Limiti Notevoli

Introduzione ai Limiti Notevoli

• Definizione: Forme indeterminate classiche di cui si impara il risultato.
• Utilità: Consentono di risolvere una vasta gamma di limiti.

Limiti Notevoli Fondamentali

1. Limite di seno:
   [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin{x}}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata: 0/0.
   • Dimostrazione: Risultato provato attraverso analisi preliminare.

2. Limite esponenziale:
   [ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{x} = e ]

   • Forma indeterminata: 1^∞.
   • Esempio: Numero di Nepero ( e \approx 2,718 ).

Limiti Conseguenti

• Possibilità di derivare altri limiti dai due fondamentali.

Limiti Conseguenti Principali

1. Limite di tangente:
   [ \lim_{x \to 0} \frac{\tan{x}}{x} = 1 ]

   • Ricondotto a seno e coseno:
     [ \tan{x} = \frac{\sin{x}}{\cos{x}} ]
   • Risultato finale: 1.

2. Limite di coseno:
   [ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos{x}}{x^{2}} = \frac{1}{2} ]

   • Forma indeterminata: 0/0.
   • Utilizzo della relazione fondamentale della goniometria.

Esempi di Applicazione

1. Esercizio con seno e tangente:

   • Calcolare:
     [ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin{x} + 4x}{x\cos{x} + 2\sin{x}} ]
   • Risultato: 2.

2. Esercizio con radice:

   • Calcolare:
     [ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos{x}} - \cos^{2}{x}}{2x^{2}} ]
   • Risultato: ( \frac{1}{2} ).

Altri Limiti Importanti

1. Limite del logaritmo:
   [ \lim_{x \to 0} \frac{\ln{(1+x)}}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata: 0/0.
   • Utilizzo delle proprietà dei logaritmi.

2. Limite dell'esponenziale:
   [ \lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - 1}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata: 0/0.
   • Dimostrazione tramite sostituzione e riconduzione a limiti già noti.

Limiti Aggiuntivi

• ( \lim_{x \to 0} \frac{a^{x} - 1}{x} = \ln{a} )
• ( \lim_{x \to 0} \frac{\log_{a}(1+x)}{x} = \frac{1}{\ln{a}} )_

Conclusione

• Importanza di memorizzare i limiti notevoli e le loro conseguenze.
• Prossimo video: esercizi avanzati con i limiti notevoli.