruz?
Ve hepsinden öte bunu çözmenin bize nasıl bir katkısı olabilir? Probleme geri dönelim. 3x artı 1. Her şeyden önce düşünmemiz gereken böyle bir problemi nasıl çözebileceğimiz değil mi?
İlk akla gelen şey de kaba kuvvet kullanmak. Brute force. Ne demek bu?
Bütün sayıları tek tek sırayla denemek. En başta yaptığım gibi. Kağıt kalem alarak siz de deneyebilirsiniz.
Öyle başlayın. 1 milyon, 2 milyona kadar gidin. Tabi bu elle olacak bir iş değil.
Onu baştan söyleyeyim. Matematikçiler günümüzde çarpı 10 üzeri 20'ye kadar. Yani 295 kentilyona kadar olan tüm sayıları tek tek bilgisayar aracılığıyla denediler.
Ve bunlardan hiçbiri kolat sanısını çürütemedi. Yani her biri... Eninde sonunda 4, 2, 1, 4, 2, 1 şeklindeki o döngüye döndü. Ama belki çok daha büyük bir sayı vardır.
295 kentilyondan da büyük ve bu sanıyı çürütüyordur. E her bir sayıyı tek tek denemek belki de pek akıllıca bir yöntem değil. Özellikle eğer sayı çok büyükse bilgisayarlarımız hiçbir zaman bu sayıyı bulamayabilir. Bu problemi çözebilmek için kaba kuvvetten daha akıllıca yöntemlere ihtiyacımız var.
Mesela ilk yapılabilecek şeylerden biri kaç adımda bire ulaştığımızı saymak. Belki bir örüntü yakalarız. Örneğin en başta 6 için bunu yaptığımızda 8 adımda bire ulaşmıştık değil mi?
5 için yapmaya kalkarsak sadece 5 basamakta ulaşabiliyoruz. Fakat bazı sayılar var ki çok daha farklı şekillerde davranıyorlar. Örneğin 26 ile başlarsak yalnızca 10 basamakta ulaşıyoruz. Fakat bir sonraki sayı yani 27'yi seçecek olursak...
Bir noktada 9232'ye kadar çıkıyoruz. Sanki sonsuza kadar artacakmış gibi oluyor ama sonradan düşmeye başlıyor ve toplamda 111 basamakta 1'e ulaşıyor. Her zaman 1'e ulaşıyor.
Eğer bunu tüm sayılar için yapacak olursak hareket çok rastgeleymiş gibi görünüyor. Sanki aralarında bir örüntü yok gibi. Ve gerçekten de eğer büyük bir sayı seçip bunun 1'e nasıl ulaştığını inceleyecek olursanız çok rastgele görünen bir hareket karşınıza çıkıyor. Fakat işin esas büyüsü bunun logaritmasını alınca gözükmeye başlıyor.
Adeta borsada çakılan bir hisse senedi gibi bir görüntü. Buna Geometric Brownian Hareket deniliyor. Eğer bir bozuk para alıp da tura geldiğinde...
Grafiği yukarıya, yazı geldiğinde de aşağıya hareket ettirecek olursanız buna çok benzer bir örüntü görürsünüz. Bazen üst üste çok fazla yazı gelir ve sayı giderek yükselir. Tıpkı 27'de 9232'ye ulaşmamız gibi.
Fakat yazı turada hep ortanın etrafında gidip gelirsiniz. Üst üste çok fazla yazı gelse de bir noktada üst üste çok fazla tura gelir ve bunu dengeler. Ama kolat sanısında bir şeyler bizi aşağıya, bire...
doğru çekiyor. Sanki hileli bir para varmış gibi ve bir taraf daha ağır basıyormuş gibi. Dikkat ederseniz her bir sayıyı tek tek denememize gerek yok.
Çünkü 6'yı hesaplarken aslında 5'i de nasıl hesaplayacağımızı çözdük. Bu yüzden bunları bağımsız hesaplar gibi görmektense birbirine bağlı bir ağacın dalları gibi görmek çok daha akıllıca bir yaklaşım. Böylece herhangi bir sayıyı incelerken daha önceden denediğimiz bir sayıya denk gelirsek devam etmemize gerek kalmıyor.
Çünkü bilgisayarda bu kadar çok sayı test ederken en büyük düşmanımız işlemci gücü. Bizi gereksiz işlemlerden kurtaracak her türlü akıl yürütmeye ihtiyacımız var. Bu vesileyle meraklısına da hemen söylemiş olayım matematik ve programlamada bu tür akıl yürütmeli problemlerin sorulduğu bir platform bile var.
projecteuler.net İşte bu akıllıca yaklaşımla problemi görselleştirirsek ilk bin sayı için ortaya böyle bir yapı çıkıyor. Eğer kolat sanısı doğruysa her bir sayı bir noktada bu ağaca bağlanıyor olmalı. Dışarıda hiçbir yerde bağımsız bir halka ya da sonsuza kadar giden bağımsız bir kol kalmamalı.
Şu ana kadar denediğiniz her sayıyı bir başlangıç noktası olarak da düşünmemelisiniz. Çünkü herhangi bir basamakta bu sayıya denk geliyor olmanız sizi bu ağaca bağlıyor. Yani dışarıda bir yerlerde sanıyı çürütecek bir sayı varsa eğer, bu ağaçtaki sayıların hiçbirisine temas etmemeli.
Bu sonsuza kadar giden bir seri de olabilir, kendi içerisinde başka bir döngü de. Bu ağacı alıp her adımda tek ya da çift olmasına göre bir miktar döndürürsek, ortaya mercan benzeri, hatta damarlarımıza benzeyen yapılar çıkıyor. Başlangıç noktasından çok fazla geçen olduğu için oralar kalın.
Tıpkı atar damarlar gibi. İlerledikçe... Başka sayılara geldikçe tıpkı kılcal damarlar gibi yayılmaya başlıyor.
Başka bir yöntemse tek tek bütün sayıların bire gidip gitmediğini denemek yerine birden geriyeye doğru tüm sayılara ulaşmaya çalışmak. Fakat bu denemelerin hiçbiri Collatz sanısını çürütmeyi başaramadı. Peki nedir bu 3x artı 1'in büyüsü? Yani niye 3x artı 1? Örneğin 2x artı 3 ya da 3x eksi 1 yaparsak ne oluyor?
E birlikte görelim. Yine aynı sayıyla, 6 ile başlayalım. 2'ye böldük, 3. Bu sefer 3 katının bir eksiği.
8. Yine 4, 2, 1'e hapsolduk. E 5'i deneyelim. 3 katının bir eksiği 14 ediyor.
2'ye böldük, 7. 3 katının bir eksiği 20. 2'ye böldük, 10. 2'ye böldük, 5. Başladığımız noktaya döndük. Bu tamamen başka bir döngü. Üstelik 2 tane de değil, 3 tane döngü var. Daha da ilginç yanı, kolat sanısında, yani 3x artı 1'de pozitif sayılar yerine Negatif sayıları alınca başlıyor. Eksi 5 ile başladığınızı düşünün.
3 katının bir fazlası eksi 14. Bunun yarısı eksi 7. 3 katının bir fazlası eksi 20. Yarısı eksi 10. Yarısı eksi 5. E tekrar başa döndük. Ama tanıdık geldi mi? 3x eksi 1 ki durum bu. 3x artı 1'de sadece bir döngü yani 4, 2, 1 varken burada başka başka döngüler karşımıza çıkıyor. Tabi matematikçiler bunu da merak edip 3x artı n gibi genellemeleri de araştırdılar.
Hatta ax artı n gibi şeylere de baktılar. Yani akla gelebilecek tüm durumlar 3x artı 1, 2x artı 3, 5x eksi 1 tabii iş oralarda daha da bir karmaşıklaşsa da 3x artı 1'in yeri gönlümüzde bir başka. Bunun sırrını çözebilmek için yapılan girişimlerden biri de dağılım grafiğini incelemek.
Bu grafikte her bir sayı için çıkılan en yüksek noktayı işaretliyor. Örneğin 6 ile başladığımızda en fazla 16'ya çıkmıştık. 5 ile başladığımızda da öyle.
Fakat 26 ile başladığımızda bu 40'tı. 27'de ise sıra dışı bir şekilde 9232'ye kadar çıkmıştı. İşte bu dağılımı incelediğinizde karşımıza böyle bir grafik çıkıyor. Biraz daha örüntüler kendini belli ediyor.
Her şey belirli bir çizginin altında yer alıyor gibi görünüyor. Fakat grafik yanıltıcı olabilir. Bazı değerlere yakından bakınca...
aslında çok uzaklarda olabildiğini görüyoruz. Fakat matematikçiler bu tür problemleri çözemedikleri zaman sınırlar koyarak ilerlemeye çalışırlar. Yıllar içerisinde bu grafik kullanılarak bazı sınırlamalar getirildi.
Hatta 2019 yılında Terry Tao koyduğu bir limitle bu tartışmaya da noktayı koymuş gibi duruyor. Kendi deyimiyle keşfini şöyle tanımlıyor. Kolat sanısını tam olarak çözmeden onu çözmeye ancak bu kadar yaklaşabiliriz.
Eğer izlemediyseniz matematiğin bu yaşayan dahisi Terry Tao hakkında da ayrıca bir video hazırlamıştım ona bakabilirsiniz. Evet çok basit gibi görünen bir problem ama bir o kadar da zor. Erdös'ün de dediği gibi belki de bunu çözebilmek için gerekli araçlara henüz sahip değiliz. Bugünün matematiği elimizdeki bazı problemleri çözmeye yetmiyor.
Ve tam olarak bu nedenle Kolat sanısı biraz öyle köşelere atılmış durumda. Çünkü bu problemi çözmeye çalışırken öyle pek de bir şey üretilemiyor. Öte yandan milenyum problemleri gibi diğer problemleri çözmeye çalışırken o yolda bulduklarımızın da başka başka katkıları olabiliyor.
O yüzden kol atsanısını çalışmayı hiçbir yeni matematikçi adayına önermiyorlar. Aksi takdirde öyle yıllarca uğraşıp didinip elde avuçta yeni öğrenilmiş hiçbir şey olmayabilir. Fakat belki de ona ulaşırken edineceğimiz bilgiler değil ama Ulaştıktan sonra edineceğimiz bir takım bilgiler matematiğe ve dolayısıyla dünyaya ve evrene olan bakış açımızı değiştirebilir.