प्रक्षिप्त गतिशीलता के नोट्स

Hello बच्चो, आज हम Projectile Motion का Complete Explanation लेके आए हैं इसके पहले अगर आपने Motion Under Gravity या मेरे Motion In A Straight Line Kinematics की वीडियो नहीं देखे हैं तो Kinematics Physics वाला सर्च कर लीजे, Motion In A Straight Line Physics वाला YouTube पे सर्च कर लीजे थोड़ा बहुत basic understanding हो जाए और अगर देखे हैं तो welcome very good morning हम स्टार्ट कर रहे हैं आज projectile motion ठीक है तो बच्चों, projectile motion, I don't know आपकी book में क्या लिखा है, और internet पे जगे क्या बता रहे हैं, जो actual meaning है projectile motion की, उसका मतलब होता है motion under gravity, जो actual meaning है, जो word से meaning निकलती है, वो है motion under gravity, मतलब gravity के presence में जो motion होता है, जैसे हम ball go perfect ते निचे आती है, पर ह जैसे school में हम ball से catch-catch खिलते थे, ऐसे ball को फेकते थे, football को या तो हम kick करें, तो football ऐसे-ऐसे roll करते हुए इधर आती है. मतलब हमारे syllabus में जो projectile motion की बात की है, वो motion in a plane में है. क्या होता है sir, motion in a plane? बच्चों plane एक ऐसी figure है जो 2 dimensional होती है जैसे ये board ये plane है ये x direction में भी है और y में भी है अभी तक आप पढ़ लेते हैं motion in a straight line मतलब एक single line में motion था या तो ऐसे चल रहा था या तो उपर चल रहा था एक straight line में motion था अभी motion plane में आ गया है मतलब दो dimensional में जैसे इस ball को देखो ये ball लगातार उपर भी जा रही और लगातार आगे भी जा रही यहां से यहां यह बॉल उपर गई है थोड़ा सा और देखो आगे भी मूफ की है जैसे यहां पे बॉल पहुँच गई तो यहां से कमपेर करो तो बॉल आगे भी पहुची है और कुछ उपर भी पहुची है मतलब मोशन X में भी हुआ है और Y में भी हु� इसको हम motion in a plane या motion in two dimension कहते हैं और projectile motion हमारे syllabus में जो है वो motion in two dimension का example है यह जो figure बनी है यह सबसे basic तरह का projectile motion है जब हम ball को ground से ही फिकते हैं और ball ground पे ही लोटाते हैं और भी कई तरह के projectile motion हमें आगे देखने हैं, but this is the most basic form. और यही से हम स्टार्ट करेंगे तो बच्चों जैसा हमने आपको बता दिया कि projectile motion 2 dimension का motion है कितने dimension का है 2 dimension का है तो बच्चों 2 dimension के motion को tackle करने का जो सबसे easy way है पहले मैं वो बताऊंगा फिर vector भी बताऊंगा ठीक है vector में कैसे deal करते हैं पहले सबसे easy भी देखो, आप ना इस motion को दो dimension में divide कर लो, हमने ball को फेका, ball ऐसे गई, यहां पहुची, नीचे गिरने लगी, और यहां पहुची, यह motion देखो x में भी है और y में भी, तो इस पूरे motion को हम दो direction में divide करेंगे, माल लेते हैं हमने ball को यहां से फेका है with speed u, इसकी initial speed u है, पर इसकी initial speed के बाद हमें दो component देखने होंगे, जैसे माल लो यहां पे theta angle पे फेका, तो बच्चों इसको हम x में और एक y में बच्चों जिधर angle theta होता है उधर component आता है cos theta और उसके perpendicular में component आता है u sin theta ये मैंने आपको vector के वीडियो पर बहुत बार समझाया कि अगर ये u है ये angle theta तो इस तरफ आएगा u cos theta और इसके perpendicular में u sin theta बच्चो ये इसकी speed हो गई किस direction में x direction में तो मैंने बोल दिया initial velocity in x direction और ये इसकी speed हो गई y direction में तो initial velocity in y direction है तो आपको ये समझना जरूरी था कि एक speed x direction में होगी एक y में अब x और y में कैसा motion हो रहा और बात करते हैं कि x और y में कैसा motion हो रहा तो x direction में initial velocity है u cos theta और y direction में initial velocity है u sin theta बच्चों ये जब ball आगे बढ़ेगी या ऐसे आगे बढ़ेगी ऐसे आगे तो इसके इस आगे वाले motion को oppose करने वाला या support करने वाला कोई exploration नहीं है अगर आप बोलोगे यहाँ पे exploration कौन सा है तो exploration यहाँ पे नीचे की तरफ लगता हुआ जी है exploration due to gravity क्या exploration due to gravity x direction में act करता है बिलकुल नहीं करता मतलब मैं यह कह रहा हूँ इसके पूरे motion में x direction में कोई exploration नहीं है मतलब exploration in x direction कितना है बच्चों? जीरो exploration जो भी है वो y direction में है और y direction में कौन सा exploration है? जी किस तरफ है? नीचे की तरफ का मैंने बोल दिया minus g तो हम लिखेंगे acceleration in x direction is 0 एक एक्स्क्लेरेशन वाइड डिरेक्शन है माइनस जी एंड विल बी ऑलवेज माइनस जी जैसे यहाँ पर G किदर लगेगा? नीचे तो G will always act downwards तो इस projectile motion में एक ही exploration है जो Y direction में अब बच्चो मान लो किसी motion में exploration ना हो तो velocity के साथ क्या होगा अगर exploration नहीं है मतलब velocity change नहीं होगी exploration is the rate of change in velocity यानि x direction में कोई exploration नहीं है तो हम ये बोल सकते हैं कि x direction की जो velocity है वो पूरे रास्ते कैसी रहेगी constant रहेगी x direction की velocity change नहीं होगी जैसे मालो u cos theta की value 4i तो वो value पूरे रास्ते 4 रहेगी यहापे before, यहापे before और यहाँ भी 4 क्योंकि x direction को oppose या support करने वाला कोई exploration नहीं मतलब हम यह समझते हैं कि projectile motion में जो x direction की velocity है it will remain constant y direction की velocity की बारें बच्चों क्या सोचते हो अब यह ball मानलो उपर जा रही initially 3 से ऐसी मान लिया 3 meter per second से तो gravity इसकी speed को कम करेगा यहां आते इसकी speed मालनो 2.5 हो गई यहां आते 1 हो गई और यहां आते इसकी speed 0 हो गई कौन सी speed 0 हुई सिर्फ y वाली x वाली 0 नहीं सिर्फ कौन सी y वाली तब ही तो यहाँ पे आके इसने उपर जाना बंद कर दिया मतलब इस point पे इसकी एक speed 0 हो गई कौन सी velocity in y direction becomes 0 and velocity in x direction is still what it was in the beginning शुरुवात में जितनी थी उतनी ही रहेगी यानि y की velocity धीमे कम होते हुए इस point पे पहुँचके, सबसे उपर पहुँचकर 0 होती है, अगर ये 0 नहीं होती, तो particle और उपर जाता, पर क्योंकि y की velocity 0 हो गई, तो particle ने उपर जाना बंद कर दिया, अब gravity उसे खीच के नीचे लाएगी, तो यहाँ y की velocity 0 हुई, अब यहाँ पे बंद हो यहाँ पे velocity 3 है, यहाँ पे मालो 2 हो गई, यहाँ पे आके 1 हो गई, यहाँ आके 0, फिर बढ़ना start की नीचे की तरफ हो जाएगी अब, क्योंकि गिर रही है ball, तो y की 1 हुई, 2 हुई, और यहाँ आके वापस 3 हो गई, so y direction की velocity की बात करें तो first it decreases फिर at maximum height ये जो जगा है maximum height velocity in y direction becomes 0 और अब इसको बढ़ता है, यहां से यहां बढ़ता है, तो हम आपको एक थोड़ा सा एनेलाइस करके बताया कि मोशन में क्या होगा, जो एक्स की विलोस्टी होगी, वो लगातार कॉंस्टेंट रह हमने यहाँ पर यह माना है कि कोई air resistance नहीं है, कोई friction नहीं है, कोई और object नहीं है, तब ही ऐसा हो पाएगा, अगर friction होगा तो बाकी सारी चीज़ें हैं, या air resistance होगा तो बाकी सारी चीज़ें change होगी, तो बच्चों इतनी बात हमेशा दिमाग रखनी है, क कि इस जगह पर क्या हुआ है? क्या इस जगह पर body की speed 0 है? Answer me, answer me. क्या इस जगह पर body की speed 0 है? नहीं. इस जगह पर body की vertical speed, y direction वाली speed 0 है, x वाली तो अभी भी वही है, जो शुरू में थी. तो इस जगह पे कौन सी speed 0 होती है सिर्फ vertical component of velocity इस जगह पे आके 0 हो जाता है तो यह मैंने आपको basic बताया अब projectile motion में कुछ special formula होते हैं और उनकी हम derivation भी सीखेंगे क्या special formula होते हैं क्या special terms होते हैं आएए बात करें जैसे मान लो ये projectile motion है यहां से फेका यहां पहुची ball फिर यहां ball stone कुछ भी बच्चो एक term होता है कि यहां से यहां कितना time लगा जिसको हम बोलते है time of flight यह जो पूरी flight है जो पूरी उडान है इसमें कितना time लगा ठीक दूसरा होता है बच्चों maximum height maximum height vertical direction में maximum कितना ऊपर गया देखो इतना ऊपर और यहां तो इसको हम बोलते हैं H max या H से denote करते हैं अगली चीज़ होती है बच्चों horizontal range इसको बोलते हैं R यह क्या है यह है कि X direction में horizontal direction में यह कितना दूर गया यह चीज़ X direction में कितना travel किया इसको हम बोलते हैं R horizontal range, इसको बोलते है maximum height और जो time लगा उसको बोलते है t तो आईए सबसे पहले start करते हैं, discuss करना time of flight को, time of flight निकालेंगे हम, ठीक है, तो हमको expression निकालन�� है time of flight का, तो पहले तो इसको note करके यादी कर लो, 2u sine theta बराबर g, ठीक है, तो पहले तो इसको याद कर लो, 2u sine theta बराबर g, time of flight note कर लो, 2u sine theta बरा और जी एक्स्ट्रोवेशन द्यूटू ग्राविटी अब आए देखें ये हम कैसे निकालेंगे हम एक काम करते हैं कि हम motion को consider करते हैं motion considered in y direction चीके एक बार में कोई एक motion लेना तब ही मज़ा आएगा motion को consider करते हैं किस direction में y और इस point को मैं बोल देता हूँ a इसको बोल दिया b इसको बोल दिया c और हम motion consider करते हैं a से b तक का अब A से B तक में मुझे यह बताओ, Y direction की initial velocity क्या होगी? तो बच्चों, इस तरफ velocity आएगी U cos theta, और इस तरफ आएगी U sin theta. तो Y direction में initial velocity कितनी है? U sin theta. फिर मैं पूछूं, exploration Y direction का कितना है? y direction में कितना exploration है एक ही exploration है g जो कि y में लग रहा तो मैंने लिखा minus g क्योंकि acceleration के दार लग रहा, नीचे, motion कहां से कहां है, a से b, फिर मैं पूछा final velocity in y direction क्या होगी, final velocity मतलब b point पे, तो b point पे आप देख रहे हो कि y वाली velocity कितनी हो जा रही, 0, यहां आकर y की velocity 0, तभी तो और उपर नहीं गया, क्योंकि y वाली velocity 0, और cohesion of motion under uniform acceleration, क्योंकि acceleration तो uniform है, constant है, so V is equals to U plus, A T apply किया, Y direction में A से B, final velocity 0, initial velocity U sine theta, acceleration minus G, और time को लिखा T, यह दर गया GT, और T is equals to आ जाएगा, U sine theta बराबर G, जी T इधर जाएगा, फिर T is equals to 2S, sorry, U sine theta बराबर G, तो यहां से यहां तक time लगा यू साइन थीटा बराबर जी, अब जितने टाइम में ये उपर जाएगा, उतने टाइम में नीचे आएगा, मतलब अगर ये वाला टाइम टी है, तो ये वाला टाइम भी कितना होगा, टी, तो हम बोलेंगे टोटल टाइम, या जिसको हम बोलते बहुत असान है मैंने बोला motion को किस में consider करो y में यहाँ पे initial velocity u sine theta final velocity इस जगा पर 0 कहां से कहां consider करो a से b consider करो acceleration पूरे रास्ते minus g y direction time नहीं पता v is equal to u plus a t लगाया t की value आई जितने time में 2T 2U sin theta yG बच्चों इसे चीज को derive करने का एक और तरीका है derive कर सकते हैं y direction का ही motion लेकर वाइड डिरेक्शन का ही मोशन लेकर पर एसे सी तक देखकर एसे बी की जगह एसे सी एक बार में आप मुझे बताओ इनीशल विलोसिटी इन वाइड डिरेक्शन कितनी है यू साइन थीटा है उपर की तरफ है तो प्लस एस्कलरेशन इन वाइ� मैं बोलू टाइम कितना लगा तो मैंने टाइम को बोला capital D पूरी जर्नी में जो टाइम लगा उसको बोल दिया capital T अब जो मैं question बोलूंगा उसका आंसर सोच के देना displacement in y direction कितना है बच्चों यहां से यहां तक में Y direction में कितना displacement है यहां से यहां तक में Y direction में कितना है तो Y direction का displacement तो 0 हुआ भाई Y में यह वाई में कहा पे था इस जगे पे था उपर गया फिर नीचे आया न इस प्लेसमेंट वह किसमें है एक्स में यहां का जो वाइट कॉर्डिनेट होगा वह यहां का होगा भाई वाइट में जितना ऊपर गया उतना ही तो लड़के नीचे आ गया मतलब वाइट में बिल्कुल मूव नहीं है यहां से और यहां पर देखो ऊपर यह point और यह point में कुछ y का difference है, मतलब displacement in y direction can be written as 0, now apply s is equals to ut plus half a t square, क्योंकि acceleration constant है, displacement y direction में 0, initial velocity u sine theta, टाप्टल टी प्लस हाफ एक इतना है माइनस जी इंटू टी स्क्वेर ठीक है यहां से मैं काम करता हूं टी कॉमन हो जाएगा तो बचेगा यू साइन थीटा माइनस जी टी बराबर टू अब इसके दो सलूशन बनेंगे बच् या तो t 0 हो, तो t 0 का मतलब तो initial यही वाला answer आ रहा है, तब भी तो displacement in y 0 था, equation of motion अपना answer दे रही है, वो कह रही है displacement y में 0 यहाँ पर भी है, और दूसरा answer यह रहा, जब u sine theta minus gt बराबर 2 कितना हो, 0, इधर से gt बराबर 2 इधर लाए, u sine theta is equals to gt बराबर 2, यहाँ स तो आप ऐसे डिराइव करो या वैसे डिराइव करो conceptually दोनों सही हैं इसका concept समझ में आया A से C ले लिया और Y direction का motion देखा तो A से C में displacement कितना है Y में 0 initial velocity U sine theta acceleration minus G और time को t s is equal to ut plus half 80 square लगाया और आगे तो हमने पहला term पढ़ लिया time of flight 2u sin theta बराबर g और derive करने का तरीका भी देखा और ये भी समझा कि जितने time में उपर जाता है उतने time में नीचे आता है ठीक है तो मैं यहाँ side में time of flight का formula लिख लेता हूँ 2u sin theta बराबर g अब बच्चों बात करते हैं maximum height की maximum height और ये maximum height किस direction में है सबको दिख रहा है y direction में तो हम y direction का ही motion consider करेंगे और y direction का motion consider कर लो a से b का क्योंकि maximum height कहाँ पर पहुच रही है b पे what is the initial velocity in y direction तो u sine theta क्योंकि A से B चल लेगो तो A initial point What is the final velocity in y direction? यहाँ पर आके y की velocity कितनी हो गई है? 0 लग दिया. Exclaration in y direction कितना है बच्चों? Minus g. और यहाँ से यहाँ displacement कितना है y में? ठीक है? यहाँ से यहाँ y में कितना displacement है? तो हमने बोला इसको H बोल दे यहाँ पे Y 0 है यहाँ पे Y H है तो displacement in y direction is equal to हम लिख सकते हैं हुआ है में कितना ऊपर गया है एक ऊपर किया इसके बाद आप अप्लाई कर दो वी स्क्वेयर इज इक्वल्स टू यू स्क्वेयर प्लस टू एस वी जीरो का स्क्वेयर यू साइन थीटा का whole square plus 2 into a कितना है minus g s कितना है h यह 2gh इधर गया तो 2gh is equals to यू साइन थीटा का होल स्क्वेर, मतलब यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा, यहां से ह की वैलू यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा डिवाइडेड बाई 2G, तो मैक्सिम हाइट का एक्सपेशन क्या आएगा, यू स्क्वेर साइन स आपको इसने initial velocity बताया, आपको angle theta बताया, आपने height निकाल दी, so the maximum height, h max, या h ही लिख देते हैं कई बार, u square, sine square theta, divided by 2g, ठीक है, उपर देखो, जी है, यहाँ पे 2g है, तो दो formula आपको मिल गया, और meaning भी समझ में आ गई ठीक है, maximum height में क्या लिया हमने, a से b का motion लिया, और y direction में consider किया, initial velocity u sine theta, यहाँ पे आके y वाली velocity 0, बार बोल रहा हूँ, इसको याद रखो, यहाँ पे पूरी velocity 0 नहीं, y वाली 0, exploration पूरे रास्ते minus g और displacement यहां से यहां y में माना h x की बात नहीं कर रहे हैं equation लगा दी और solve करके answer आया u square sin square theta बराबर 2G तो इनको note जरूर करें अभी शुरू में अब बच्चों आखरी term को हम derive करेंगे that is our horizontal range R ठीक है हमारा आखरी term है horizontal range R अब बच्चों R का formula मैं पहले आपको बता देता हूँ, R का formula है U square sin 2 theta बराबर G, U square sin 2 theta बराबर G, यह इसको आप ऐसे भी लिख सकते हो, U square 2 sin theta cos theta बराबर G, ठीक है, दोनों ही formula से ही है, यह sin 2 theta क्या होता है, 2 sin theta, x cos theta, sin 2 theta का formula क्या होता है, 2 sin theta x cos theta, आएए, इसको derive करने के लिए बच्चों, जो हम motion consider करेंगे, वो x direction का motion consider करेंगे, क्यों sir, क्योंकि आप देख रहे हो, horizontal range किस direction में है, x direction में ही है, तो हम x direction का motion consider करने जा रहे है, initial velocity in x direction कितनी है बच्चों u cos theta x में initial velocity u cos cos theta, exclamation x direction में कितना है बच्चों, सबने बोला zero, क्योंकि जो भी exclamation है वो y में है, displacement x में कितना है, कहां से कहां देख रहे a से लेकर c तक a से लेकर c तक, पूरा motion consider कर रहे हैं, तो displacement एक्स में कितना है इसी को तो हमने आर बोला है ये जो distance है इसी को हमने आर बोला है तो time किसके equal हो गया, टी के, अब आप apply कर दो, s is equals to ut plus half 80 square, s हमारा r, u है u cos theta, और t क्या है, time of flight, यहां से यहां कितना time लगा, time of flight के बराबर, तो इस value को, time of flight की value को t की जगह put कर देंगे, 2U sin theta बराबर G plus half और exclamation की value 0, तो इसको तो लिखने का कोई मतलब नहीं, 0 हो गया, तो range हमारी आ गई बच्चों, u square 2 sin theta cos theta बराबर g, यही हमको लानी थी, u square 2 sin theta cos theta बराबर g, और 2 sin theta cos theta क्या होता है, sin 2 theta होता है, 2 sin theta cos theta क्या होता है sin 2 theta तो इसी को हम लिख सकते हैं u square sin 2 2 theta बराबर g तो formulas बहुत धेर सा रहे हैं थोड़ा बहुत याद करेंगे दीमे याद हो जाएगा एक paper पे इसको लिखना पड़ेगा याद करना पड़ेगा तो range आ रही है u square sine 2 theta बराबर g और derive कैसे किया motion consider किया x direction में a से c तक तो सबसे पहले आप इन तीन फॉर्मलेस को लिखें, इनको याद करें, इन में difference समझें, रट जाना चाहिए आपको ये फॉर्मला, तो एक बार pause करके इस फॉर्मले को try करें, ठीक है, एक बार याद करें, क्या फॉर्मला हमारा T, time of flight का, maximum height का, और range का, इसका u square sin 2 theta बहाबर g तो हम लोगों कैसे याद हुआ ये numerical लगाके और बार revise करके तो इसके कुछ basics numerical लगा लो और formulas को लिख लो जबकि मैं आपको बता रहा हूँ आगे बिना formula के भी question solve होंगे अभी थोड़ा सा formula देख लिया चले पहले simple से questions करते हैं, जो एकदम formula based question आते हैं exam में, जैसे हमसे बोला, a ball is thrown with 5 meter per second, अट एंग्यों ऑफ प्रोजेक्शन 37 डिग्री फाइंड टाइम ऑफ लाइट मैक्सिमम हाइट एंड रेंज तो अब यह नहीं कि पूरा डाइग्राम अब तो फॉर्मला एक खटाक से लगा देते हैं टाइम का फॉर्मला बोलो तू यू साइन थीटा बराबर जी और जी की वैल्यू ने हमसे बोली कि 10 ले लीजिए टू इंटू यू कितना है 5 साइन 37 डिवाइड बाई एंड टू फाइड टेंट कैंसिल हो गया साइन 37 तो बच्चो 37 वाला triangle मैंने आपको बहुत बार बना किन्हें कहाया है फाइब होता है दो ट्रैंगल फेमस है बार-बार में हर वीडियो में दिखा रहा हूं आपको 153 डिग्री का इसमें सामने होता है फोर यहां पर थ्री यहां पर फाइब राइट एंग्ल ट्रैंगल है 345 वाला अब साइन 37 की वैल्यू यहां बोलो क्या होगी 3 बटे 5 हो जाएगी परपेंडिकुलर अपन है प्रिवर्स 3 बटे 5 तो यह आपका टाइम आ गया यानि 0.6 सेकंड्स हाइट पूछिए बच्चों तो हाइट इज इक्वल्स टू यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा बराबर टू जी यू कितना है 5 का square, sin 37 का square, divided by 2, into g की value 10, तो 25, sin 37 का square, यानि 3 by 5 into 3 by 5, divided by 2 into 10, 5 5s are 25 cancel, 9 बटे 20 is the maximum height. लास्ट पार्ट में क्या पूछा है आपसे रेंज, u square sine 2 theta by g, तो आप रेंज भी निकाल सकते हो, आइए, तो रेंज is equals to u square sine 2 theta by g, है न, अब आप sine 2 theta को क्या लिख सकते हो, u square 2 sine theta cos theta by g, u square यानि 5 into 2 into sine 37 multiplied by cos 37, डिवाइडेड बाई 10, 2 5s are 10, 10 cancel, 5 into sin 37 यहाँ से, 3 by 5, cos 37, 4 by 5, बेस अपॉन happiness, 5 cancel, 12 बटे, 5 meter is the range. तो यह basic सा सवाल हो गया, जिसमें आपको formula से सारे answers निकाल ले थे. अब बच्चों मैं इसी में आपसे एक सवाल पूछूंगा इसी question में कि आपसे कहा ये चीज दिवन है express express initial and final velocity and final velocity in vector form. इन वेक्टर फॉर यह डाइग्राम बनाते हैं यह मैंने वॉल को ऊपर फेका 5 से यह एंग्ल है साथ इस डिग्री तो इस तरफ कॉम्पोनेंट कितना आएगा 5 कॉस्ट 37 जो कि कितना हो जाएगा 4 बाई 5 तो यह 4 और इस तरफ कॉम्पोनेंट आएगा 5 साइन 37 स ठीक है अब यहीं से देख लो जब यह चीज 5 होती है तो वर्टिकल वाला 3 होता है और जंटल वाला 4 ठीक है या तो आप कर लेना यह कंपोनेंट कितना होगा 5 cos 37 कितना होगा 4 by 5 तो 4 by 5 लिखोगे cancel तो 4 आ गया इसी तरह से यह वाला कंपो अब वेक्टर फॉर्म में इस विलोसिटी को मैं लिखूं इनिशियल विलोसिटी को तो एक्स वाली 4 है उसके आगे लगा दूँगा आई कैप वाई वाली 3 है उसके आगे लगा दूँगा जे कैप तो यह हो गई initial velocity in vector form final velocity भी निकाल लिये ठीक है थोड़ा खिच गया ऐसे enter की थी तो बच्चों एक velocity होगी ऐसे और एक velocity होगी ऐसे, अब तो नीचे की तरफ होगी, अब मैंने आपको जो concept बताएं उसको याद रखो, x की velocity कहीं change नहीं होगी, मतलब यहाँ पे भी x की velocity कितनी होगी, 4, y की velocity decrease करते करते, यहाँ पे y की velocity कितनी हो जाएगी, 0, फिर increase करते करते, यहाँ पे उतनी ही हो जा 4i cap, y में किदर है नीचे चली गई, तो minus 3j cap तो x की final velocity 4i cap, y की नीचे की तरफ तो minus 3j cap इतना clear हो गया बच्चो, बहुत बढ़िया अब इसी question में अगर मैं आपसे पूछू इसी सवाल में अगर मैं आपसे पूछूं इस सवाल में आपसे पूछूं थोड़ा से change कर देते हैं a ball is thrown with 50 meter per second at एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन 37 डिग्री फाइंड विलोसिटी वेक्टर एंड स्पीड ऑफ पार्टिकल speed of particle after 2 seconds of projection projection के 2 second बाद आप ये चीजे determine करें ठीक है कर पाएंगे आइए देखते हैं, यह है, इसको मैंने फेका, अब इसकी speed कितनी है हमारी, 50 meter per second, angle कितना है, 37, तो इस बार इस तरफ कितना आ जाएगा, 40 आ जाएगा, इस तरफ कितना आ जाएगा, 30 आ जाएगा, कोई भी angle दिया हो, इधर cos theta, इधर उसका sin theta, यह हो तो बच्चों 2 सेकेंड बाद की कहानी कही है एक काम करते हैं after 2 सेकेंड्स तो आप मेरे को बताओ कौन सी स्पीड चेंज होगी कौन सी स्पीड चेंज नहीं होगी तो 2 सेकेंड के बाद x direction की speed तो अभी भी 40 meter per second होगी क्योंकि x की speed change नहीं हो रही जैसे मालो ये इसका motion है 2 second बाद वो कहीं यहाँ पहुचा 40 y की speed कुछ कम हो जाएगी y की speed घट रही है हो सकता हु यहाँ आ गया हु मुझे नहीं पता है एक approximation लिया अच्छा तो x की तो same है y की निकालने के लिए हम लगाते हैं y direction का motion क्योंकि y की speed घट रही है और फिर बढ़ भी रही है तो initial velocity in y direction is 30 acceleration in y direction is minus g तो हमने लिखा minus 10 ठीक है टाइम कितना दिया हमको 2 seconds अब आपको final velocity निकालनी है y direction में 2 second के बाद तो आप apply कर दोगे, v is equals to u plus 80, u कितना है हमारा 30, a की value minus 10, t की जगह 2, 30 minus 20 कितना हुई, 10, तो यह कितनी आएगी, 10 कैसी आ रही, plus, मतलब इसी तरफ है, 30 से घटते 10 हुई है, भी यहीं पे है, तो velocity in y direction कितनी रहेगी, 10 meter per second, तो 2 second के बाद तो velocity vector x में 40 है, 40 i cap, y में 10 है, plus 10 j cap, और क्या पूछा है, speed of particle, अब बच्चों आपको ये तो पता होगा कि speed होती क्या है, magnitude of velocity, velocity का जो magnitude होता है, उसको speed बोलते हैं, इस vector का magnitude हम कैसे निकालते हैं, vector का magnitude निकालने के लिए, i वाले term का square, plus j वाले terms का जो velocity का magnitude होगा वही क्या बनेगा speed बन जाएगा इसी question बच्चों आपसे और क्या पूछ सकता था in the same question they could have asked you find velocity vector and मालो आपसे यह पूछ दिया find velocity vector and and angle it makes with horizontal with horizontal यह velocity vector horizontal से कितना angle बना रहा जैसे यहाँ पर यह है velocity vector तो यह angle कितना है अब सोचने वाली बात है क्या projectile motion में angle भी change होगा बिलकुल होगा बच्चों आप देख रहे हो यह चीज छोटी हो गई यह चीज उतनी है तो यह थोड़ा इधर जुग जाएगा यह तो 40 ही रहा यह चोटा हो गया तो वेक्टर इधर जुग जाएगा तो यह एंगल भी चेंज हो गया हमसे यह एंगल पूछा बच्चों तो यह एंगल हम कैसे निकालेंगे हमसे पूछा 2 सेकंड के बाद विलोसिटी होरिजॉन्टल से कितना एंगल बना रही यह तो देखो एंगल कम हो गया, पहले एंगल देखो क्या था, जादा था, हमसे ये एंगल पूछा है, ठीक है, तो हमें ये एंगल निकालना है बच्चो, तो ये कितना है हमारा, y direction में 10, x direction में 40, तो आप यहां से बोल दो, tan theta is equals to क्या होगा, vy ब ठीक है यह भी हम कर सकते थे बहुत बढ़िया बच्चों इसी सवाल में आप से और क्या पूछ सकता था find displacement vector find displacement vector find displacement vector and displacement है एंड डिस्प्लेसमेंट आफ्टर टू सेकंड्स ऑफ प्रोजेक्शन डिस्प्लेसमेंट वेक्टर निकालिए और डिस्प्लेसमेंट निकालिए आइए बच्चों तो यह रहा मोशन हमारा अगर हमसे कंप्लीट रास्ते में डिस्प्लेसमेंट पूछता तो यह इतना डिस्प्लेसमेंट है और वहीं में एक्स में इतना आगे बड़ा है ठीक है और वाइट ना ऊपर गया है यह एक्स में आगे और वाइट में ऊपर हमें दोनों निकालने तो आइए दोनों displacement को अलग-अलग निकालते हैं, आइए x का निकालते हैं और y का निकालते हैं, x direction में initial velocity कितनी है हमारी, तो हम बना लेते हैं फिर से diagram, 50 थी, 37 degree, तो इधर 50 cos 37 कितना आ रहा 40 इधर 50 sin 37 कितना आ रहा 30 तो x की 40 है और y की initially 30 है तो ये 40 acceleration in x direction 0 x में कोई acceleration रहता नहीं time कितना 2 seconds तो आप यहाँ से लगा दो s is equals to ut plus half 80 square s की जगह put करोगे आप x put कर दो displacement हमने x माना है u कितना है 40 time है 2 और ये term 0 हो जाएगा क्योंकि a 0 तो x में displacement कितना है 80 meter y में निकालना है बच्चों initial velocity in y direction is 30 acceleration in y direction is minus 10, time लिया 2 seconds apply कर दो s is equal to ut plus half a t square s की जगह रख दो इस बार y क्योंकि इसको y बोला है u कितना है 30 into time 2 plus half a की जगह minus 10 और t कितना है 2 का square 4 तो y कितना हो जाएगा 60 माइनस 20 तो वाइट के वालू कितनी आ गई 40 ठीक है कैकुलेट कर लोगे यू की जगह 30 टाइम की जगह 2 60 हाफ एक displacement 40 है तो अगर आपसे displacement vector r पूछ रहा displacement vector तो x में कितना है 80 तो हम बोलेंगे 80 i cap और y में कितना है 40 plus मतलब उपर की तरफ है तो 40 j क्या यह हो गया displacement vector 80 i क्लाब plus 40 j क्या फिर क्या पूछ रहा है and displacement भी निकालो तो बच्चों displacement का जो magnitude है वो निकाल सकते हैं यह vector है इसका magnitude निकालना है यानि mod r पूछ रहा है तो mod r under root 80 का square plus 40 क तो यह मैंने कुछ आपको इस तरह question कराए तो बच्चो फॉर्मले पे बेस कुछ और question क्या आ सकते हैं हमारे पास जरा उनको देख लीजे मालिजि हमसे कहा for a projectile motion from ground to ग्राउंड मतलब सेम होरिजोंटर लेवल पे H is equals to R find angle of projection ठीक है, मतलब किसी projectile motion की maximum height और range बराबर है, तो आप से कह रहा है, आप angle of projection निकालो, ठीक है बच्चों, तो h is equals to r, formula base है, h की जगा u square sine square theta बराबर 2g, r की जगा 2u, sorry, r की जगा u square sine 2 theta बराबर g, u square ने u square को मार दिया, g ने g को मार दिया, है तो साइन स्क्वेर थीटा बराबर टू और साइन टू थीटा को लिखेंगे टू साइन थीटा कॉस्ट थीटा साइन थीटा एक साइड को भी मार दिया तो यह हो जाएगा साइन थीटा बटे कॉस्ट थीटा और यह पूर्व लेकर मिल्टिप्लाइड फोर तो tan theta is equals to 4, तो angle of projection ऐसा है, जिसका tan theta 4 है, theta is equals to tan inverse 4, this is the angle of projection, अच्छा बच्चों, समझ में आया है, अब मान लो, इसी में एक question थोड़ा चेंज कर दू, कि for a projectile motion from ground to ground, if maximum height is 30 root 3 meter and horizontal range is 120 meter, find find initial velocity and angle of projection theta पूछा है और यू पूछा है initial velocity and angle of projection ठीक है तो हमको दिया है height कितनी है 30 root 3 और हमको range बता रखी है कितनी है, कितनी range है, 120. आए दोनों के formulas put करते हैं, तो समझ में आएगा कि u और theta किस तरह से निकलेंगे. तो height का formula हो जाएगा u square sine square theta बराबर 2g is equals to 30 root 3. range का formula क्या है हमारा, u square sine 2 theta बराबर g is equals to 120. अब बच्चो करने का तरीका हम लोग बार सीख लिये हैं कि क्या लिख लें साइन 2 थीटा की जगा 2 साइन थीटा कॉस थीटा ठीक अब ध्यान से देखो अगर मैं इसको डिवाइड कर दू, तो U2 cancel हो जाएगा, GG cancel हो जाएगा, और थीटा का term आ जाएगा, तो आप first equation को second से डिवाइड कर दो, first equation divided by second, तो इसको इससे डिवाइड करने का मतलब U2 sin2 theta upon 2G, इससे डिवाइट करोगे तो यह cross multiply जी अपन U square 2 sin theta cos theta is equals to 30 root 3 divide by 120, यहाँ से जी ने जी को मारा, U square ने U square को मारा, एक sin theta से एक sin theta मर गया, बचा क्या, sin theta अपन cos theta और two twos are four, इस तरफ देखे, T root 3 upon 120 0 से 0 मरा 3 वनजा 3 वनजा 12 4 से 4 मरा sin theta by cos theta tan theta is equals to root 3 अब बच्चो tan theta root 3 कब होता है जब theta कितना हो 60 degree तो हमको angle of projection मिल चुका है कितना है 60 degree अब आपको initial velocity निकालनी है तो इन दोनों में से कोई भी formula use कल लो initial velocity आ जाएगी चाहिए formula चलो मैं इसको use कल लेता हूँ फर्स्ट वाले फॉर्मुले को यूज कर लूँ मैं आईए फर्स्ट वाले को यूज किया हमने तो हो जाएगा U square sine square 60 upon 2G is equals to 30 root 3 और G की value वही प्यारी सी 10 ले लेंगे हम तो U square sine 60 होता है root 3 by 2 इसका square मतलब 3 by 4 sin 60 root 3 by 2 उसका square करेंगे तो 3 by 4 upon 2g x 10 is equal to 30 root 3, now you can get the value of u as well, समझ में आ गया होगा, यहाँ से आपको u की value भी मिल जाएगी, और theta की value आपने कैसे निकाली, दोनों को divide करके निकाली, ठीक है बच्चो, अच्छा, मान लो आपको question दे for a projectile motion from ground to ground जो ground to ground है इस lecture में horizontal and vertical component horizontal and vertical component of initial velocity are, are, let it be, horizontal and vertical, 6 meter per second and 8 meter per second, find, find, टाइम आफ लाइट मैक्सिमम हाइट एंड रेंज यह सवाल दिया आपको और एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन थीटा सब करिए तो अब यह सवाल क्या कह रहा है आपसे horizontal और vertical component दिया initial velocity का ठीक है यह initial velocity u मानते थे हम angle theta इधर कितना u cos theta इधर कितना u sin theta ठीक तो हमसे बोल रहा है u cos theta horizontal कितना है 6 और वर्टिको का उपरेंड कितना है? 8, तो U sine theta 8, तो हमसे बोला है U cos theta is 6, U sine theta is 8, क्या निकालना है? Time of flight निकालना है, height निकालना है, R और theta, खटक से निकलेगा, time of flight का formula बोलो, 2U sine theta बराबर G, तो 2 into u sine theta कितना है 8 बराबर g की value 10 निकलाया फिर क्या बोला है height निकालना है height का formula बोलो यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा बराबर 2 जी, इसको ऐसे लिख सकते हो, यू साइन थीटा का होल स्क्वेर बराबर 2 जी, यू साइन थीटा की वैल्यू कितनी है, 8, तो 8 का स्क्वेर अपन 2 इंटू 10 निकलाया, और क्या निकालना है, रेंज नि cos theta बराबर g अब इसमें मैं एक काम करता हूँ इसको ऐसे लिख दू u sine theta ध्यान से देखो u sine theta u cos theta into 2 बराबर g लिख सकता हूँ u sine theta u cos theta into 2 बराबर g u sine theta की value आपको given है 8 u cos theta की value आपको given है 6 2 divide by g की value 10 और इस तरह से आप रेंज हाइट या टाइम और फ्लाइट निकाल सकते हो अगर आपको इनीशल विलोसिटी का होरिजन्टल और वॉर्टिकल कंपोनेंट दिया हो तो ब यहाँ पर U2 2 sin theta cos theta, मैंने कहा एक को U sin theta, एक को U cos theta और values उठा के रख दी, और क्या angle of projection theta, इससे इसको divide कर दो, divide करोगे तो U cancel, sin theta बटे cos theta is equals to 8 बटे 6, 2 4 जा 8, 2 3 जा 6, यह कितना हो गया, tan theta is equals to 4 by 3, तो ऐसा triangle है, इसमे ये triangle कौन सा है पहचानते ही होंगे आप, जहाँ पे theta कितना होता है, 53 degree, tan theta 4 by 3, ये triangle पहचान रहे हैं कि नहीं, perpendicular, base, hypotenuse, ये theta कितना होता है, 53, so theta will be 53, और सारे answer आपने निकाल दिये, तो बच्चों ये कुछ basic तरह के सवाल थे जो projectile motion पे आते हैं जो बिना formulas के solve होंगे ठीक है बच्चों अब हम बात करते हैं range के बारे में रेंज के बारे में एक चर्चा, एक important topic, एक important बाते हमें करनी जरूरी है और वो ये है बच्चों कि range is same for two different angles of projection if U is same ठीक है दो डिफरेंट एंगल ऑफ प्रोजेक्शन के लिए रेंज सेम होती है जब यू सेम हो और वो डिफरेंट एंगल होते हैं एक होता है थीटा तो दूसरा होता है 90 माइनस थीटा ठीक है इसका डायग्राम आपको मैं दिखाता हूँ सम मान लो उसी को मैं 90- थीटा पे प्रोजेक्ट करूँ, जैसे मान लो पहले मैंने 30 पे प्रोजेक्ट किया, तो फिर 90- 30 मतलब 60 पे प्रोजेक्ट किया, एक बार मैंने 30 पे प्रोजेक्ट किया, अब एंग्ल डेफिनेटली अलग है, मैक्सिमम हाइड भी अलग-अलग है, 60 पे आप देख रहे होंगे मैक्सिमम हाइड ज़्यादा है, 30 पे कम, पर जो होरिजॉन्टल डिस्टेंस है, वो क्या आ रहा? सेम. तो ये एक important point आपको coffee में डालना पड़ेगा कि range is same for two different angles of projection if U is same और वो different angle होंगे theta और 90 minus theta मतलब 30 degree पे जो range आएगी वही 60 पे आएगी या 20 degree पे जो range आएगी वही 70 पे आएगी या 10 degree पे जो range आएगी वही 80 पे आएगी या 15 degree पे जो range आएगी वही 75 पे आएगी बात समझ में आई कि range same होगी दो different angle of projection पे maximum height अलग है पर range देखो क्या आ रही है सीमा रही है ठीक है तो यह एक important concept है इसको आप याद रखेंगे बच्चों अच्छा आपको विश्वास नहीं हो रहा तो मैं इसका proof भी दे दूँ आपको range का formula बोलो range का formula है u square sine 2 theta बराबर g अब देखो ध्यान से मैं एक बार theta की जगा theta put करूँगा एक बार theta की जगा 90 minus theta अब 90 minus theta r is equals to u square sine 2 90 minus theta बराबर जी, अब बच्चों ये कितना हो गया, u square sine 180 minus 2 theta बराबर जी, अब sine 180 minus 2 theta will be sine theta, भाई sine के अंदर अगर 180 minus x लिखा है, तो वो किसके equal आता है, sine x के equal आता है, तो ये कितना आएगा, u square sine 2 theta बराबर जी, तो आपने देखा चाहे चाहे यहाँ पर 90 minus theta range क्या आती है, same, तो range is same for two different angle of projection, for same velocity, initial velocity, if those angles are theta and 90 minus theta, ठीक है, clear हो गया, but क्या चीज़ अलग होती है बच्चों इसमें, maximum height, याद रखना, range तो same होती है इन दोनों case में, प और ठीक है इसके लिए हमें option दिया या तो under root 4 h1 h2 is equals to r या तो under root 2 h1 h2 is equals to r option C under root 4 4H1H2 is equal to R या option D 2 under root H1H2 is equal to R ऐसे option दिये और हमसे का ऐसे solve करो तो हम क्या करते हैं एक बार मान लेते हैं थीटा पे height है H1 और 90 minus थीटा पे मान लेते हैं height है H2 ठीक है तो different पे हमने height different मान ली अब H1 के लिए आप क्या लिख सकते हो आप लिख सकते हो u square sin square cos2 θ बराबर 2G, और h2 गले क्या लिख सकते हो, u2 sin2 कितना, 90-θ बराबर 2G, बचों ये क्या बन जाएगा, ये बन जाएगा, u2 sin2 90-θ is cos2 θ बराबर 2G, अब बचों range का formula क्या होगा, range तो दोनों case में क्या होगी, same, क्या हैगी, u square sin square sin 2 θ बराबर जी, अब sin 2 θ को हम क्या लिख सकते हैं, u square 2 sin θ cos θ बराबर जी लिख सकते हैं, इसको हम ऐसे भी लिख सकते हैं बच्चों, u sin θ into u cos θ into 2 बराबर जी, अब u sin θ की value यहां से निकालो, u sin θ कितना हो गया, root 2 g h1, इसी तरह से यहाँ से U cos theta कितना आएगा, 2GH2 उधर गया और root लग जाएगा, 2GH2, समझ में आ रहा है, वो square है न, तो U sin theta की जगह under root 2GH1, U cos यहाँ जाएगा, under root 2GH2 multiplied by 2 बटे G, यहाँ से GG multiplied होके root के बाहर आएगा, GG cancel, 2 और 2, तो root के अ और जी cancel हो गया, यह आ गया r, तो r is equals to under root 4, h1, h2, कौन सा option है, option a, ठीक, तो clear हो गया, इसी तरह से हमारी range पे एक और बात बड़ी important होती है, कि maximum range कब होगी, ठीक है, range हमारी maximum कब होगी, when will be the range, will be maximum, ठीक है जैसे मान लो हमारे long jump के competition होते हैं जिसमें एक athlete दौड़ता है दौड़के कूदता है तो उसको ज़्यादा उचा नहीं कूदना उसको सबसे लंबा कूदना है ठीक है सबसे लंबा कूदने के लिए दो factor responsible होंगे अगर range का formula आ� जिस एंगल पे कूदा, कम एंगल पे कूदे तो शायद कम रेंच हो, जादा पे शायद जादा, कहीं भी या बीच में जादा, अभी हमें उसमें से क्या चीज उसके हाथ में ज्यादा है या ज्यादा इजली है वह है एंगिल बाई स्पीड तो सब उतनी गेन करेंगे बाई दो जो range है वो कैसी आए maximum जो वो long jump लेना चाहता है वो कैसी हो maximum theta की help से you तो change करने के लिए वो तेज़ दोड़ेगा रेंज उतनी जदा होगी यू जितना जदा हम लोग लंबा कूदना होता है, हम लोग खुब तेज़ दोरते हैं, पर angle भी यहाँ पे role play करेगा, तो बच्चों, angle अगर 45 degree होगा, तो range हमारी कैसी होगी, maximum होगी, बाब बोलोगे कैसे निकाला, तो अगर आपने मेरा differentiation का video देखा है, तो बहुत दी आर बाई दी थीटा की वैलू जीरो जहां पे डी वाई बाई डी एक्स जीरो होता है वो जगह मैक्सिमा की होती है यह हमने आपको बताया था तो इसको डिफरेंशेट कर लो विद रिस्पेक्ट टू थीटा तो डी आर बाई डी थीटा हम और फिर इसका 2 थीटा का definition 2 और G as it is रह गया अब बोला D R जीडा कितना हो जाए जीरो हो जाए मतलब यू स्क्वेर कॉस्ट टू थीटा मल्टीप्लाइड बाई टू डिवाइड बाई जी तो ये चीज 0 होगी, तो cos 2 theta is equal to 0, अब cos 0 कब होता है, 90 degree पे, मतलब 2 theta की value कितनी होगी, 90, मतलब theta कितना होगा, 45, तो at 45 degree the range is maximum, और व्यास मैक्सिमम आवश्यक करें यू स्क्वेर साइन टू थीटा बराबर जी थीटा के जगह 45 तो यू स्क्वेर साइन 45 x 2 90 बराबर जी साइन 90 is 1 सो range maximum होती है U square बराबर जी that the maximum range is U square बराबर जी maximum range कितनी है U square बराबर जी और कब आती है जब angle of projection कितना ले ले, 45 degree, ground से, ground वाले case में, तो बच्चों ये projectile motion की basic चीज़े बताई, इसके बाद आता है कि projectile motion की जो path है, वो कैसी path है, तो projectile motion की बच्चों जो path है, वो है parabolic path, कैसी path है, parabolic, यह जो path लेता है projectile motion इस path को हम circular नहीं बोलते हैं parabolic बोलते हैं यह जो path है यह मैच में इस कर्व का नाम रखा गया है पैराबोलिक कर्व या पैराबोला ठीक है पैराबोलिक या पैराबोला यह सरकिल नहीं है यह स्ट्रेट लाइन नहीं है यह पैराबोला का या तो ऐसा कोई कर्व बना हो या तो ऐसा कोई कर्व बना हो quadratic equation के graph भी आप देखो तो parabolic होते हैं ऐसे graph को हम maths में या science में parabolic graph बोलते हैं तो ये graph देखो parabolic जैसा है इसकी जो path होती है, वो path कैसी होती है? Parabolic. तो यार देख के तो decide नहीं करना चाहिए ना, क्योंकि हम science पढ़ रहे हैं, physics पढ़ रहे हैं, देख के decide तो circle भी हो सकता है, ना. तो इसके लिए हमें condition है, जो देखनी पढ़ेगी. और बच्चों parabola की जो condition होती है वो होती है y square is proportional to x दिखाना पड़ेगा y square is proportional to x parabola का जो equation होता है उसमें एक term y square का होना चाहिए एक term x का होना चाहिए जो parabolic equation बनती है तो ideal equation होती है y square is equal to 4ax तो इस form में अगर projectile की equation को हम express कर सके तो projectile parabolic होगा नहीं कर पाए तो parabolic नहीं होगा तो हमें कुछ इस form म��ं projectile की equation को लाना है कि पूरे टॉपिक को बच्चो जो नाम किताब में देते हैं, वो देते हैं equation of trajectory. क्या नाम देते हैं? equation of trajectory. trajectory का मतलब होता है path. equation of trajectory वो होती है जो y और x को relate करें कि कोई भी particle motion कर रहा है उसके y और x को relate करें जैसे हम बोलें कोई particle move कर रहा है y is equals to x से तो आप समझ जाओगे कि जितना x में चलता है उतना ही y में चलता है मैं बोलूं कोई particle चल रहा है y is equals to 2x से तो माललो जब x में 1 meter चलेगा तो y में 2 तो ऐसी equation बनाकर देना जो particle के x और y को relate करे और बताए कि उसकी path कैसी है उसको बोलते है equation of trajectory equation of trajectory में बच्चों time का term नहीं होता no term of t या time ताइम का टर्म नहीं होता, इसमें सिर्फ हम y और x को relate करते हैं, कि जब x इतना होगा, तो y कितना, या जब y इतना होगा, तो x कितना, मतलब projectile motion में से हमको time को हटाना है, और y और x को relate करना है, एक normal सा projectile motion हम ले लेते हैं, initial velocity मान लेते हैं u, angle मान लेते हैं theta, मान लेते हैं t time बाद particle यहां पहुचा, कितने time बाद, t time बाद particle यहां पहुचा, तो x में आगे बढ़ा x, y में उपर गया y, अब हमें y और x को relate करना है इस point तक तो motion को consider करो x direction में और y direction में, initial velocity in x direction कितनी होगी बच्चों, u cos theta, initial velocity in y direction कितनी होगी, यू साइन थीटा, एस्कलेशन इन एक्स डिरेक्शन कितना है? जीरो, एस्कलेशन इन याद डिरेक्शन है? माइनस जी, कितने टाइम तक चले टी, अपलाई कर दो दोनों तरफ, S is equals to U T plus half A T square, यहाँ S की ज S is equals to U T plus half A T square, S की जगा कितना रखोगे, Y, Y में displacement, U की जगा U sine theta, T की जगा T, plus half A की जगा minus G multiplied by T square, अब इन दोनों को आपको relate करना है, और इसमें से क्या हटाना है, time, time को eliminate करना है, time को eliminate, तो यहाँ से हम T की value निकाल लें, T is equals to, x बराबर u cos theta और t की इस value को यहाँ पे put कर दे, काम खतम, t की value यहाँ put करोगे, y और x का relation मिल जाएगा, तो आएए t की value put करते हैं और y और x का relation देखते हैं, ठीक है, तो y is equals to क्या बना है, u sin theta multiplied by t, t की जगह x upon u cos theta, प्लस यहाँ पर माइनस लगा है तो माइनस हाफ जी टी स्क्वेर टी की जगह एक्स स्क्वेर अपन यू स्क्वेर कॉस square थीटा ठीक है ना टी का square है तो x square अपन यू स्क्वेर कॉस्ट को इसके थीटा यू ने यू को मारा वाइस इक्वेल्स टू एक्स साइन थीटा अपन कॉस्ट थीटा टैन थीटा माइनस हाफ जी एक्स स्क्वेर अपन यू स्क्वेर कॉस्ट यह आया y और x का relation इसी को बोल��े हैं equation of trajectory equation of trajectory बहुत बेटर होगा आपको याद हो जाए y is equals to x tan theta minus half g x square upon u square cos square theta अब इस equation देखो y का term भी है और x square का term भी है मतलब ये कौन सी equation है parabola अगर y और x होते सिर्फ y और x होते तो straight line अगर y square और x square होते तो circle अब y और x square निकले तो parabola, वैसे कुछ और भी condition है, पर आपको exam में वो show नहीं करनी है, ये equation of trajectory है, किसकी, projectile की, y is equals to x tan theta minus half gx square upon 2u square cos square theta, निकालने का तरीका, x direction का motion, y का motion, time की value निकाल के यहाँ put कर दो, exam में ये बहु ठीक है तो आपको अब पता चल गई कि projectile motion parabolic path लेता है और उसकी जो equation है तो वो है y is equals to x tan theta minus half g x square upon u square cos square theta this is the equation of trajectory for a projectile motion ये derive करने को exam में पूछता है तो आप derive कर लेंगे time के term को हटाना है एक्स और वाइटेड मोशन को कंसिडेड करना टी टाइम तक टाइम की वैलू एक्स वाले में निकाल के वाइटेड में पुट कर देना अब इस पर question क्या बनता है question ऐसे बनता है कि मान लो एक equation है y is equals to ax minus bx square अब आपसे बोला this is the equation for projectile motion this is the equation for what for projectile motion for what projectile motion आपसे पूछा find initial velocity एंगिल आफ प्रोजेक्शन ठीक है आपसे यू पूछा थीटा पूछा आपसे कहा इनिशियल विलोस्ट निकालिए एंगिल आफ प् ideal equation से compare कर दो, तो x के साथ क्या लिखा है, tan theta, मतलब एक इसके equal हो जाएगा, tan theta के, तो ये आगे angle of projection, theta is equals to tan inverse a, पहला पार्ट खतम, फिर b को x square के साथ जितने terms हैं, उसको b से equate कर दो, मतलब b is equals to half g u square cos square theta, ये मिल गया, आपको यहां से U निकालना है, कैसे निकालोगे, यहां से देखो, tan theta का मतलब, sin theta बराबर cos theta is equals to A, बोल सकते हैं, यहां से टैन थीटा क्या होता है टैन थीटा होता है परपेंडिकुलर अपन बेस तो हम बोल सकते हैं टैन थीटा इस इक्वल्स टू ए बाई वन यहां से यह कितना आ जाएगा बनते हो अंडर रूट ए स्क्वेर प्लस वन अब जी अपन टू बी कॉस स्क्वे 2b, अब आप यहाँ से u भी निकाल सकते हो, u is equal to क्या लिख दोगे, इसका under root, इसी तरह से आप से time पूछेगा, तो 2u sin theta by g, u भी मिल गया है, sin theta आप यहाँ से निकाल सकते हो, ये बाई ये इस तरह से आपसे range पूछेगा तो u square 2 sin theta cos theta बाई जी या maximum height एक बार u और theta आ गया तो सारे काम हो जाएंगे एक को इस से compare किया तो tan theta एक equal आया तैन थीटा इस परपेंडिकुलर अपॉन बेस यहां ट्रैंगल बनाया आई बाई वन इसको अंडेलूट एसक्वायर प्लेस वन तो बच्चों इस तरह से equation of trajectory question solve करते हैं ये projectile motion का बड़ा ही basic lecture था और starting थी ठीक है अब अगले videos भी projectile पे आएंगे जिसमें किसी height से ball को फेकेंगे किसी height से ball को फेका ऐसे नीचे गिरी ऐसे ठीक है ground से ground नहीं ठीक है

जीरो exploration जो भी है वो y direction में है और y direction में कौन सा exploration है? जी किस तरफ है? नीचे की तरफ का मैंने बोल दिया minus g तो हम लिखेंगे acceleration in x direction is 0 एक एक्स्क्लेरेशन वाइड डिरेक्शन है माइनस जी एंड विल बी ऑलवेज माइनस जी जैसे यहाँ पर G किदर लगेगा?

नीचे तो G will always act downwards तो इस projectile motion में एक ही exploration है जो Y direction में अब बच्चो मान लो किसी motion में exploration ना हो तो velocity के साथ क्या होगा अगर exploration नहीं है मतलब velocity change नहीं होगी exploration is the rate of change in velocity यानि x direction में कोई exploration नहीं है तो हम ये बोल सकते हैं कि x direction की जो velocity है वो पूरे रास्ते कैसी रहेगी constant रहेगी x direction की velocity change नहीं होगी जैसे मालो u cos theta की value 4i तो वो value पूरे रास्ते 4 रहेगी यहापे before, यहापे before और यहाँ भी 4 क्योंकि x direction को oppose या support करने वाला कोई exploration नहीं मतलब हम यह समझते हैं कि projectile motion में जो x direction की velocity है it will remain constant y direction की velocity की बारें बच्चों क्या सोचते हो अब यह ball मानलो उपर जा रही initially 3 से ऐसी मान लिया 3 meter per second से तो gravity इसकी speed को कम करेगा यहां आते इसकी speed मालनो 2.5 हो गई यहां आते 1 हो गई और यहां आते इसकी speed 0 हो गई कौन सी speed 0 हुई सिर्फ y वाली x वाली 0 नहीं सिर्फ कौन सी y वाली तब ही तो यहाँ पे आके इसने उपर जाना बंद कर दिया मतलब इस point पे इसकी एक speed 0 हो गई कौन सी velocity in y direction becomes 0 and velocity in x direction is still what it was in the beginning शुरुवात में जितनी थी उतनी ही रहेगी यानि y की velocity धीमे कम होते हुए इस point पे पहुँचके, सबसे उपर पहुँचकर 0 होती है, अगर ये 0 नहीं होती, तो particle और उपर जाता, पर क्योंकि y की velocity 0 हो गई, तो particle ने उपर जाना बंद कर दिया, अब gravity उसे खीच के नीचे लाएगी, तो यहाँ y की velocity 0 हुई, अब यहाँ पे बंद हो यहाँ पे velocity 3 है, यहाँ पे मालो 2 हो गई, यहाँ पे आके 1 हो गई, यहाँ आके 0, फिर बढ़ना start की नीचे की तरफ हो जाएगी अब, क्योंकि गिर रही है ball, तो y की 1 हुई, 2 हुई, और यहाँ आके वापस 3 हो गई, so y direction की velocity की बात करें तो first it decreases फिर at maximum height ये जो जगा है maximum height velocity in y direction becomes 0 और अब इसको बढ़ता है, यहां से यहां बढ़ता है, तो हम आपको एक थोड़ा सा एनेलाइस करके बताया कि मोशन में क्या होगा, जो एक्स की विलोस्टी होगी, वो लगातार कॉंस्टेंट रह हमने यहाँ पर यह माना है कि कोई air resistance नहीं है, कोई friction नहीं है, कोई और object नहीं है, तब ही ऐसा हो पाएगा, अगर friction होगा तो बाकी सारी चीज़ें हैं, या air resistance होगा तो बाकी सारी चीज़ें change होगी, तो बच्चों इतनी बात हमेशा दिमाग रखनी है, क कि इस जगह पर क्या हुआ है? क्या इस जगह पर body की speed 0 है? Answer me, answer me. क्या इस जगह पर body की speed 0 है?

नहीं. इस जगह पर body की vertical speed, y direction वाली speed 0 है, x वाली तो अभी भी वही है, जो शुरू में थी. तो इस जगह पे कौन सी speed 0 होती है सिर्फ vertical component of velocity इस जगह पे आके 0 हो जाता है तो यह मैंने आपको basic बताया अब projectile motion में कुछ special formula होते हैं और उनकी हम derivation भी सीखेंगे क्या special formula होते हैं क्या special terms होते हैं आएए बात करें जैसे मान लो ये projectile motion है यहां से फेका यहां पहुची ball फिर यहां ball stone कुछ भी बच्चो एक term होता है कि यहां से यहां कितना time लगा जिसको हम बोलते है time of flight यह जो पूरी flight है जो पूरी उडान है इसमें कितना time लगा ठीक दूसरा होता है बच्चों maximum height maximum height vertical direction में maximum कितना ऊपर गया देखो इतना ऊपर और यहां तो इसको हम बोलते हैं H max या H से denote करते हैं अगली चीज़ होती है बच्चों horizontal range इसको बोलते हैं R यह क्या है यह है कि X direction में horizontal direction में यह कितना दूर गया यह चीज़ X direction में कितना travel किया इसको हम बोलते हैं R horizontal range, इसको बोलते है maximum height और जो time लगा उसको बोलते है t तो आईए सबसे पहले start करते हैं, discuss करना time of flight को, time of flight निकालेंगे हम, ठीक है, तो हमको expression निकालन�� है time of flight का, तो पहले तो इसको note करके यादी कर लो, 2u sine theta बराबर g, ठीक है, तो पहले तो इसको याद कर लो, 2u sine theta बराबर g, time of flight note कर लो, 2u sine theta बरा और जी एक्स्ट्रोवेशन द्यूटू ग्राविटी अब आए देखें ये हम कैसे निकालेंगे हम एक काम करते हैं कि हम motion को consider करते हैं motion considered in y direction चीके एक बार में कोई एक motion लेना तब ही मज़ा आएगा motion को consider करते हैं किस direction में y और इस point को मैं बोल देता हूँ a इसको बोल दिया b इसको बोल दिया c और हम motion consider करते हैं a से b तक का अब A से B तक में मुझे यह बताओ, Y direction की initial velocity क्या होगी?

तो बच्चों, इस तरफ velocity आएगी U cos theta, और इस तरफ आएगी U sin theta. तो Y direction में initial velocity कितनी है? U sin theta.

फिर मैं पूछूं, exploration Y direction का कितना है? y direction में कितना exploration है एक ही exploration है g जो कि y में लग रहा तो मैंने लिखा minus g क्योंकि acceleration के दार लग रहा, नीचे, motion कहां से कहां है, a से b, फिर मैं पूछा final velocity in y direction क्या होगी, final velocity मतलब b point पे, तो b point पे आप देख रहे हो कि y वाली velocity कितनी हो जा रही, 0, यहां आकर y की velocity 0, तभी तो और उपर नहीं गया, क्योंकि y वाली velocity 0, और cohesion of motion under uniform acceleration, क्योंकि acceleration तो uniform है, constant है, so V is equals to U plus, A T apply किया, Y direction में A से B, final velocity 0, initial velocity U sine theta, acceleration minus G, और time को लिखा T, यह दर गया GT, और T is equals to आ जाएगा, U sine theta बराबर G, जी T इधर जाएगा, फिर T is equals to 2S, sorry, U sine theta बराबर G, तो यहां से यहां तक time लगा यू साइन थीटा बराबर जी, अब जितने टाइम में ये उपर जाएगा, उतने टाइम में नीचे आएगा, मतलब अगर ये वाला टाइम टी है, तो ये वाला टाइम भी कितना होगा, टी, तो हम बोलेंगे टोटल टाइम, या जिसको हम बोलते बहुत असान है मैंने बोला motion को किस में consider करो y में यहाँ पे initial velocity u sine theta final velocity इस जगा पर 0 कहां से कहां consider करो a से b consider करो acceleration पूरे रास्ते minus g y direction time नहीं पता v is equal to u plus a t लगाया t की value आई जितने time में 2T 2U sin theta yG बच्चों इसे चीज को derive करने का एक और तरीका है derive कर सकते हैं y direction का ही motion लेकर वाइड डिरेक्शन का ही मोशन लेकर पर एसे सी तक देखकर एसे बी की जगह एसे सी एक बार में आप मुझे बताओ इनीशल विलोसिटी इन वाइड डिरेक्शन कितनी है यू साइन थीटा है उपर की तरफ है तो प्लस एस्कलरेशन इन वाइ� मैं बोलू टाइम कितना लगा तो मैंने टाइम को बोला capital D पूरी जर्नी में जो टाइम लगा उसको बोल दिया capital T अब जो मैं question बोलूंगा उसका आंसर सोच के देना displacement in y direction कितना है बच्चों यहां से यहां तक में Y direction में कितना displacement है यहां से यहां तक में Y direction में कितना है तो Y direction का displacement तो 0 हुआ भाई Y में यह वाई में कहा पे था इस जगे पे था उपर गया फिर नीचे आया न इस प्लेसमेंट वह किसमें है एक्स में यहां का जो वाइट कॉर्डिनेट होगा वह यहां का होगा भाई वाइट में जितना ऊपर गया उतना ही तो लड़के नीचे आ गया मतलब वाइट में बिल्कुल मूव नहीं है यहां से और यहां पर देखो ऊपर यह point और यह point में कुछ y का difference है, मतलब displacement in y direction can be written as 0, now apply s is equals to ut plus half a t square, क्योंकि acceleration constant है, displacement y direction में 0, initial velocity u sine theta, टाप्टल टी प्लस हाफ एक इतना है माइनस जी इंटू टी स्क्वेर ठीक है यहां से मैं काम करता हूं टी कॉमन हो जाएगा तो बचेगा यू साइन थीटा माइनस जी टी बराबर टू अब इसके दो सलूशन बनेंगे बच् या तो t 0 हो, तो t 0 का मतलब तो initial यही वाला answer आ रहा है, तब भी तो displacement in y 0 था, equation of motion अपना answer दे रही है, वो कह रही है displacement y में 0 यहाँ पर भी है, और दूसरा answer यह रहा, जब u sine theta minus gt बराबर 2 कितना हो, 0, इधर से gt बराबर 2 इधर लाए, u sine theta is equals to gt बराबर 2, यहाँ स तो आप ऐसे डिराइव करो या वैसे डिराइव करो conceptually दोनों सही हैं इसका concept समझ में आया A से C ले लिया और Y direction का motion देखा तो A से C में displacement कितना है Y में 0 initial velocity U sine theta acceleration minus G और time को t s is equal to ut plus half 80 square लगाया और आगे तो हमने पहला term पढ़ लिया time of flight 2u sin theta बराबर g और derive करने का तरीका भी देखा और ये भी समझा कि जितने time में उपर जाता है उतने time में नीचे आता है ठीक है तो मैं यहाँ side में time of flight का formula लिख लेता हूँ 2u sin theta बराबर g अब बच्चों बात करते हैं maximum height की maximum height और ये maximum height किस direction में है सबको दिख रहा है y direction में तो हम y direction का ही motion consider करेंगे और y direction का motion consider कर लो a से b का क्योंकि maximum height कहाँ पर पहुच रही है b पे what is the initial velocity in y direction तो u sine theta क्योंकि A से B चल लेगो तो A initial point What is the final velocity in y direction? यहाँ पर आके y की velocity कितनी हो गई है? 0 लग दिया. Exclaration in y direction कितना है बच्चों?

Minus g. और यहाँ से यहाँ displacement कितना है y में? ठीक है? यहाँ से यहाँ y में कितना displacement है? तो हमने बोला इसको H बोल दे यहाँ पे Y 0 है यहाँ पे Y H है तो displacement in y direction is equal to हम लिख सकते हैं हुआ है में कितना ऊपर गया है एक ऊपर किया इसके बाद आप अप्लाई कर दो वी स्क्वेयर इज इक्वल्स टू यू स्क्वेयर प्लस टू एस वी जीरो का स्क्वेयर यू साइन थीटा का whole square plus 2 into a कितना है minus g s कितना है h यह 2gh इधर गया तो 2gh is equals to यू साइन थीटा का होल स्क्वेर, मतलब यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा, यहां से ह की वैलू यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा डिवाइडेड बाई 2G, तो मैक्सिम हाइट का एक्सपेशन क्या आएगा, यू स्क्वेर साइन स आपको इसने initial velocity बताया, आपको angle theta बताया, आपने height निकाल दी, so the maximum height, h max, या h ही लिख देते हैं कई बार, u square, sine square theta, divided by 2g, ठीक है, उपर देखो, जी है, यहाँ पे 2g है, तो दो formula आपको मिल गया, और meaning भी समझ में आ गई ठीक है, maximum height में क्या लिया हमने, a से b का motion लिया, और y direction में consider किया, initial velocity u sine theta, यहाँ पे आके y वाली velocity 0, बार बोल रहा हूँ, इसको याद रखो, यहाँ पे पूरी velocity 0 नहीं, y वाली 0, exploration पूरे रास्ते minus g और displacement यहां से यहां y में माना h x की बात नहीं कर रहे हैं equation लगा दी और solve करके answer आया u square sin square theta बराबर 2G तो इनको note जरूर करें अभी शुरू में अब बच्चों आखरी term को हम derive करेंगे that is our horizontal range R ठीक है हमारा आखरी term है horizontal range R अब बच्चों R का formula मैं पहले आपको बता देता हूँ, R का formula है U square sin 2 theta बराबर G, U square sin 2 theta बराबर G, यह इसको आप ऐसे भी लिख सकते हो, U square 2 sin theta cos theta बराबर G, ठीक है, दोनों ही formula से ही है, यह sin 2 theta क्या होता है, 2 sin theta, x cos theta, sin 2 theta का formula क्या होता है, 2 sin theta x cos theta, आएए, इसको derive करने के लिए बच्चों, जो हम motion consider करेंगे, वो x direction का motion consider करेंगे, क्यों sir, क्योंकि आप देख रहे हो, horizontal range किस direction में है, x direction में ही है, तो हम x direction का motion consider करने जा रहे है, initial velocity in x direction कितनी है बच्चों u cos theta x में initial velocity u cos cos theta, exclamation x direction में कितना है बच्चों, सबने बोला zero, क्योंकि जो भी exclamation है वो y में है, displacement x में कितना है, कहां से कहां देख रहे a से लेकर c तक a से लेकर c तक, पूरा motion consider कर रहे हैं, तो displacement एक्स में कितना है इसी को तो हमने आर बोला है ये जो distance है इसी को हमने आर बोला है तो time किसके equal हो गया, टी के, अब आप apply कर दो, s is equals to ut plus half 80 square, s हमारा r, u है u cos theta, और t क्या है, time of flight, यहां से यहां कितना time लगा, time of flight के बराबर, तो इस value को, time of flight की value को t की जगह put कर देंगे, 2U sin theta बराबर G plus half और exclamation की value 0, तो इसको तो लिखने का कोई मतलब नहीं, 0 हो गया, तो range हमारी आ गई बच्चों, u square 2 sin theta cos theta बराबर g, यही हमको लानी थी, u square 2 sin theta cos theta बराबर g, और 2 sin theta cos theta क्या होता है, sin 2 theta होता है, 2 sin theta cos theta क्या होता है sin 2 theta तो इसी को हम लिख सकते हैं u square sin 2 2 theta बराबर g तो formulas बहुत धेर सा रहे हैं थोड़ा बहुत याद करेंगे दीमे याद हो जाएगा एक paper पे इसको लिखना पड़ेगा याद करना पड़ेगा तो range आ रही है u square sine 2 theta बराबर g और derive कैसे किया motion consider किया x direction में a से c तक तो सबसे पहले आप इन तीन फॉर्मलेस को लिखें, इनको याद करें, इन में difference समझें, रट जाना चाहिए आपको ये फॉर्मला, तो एक बार pause करके इस फॉर्मले को try करें, ठीक है, एक बार याद करें, क्या फॉर्मला हमारा T, time of flight का, maximum height का, और range का, इसका u square sin 2 theta बहाबर g तो हम लोगों कैसे याद हुआ ये numerical लगाके और बार revise करके तो इसके कुछ basics numerical लगा लो और formulas को लिख लो जबकि मैं आपको बता रहा हूँ आगे बिना formula के भी question solve होंगे अभी थोड़ा सा formula देख लिया चले पहले simple से questions करते हैं, जो एकदम formula based question आते हैं exam में, जैसे हमसे बोला, a ball is thrown with 5 meter per second, अट एंग्यों ऑफ प्रोजेक्शन 37 डिग्री फाइंड टाइम ऑफ लाइट मैक्सिमम हाइट एंड रेंज तो अब यह नहीं कि पूरा डाइग्राम अब तो फॉर्मला एक खटाक से लगा देते हैं टाइम का फॉर्मला बोलो तू यू साइन थीटा बराबर जी और जी की वैल्यू ने हमसे बोली कि 10 ले लीजिए टू इंटू यू कितना है 5 साइन 37 डिवाइड बाई एंड टू फाइड टेंट कैंसिल हो गया साइन 37 तो बच्चो 37 वाला triangle मैंने आपको बहुत बार बना किन्हें कहाया है फाइब होता है दो ट्रैंगल फेमस है बार-बार में हर वीडियो में दिखा रहा हूं आपको 153 डिग्री का इसमें सामने होता है फोर यहां पर थ्री यहां पर फाइब राइट एंग्ल ट्रैंगल है 345 वाला अब साइन 37 की वैल्यू यहां बोलो क्या होगी 3 बटे 5 हो जाएगी परपेंडिकुलर अपन है प्रिवर्स 3 बटे 5 तो यह आपका टाइम आ गया यानि 0.6 सेकंड्स हाइट पूछिए बच्चों तो हाइट इज इक्वल्स टू यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा बराबर टू जी यू कितना है 5 का square, sin 37 का square, divided by 2, into g की value 10, तो 25, sin 37 का square, यानि 3 by 5 into 3 by 5, divided by 2 into 10, 5 5s are 25 cancel, 9 बटे 20 is the maximum height.

लास्ट पार्ट में क्या पूछा है आपसे रेंज, u square sine 2 theta by g, तो आप रेंज भी निकाल सकते हो, आइए, तो रेंज is equals to u square sine 2 theta by g, है न, अब आप sine 2 theta को क्या लिख सकते हो, u square 2 sine theta cos theta by g, u square यानि 5 into 2 into sine 37 multiplied by cos 37, डिवाइडेड बाई 10, 2 5s are 10, 10 cancel, 5 into sin 37 यहाँ से, 3 by 5, cos 37, 4 by 5, बेस अपॉन happiness, 5 cancel, 12 बटे, 5 meter is the range. तो यह basic सा सवाल हो गया, जिसमें आपको formula से सारे answers निकाल ले थे. अब बच्चों मैं इसी में आपसे एक सवाल पूछूंगा इसी question में कि आपसे कहा ये चीज दिवन है express express initial and final velocity and final velocity in vector form.

इन वेक्टर फॉर यह डाइग्राम बनाते हैं यह मैंने वॉल को ऊपर फेका 5 से यह एंग्ल है साथ इस डिग्री तो इस तरफ कॉम्पोनेंट कितना आएगा 5 कॉस्ट 37 जो कि कितना हो जाएगा 4 बाई 5 तो यह 4 और इस तरफ कॉम्पोनेंट आएगा 5 साइन 37 स ठीक है अब यहीं से देख लो जब यह चीज 5 होती है तो वर्टिकल वाला 3 होता है और जंटल वाला 4 ठीक है या तो आप कर लेना यह कंपोनेंट कितना होगा 5 cos 37 कितना होगा 4 by 5 तो 4 by 5 लिखोगे cancel तो 4 आ गया इसी तरह से यह वाला कंपो अब वेक्टर फॉर्म में इस विलोसिटी को मैं लिखूं इनिशियल विलोसिटी को तो एक्स वाली 4 है उसके आगे लगा दूँगा आई कैप वाई वाली 3 है उसके आगे लगा दूँगा जे कैप तो यह हो गई initial velocity in vector form final velocity भी निकाल लिये ठीक है थोड़ा खिच गया ऐसे enter की थी तो बच्चों एक velocity होगी ऐसे और एक velocity होगी ऐसे, अब तो नीचे की तरफ होगी, अब मैंने आपको जो concept बताएं उसको याद रखो, x की velocity कहीं change नहीं होगी, मतलब यहाँ पे भी x की velocity कितनी होगी, 4, y की velocity decrease करते करते, यहाँ पे y की velocity कितनी हो जाएगी, 0, फिर increase करते करते, यहाँ पे उतनी ही हो जा 4i cap, y में किदर है नीचे चली गई, तो minus 3j cap तो x की final velocity 4i cap, y की नीचे की तरफ तो minus 3j cap इतना clear हो गया बच्चो, बहुत बढ़िया अब इसी question में अगर मैं आपसे पूछू इसी सवाल में अगर मैं आपसे पूछूं इस सवाल में आपसे पूछूं थोड़ा से change कर देते हैं a ball is thrown with 50 meter per second at एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन 37 डिग्री फाइंड विलोसिटी वेक्टर एंड स्पीड ऑफ पार्टिकल speed of particle after 2 seconds of projection projection के 2 second बाद आप ये चीजे determine करें ठीक है कर पाएंगे आइए देखते हैं, यह है, इसको मैंने फेका, अब इसकी speed कितनी है हमारी, 50 meter per second, angle कितना है, 37, तो इस बार इस तरफ कितना आ जाएगा, 40 आ जाएगा, इस तरफ कितना आ जाएगा, 30 आ जाएगा, कोई भी angle दिया हो, इधर cos theta, इधर उसका sin theta, यह हो तो बच्चों 2 सेकेंड बाद की कहानी कही है एक काम करते हैं after 2 सेकेंड्स तो आप मेरे को बताओ कौन सी स्पीड चेंज होगी कौन सी स्पीड चेंज नहीं होगी तो 2 सेकेंड के बाद x direction की speed तो अभी भी 40 meter per second होगी क्योंकि x की speed change नहीं हो रही जैसे मालो ये इसका motion है 2 second बाद वो कहीं यहाँ पहुचा 40 y की speed कुछ कम हो जाएगी y की speed घट रही है हो सकता हु यहाँ आ गया हु मुझे नहीं पता है एक approximation लिया अच्छा तो x की तो same है y की निकालने के लिए हम लगाते हैं y direction का motion क्योंकि y की speed घट रही है और फिर बढ़ भी रही है तो initial velocity in y direction is 30 acceleration in y direction is minus g तो हमने लिखा minus 10 ठीक है टाइम कितना दिया हमको 2 seconds अब आपको final velocity निकालनी है y direction में 2 second के बाद तो आप apply कर दोगे, v is equals to u plus 80, u कितना है हमारा 30, a की value minus 10, t की जगह 2, 30 minus 20 कितना हुई, 10, तो यह कितनी आएगी, 10 कैसी आ रही, plus, मतलब इसी तरफ है, 30 से घटते 10 हुई है, भी यहीं पे है, तो velocity in y direction कितनी रहेगी, 10 meter per second, तो 2 second के बाद तो velocity vector x में 40 है, 40 i cap, y में 10 है, plus 10 j cap, और क्या पूछा है, speed of particle, अब बच्चों आपको ये तो पता होगा कि speed होती क्या है, magnitude of velocity, velocity का जो magnitude होता है, उसको speed बोलते हैं, इस vector का magnitude हम कैसे निकालते हैं, vector का magnitude निकालने के लिए, i वाले term का square, plus j वाले terms का जो velocity का magnitude होगा वही क्या बनेगा speed बन जाएगा इसी question बच्चों आपसे और क्या पूछ सकता था in the same question they could have asked you find velocity vector and मालो आपसे यह पूछ दिया find velocity vector and and angle it makes with horizontal with horizontal यह velocity vector horizontal से कितना angle बना रहा जैसे यहाँ पर यह है velocity vector तो यह angle कितना है अब सोचने वाली बात है क्या projectile motion में angle भी change होगा बिलकुल होगा बच्चों आप देख रहे हो यह चीज छोटी हो गई यह चीज उतनी है तो यह थोड़ा इधर जुग जाएगा यह तो 40 ही रहा यह चोटा हो गया तो वेक्टर इधर जुग जाएगा तो यह एंगल भी चेंज हो गया हमसे यह एंगल पूछा बच्चों तो यह एंगल हम कैसे निकालेंगे हमसे पूछा 2 सेकंड के बाद विलोसिटी होरिजॉन्टल से कितना एंगल बना रही यह तो देखो एंगल कम हो गया, पहले एंगल देखो क्या था, जादा था, हमसे ये एंगल पूछा है, ठीक है, तो हमें ये एंगल निकालना है बच्चो, तो ये कितना है हमारा, y direction में 10, x direction में 40, तो आप यहां से बोल दो, tan theta is equals to क्या होगा, vy ब ठीक है यह भी हम कर सकते थे बहुत बढ़िया बच्चों इसी सवाल में आप से और क्या पूछ सकता था find displacement vector find displacement vector find displacement vector and displacement है एंड डिस्प्लेसमेंट आफ्टर टू सेकंड्स ऑफ प्रोजेक्शन डिस्प्लेसमेंट वेक्टर निकालिए और डिस्प्लेसमेंट निकालिए आइए बच्चों तो यह रहा मोशन हमारा अगर हमसे कंप्लीट रास्ते में डिस्प्लेसमेंट पूछता तो यह इतना डिस्प्लेसमेंट है और वहीं में एक्स में इतना आगे बड़ा है ठीक है और वाइट ना ऊपर गया है यह एक्स में आगे और वाइट में ऊपर हमें दोनों निकालने तो आइए दोनों displacement को अलग-अलग निकालते हैं, आइए x का निकालते हैं और y का निकालते हैं, x direction में initial velocity कितनी है हमारी, तो हम बना लेते हैं फिर से diagram, 50 थी, 37 degree, तो इधर 50 cos 37 कितना आ रहा 40 इधर 50 sin 37 कितना आ रहा 30 तो x की 40 है और y की initially 30 है तो ये 40 acceleration in x direction 0 x में कोई acceleration रहता नहीं time कितना 2 seconds तो आप यहाँ से लगा दो s is equals to ut plus half 80 square s की जगह put करोगे आप x put कर दो displacement हमने x माना है u कितना है 40 time है 2 और ये term 0 हो जाएगा क्योंकि a 0 तो x में displacement कितना है 80 meter y में निकालना है बच्चों initial velocity in y direction is 30 acceleration in y direction is minus 10, time लिया 2 seconds apply कर दो s is equal to ut plus half a t square s की जगह रख दो इस बार y क्योंकि इसको y बोला है u कितना है 30 into time 2 plus half a की जगह minus 10 और t कितना है 2 का square 4 तो y कितना हो जाएगा 60 माइनस 20 तो वाइट के वालू कितनी आ गई 40 ठीक है कैकुलेट कर लोगे यू की जगह 30 टाइम की जगह 2 60 हाफ एक displacement 40 है तो अगर आपसे displacement vector r पूछ रहा displacement vector तो x में कितना है 80 तो हम बोलेंगे 80 i cap और y में कितना है 40 plus मतलब उपर की तरफ है तो 40 j क्या यह हो गया displacement vector 80 i क्लाब plus 40 j क्या फिर क्या पूछ रहा है and displacement भी निकालो तो बच्चों displacement का जो magnitude है वो निकाल सकते हैं यह vector है इसका magnitude निकालना है यानि mod r पूछ रहा है तो mod r under root 80 का square plus 40 क तो यह मैंने कुछ आपको इस तरह question कराए तो बच्चो फॉर्मले पे बेस कुछ और question क्या आ सकते हैं हमारे पास जरा उनको देख लीजे मालिजि हमसे कहा for a projectile motion from ground to ग्राउंड मतलब सेम होरिजोंटर लेवल पे H is equals to R find angle of projection ठीक है, मतलब किसी projectile motion की maximum height और range बराबर है, तो आप से कह रहा है, आप angle of projection निकालो, ठीक है बच्चों, तो h is equals to r, formula base है, h की जगा u square sine square theta बराबर 2g, r की जगा 2u, sorry, r की जगा u square sine 2 theta बराबर g, u square ने u square को मार दिया, g ने g को मार दिया, है तो साइन स्क्वेर थीटा बराबर टू और साइन टू थीटा को लिखेंगे टू साइन थीटा कॉस्ट थीटा साइन थीटा एक साइड को भी मार दिया तो यह हो जाएगा साइन थीटा बटे कॉस्ट थीटा और यह पूर्व लेकर मिल्टिप्लाइड फोर तो tan theta is equals to 4, तो angle of projection ऐसा है, जिसका tan theta 4 है, theta is equals to tan inverse 4, this is the angle of projection, अच्छा बच्चों, समझ में आया है, अब मान लो, इसी में एक question थोड़ा चेंज कर दू, कि for a projectile motion from ground to ground, if maximum height is 30 root 3 meter and horizontal range is 120 meter, find find initial velocity and angle of projection theta पूछा है और यू पूछा है initial velocity and angle of projection ठीक है तो हमको दिया है height कितनी है 30 root 3 और हमको range बता रखी है कितनी है, कितनी range है, 120. आए दोनों के formulas put करते हैं, तो समझ में आएगा कि u और theta किस तरह से निकलेंगे. तो height का formula हो जाएगा u square sine square theta बराबर 2g is equals to 30 root 3. range का formula क्या है हमारा, u square sine 2 theta बराबर g is equals to 120. अब बच्चो करने का तरीका हम लोग बार सीख लिये हैं कि क्या लिख लें साइन 2 थीटा की जगा 2 साइन थीटा कॉस थीटा ठीक अब ध्यान से देखो अगर मैं इसको डिवाइड कर दू, तो U2 cancel हो जाएगा, GG cancel हो जाएगा, और थीटा का term आ जाएगा, तो आप first equation को second से डिवाइड कर दो, first equation divided by second, तो इसको इससे डिवाइड करने का मतलब U2 sin2 theta upon 2G, इससे डिवाइट करोगे तो यह cross multiply जी अपन U square 2 sin theta cos theta is equals to 30 root 3 divide by 120, यहाँ से जी ने जी को मारा, U square ने U square को मारा, एक sin theta से एक sin theta मर गया, बचा क्या, sin theta अपन cos theta और two twos are four, इस तरफ देखे, T root 3 upon 120 0 से 0 मरा 3 वनजा 3 वनजा 12 4 से 4 मरा sin theta by cos theta tan theta is equals to root 3 अब बच्चो tan theta root 3 कब होता है जब theta कितना हो 60 degree तो हमको angle of projection मिल चुका है कितना है 60 degree अब आपको initial velocity निकालनी है तो इन दोनों में से कोई भी formula use कल लो initial velocity आ जाएगी चाहिए formula चलो मैं इसको use कल लेता हूँ फर्स्ट वाले फॉर्मुले को यूज कर लूँ मैं आईए फर्स्ट वाले को यूज किया हमने तो हो जाएगा U square sine square 60 upon 2G is equals to 30 root 3 और G की value वही प्यारी सी 10 ले लेंगे हम तो U square sine 60 होता है root 3 by 2 इसका square मतलब 3 by 4 sin 60 root 3 by 2 उसका square करेंगे तो 3 by 4 upon 2g x 10 is equal to 30 root 3, now you can get the value of u as well, समझ में आ गया होगा, यहाँ से आपको u की value भी मिल जाएगी, और theta की value आपने कैसे निकाली, दोनों को divide करके निकाली, ठीक है बच्चो, अच्छा, मान लो आपको question दे for a projectile motion from ground to ground जो ground to ground है इस lecture में horizontal and vertical component horizontal and vertical component of initial velocity are, are, let it be, horizontal and vertical, 6 meter per second and 8 meter per second, find, find, टाइम आफ लाइट मैक्सिमम हाइट एंड रेंज यह सवाल दिया आपको और एंग्ल ऑफ प्रोजेक्शन थीटा सब करिए तो अब यह सवाल क्या कह रहा है आपसे horizontal और vertical component दिया initial velocity का ठीक है यह initial velocity u मानते थे हम angle theta इधर कितना u cos theta इधर कितना u sin theta ठीक तो हमसे बोल रहा है u cos theta horizontal कितना है 6 और वर्टिको का उपरेंड कितना है? 8, तो U sine theta 8, तो हमसे बोला है U cos theta is 6, U sine theta is 8, क्या निकालना है?

Time of flight निकालना है, height निकालना है, R और theta, खटक से निकलेगा, time of flight का formula बोलो, 2U sine theta बराबर G, तो 2 into u sine theta कितना है 8 बराबर g की value 10 निकलाया फिर क्या बोला है height निकालना है height का formula बोलो यू स्क्वेर साइन स्क्वेर थीटा बराबर 2 जी, इसको ऐसे लिख सकते हो, यू साइन थीटा का होल स्क्वेर बराबर 2 जी, यू साइन थीटा की वैल्यू कितनी है, 8, तो 8 का स्क्वेर अपन 2 इंटू 10 निकलाया, और क्या निकालना है, रेंज नि cos theta बराबर g अब इसमें मैं एक काम करता हूँ इसको ऐसे लिख दू u sine theta ध्यान से देखो u sine theta u cos theta into 2 बराबर g लिख सकता हूँ u sine theta u cos theta into 2 बराबर g u sine theta की value आपको given है 8 u cos theta की value आपको given है 6 2 divide by g की value 10 और इस तरह से आप रेंज हाइट या टाइम और फ्लाइट निकाल सकते हो अगर आपको इनीशल विलोसिटी का होरिजन्टल और वॉर्टिकल कंपोनेंट दिया हो तो ब यहाँ पर U2 2 sin theta cos theta, मैंने कहा एक को U sin theta, एक को U cos theta और values उठा के रख दी, और क्या angle of projection theta, इससे इसको divide कर दो, divide करोगे तो U cancel, sin theta बटे cos theta is equals to 8 बटे 6, 2 4 जा 8, 2 3 जा 6, यह कितना हो गया, tan theta is equals to 4 by 3, तो ऐसा triangle है, इसमे ये triangle कौन सा है पहचानते ही होंगे आप, जहाँ पे theta कितना होता है, 53 degree, tan theta 4 by 3, ये triangle पहचान रहे हैं कि नहीं, perpendicular, base, hypotenuse, ये theta कितना होता है, 53, so theta will be 53, और सारे answer आपने निकाल दिये, तो बच्चों ये कुछ basic तरह के सवाल थे जो projectile motion पे आते हैं जो बिना formulas के solve होंगे ठीक है बच्चों अब हम बात करते हैं range के बारे में रेंज के बारे में एक चर्चा, एक important topic, एक important बाते हमें करनी जरूरी है और वो ये है बच्चों कि range is same for two different angles of projection if U is same ठीक है दो डिफरेंट एंगल ऑफ प्रोजेक्शन के लिए रेंज सेम होती है जब यू सेम हो और वो डिफरेंट एंगल होते हैं एक होता है थीटा तो दूसरा होता है 90 माइनस थीटा ठीक है इसका डायग्राम आपको मैं दिखाता हूँ सम मान लो उसी को मैं 90- थीटा पे प्रोजेक्ट करूँ, जैसे मान लो पहले मैंने 30 पे प्रोजेक्ट किया, तो फिर 90- 30 मतलब 60 पे प्रोजेक्ट किया, एक बार मैंने 30 पे प्रोजेक्ट किया, अब एंग्ल डेफिनेटली अलग है, मैक्सिमम हाइड भी अलग-अलग है, 60 पे आप देख रहे होंगे मैक्सिमम हाइड ज़्यादा है, 30 पे कम, पर जो होरिजॉन्टल डिस्टेंस है, वो क्या आ रहा? सेम. तो ये एक important point आपको coffee में डालना पड़ेगा कि range is same for two different angles of projection if U is same और वो different angle होंगे theta और 90 minus theta मतलब 30 degree पे जो range आएगी वही 60 पे आएगी या 20 degree पे जो range आएगी वही 70 पे आएगी या 10 degree पे जो range आएगी वही 80 पे आएगी या 15 degree पे जो range आएगी वही 75 पे आएगी बात समझ में आई कि range same होगी दो different angle of projection पे maximum height अलग है पर range देखो क्या आ रही है सीमा रही है ठीक है तो यह एक important concept है इसको आप याद रखेंगे बच्चों अच्छा आपको विश्वास नहीं हो रहा तो मैं इसका proof भी दे दूँ आपको range का formula बोलो range का formula है u square sine 2 theta बराबर g अब देखो ध्यान से मैं एक बार theta की जगा theta put करूँगा एक बार theta की जगा 90 minus theta अब 90 minus theta r is equals to u square sine 2 90 minus theta बराबर जी, अब बच्चों ये कितना हो गया, u square sine 180 minus 2 theta बराबर जी, अब sine 180 minus 2 theta will be sine theta, भाई sine के अंदर अगर 180 minus x लिखा है, तो वो किसके equal आता है, sine x के equal आता है, तो ये कितना आएगा, u square sine 2 theta बराबर जी, तो आपने देखा चाहे चाहे यहाँ पर 90 minus theta range क्या आती है, same, तो range is same for two different angle of projection, for same velocity, initial velocity, if those angles are theta and 90 minus theta, ठीक है, clear हो गया, but क्या चीज़ अलग होती है बच्चों इसमें, maximum height, याद रखना, range तो same होती है इन दोनों case में, प और ठीक है इसके लिए हमें option दिया या तो under root 4 h1 h2 is equals to r या तो under root 2 h1 h2 is equals to r option C under root 4 4H1H2 is equal to R या option D 2 under root H1H2 is equal to R ऐसे option दिये और हमसे का ऐसे solve करो तो हम क्या करते हैं एक बार मान लेते हैं थीटा पे height है H1 और 90 minus थीटा पे मान लेते हैं height है H2 ठीक है तो different पे हमने height different मान ली अब H1 के लिए आप क्या लिख सकते हो आप लिख सकते हो u square sin square cos2 θ बराबर 2G, और h2 गले क्या लिख सकते हो, u2 sin2 कितना, 90-θ बराबर 2G, बचों ये क्या बन जाएगा, ये बन जाएगा, u2 sin2 90-θ is cos2 θ बराबर 2G, अब बचों range का formula क्या होगा, range तो दोनों case में क्या होगी, same, क्या हैगी, u square sin square sin 2 θ बराबर जी, अब sin 2 θ को हम क्या लिख सकते हैं, u square 2 sin θ cos θ बराबर जी लिख सकते हैं, इसको हम ऐसे भी लिख सकते हैं बच्चों, u sin θ into u cos θ into 2 बराबर जी, अब u sin θ की value यहां से निकालो, u sin θ कितना हो गया, root 2 g h1, इसी तरह से यहाँ से U cos theta कितना आएगा, 2GH2 उधर गया और root लग जाएगा, 2GH2, समझ में आ रहा है, वो square है न, तो U sin theta की जगह under root 2GH1, U cos यहाँ जाएगा, under root 2GH2 multiplied by 2 बटे G, यहाँ से GG multiplied होके root के बाहर आएगा, GG cancel, 2 और 2, तो root के अ और जी cancel हो गया, यह आ गया r, तो r is equals to under root 4, h1, h2, कौन सा option है, option a, ठीक, तो clear हो गया, इसी तरह से हमारी range पे एक और बात बड़ी important होती है, कि maximum range कब होगी, ठीक है, range हमारी maximum कब होगी, when will be the range, will be maximum, ठीक है जैसे मान लो हमारे long jump के competition होते हैं जिसमें एक athlete दौड़ता है दौड़के कूदता है तो उसको ज़्यादा उचा नहीं कूदना उसको सबसे लंबा कूदना है ठीक है सबसे लंबा कूदने के लिए दो factor responsible होंगे अगर range का formula आ� जिस एंगल पे कूदा, कम एंगल पे कूदे तो शायद कम रेंच हो, जादा पे शायद जादा, कहीं भी या बीच में जादा, अभी हमें उसमें से क्या चीज उसके हाथ में ज्यादा है या ज्यादा इजली है वह है एंगिल बाई स्पीड तो सब उतनी गेन करेंगे बाई दो जो range है वो कैसी आए maximum जो वो long jump लेना चाहता है वो कैसी हो maximum theta की help से you तो change करने के लिए वो तेज़ दोड़ेगा रेंज उतनी जदा होगी यू जितना जदा हम लोग लंबा कूदना होता है, हम लोग खुब तेज़ दोरते हैं, पर angle भी यहाँ पे role play करेगा, तो बच्चों, angle अगर 45 degree होगा, तो range हमारी कैसी होगी, maximum होगी, बाब बोलोगे कैसे निकाला, तो अगर आपने मेरा differentiation का video देखा है, तो बहुत दी आर बाई दी थीटा की वैलू जीरो जहां पे डी वाई बाई डी एक्स जीरो होता है वो जगह मैक्सिमा की होती है यह हमने आपको बताया था तो इसको डिफरेंशेट कर लो विद रिस्पेक्ट टू थीटा तो डी आर बाई डी थीटा हम और फिर इसका 2 थीटा का definition 2 और G as it is रह गया अब बोला D R जीडा कितना हो जाए जीरो हो जाए मतलब यू स्क्वेर कॉस्ट टू थीटा मल्टीप्लाइड बाई टू डिवाइड बाई जी तो ये चीज 0 होगी, तो cos 2 theta is equal to 0, अब cos 0 कब होता है, 90 degree पे, मतलब 2 theta की value कितनी होगी, 90, मतलब theta कितना होगा, 45, तो at 45 degree the range is maximum, और व्यास मैक्सिमम आवश्यक करें यू स्क्वेर साइन टू थीटा बराबर जी थीटा के जगह 45 तो यू स्क्वेर साइन 45 x 2 90 बराबर जी साइन 90 is 1 सो range maximum होती है U square बराबर जी that the maximum range is U square बराबर जी maximum range कितनी है U square बराबर जी और कब आती है जब angle of projection कितना ले ले, 45 degree, ground से, ground वाले case में, तो बच्चों ये projectile motion की basic चीज़े बताई, इसके बाद आता है कि projectile motion की जो path है, वो कैसी path है, तो projectile motion की बच्चों जो path है, वो है parabolic path, कैसी path है, parabolic, यह जो path लेता है projectile motion इस path को हम circular नहीं बोलते हैं parabolic बोलते हैं यह जो path है यह मैच में इस कर्व का नाम रखा गया है पैराबोलिक कर्व या पैराबोला ठीक है पैराबोलिक या पैराबोला यह सरकिल नहीं है यह स्ट्रेट लाइन नहीं है यह पैराबोला का या तो ऐसा कोई कर्व बना हो या तो ऐसा कोई कर्व बना हो quadratic equation के graph भी आप देखो तो parabolic होते हैं ऐसे graph को हम maths में या science में parabolic graph बोलते हैं तो ये graph देखो parabolic जैसा है इसकी जो path होती है, वो path कैसी होती है?

Parabolic. तो यार देख के तो decide नहीं करना चाहिए ना, क्योंकि हम science पढ़ रहे हैं, physics पढ़ रहे हैं, देख के decide तो circle भी हो सकता है, ना. तो इसके लिए हमें condition है, जो देखनी पढ़ेगी.

और बच्चों parabola की जो condition होती है वो होती है y square is proportional to x दिखाना पड़ेगा y square is proportional to x parabola का जो equation होता है उसमें एक term y square का होना चाहिए एक term x का होना चाहिए जो parabolic equation बनती है तो ideal equation होती है y square is equal to 4ax तो इस form में अगर projectile की equation को हम express कर सके तो projectile parabolic होगा नहीं कर पाए तो parabolic नहीं होगा तो हमें कुछ इस form म��ं projectile की equation को लाना है कि पूरे टॉपिक को बच्चो जो नाम किताब में देते हैं, वो देते हैं equation of trajectory. क्या नाम देते हैं? equation of trajectory. trajectory का मतलब होता है path. equation of trajectory वो होती है जो y और x को relate करें कि कोई भी particle motion कर रहा है उसके y और x को relate करें जैसे हम बोलें कोई particle move कर रहा है y is equals to x से तो आप समझ जाओगे कि जितना x में चलता है उतना ही y में चलता है मैं बोलूं कोई particle चल रहा है y is equals to 2x से तो माललो जब x में 1 meter चलेगा तो y में 2 तो ऐसी equation बनाकर देना जो particle के x और y को relate करे और बताए कि उसकी path कैसी है उसको बोलते है equation of trajectory equation of trajectory में बच्चों time का term नहीं होता no term of t या time ताइम का टर्म नहीं होता, इसमें सिर्फ हम y और x को relate करते हैं, कि जब x इतना होगा, तो y कितना, या जब y इतना होगा, तो x कितना, मतलब projectile motion में से हमको time को हटाना है, और y और x को relate करना है, एक normal सा projectile motion हम ले लेते हैं, initial velocity मान लेते हैं u, angle मान लेते हैं theta, मान लेते हैं t time बाद particle यहां पहुचा, कितने time बाद, t time बाद particle यहां पहुचा, तो x में आगे बढ़ा x, y में उपर गया y, अब हमें y और x को relate करना है इस point तक तो motion को consider करो x direction में और y direction में, initial velocity in x direction कितनी होगी बच्चों, u cos theta, initial velocity in y direction कितनी होगी, यू साइन थीटा, एस्कलेशन इन एक्स डिरेक्शन कितना है?

जीरो, एस्कलेशन इन याद डिरेक्शन है? माइनस जी, कितने टाइम तक चले टी, अपलाई कर दो दोनों तरफ, S is equals to U T plus half A T square, यहाँ S की ज S is equals to U T plus half A T square, S की जगा कितना रखोगे, Y, Y में displacement, U की जगा U sine theta, T की जगा T, plus half A की जगा minus G multiplied by T square, अब इन दोनों को आपको relate करना है, और इसमें से क्या हटाना है, time, time को eliminate करना है, time को eliminate, तो यहाँ से हम T की value निकाल लें, T is equals to, x बराबर u cos theta और t की इस value को यहाँ पे put कर दे, काम खतम, t की value यहाँ put करोगे, y और x का relation मिल जाएगा, तो आएए t की value put करते हैं और y और x का relation देखते हैं, ठीक है, तो y is equals to क्या बना है, u sin theta multiplied by t, t की जगह x upon u cos theta, प्लस यहाँ पर माइनस लगा है तो माइनस हाफ जी टी स्क्वेर टी की जगह एक्स स्क्वेर अपन यू स्क्वेर कॉस square थीटा ठीक है ना टी का square है तो x square अपन यू स्क्वेर कॉस्ट को इसके थीटा यू ने यू को मारा वाइस इक्वेल्स टू एक्स साइन थीटा अपन कॉस्ट थीटा टैन थीटा माइनस हाफ जी एक्स स्क्वेर अपन यू स्क्वेर कॉस्ट यह आया y और x का relation इसी को बोल��े हैं equation of trajectory equation of trajectory बहुत बेटर होगा आपको याद हो जाए y is equals to x tan theta minus half g x square upon u square cos square theta अब इस equation देखो y का term भी है और x square का term भी है मतलब ये कौन सी equation है parabola अगर y और x होते सिर्फ y और x होते तो straight line अगर y square और x square होते तो circle अब y और x square निकले तो parabola, वैसे कुछ और भी condition है, पर आपको exam में वो show नहीं करनी है, ये equation of trajectory है, किसकी, projectile की, y is equals to x tan theta minus half gx square upon 2u square cos square theta, निकालने का तरीका, x direction का motion, y का motion, time की value निकाल के यहाँ put कर दो, exam में ये बहु ठीक है तो आपको अब पता चल गई कि projectile motion parabolic path लेता है और उसकी जो equation है तो वो है y is equals to x tan theta minus half g x square upon u square cos square theta this is the equation of trajectory for a projectile motion ये derive करने को exam में पूछता है तो आप derive कर लेंगे time के term को हटाना है एक्स और वाइटेड मोशन को कंसिडेड करना टी टाइम तक टाइम की वैलू एक्स वाले में निकाल के वाइटेड में पुट कर देना अब इस पर question क्या बनता है question ऐसे बनता है कि मान लो एक equation है y is equals to ax minus bx square अब आपसे बोला this is the equation for projectile motion this is the equation for what for projectile motion for what projectile motion आपसे पूछा find initial velocity एंगिल आफ प्रोजेक्शन ठीक है आपसे यू पूछा थीटा पूछा आपसे कहा इनिशियल विलोस्ट निकालिए एंगिल आफ प् ideal equation से compare कर दो, तो x के साथ क्या लिखा है, tan theta, मतलब एक इसके equal हो जाएगा, tan theta के, तो ये आगे angle of projection, theta is equals to tan inverse a, पहला पार्ट खतम, फिर b को x square के साथ जितने terms हैं, उसको b से equate कर दो, मतलब b is equals to half g u square cos square theta, ये मिल गया, आपको यहां से U निकालना है, कैसे निकालोगे, यहां से देखो, tan theta का मतलब, sin theta बराबर cos theta is equals to A, बोल सकते हैं, यहां से टैन थीटा क्या होता है टैन थीटा होता है परपेंडिकुलर अपन बेस तो हम बोल सकते हैं टैन थीटा इस इक्वल्स टू ए बाई वन यहां से यह कितना आ जाएगा बनते हो अंडर रूट ए स्क्वेर प्लस वन अब जी अपन टू बी कॉस स्क्वे 2b, अब आप यहाँ से u भी निकाल सकते हो, u is equal to क्या लिख दोगे, इसका under root, इसी तरह से आप से time पूछेगा, तो 2u sin theta by g, u भी मिल गया है, sin theta आप यहाँ से निकाल सकते हो, ये बाई ये इस तरह से आपसे range पूछेगा तो u square 2 sin theta cos theta बाई जी या maximum height एक बार u और theta आ गया तो सारे काम हो जाएंगे एक को इस से compare किया तो tan theta एक equal आया तैन थीटा इस परपेंडिकुलर अपॉन बेस यहां ट्रैंगल बनाया आई बाई वन इसको अंडेलूट एसक्वायर प्लेस वन तो बच्चों इस तरह से equation of trajectory question solve करते हैं ये projectile motion का बड़ा ही basic lecture था और starting थी ठीक है अब अगले videos भी projectile पे आएंगे जिसमें किसी height से ball को फेकेंगे किसी height से ball को फेका ऐसे नीचे गिरी ऐसे ठीक है ground से ground नहीं ठीक है

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