La Factorisation d'un Trinôme par la Formule Quadratique

Introduction

• Utilisation : Technique pour factoriser un trinôme de la forme $ax^2 + bx + c$.
• Formule quadratique : $\frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
• Condition : Factorisable si le discriminant $(b^2 - 4ac) \geq 0$.

Méthode des Racines

• Forme factorisée : $a(x - x_1)(x - x_2)$.
• Racines : $x_1$ et $x_2$ sont calculées via la formule quadratique.
• Note : Si une seule solution, alors $x_1 = x_2$.

Exemple 1

Trinôme : $2x^2 + 3x + 1$

• Paramètres : $a = 2$, $b = 3$, $c = 1$
• Calcul des racines :
  • $x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \times 2 \times 1}}{2 \times 2}$
  • $x_{1,2} = \frac{-3 \pm 1}{4}$
  • $x_1 = 0.25$, $x_2 = -1.25$
• Factorisation : $2x^2 + 3x + 1 = 2(x - 0.25)(x + 1.25)$

Exemple 2

Trinôme : $x^2 + 5x + 6$

• Paramètres : $a = 1$, $b = 5$, $c = 6$
• Calcul des racines :
  • $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \times 1 \times 6}}{2 \times 1}$
  • $x_{1,2} = \frac{-5 \pm 1}{2}$
  • $x_1 = -2$, $x_2 = -3$
• Factorisation : $x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)$

Conclusion

• La formule quadratique permet de factoriser efficacement les trinômes si le discriminant est positif ou nul.
• C’est une méthode fiable pour déterminer les racines et factoriser l’expression.