Limiti Notevoli

Introduzione ai Limiti Notevoli

• I limiti notevoli sono forme indeterminate classiche.
• Imparare i risultati consente di risolvere molti altri limiti.

Limiti Notevoli Fondamentali

1. Limite fondamentale 1:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata: (\frac{0}{0}).

2. Limite fondamentale 2:

   [ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x} \right)^{x} = e ]

   • Forma indeterminata: (1^{\infty}).
   • Approssimazione di (e): 2.718.

Limiti Conseguenti

1. Limite della tangente:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 ]

   • Riscrivere: (\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}).
   • Risultato: 1.

2. Limite della differenza coseno:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2} ]

   • Forma indeterminata: (\frac{0}{0}).
   • Moltiplicare e dividere per (1 + \cos(x)).

Esempi di Esercizi

1. Esercizio 1:

   Calcolare:
   [ \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(x) + 4x}{x\cos(x) + 2\sin(x)} ]

   • Forma indeterminata: (\frac{0}{0}).
   • Raccolta di (x) al numeratore e denominatore per trovare i limiti noti.
   • Risultato: 2.

2. Esercizio 2:

   Calcolare:
   [ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos(x)} - \cos^2(x)}{2x^2} ]

   • Forma indeterminata: (\frac{0}{0}).
   • Raccolta di (\cos(x)) e utilizzo del limite noto.
   • Risultato: (\frac{1}{2}).

Altri Limiti Importanti

1. Limite del logaritmo naturale:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + x)}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata: (\frac{0}{0}).
   • Uso delle proprietà dei logaritmi per riscrivere e cambiare variabile.

2. Limite della funzione esponenziale:

   [ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 ]

   • Forma indeterminata: (\frac{0}{0}).
   • Sostituzione e cambiamento di variabile.

3. Altri limiti derivati:

   • (\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln(a)).
   • (\lim_{x \to 0} \frac{\log_a(1 + x)}{x} = \frac{1}{\ln(a)}).

Conclusione

• Memorizzare i limiti fondamentali e i loro conseguenti è essenziale per risolvere esercizi complessi.
• Nel prossimo video si affronteranno esercizi più avanzati sui limiti notevoli.