Integral Berechnen mit Substitution

Überblick

• Ziel: Integral lösen
• Ansatzpunkte:
  • Grenzen des Integrals sind wichtig (am Schluss einsetzen)
  • Funktion im Integral ist kompliziert und verschachtelt

Methoden zur Lösung

• Substitution: Geeignet bei verketteten Funktionen
• Partielle Integration: Normalerweise bei Produkt von Funktionen (z.B. ( x * e^x ))*

Entscheidung für das Verfahren

• Substitution bevorzugen bei ineinander verketteten Funktionen (z.B. ( \sqrt{x} ) und ( e^x ))
• Überlegung: Ableitung der zu substituierenden Funktion (( \sqrt{x} )) sollte im Integral vorkommen

Schritte der Substitution

1. Störende Funktion durch u ersetzen
2. Grenzen anpassen: Originalgrenzen (x) in neue Grenzen (u) umschreiben
3. Ableitung bilden: Berechne ( \frac{du}{dx} )
4. Umstellen nach dx: Isolierung von dx in der Formel
5. Ersetzen im Integral: Ersetze die Funktionen und dx im Integral durch die vorbereiteten Terme

Beispiel

• Gegeben: ( \int_0^1 e^{\sqrt{x}} , dx )

Schritt 1: Substitution festlegen

• ( u = \sqrt{x} )

Schritt 2: Grenzen anpassen

• ( x )-Grenzen: 0 bis 1
• Neue ( u )-Grenzen: ( \sqrt{0} = 0, \sqrt{1} = 1 )

Schritt 3: Ableitung bilden

• ( \frac{du}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{x}} )

Schritt 4: Ableitung nach dx umstellen

• Multiplizieren: ( du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx )
• Nach dx lösen: ( dx = 2\sqrt{x} , du )
• x in ( \sqrt{x} ) umschreiben: ( dx = 2u , du )

Schritt 5: Ersetzen im Integral

• Ausgangsintegral: ( \int_0^1 e^{\sqrt{x}} , dx )
• Nach Substitution: ( \int_0^1 e^u , 2u , du )
• Vereinfachung: ( 2 \int_0^1 u e^u , du )

Berechnung des neuen Integrals

• Integrieren: ( 2 \left[ e^u \right]_0^1 )
• Obergrenze einsetzen: ( 2e^1 - 2e^0 )
• Wert ausrechnen: ( 2e - 2 )_

Anmerkungen

• Ohne gegebene Grenzen: Rücksubstitution und ( + C ) anwenden
• Fragen? Schreib in die Kommentare

Fazit

• Methode der Substitution bietet effiziente Lösung für komplizierte Integrale
• Wichtige Schritte immer wieder anwendbar
• Grenzen anpassen nicht vergessen