Overview
Ce cours présente les fondamentaux sur les équations du second degré : résolution, factorisation et étude du signe.
Définition et Forme d’une Équation du Second Degré
- Une équation du second degré s’écrit sous la forme ax² + bx + c = 0.
- Sa fonction associée est f(x) = ax² + bx + c.
- Les solutions de cette équation sont appelées racines.
Résolution par le Discriminant
- Le discriminant Δ (delta) se calcule avec la formule Δ = b² - 4ac.
- Si Δ < 0 : aucune solution réelle.
- Si Δ = 0 : une seule solution x₀ = -b/(2a).
- Si Δ > 0 : deux solutions distinctes x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a).
Factorisation d’un Trinôme
- La forme développée : ax² + bx + c.
- La forme canonique : a(x - α)² + β, utile pour trouver un minimum/maximum.
- La forme factorisée :
- Si Δ = 0 : a(x - x₀)² (racine double).
- Si Δ > 0 : a(x - x₁)(x - x₂).
- Si Δ < 0 : factorisation impossible sur ℝ.
Étude du Signe du Trinôme
- Dépend du signe de Δ et du coefficient a.
- Si Δ < 0 :
- Si a > 0, f(x) > 0 pour tout x.
- Si a < 0, f(x) < 0 pour tout x.
- Si Δ = 0 :
- f(x) a le signe de a, s’annule en x₀ = -b/(2a).
- Si Δ > 0 :
- Pour a > 0 : f(x) > 0 hors [x₁, x₂], f(x) < 0 entre x₁ et x₂.
- Pour a < 0 : f(x) < 0 hors [x₁, x₂], f(x) > 0 entre x₁ et x₂.
Représentation Graphique
- Si a > 0 : parabole tournée vers le haut (sourire).
- Si a < 0 : parabole tournée vers le bas (triste).
- Les racines correspondent aux points où la parabole coupe l’axe des abscisses.
Key Terms & Definitions
- Discriminant (Δ) — Valeur b² - 4ac qui détermine le nombre de solutions de l'équation.
- Racine — Solution d’une équation du second degré.
- Forme factorisée — Expression sous la forme a(x - x₁)(x - x₂).
- Forme canonique — Expression sous la forme a(x - α)² + β.
Action Items / Next Steps
- S’entraîner en résolvant plusieurs exercices sur les équations du second degré.
- Réviser les formules et méthodes de factorisation.
- Apprendre par cœur la définition et le calcul du discriminant.