हेलो स्विडेंट्स, स्वागत है आप सभी का आपके अपने चैनल GodGlasses पर GodGlasses यानि मैस भी और मस्ती भी तो बच्चो आज की जो क्लास है उसमें हम वन शॉट करने वाले हैं चेप्टर मेट्रिसिस का उसी वीडियो के अंदर आपका ये पूरा का पूरा चेप्टर जो है पूरा रिवाइज हो जाएगा और अपने बोड एक्जाम के लिए आप जो प्रेपरेशन कर रहे हैं उसमें आपको डेफिनेटली बहुत हैल्प करेगा। तो आप डिस्क्रिप्शन बॉक्स में जाकर जो लिंक आपको दिया है वहां से आप एप डाउनलोड कर सकते हैं या वेब के थुरू भी जा सकते हैं www.goglases.in ये sample paper और question bank purchase कर सकते हैं offline और physical copy या फिर soft copy जैसे भी आप पढ़ने में comfortable feel करते हैं वैसे आप उसको purchase कर सकते हैं और अपनी board exam की preparation को बहुत अच्छे डंग से आगे continue कर सकते हैं तो हम chapter को continue करते हैं अब matrices में सबसे पहले अगर हम बात करते हैं कि matrices क्या है basic concepts को आपको समझना बहुत ज़रूरी है क्योंकि कुछ जो चोटे-चोटे questions होते हैं, जो MCQ questions होते हैं वो केवर basic concepts में से बनते हैं अगर आप सिर्फ question solve करते हो तो कई बार वो question आप miss कर सकते हैं उसलिए concept को भी ध्यान से समझो और फिर उनका execution हमें करना है वो तो हम अगर की questions में करेंगे तो matrix क्या होती है एक rectangular array होता है यह आप कह सकते हो कि rectangular arrangement होता है जिसमें जो data आपको दिया होता है उस data को हम एक rectangular array या arrangement में represent करते हैं उसको हम बोलते हैं matrices अब matrices में जो आपके order pair आप यहाँ पर बनाते हो मतलब जो आप elements यहाँ पर लिखते हो उसको एक particular set में लिखते हैं मतलब इस तरीके से हम लिखते हैं, तो इसके अंदर जब हम ऐसे लिखते हैं, उसको हम बोलते हैं rows, तो ये हमारे पास row 1 है, उसके बाद फिर row 2, row 3, row 4, row 5 इस तरह से, आपके पास यहाँ पर m number of rows है, तो ये row m है, अगर हम इनको vertically देखें, तो vertically हम इनको बोलते हैं column, तो ये column 1 है, तो अगर हम इसके order की बात करें, कि जो rectangular arrangement है, इसका order क्या है, तो इसके order को हम denote करते हैं usually m by n से, m by n का मतलब है कि इसके अंदर m number of rows हैं और n number of column हैं, m की value कुछ भी हो सकती है, 2 भी हो सकती है, 3 भी हो सकती है, 4 भी हो सकती है, ऐसी n की value भी जितने बजी हो सकती है, तो यहाँ प लेकिन अगर हम इसकी compact form देखें, abbreviated form देखें, तो आप matrix को इस तरीके से आप इसको denote कर सकते हो, a, i, j, और यहाँ पर इसका order लिखते हैं, m by n, यहाँ पर i और j, यह जो i, j है, यह आपको element का address बताता है एक तरह से, अगर मैं लिखता हूँ ऐसे a, 1, 2, तो यह बता रहा है क और ये दूसरा column है मतलब ये इस element की बात कर रहा है तो जब भी यहाँ पर ऐसे लिखा जाएगा a, i, j, i, j की value आपको कुछ ना कुछ दी होगी तो वो आपको एक तरह से उस element का address बता रहा है कि आपको पहुँचना कहाँ पर है तो इसका मतलब हो गया a12 की जो value है वो 3 है और यहाँ पर i की जो value होती है 1 से लेकर m तक के बीच में हो सकती है m मतलब जो उसके number of rows है अगर इसके अंदर 10 rows है मालो तो यहाँ पर आप जो maximum number ले सकते हो यहाँ पर, पहले वाले place पर, इस place पर आप 1 से लेकर 10 तक number ले सकते हो, अगर m की value 10 है, मतलब उसके अंदर number of row अगर 10 है, अगर number of column जितने होंगे आपके पास, वो आपकी maximum value बनती है j की, जैसे अगर इसके अंदर मालों हम कहते हैं कि 4 column है, तो जो j की value होगी आप maximum 4 तक ले सकते हो, 1, 2, 3, 4, और यहाँ पर m की value है 1 से लेकर, 10 तक ले सकते हो अगर m की value 10 है तो ठीक है किसी भी matrix का जो order होता है हम इसको normally ऐसे denote करते हैं m by n लेकिन अगर हमें ये find करना हो कि उसके अंदर number of elements कितने है तो हम m और n को multiply करके लिख देते हैं तो m और n को multiply करके जो भी आएगा जैसे माल लो हमने एक matrix लिखी एक matrix हमने लिखी यहाँ पर 1, 2, 3, 4, 5, 6 अगर हमसे पूछता है कि इसका order गया है तो हम कहेंगे बई इसमें 2 row हैं और 3 column है तो order बन गया 2 by 3 बस इतना लिखे छोड़ देंगे order में multiply ही नहीं करना है अगर आपसे फूजता है यहां पर कि number of elements कितने है number of elements कितने हैं तो हम कहेंगे कि इसके अंदर 6 number of elements है 2 और 3 को यहाँ पर multiply करके आपको लिख देना है ठीक है उसके बाद अगर हम बात करें कि matrices की type की तो सबसे पहले हम बात कर रहे हैं कि comparable matrices comparable matrices जैसे इसका नाम है कि दो matrices को आप compare करना चाहते हो तो compare आप तबी कर सकते हो जब उन दोनों का order same हो अगर एक matrix 2 by 3 की है तो दूसरी matrix भी 2 by 3 की होनी चाहिए तब ही उसके corresponding elements को compare कर सकते हैं तो the matrices are said to be comparable if each one of them contains as many rows and columns as the other तो बात वही है कि number of row और number of column अगर same है तो matrices को हम कहते हैं कि comparable matrices है equal matrices में क्या होता है अगर दो matrices आपके पास है a और b उसको हम equal तभी बोलेंगे जब उनका order same हो यानि m और n उनका same हो इसके अलावा जितने भी element है, corresponding element, वो भी सारे equal होने चाहिए. जैसे for example, अगर हम matrix लेते हैं, ए matrix है हमारे पास एक, 1, 2, 3, 4, 5, 6. एक matrix है हमारे पास B, 2, 1, 3, 4, 5, 6. एक matrix है हमारे पास C, 1, 2, 3, 4, 5, 6. अब यहाँ पर सभी का order 2 by 3 है, वो 1 by 2 है, sorry 2 by 3 है, 2 row है और 3 column है, सभी का order 2 by 3 है, तो यह सारी के सारी matrices, comparable matrices हैं, इनको हम compare कर सकते हैं, लेकिन जब equal matrices की बात करेंगे, तो हम यह भी देखेंगे, कि जो corresponding element है, वो equal है या नहीं, corresponding element का मतलब यह वाला पहला element, यहाँ पर पहला element, तो इसका दूसरे element देखो, यह 2 है, यहाँ भी 2 है, यहाँ 3 है, यहाँ भी 3 है, 4 है, 5 है, 6 है, 4, 5, 6. तो हम यह कहेंगे कि जो A और C है न, यह तो दोनों आपस में equal है. लेकिन अगर हम A और B को बात करेंगे, तो हम कहेंगे A is comparable to B, या A is equivalent to B.
इक्वल नहीं है, equivalent है, मतलब आप उसे compare कर सकते हो, order तो उसका same है. और दूसरे शब्दों में आप यह भी कह सकते हो कि every equal matrix is also a comparable matrices. लेकिन निकालिएशन प्रश्न प्रश्न प्रश्न प्र� लेकिन row हमारे पास एक ही होनी चाहिए ऐसे जब हम column matrix की बात करते हैं तो इसके अंदर एक column होना चाहिए तो एक column row इसके अंदर आप जितनी मरजी कर दो 1, 2, 3, up to जितनी मरजी आप row करो लेकिन column उसके अंदर एक ही होता है अगर हम इसके order की बात करें row matrix का order में हमेशा row क्योंकि एक ही होगी तो इसका order बनेगा 1 by n n डिपेंड करेगा कि आपको column के element दिये हैं नहीं दिये कि बई कितने column है अगर कहते हैं कि 10 column है तो n की value 10 हो जाएगी, अगर कहता है कि 5 column है, तो n की value 5 हो जाएगी, और ऐसे ही जब आप column matrix लिखते हो, तो इसमें आपको पता है कि number of row नहीं पता हमें यहाँ पर कितनी है, लेकिन column पता हमें कि 1 column है, तो इसका order बनेगा m by 1, null matrices, इसके और भी कई नाम है, zero matrices, void matrices, अब इसका म 2 by 3 हो, 1 by 2 हो, 5 by 2 हो, कुछ भी हो अगर सारे elements 0 हो गए तो इसको हम बोलेंगे null matrix और इसको हम denote करते हैं capital O से square matrix तो square matrix जैसा इसका नाम वैसे इसका भी काम कि जितने row हैं उतने column होंगे तो square matrix होगी तो square matrix आपके पास अगर 2 by 2 order की है तो हम ऐसे लिखेंगे बई 1 कुछ भी लिखो 2, 3, 4, 5 तो इसका order क्या है 2 by 2, इसमें 2 row हैं और 2 column हैं ऐसे अगर आपके पास 3 by 3 है तो आप 3 by 3 भी लिख सकते हो 1, 3, 5, 2, 1, 4 2, 3, 7 यह आपके पास 3 by 3 हो गई, ठीक है तो number of row और number of column जब same रहते हैं तो उसको हम बोलते हैं square matrix तो जब भी square matrix आती है इसमें अगर आप तो ये आपके पास एक diagonal element बनते हैं, ठीक है, ये हमारे diagonal element है, हमेशा diagonal element आपको इसी direction में लेने है, ठीक है, opposite direction में नहीं लेने है, क्यों, इसका reason क्या है, अगर देखो हम इस element की बात करें, तो ये वाला element के हमारे पास first row, first column का element है, ठीक है, यह first row, first column का element है, अगर हम इसकी बात करें, तो यह हमारे पास second row, second column का element है, अगर हम इसकी बात करें, तो यह third row, third column का element है, तो इन सभी में आप देख रहे हो कि number of row, number of column सेम है, तो ऐसे element को हम diagonal element consider करते हैं, इसलिए अगर आप diagonal element ऐसे लेना चाहो कि square में तो उसा diagonal ऐसे तो diagonal matrix में हम क्या करेंगे, जो diagonal वाले element है, जो diagonal वाले element है, इनको छोड़ कर बाकी सारे element जीरो होने चाहिए, मानलो यहाँ पर लिखा 2, 3, 4, इनके अलावा, diagonal के अलावा सारे element जीरो होंगे, तो इसको बोलेंगे आप diagonal matrix, उसके बाद आता है हमारे पास scalar matrix, तो scalar matrix, diagonal matrix की ही एक form यह सारे के सारे diagonal elements same आ जाएं, जिसे मालो यहां भी 2, यहां भी 2, यहां भी 2, और बाकी सब 0 हो जाएं, तो इसको हम बोलेंगे कि यह scalar matrix है, कोई भी number है, लेकिन यह सारे के सारे एक जैसे होनी चाहिए, चाहिए 2 हो, चाहिए minus 2 हो, चाहिए 5 हो, कुछ भी हो, लेकिन सारे एक identity matrix और इसको हम denote करते हैं capital I से इसको आप identity matrix भी बोल सकते हो इसको आप unit matrix भी बोल सकते हो ठीक है दोनों में से कोई भी नाम आप use कर सकते हो और इसको हम denote करते हैं capital I से तो ये वाली जो matrix है ये आपके पास क्या identity matrix of order 3 identity matrix of order 2 ऐसे भी हो सकती है 1 0 0 1 ये 2 by 2 है तो कई बार आपको question में लिखा हुआ मिलेगा, यहाँ पर क्या हो सकता है कि ऐसे base में ऐसे लिखा मिलेगा, आई 2 लेना है आपको, base में यहाँ पर होगे आई 3 लेना है, तो इसका मतलब आपको इस 3 by 3 लेना है, यहाँ पर 2 by 2 लेना है, लेकिन जरूर नहीं कि question में ऐसा लिख उसके बाद operations की बात करते हैं कि matrices में आप क्या-क्या operations लगा सकते हो, क्या-क्या इसमें आप plus, minus, multiply, divide, क्या-क्या इसमें आप कर सकते हो.
तो पहले हम बात करते हैं addition of matrices. तो addition of matrices में कहता है कि अगर आपके पास दो matrices हैं A और B और उनका same order है, then their sum A plus B is the matrix obtained by adding the corresponding elements of A and B. तो सबसे पहली condition तो यही है कि A और B के जो order है वो same होने चाहिए.
जैसे हमने लिखा कि A है हमारे पास, 3, 2, 1, 5, ठीक है, B हमारे पास है, 1, 3, minus 1, 2, तो ये दोनों matrix यहाँ पर same है, तो आप इन दोनों का addition कर सकते हो, तो addition करेंगे कैसे, addition के लिए जो इनकी corresponding element है, उनको add करना है, corresponding means यहाँ element इसके साथ add होगा, 3, plus 1, 4, 2, plus 3, 5, 1, minus 1, 0, 5, plus 2, 7 तो यह इनका addition आ गया ऐसे अगर हम subtraction की बात करेंगे तो उसमें भी यही वाला rule apply होता है कि दोनों matrices का order same होना चाहिए तब ही आप उनका difference निकाल सकते हो तब ही आप उनको minus कर सकते हो minus करने का तरीका भी यही रहेगा कि आपको इसमें से इसको minus करना है 3, minus 1, 2, 2, minus 3, minus 1, 1 तो 1 plus 1, 5 minus 2, यह आजाएगा A minus B, ठीक है? अगर आप यह देखो कि बही एडिशन और मैट्रिसे जब आप करते हो, तो A plus B, चाहें आप A plus B निकालो, या B plus A निकालो, तो इसमें तो आंसर आपका सेम आएगा, लेकिन अगर आप यही चीज, उसमें देखो, तो subtraction में देखो, तो वो different हो जाएगा, तो A minus B जो होता है, यह B minus A के बराबर नहीं होता. यह कुछ addition की property है, तो पहली property यही जो भी हमने यहाँ पर discuss करा बहुत ए ए प्लस बी और बी प्लस ए दोनों सेम होता है, तो इसका मतलब addition commutative होता है, अगर आप ए प्लस बी करके फिर उसका sum करते हो C के साथ, या पहले ए को अलग करके B और C का sum करते हो, बाद में ए एड करते मतलब 0 matrix एक ऐसी matrix होती है जिसको अगर आप A के साथ add करो, आप 0 plus A करो या A plus 0 करो, तो answer आपका A ही रहेगा, तो इसका मतलब जो 0 matrix होती है, या O matrix होती है, null matrix होती है, उसको हम बोलते additive identity of the addition matrix for any matrix A there exists a matrix minus A such that A plus minus A equals to 0 matrix minus A plus A equals to also 0 matrix तो किसी भी matrix में अगर उसका negative आप add कर देते हो तो answer हमेशा आपका 0 matrix आएगा तो इसका मतलब अगर हम A matrix की बात कर रहे हैं तो minus A क्या होना इसका minus A is the additive inverse अगर हम बात करेंगे इसकी A की तो बोलेंगे A is the additive inverse of minus A and minus a is the additive inverse of plus a तो आप जैसे मर्जी इसको use कर सकते हो उसके बाद आता है multiplication of matrix by a scalar कि आप किसी scalar number से आप matrix को multiply करोगे तो उसके लिए हैं पर क्या हुआ कि जैसे आपके पास एक matrix है मालो a 1, 3, 2, 5 तो यह कहता है कि अगर हम इसको किसी scalar number मालो मैं 3 से इसको multiply करूँ 3a निकालू तो 3a का मतलब हुआ कि जो a matrix में जितने भी element हैं, उन सभी को आपको 3 से multiply कर देना है, तो यह बनेगा 3, 1, 3, 3, 3, 9, 3, 2, 6, 3, 5, 15, तो यह बनेगा आपके पास 3a, तो scalar multiplication की भी कुछ properties होती हैं, अगर आप lambda plus mu दो scalar quantity को add करके, फिर a से multiply करो, या फिर lambda a और mu a को आपस में multiply करके add कर दो, तो result same रहेगा, अगर हमारे पास एक scalar है, दो matrix हैं, तो आप इन दोनों को अलग-अलग कर सकते हो, lambda A plus lambda B.
अगर दो scalar multiply करने हैं, तो आप lambda into म्यू A कर सकते हो, या फिर lambda और म्यू को multiply करके, फिर A से multiply कर सकते हो, या lambda A को, पहले lambda A निकाल कर, फिर उसको म्यू से multiply कर सकते हो. रिजल्ट सबका same रहेगा. अगर minus lambda A निकालना है, तो lambda A निकालके उसका negative कर दो, या पहले minus A निकालके, फिर lambda से multiply कर दो, तो हर तरीके से रिजल्ट आपका same हैगा. उसके बाद आता है multiplication of two matrices अब ये सबसे important चीज़े कि multiplication of matrices अगर आपको आ जाता है तो matrices में ज़्यादा कुछ है नहीं, बहुत simple topic है तो matrices का multiplication जब हम करते हैं तो सबसे पहले हम rule देखते हैं कि matrix multiply कब होगी जैसे addition में क्या था कि दोनों matrix का order same होना चाहिए उसमें subtraction में क्या था दोनों matrix का order same होना चाहिए तब ही add होगा या subtract होगा लेकिन multiply में क्या होता है वो हम देखते हैं तो multiply जब आप करते हैं तो आपको क्या देखना है If A is a matrix of order m by n, मानलो जो A matrix है, इसका order है m by n, और जो B matrix है, इसका order होना चाहिए n by p, मतलब कहने का क्या है, इसके number of column और इसके number of row, पहली matrix के number of column और दूसरी matrix के number of row, अगर ये दोनों same होते हैं, अगर ये दोनों same होते हैं, तो A भी एक्जिस्ट है.
तो आप A और B को multiply कर सकते हो और multiply करने के बाद अगर हम AB का order देखें तो order क्या बनेगा AB का order of AB is order निकालने के लिए जो पहले वाली matrix है उसके number of row और बाद वाली के number of column यानि M by B तो ये आपको rule समझना बहुत ज़रूरी है दो matrix multiply हो भी सकती है नहीं हो सकती है अगर आपको मान लो किसी question में कहता है वो MCQ question है सपोज मान लो यह कहता है कि बई A हमारे पास है 1, 2, 3 ठीक है इसका order क्या है 1 row 3 column और आपके पास B एक matrix है उसमें कहता है कि यहाँ पर कि 1, 2, 2, 3 अब यह कहता है कि A, B को multiply करो या what is A, B answer में आपको 3 matrix दे दिये कुछ answer दे दिये मतलब 3 और एक में कहते है कि does not exist. तो आपको पता होना चाहिए कि इसका order 2 by 2 है. इसका order 1 by 3 है तो यहाँ पर 3 है, यहाँ पर 2 है.
मतलब AB तो exist करेगा ही नहीं. Answer आपका यही आएगा. अगर यह rule आपको नहीं पता होगा तो फिर आप परेशान रहोगे इन दोनों को multiply करने के चक्कर में कि multiply कैसे करें इसको.
Multiply हो गई नहीं. तो यह rule आपको समझना बहुत जरूरी है और फिर अगर multiply हो भी जाता है तो फिर पूछेगा कि what is the order of AB. तो उसके लिए आपको multiply करने की ज़रूरत नहीं है, अगर आपको A का order पता है, आपको B का order पता है, और दोनों multiply हो सकते हैं, तो आप simply करेंगे कि जो A का row है और जो B का column है, वही हमारा AB का order आ जाएगा, ठीक है?
उसके बाद इसकी कुछ properties हैं matrix multiplication की, पहली property में कहता है कि AB और BA, अगर आप AB निकालते हैं और BA निकालते हो, तो ये दोनों बराबर नहीं होते, जैसे minus में था, ए माइनेस बी और बी माइनेस से बराबर नहीं होता, ऐसे ए बी और बी ए भी बराबर नहीं होता, हलांकि अगर नॉर्मल एलजेबरा की बात करें तो ए बी बी ए सेम होता है, लेकिन मेट्रिक्स में ऐसा नहीं होता, तो अगर आप A B निकाल के फिर C से multiply करते हो या B C निकाल के A को B C से multiply करते हो तो ये result बराबर रहेगा order matter करेगा इसमें आप A B C ऐसे लिख रहे हो ना तो तो हो सकता है अगर आपने उल्टा कर दिया तो फिर बराबर नहीं होगा I को अगर हम A से multiply करें या A को I से multiply करें I मतलब identity matrix अगर हम multiply करेंगे तो result उसका हमेशा A ही आएगा तो identity matrix कुछ ऐसे ही काम करता है जैसे normal algebra में 1 काम करता है कि 1 को आप किसी से भी multiply करो तो number same रहता है ऐसे आप identity matrix को किसी से भी multiply करो, तो identity matrix को जब multiply करेंगे, तो हमेशा answer वही matrix आएगी, जिसको आप multiply कर रहे हो. A into में B plus C करेंगे, तो यह AB plus में AC हो जाता है, इसको distributive law बोलते हैं. अगर AB और AC दोनों बराबर हैं, तो इसका मतलब यह नहीं है, कि आप B और C को बराबर कर दो, A को A से काट दोगे, और B और C दोनों बराबर आ जाएंगे, ऐसा नहीं होगा, तो यहाँ cancellation law इसमें नहीं लगता है.
लैमडा A भी निकाल रहे हो या लैमडा A को B से मुल्टिप्लाई कर रहे हो या A को लैमडा B से कर रहे हो तो ये result आपका same रहेगा अगर आप AB को मुल्टिप्लाई कर रहे हो जीरो matrix आ रहा है तो इसका मतलब ये नहीं है कि A जीरो होगा या B जीरो होगा ऐसा भी हो सकता है कि A नॉन जीरो हो और B नॉन जीरो हो लेकिन जब आप दोनों को मुल्टिप्लाई करो तो उसका जो answer है व उसके बाद क्या है positive integral power of matrix, तो जैसे अगर आपको a square निकालना है, तो a square निकालने का मतलब यह नहीं होगा कि आप a के element का square कर दो, ठीक है, a के element जो आ रहे हैं उनका square कर दो, ऐसा नहीं है, a square का मतलब है कि आप a को a से multiply करेंगे, दोनों matrix को multiply करके फिर इसका square निकलेगा, ऐसी और इसके अंदर laws of exponent भी आप use कर सकते हो अगर a की power m है, a की power n है तो आप a की power m plus n निकाल सकते हो अगर मेरे को चाहिए कि बई a की power 2 इंटू में a की power 3 तो मैं a की power 5 वहाँ से निकाल सकता हूँ ऐसे a की power whole power n मतलब power की power तो power की power क्या होती है तो यह बन जाएगा a की power m n identity matrix की आप power कितनी भी कर लो जैसे 1 की पावर आप कितनी भी करोगे 1 रहता है ऐसे जो identity matrix है उसकी पावर आप जितनी मरची बढ़ा दो उसका अंसर हमेशा identity ही रहेगा अगर आपके पास कोई polynomial दिया हुआ है जैसे x2-3x2 यह एक polynomial है और यह यहाँ पर एक square matrix है तो यह कहता है कि इस polynomial को आप matrix polynomial में convert करो तो matrix polynomial में convert करने का मतलब है कि वहाँ पर जहां जहां भी आपके पास terms आ रही है वो सारी के सारी matrix में convert होनी चाहिए अब इसमें जो सबसे बड़ी mistake है, जो कहाँ पर कर देते हैं अक्सर, अगर हम यहाँ पर f, a निकालेंगे, तो यह तो obvious बात है, आप x की जगह a put कर दोगे, यहाँ x की जगह a put कर दोगे, समस्या आती है जो constant value होती है उसके साथ, क्योंकि हमें सब को matrix में convert करना है, तो जो constant value ह यहां से आप जो भी निकालोगे अगर ऐसा नहीं करते हो तो फिर आपका आंसर गलत ही आना है तो जो भी constant value होगी हमेशा उसके साथ i लगा देना है और जहां variable होगा उसको matrix से replace कर देना a में convert कर रहे हो तो a लिख देंगे b में convert कर रहे हो तो simple b लिख देंगे उसके बाद आता है transpose of matrix तो transpose का मतलब क्या हुआ कि आप किसी भी matrix के जब row और column को आपस में exchange कर देते हो row को column बना देते हो, column को row बना देते हो तो उसको बोलते हैं उसका transpose जैसे A matrix हमारे पास है 1, 2, 3, 4 अगर हम इसका transpose करें transpose के लिए dash लगा सकते हैं ऐसे या इसके उपर ऐसे T लिख सकते हो दोनों का मतलब transpose होता है इसमें क्या करेंगे जो यह पहली row है इसको आप पहला column बना दोगे और दूसरी row को दूसरा column बना दोगे transpose of matrix बन जाता है अब इसकी कुछ properties हैं कि अगर आप transpose का फिर दुबारा transpose करोगे ठीक है आपने ये transpose कर दिया इसका फिर से transpose करोगे तो आपके पास जो original matrix है वो ही आ जाएगी अगर आप a plus b का transpose करोगे तो a का transpose plus b का transpose ऐसे अगर आप minus b करोगे तो उसमें भी यही होता है कि a transpose minus b transpose लेकिन जब हम multiply में लगाते हैं अच्छा उससे पहले scalar वाला है अगर आप ka का transpose करते हो यहाँ पर transpose यहाँ बाहर है के A का transpose करते हो तो इसका मतलब है कि आपको transpose करके K से multiply कर दोगे तो भी उसका result जो है ना वो same ही रहेगा अगर आप AB का transpose करते हो तो AB का transpose करोगे तो यहाँ पर reverse law लगता है प्लस में या माइनस में क्या था, सिदा सिदा था, बई A का ट्रांसपोज कर दो, B का ट्रांसपोज कर दो, बात ख़दम, लेकिन जब multiply आप करोगे, तो इसमें reverse law लगेगा, पहले B ट्रांसपोज आएगा, उसके बाद फिर A ट्रांसपोज आएगा, ऐसे अगर आप यहाँ उनको multiply कर देंगे तो वो निकल जाएगा A, B, C, D का transpose अब किसी भी matrix का जब आप transpose करते हो किसी matrix का जब आप transpose करते हो तो matrix में कोई change ही ना हो जैसी थी matrix वैसी की वैसी रही तो उसको हम बोलते हैं कि ये matrix symmetric matrix है लेकिन अगर आप transpose करने के बाद transpose करने के बाद देखते हो कि matrix तो same है लेकिन sign सबके change हो गए जो plus थे वो minus हो गए जो minus थे वो plus हो गए कि ये matrix skew symmetric matrix है और skew symmetric matrix में एक चीज हमेशा धान रखनी है कि जो every element in the principal diagonal of a skew symmetric matrix is always 0 जब भी skew symmetric matrix होगी तो उसके जो diagonal वाले element है वो हमेशा 0 होगी अगर वो 0 नहीं हुए तो कभी skew symmetric बन ही नहीं सकती जैसे मालो skew symmetric आप लिखते हो एक यहाँ पर लिख लेते हैं 1, 2, यहाँ पर 0 होना चाहिए, यहाँ भी 0 होना चाहिए, यहाँ भी 0 होना चाहिए तब ही ये skew symmetric बनेगी, otherwise ये बनी नहीं सकती अब इसका आप transpose निकालोगे इसका अगर आप transpose निकालोगे तो क्या आएगा 0, 2, 3, minus 2, 0, minus 4, minus 3, 4, और 0 यहाँ पर जितने भी element हैं सब के sign change हो गए हैं element तो वही रहे हैं लेकिन उनके sign change हो गए हैं तो ऐसी matrix skew symmetric matrix है उसमें जो diagonal वाले element है यह हमेशा zero होने चाहिए जब तक यह zero नहीं होगे skew symmetric matrix कभी बनेगी नहीं किसी भी square matrix को अगर आप a plus a dash करते हो ठीक है कोई भी आपके पास square matrix है अगर आप उस matrix को उसी के transpose के साथ add करते हो तो हमेशा answer symmetric ही आएगा और अगर आप किसी matrix में से उसका transpose minus कर देते हो तो यह हमेशा skew symmetric ही आएगा अब इसी property से आपके पास एक property और बनती है, कहते है कि every square matrix can be uniquely expressed as the sum of a symmetric and a skew symmetric matrix, यानि कोई भी matrix हो, कैसी भी matrix हो, पहले वो कैसी भी रही हो, तो उस matrix को आप एक symmetric और एक skew symmetric के sum में express कर सकते हो, वो कैसे express करेंगे, पहले हम क्या निकालेंगे, a plus a dash, तो a plus a dash का मतलब होगा कि वो symmetric है, उसका half कर देंगे, तो half करने पर भी वो symmetric ही रहेगी, फिर हम निकालेंगे a minus a dash, उसका भी half कर देंगे, तो a-a'का मतलब वो बनेगी skew symmetric, और आप जब इन दोनों को add करोगे, तो answer आपके पास हमेशा जो original matrix है, उसके बराबर ही आएगा, तो इस से related question भी आता है, कि आपको एक matrix दे दी जाएगी, और उसमें बताया जाएगा, कि आपको इसको एक symmetric और skew symmetric के तो यहाँ पर देखिए सबसे पहला जो question है उसमें कहता है कि if a matrix such that a square equals to a then i plus a square minus 3a is equals to इस तरह का question यह मान के चलो कि MCQ में आने के पूरे पूरे chances होते हैं same question ना हो लेकिन लगबग लगबग इसी टाइप का आ जाएगा तो यहाँ पर आप जब i plus a का square करोगे तो यहाँ पर लेकिन अगर ऐसे हो ना, अगर a plus b का square हो, तो इसमें आप identity लगाओगे तो वो फिर वो गलत है, इसमें आपको ऐसे करना चाहिए कि a plus b into a plus b, ठीक है, फिर यहाँ से a को a से multiply करेंगे, a square बन जाएगा, a को b से करेंगे तो a b हो जाएगा, और b को a से करेंगे तो b a हो जाएग प्लस B square, अब यहाँ पर हमें पता है कि matrix multiplication में AB और BA सेम नहीं होते हैं, इसलिए आप इसमें directly property नहीं लगा सकते हो, अगर question में उसने बताया हो कि AB और BA दोनों बराबर हैं, तो लगा सकते हो, लेकिन identity अगर matrix है, तो उसमें आप property लगा सकते हो, क्यों लगा सकते हो, क्योंकि I तो इसमें आप इसलिए identity लगा सकते हैं, इसलिए ध्यान लखना ये चोटी चीज़ है, लेकिन बहुत काम की चीज़ है, तो आप यहाँ पर i प्लस a का square करोगे, तो i का square बन जाएगा, प्लस 2ai आजाएगा, प्लस a square, minus 3a, तो यह कहा है कि जो a square है ना उसकी value a है तो यहाँ पर हम a put कर देंगे i का square करेंगे तो i ही रहेगा और i को हम किसी से भी multiply करें तो वो matrix ही आएगी और a square की जगह a कर देंगे यह हो गया minus 3 तो 2a plus में a 3 हो गया यह minus 3 हो गया तो option बनेगा इसमें आपका first if a matrix is given by this यह matrix आपको दे रही है इसका order 2 by 2 दे रहा है और और aij की value यह है, तो order अगर इसका 2 by 2 दिया हुआ है, that means आपको a11, a12, a21, और a22, इसकी value आपको find करनी है, तो पहले हम a11 की अगर बात करें, तो यहाँ पर i और j, दोनों की जगह हमने क्या रखा है, 11, तो यह element किसके पराबर होगा, i plus j, यानि 1 plus 1, तो इसकी value 2 आगी, अगर हम a12 की बात करेंगे, 1 plus 2 यानि 3 हो गया अगर A21 की बात करेंगे ���ो आ जाएगा A2 plus 1 A नहीं लिखना यहाँ पर तो यहाँ आ जाएगा 2 plus 1 3 हो गया और अगर A22 निकालना है तो आ जाएगा 2 plus 2 यानि आ जाएगा 4 तो आपके पास matrix क्या बनेगी 2, 3, 3, 4 यह आपका answer बनेगा, ठीक है, तो इसमें option बन रहा है, आपका 2, 3, 3, 4, यानि option number B, उसके बाद next question है आपके पास, यह कहता है कि यह matrix इसके equal है, ठीक है, बीच में equals to का sign है, तो यह दोनों matrix आपस में equal है, कहता है कि then the value of x minus y plus z की value find करो, तो अब अगर हम यहां से इनके elements को compare करे plus z, इसकी value है 9, यह हमारे पास first equation है उसकी बाद second equation है यहाँ पर x plus z equals to 5, फिर third equation है y plus z equals to 7, यह तीन equation हमारे पास है ठीक है, अब यहाँ से आपको x, y, z की value निकालनी है तो हम क्या करते हैं, यहाँ पर हमें पता है कि y plus z है न, यह 7 है तो यहाँ पर y plus z की जगे आप 7 नाल दो तो यह क्या बन जाएगा, x plus 7 equals to 9, अब इसको 7 को उधर ले जाओ, x की value निकल गया आपकी 2, अब x की value आप यहाँ पर डाल दोगे, 2 plus z equals to 5, तो z की value आपको मिल जाएगी 3, और अगर आप z की value आपने 3 यहाँ पर put कर दी, तो यह क्या बन जाएगा, y plus 3 equals to 7, यानि y की value आगे minus y plus z तो 3 plus 2, 5 minus 4 यानि answer आ गया 1 तो इसमें जो option आपके पास answer आ गया answer बन रहा है इसका 1 ठीक है वहाँ पर b क्यों लिख दिया हमने यहाँ पर answer बनेगा इसका a next question में कहता है the number of all possible matrices of order 3 by 3 with each entry 0 or 1 यह कहा रहा है कि आपको 3 by 3 matrices बनाने हैं ठीक है, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 यह 3 by 3 होगी इसमें कहा रहा है कि आप यहाँ पर सिर्फ 0 और 1 रख सकते हो आप बेसर सारे 0 कर दो, सारे 1 कर दो या कहीं 0, कहीं 1, कहीं 1, कहीं 0 इस तरह से आप कैसे मरजी करो लेकिन 0 और 1 ही रख सकते हो तो इस तरह की आप कितनी matrices बना सकते हो इसमें आप use करोगे अगले प्लेस में आप जाओगे तो यहाँ पर आपके पास फिर दो ऑप्शन बनेंगे फिर अगले प्लेस पर जाओगे फिर दो ऑप्शन बनेंगे तो इस रह से करते करते करते करते हर एक प्लेस के लिए आपके पास दो दो ऑप्शन बनेंगे तो कितने ऑप्शन है कितनी यदि A एक ताइप 3 x 5 और R एक रोज आपके पास एक ताइप क्या है? यह कहा है कि आपके पास एक ताइप 3 x 5 है तो उसके अंदर 3 रोज हैं और 5 प्रकार हैं इस तरीके से है यह कहा है कि अब आप एक रोज हैं तो आप एक रोज उठा लो ठीक है इसको denote कर दिया मैंने R से तो इसमें पूछ रहा है कि then what is the type of R as a matrix तो R यहाँ पर क्या हुई एक row matrix हुई तो row matrix में जो number of row है वो तो 1 होती है तो number of row 1 होती है, column कितने होंगे, जितने इसमें column है, 1, 2, 3, 4, 5, तो इसका order बनेगा 1 by 5, और matrix का नाम हो जाएगा row matrix. Find the value of this if a matrix is a skew symmetric matrix. तो skew symmetric matrix में अभी हमने concept में पढ़ा, कि skew symmetric matrix में जो transpose है, वो minus a के बराबर होता है.
तो इसका जब transpose करोगे आप, तो 0, minus 1, 28, a minus 8, 0, 3b, minus c, plus 2, 2, 0, यह transpose आगया, equals to minus a, minus a का मतलब होगा कि जो a के element है, सबके sign change कर दो आप, तो 0, 1, minus 28, और यह हो जाएगा यहां से, minus a minus 8, 0, minus 3 भी, minus, minus C plus 2, minus 2 और 0. अब क्योंकि दोनों matrix आपस में equal हैं, तो इसके corresponding element उनको solve करो, A minus 8 की जो value है, ये बराबर किसकी होगी? 1 के, तो A minus 8 equals to 1, तो आपको A की value मिल जाएगी 9. उसके बाद, जो minus C plus 2 है, ये किसके बराबर होगा? minus 28 के, तो आप C को उधर ले जाओ, इसको इधर लाओ, तो C की value बनेगी आपकी 30, उसके बाद 3B की value होगी, minus 2, यानि यहाँ से B की value निकालोगे, तो आएगी minus 2 by 3, अब आपसे value पूछ रहा है, 2A plus 3B minus C, तो 2A, 2A का मतलब हो गया, A की जगह रख देंगे 9, ठीक है, plus में 3B, बी की जगह रखेंगे minus 2 by 3, minus C, C की जगह रखेंगे 30, तो 9 to the 18, minus 2, minus 30, तो यह हो जाएगा minus 32, 18 minus 32 यानि minus 14, यह आपका answer बनेगा minus 14, इसके बाद चलते हैं next question पर, next में कहता है कि, शला भेज 3 books, 2 pens, और 3 notebook जब रश्मी एक pen, 4 book और 5 notebook पर रश्मी पर पाए वाला जाता है तो यहाँ पर हमारे पास 3 item है books, pen और notebook और 2 लोग है एक है shalab, और दूसरी है रश्मी तो इनके पास क्या है books है पैन है और नोटबुक है तो शलब के पास कह रहा है थ्री नोटबुक है तू पैन है थ्री नोटबुक है रश्मी के पास एक पैन है फोर नोटबुक है फोर बुक है और फाइव नोटबुक है ठीक है तो आप यह जो इनफॉर्मेशन है इसको ऐसी मैट्रिक से डिनोट कर सकते हो तो इसको अगर हम लिखेंगे तो इसका ऑर्डर बनेगा टू बाइ थ्री लेकिन यहां पर हम इसको और रश्मी को हम यहां ले ले, और books इधर आगे, pen इधर आगे, और notebook इधर आगे, तो इसको हम लिख लेंगे यहाँ पर 3, 2, 3, 1, 4, 5, तो हम ऐसे भी denote कर सकते हैं, अगर हम ऐसे लिखेंगे तो order बनेगा इसका 3 by 2, तो अगर आप ऐसे लिखोगे तो order लिखना आप 2 by 3, अग अब यहाँ पर हमें किसी और को आगे multiply तो करना नहीं है इसमें तो आप जैसे मरदी इसको express कर सकते हो एक ही matrix है यहाँ कह रहा है कि एक 3 by 3 matrix आप बनाओ जिसके element आपको यह दिये हो है तो 3 by 3 का मतलब आपको 9 element निकालने हैं आपको एवन वन निकालना है एवन टू निकालना है और एवन थ्री निकालना है उसके बाद फिर अगली रोके निकालेंगे तो ये बन जाएगा 1 plus 2 upon 5 यानि ये बन जाएगा 3 upon 5 जब आप A12 निकाल रहे हो तो I की जगह तो 1 रखना है और J की जगह 2 रखना है तो 2 into 2 ये 4 हो गया तो 5 upon 5 मतलब 1 हो गया A13 का मतलब हो गया कि आपने I की जगह 1 रखना है और J की जगह 3 रखना है तो 3 to the 6 यानि ये बन जाएगा 7 upon 5 ऐसे आप निकालो सेकिन्ड वाली रोगे A21 फिके A22 और A 3 2 तो जब 2 1 निकालेंगे तो I की जगे 2 और J की जगे 1 रखेंगे तो 1 into 2 2 ही आएगा तो यह बन जाएगा 4 upon 5 2 2 रखेंगे तो I की जगे 2 और J की जगे 2 रखेंगे तो 2 2's of 4 upon में 5 यानि 6 upon में 5 3 2 रखेंगे और sorry 2 3 तो 2 3 आएगा I की जगे 2 और यहाँ पर 3 to the 6 तो यह बन जाएगा 8 upon 5 ऐसे आप अगली row के element निकालो A31, A32 and A33 तो 31 का मतलब है I की जगह 3 रखो और J की जगह 1 रखो क्योंकि 2 into 1, 2 तो यह 5 upon 5 मतलब 1 आजाएगा 32 का मतलब हो गया यहाँ पर 3 रखेंगे इधर आजाएगा 2 x 2, 4, 7 upon 5, फिर 3, 3 रखेंगे तो 3, और 3 to the 6, अनि आजाएगा 9 upon 5, तो यह जो matrix है आपके पास, यह क्या बनी, अलि ऐसे निकाल के मत छोड़ देना, matrix में लिखना इसको, 3 upon 5, 1, 7 upon 5, 3 upon 5, 1, 7 upon 5, फिर यह 4 upon 5, 6 upon 5, 8 upon 5, 1, 7 upon 5, 9 upon 5, यह आपके पास matrix बन गई, अब next में कहता है कि A हमारे पास यह है, B हमारे पास यह है, दोनों matrix का राज इक्वल है, तो A और B की value बताओ, तो जब matrix इक्वल होती है, तो corresponding element इक्वल होते है, यानि 2A की जो value है, minus 6 के बराबर होगी, तो 2a minus 6, it means a की value आ गई minus 3. b plus 1 equals to 13, तो इसका मदलब b की value आ गई 12. यहाँ पर भी आपको a, b, c, d की value निकालनी है, तो पहला element यहाँ 4 है, यहाँ पहला element 2a plus b है, तो 2a plus b की value है 4. और 4C plus में 3D इसकी value है 24, A minus 2B इसकी value है minus 3, और 5C minus D इसकी value है 11, तो इन में से आपको first और third को solve करके A और B की value मिलेगी, और second और fourth को solve करके, COD की value मिलेगी तो हमने solve किया first और third को तो जो पहली वाली matrix है इसमें आप elimination substitution जो आपको आसान लगे वो लगा लो मैं substitution लगा रहा हूँ यहाँ पर first equation को 2 से multiply कर देते हैं तो यह बनेगा आपके पास 4A plus 2B equals to 8 यह आजाएगा A minus 2B equals to minus 3 sign change करने की जरूती नहीं है यहां से 5a, यहां से आएगा 5, तो इसका मतलब a की value मिल गई आपको 1, अब a की value 1 है, तो इसको आप यहां पर put कर दो, यह जाएगा 2 into 1 plus b equals to 4, तो 2 आएगा, 2 को उधर ले जाके minus कर दोगे, b की value आजाएगी 2, तो a की 1 आगई, b की 2 आगई, अब ऐसे इन दोनों को solve करेंगे नीचे वाली को 3 से multiply कर रहे हैं, 3, 5, 15, 3D, और यह हो जाएगा 33, फिर इससे cancel, यह हो जाएगा 19, यह हो जाएगा 57, तो 19 से आप इसको काटोगे, तो C की value आजाएगी 3, अब C की value आप put कर दो, 4th में कर दो, 5 into 3, minus D, equals to 11, यह हो जाएगा 15, 11 को इधर लाओगे, D को इधर ले जाओगे तो D की value आपको मिल जाएगी यहां से 4 तो 1, 2, 3, 4 यह इसकी values आगे A कहता है कि यह diagonal of this है B कहता है diagonal of this है तो find 3A-2B यह जो हमें यहाँ पर लिखा हुआ है ना यह एक तरह से diagonal matrix है अगर हम इसको proper matrix form में लिखें तो यह कुछ ऐसे आएगा 1, 2, 5 बाकी सब 0 ठीक है यह मतलब होता है, DINAMIC MATRIX को आप इस form में भी लिख सकते हो, तो अब यह कह रहा है यहाँ पर आपको चाह तो 3a minus 2b तो 3a का मतलब हो गया कि जितने element है एक है इन सब को 3 से multiply करो तो जाएगा 3, फिर minus 6 3, 5, 15 minus 2b b के जो element है इनको 2 से multiply कर लो 2, 3, 6, 0 2, 4, 8 अब यहाँ पर जो corresponding element है इनको minus करो तो 3, minus 6 3, minus 6 minus 6, minus 0 15, यह minus minus हो जाएगा plus, तो यह बना आपके पास minus 3, minus 6 and 23, x और y, इन दोनों की value find करनी है, दोनों देखो यहाँ capital में है, capital का मतलब आपको यहाँ पर matrix find करनी है, x और y, तो यहाँ पर x plus y आपको यह दिया हुआ है, x minus y यह दिया हुआ है, तो जैसे आप normally elimination use करते हो, वैसे यहा माइनस वन थर्टीन या आप सीधा ऐसा करो ना ऐसा लिखने की वजह दुबारा यह आपके पास यह आपके पास फर्स्ट इक्वेशन आ गई यह आपके पास सेकंड आ गई दोनों को एड़ कर दो तो इसकी जो लेफ्ट इन साइड है उसमें एक्स प्लस वाई है इसकी लेफ इससे ही cancel, यहाँ गया 2x, यहाँ से minus 1 plus 5, 4 हो गया, 13 minus 8, 5, 2 plus 3, 5, 4 plus 0, 4, तो आपको x निकालना है, तो इन सब को 2 से divide कर देंगे, यह 2 आजाएगा, यह 5 by 2, यहाँ भी 5 by 2, यहाँ पर 2, अब जो x आपने निकाली है, इसको first equation में put कर दो, x i आपके पास 2, 5 by 2, 5 by 2 और 2, plus y, equals to, equals to मैं minus 1, 13, 2 और 4, तो आपको matrix y find करनी है, इसको आप उस साइड लेके जाओगे, इसमें से minus हो जाएगा ये 2, 5 by 2, 5 by 2 and 2 अब देखो minus 1 में से minus 2 करेंगे तो minus 3 आजेगा 13 minus 5 by 2 तो 13 to the 26 minus 5 21 upon 2 2 minus 5 by 2 minus 1 by 2 4 minus 2 तो ये value बचेगी आपके पास y के यहाँ कहते हैं given that x का order दे रहे है 2 by n, y का order है 3 by k, z का है 2 by p, w का है n by 3, p का है p by k अब पूछ रहा है कि for n, k, n, p so that 3py plus 2wy is defined तो आपको यहाँ पर 3py और 2wy यह properly define हो तो उसके लिए आपको n, k और p की value find करने हैं तो पहले आप यहाँ पर क्या करेंगे py को देखेंगे कि वो कब define हो रहा है तो if py is defined if py, p का order क्या है py is defined then number of number of column of p equals to नंबर रो वाइट पी का ऑडर के आपके पास देखो पी का आपके पास पी है इसके नंबर ऑफ कॉलम है के यह गया के और वाइट नंबर रो यानि थे तो एक की वेल्यू दोगी आपके पास थे उसके बाद फिर आप अब यहां पर देखो यह स्केलर है तो तो कुछ फर्क तो पढ़ना नहीं है, क्योंकि scalar का order तो वही रहता है, scalar में आपको order वाला कोई पंगा है नहीं, ऐसे अब आप यहाँ पर देखो 2WY, तो if 2WY is defined, then number of column of W, number of column of W is equals to number of row of Y, यह होगा, अब number of column of W कितने है? W के column है 3 ठीक है तो और यहाँ पर भी 3 है तो यह दोनों आपस में अलड़ी बराबर है तो मतलब यहाँ तो यह अपने आप ही मतलब डिफाइन हो रहे हैं तो यहाँ पर इन दोनों स्टेटमेंट से हमारे पास एक कंक्लूजन यह आया कि K की वैल्यू 3 होगी अब हमें इन दोनों को कर number of row होंगे और y के number of column होंगे ठीक है order of 3 क्या बनेगा number of row of p into number of column of y तो कितना बना p का number of row कितनी है p की number of row है हमारे पास p और y के number of column है आपके पास k तो इस order बनेगा p by ऐसे अगर आपको order निकालना है 2WY का तो उसमें क्या जाएगा number of row of W into number of column of Y तो W का number of row कितना आपके पास N है और ये K है अब हमें इन दोनों को अगर add करना है अगर हमें इन दोनों को add करना है तो if 3PY प्लस 2WY is defined तो बोथा भी प्रदावा है क्योंकि आप दोनों का प्रदावा पर भी प्रदावा कर सकते हैं तो दोनों का प्रदावा इसका यह था इसका P by K था, इसका N by K था तो यह प्रदावा इसका भी प्रदावा होगा तो यह बादवाल एलिमेंट तो दो same होना चाहिए, तो इसका मतलब यहां से दूसरा conclusion आ गया आपके पास कि n और p की value बराबर होनी चाहिए तो दो conclusion आ गया हमारे पास इस पूरे process से कि n और p बराबर है और k की value 3 के equal है उसके बाद आते हैं second part पर कहा रहा है for the order of the matrix 2x minus 3z, तो यह तो बिलकुल simple है आपको x का order और 3z का order, यह बताना है तो x का order कितना है, उतना ही 2x का order होगा तो order of 2x, तो जो x का order है वो ही इसका 2x का order होगा, यानि 2 by n, और order of 3z, तो जो z का order है, 2 by p, वो ही होगा, अब इन दोनों को अगर minus करना है, तो ये दोनों minus तब ही होंगे, यानि 2x minus 3z is defined if n equals to p. अगर ये दोनों बराबर होंगे, तब ये दोनों आपस में minus हो सकते हैं.
तो यहां से conclusion इतना आ गया कि n और p equal होने चाहिए. अब यहां पर कहता है कि a आपके पास यह है, प्रूव आपको यह करना है कि यह matrix 0 के बराबर है. तो पहले आपके लिए क्या करना है? यहां पर a square find करना है. फिर 4 को A से multiply करना है, फिर identity matrix को add करना है, तो A square का मतलब होया, 2, 3, 1, 2 को multiply करेंगे हम, 2, 3, 1, 2 से, minus 4 times of A, A की जगे हुई 2, 3, 1, 2, plus I, अब यहाँ पर I specify नहीं करा, कि बई order इसका 2 लेना है या 3 लेना है, तो वो आपको खुद ही समझना है, कि बाकी जो question है, उसमें 2 by 2 matrix है, matrix ही होनी चाहिए यहां पर इसको multiply करो multiply जब करते हैं तो इस element को इससे करते हैं 2 into 2 4 plus 3 into 1 यहां से 2 into 3 6 plus 3 into 2 फिर 1 से इसको करेंगे 2, 2 से इसको करेंगे 2 1 into 3 plus 2 into 2 minus 4 से इस सबको multiply प्लस अब इन सब को आपस में आपको सॉल करना है तो यह 4 प्लस 3 7 आ गया इधर से माइनस 8 और इधर से 1 6 प्लस 6 12 माइनस 12 प्लस 0 2 प्लस 2 4 माइनस 4 प्लस 0 3 प्लस 4 7 माइनस 8 प्लस 1 अब इसको देखो यह आएगा 0 यह भी 0 यह भी 0 यह भी 0 तो यह प्रूव हो गया हमारे पास जीरो मे अब अब आपको एक एक एक ए इसका आपने transpose निकाला transpose जब निकालेंगे तो पहले यहाँ पर subtraction का sign है तो subtraction वाली property लगाएंगे transpose की तो उसमें जो पहली matrix है यहाँ पर ab इसका transpose हो जाएगा minus ba का transpose हो जाएगा अब यहाँ reverse law लगाओ तो b transpose a transpose यहाँ जाएगा a transpose b transpose अब question में इसने बताये कि a और b दोनों symmetric matrix हैं तो symmetric कब होती हैं जब उनका transpose उसी matrix के बराबर होता है तो यानि A transpose की जगे आप A put कर दोगे और B transpose की जगे B put कर दोगे तो यह ऐसे आ जाएगा reason दे देना because A and B are symmetric matrix तो अब यहाँ पर देखो जहां से हमने start किया था न तो matrix तो यह वही बन रही है लेकिन sign change है तो आप यहां से minus common निकाल दो, minus common निकालने पर यह plus हो जाएगा, और यह minus हो जाएगा, यानि आप इसको लिख सकते हो, minus P, यानि हमने transpose किया, और transpose करने पर matrix तो same आगी, लेकिन minus sign के साथ आई, तो हम यहां पर यह कहेंगे, कि AB minus BA is a skew symmetric matrix.
Express the matrix this as the sum of a symmetric and a skew symmetric matrix. एक matrix है आपको उसको इस तरह से आपको express करना है कि एक matrix symmetric हो जाए और एक skew symmetric हो जाए, उसको add करें तो आपके पास यही same matrix है. तो ऐसे question में सबसे पहले तो आपको इसका transpose निकालना है. एक transpose आप निकालेंगे, 1, 2, 3, minus 4, minus 1, 0, 3, 5 and 1. उसके बाद आप करेंगे.
a plus a transpose, दोनों को add करेंगे, तो a matrix आपके पास यह है, transpose यह है, तो इन दोनों को add करेंगे, तो 1 plus 1, 2, 2 minus 4, 3 plus 3, minus 4 plus 2, minus 1 minus 1, 0 plus 5, 3 plus 3, 5 plus 0, 1 plus 1, यह आ गया उसके बाद इसका आप half करो, उसको नाम दे लो आप P, इसका half करेंगे तो 1, minus 1, 3, minus 1, minus 1, 5 upon 2, 3, 5 upon 2, और 1, अब यह दिखाओ कि इसका transpose करेंगे तो इस matrix में कोई change नहीं आएगा, मतलब यह symmetric matrix है, तो आप इसका transpose करो, 1, minus 1, 3, इस second वाली row को लिखेंगे, फिर third row को लिखेंगे, तो यहाँ पर आप देख रहे हो कोई भी change नहीं हुआ, यानि यह P के बराबर ही आई, तो यहाँ से हम कहेंगे कि P एक symmetric matrix है, अब ऐसे ही आप इसका skew symmetric निकालो, तो skew symmetric के लिए आपको क्या करना है, A में से A transpose minus करन इसका transpose minus करेंगे, यानि 1 minus 1, 0, 2 plus 4 हो जाएगा ये, 6, 3 minus 3, 0, minus 4 minus 2, minus 6, minus 1 plus 1, 0, 0 minus 5, minus 5, 3 minus 3, 0, 5 minus 0, और 1 minus 1, 0. अब इसका आप half करो उसको माल लेते हैं Q तो यहाँ पर देखो 0, 3, 0, minus 3, 0, minus 5 by 2, 0, 5 by 2 और 0 अब इसका transpose करके देखा हो कि यह skew symmetric है तो यह 0, 3, 0 को इदर लिख लेंगे माइनस 3, 0, माइनस 5 by 2, 0, 5 by 2, 0 अब ये मैट्रिक्स और ये मैट्रिक्स सेम आगे बस साइन चेंज हो गए जहाँ प्लस 3 था वो माइनस 3 हो गया जब माइनस 5 by 2 था वो प्लस हो गया तो यानि ये माइनस Q के बराबर आ गई इससे ये प्रूव हो गया कि Q1, Q symmetric है तो हमारे पास दो मैट्रिक्स आ गई एक तो P आ गई symmetric और एक Q आगई, skew symmetric. अब इन दोनों का अगर हम sum करेंगे, तो वो हमारे पास A matrix बनेगा. तो हम यहाँ पर दिखाएंगे कि A can be expressed as P plus Q. यानि P कितना आपके पास?
1, minus 1, 3, minus 1, minus 1, 5 upon 2, 3, 5 upon 2, 1, plus. यहाँ पर Q put कर दो. बस आपको इसको express कर देना, इसको add करना नहीं, add अपनी verification के लिए आप कर सकते हो, कि इनको add करने पर आपकी matrix A बन रही है नहीं बन रही है, देखो चेक कर लो, यहां से 1, minus 1 plus में 3, 2 आ जाएगा, और 3 plus 0, 3 आ जाएगा, ऐसी आप आगे भी चेक करोगे, तो आपके पास यह प यहाँ पर कहता है कि write the value of x plus y plus z, x, y, z की आप value find करो, ठीक है आपको यहाँ पर पहले क्या करना है, इस matrix को इससे multiply करना है, अब इसमें आप proper multiply पर मत जाओ, क्यों मत जाओ, क्योंकि यहाँ पर यह तो identity matrix है, हमें यह पता है कि identity matrix को अगर आप किसी से multiply करते हो तो matrix same ही आती है, यहां से यहां जाएगा अब आपसे पूछा है कि एक प्लस वाइट लेट की वेल्यू एक्स की वेल्यू वन है वहीं की वेल्यू माइनस वन है जड़की वेल्यू जीरो है और इन सबको आप एड करोगे तो वन माइनस वन प्लस जीरो यानी आंसर आ जाएगा जीरो यहां पर यह दिया हुआ है आपको एक्स की वेल्यू फाइंड करनी है ठीक है अब यहाँ पर आपको multiply करना पड़ेगा क्योंकि यहाँ पर कोई identity matrix नहीं है तो यहाँ पर देखो तीन matrix है एक तो यह है आपके पास एक यह है और एक यह है तो पहले इन दोनों को multiply करते हैं अब इन दोनों को multiply करके आपकी क्या matrix बनेगी आपको order का concept अच्छे समझ में आ गया है तो आप बता सकते हैं उसमें कि वह इसमें तो एक row तीन column है इसमें तीन row तीन column है तो इसको आप multiply कर सकते हो ठीक है यह दोनों सेम है तो multiply कर सकते हो और जो result बनेगा वो हमारा ये बनेगा, कि एक row, तीन column.
तो अब कैसे multiply करना है, पहले इस row को इससे multiply करेंगे, 1 into 1, 1 हो गया, x into 2, 2x, 15 into 1, 15. पहली row को पहले column से कर दिया. अब पहली row को ही कर रहे हैं, तो row में ही लिखना है आपको, दूसरे column से कर रहे हैं, 1 into 3, 3, plus 5x, plus 3. अब पहली row को तीसरे column से करेंगे, 2 plus x plus 2 यह पहली 2 को हमने multiply कर दिया और जो तीसरी matrix थी उसको हमने ऐसे लिख दिया equals to में null matrix इसको simplify करो पहले यह आजाएगा 2x plus 16 इदर से आजाएगा 5x plus 6 x plus 4 1, 2, x अब यहाँ पर इस row को इस column से multiply कर दो, एक row है, एक column है, तो एक element आएगा, तो 2x plus 16 को इससे करेंगे, तो 2x plus 16, plus 5x plus 6 को इससे करेंगे, तो 10x plus 12, x को इससे करेंगे, तो आजाएगा x square plus 4x equals to 0, अब यहाँ पर इसको standard form में लिख लो, x square, 2 plus 10, 12 हो गया, 12 plus 4, 16, 16 और 12, 28, तो यहाँ पर आपको 28 के factor करने हैं, जिससे आपके पास 16 आ जाए, तो एक factor हो गया, आपके पास 14, एक factor हो गया, 2, तो x plus 14 और x plus 2, तो x की value आप निकालोगे, यहाँ से minus 14 भी आ सकती है, और minus 2 भी आ सकती है, तो दोनों ही value यहाँ पर possible है, इसके बाद देखिए next question में find the integral value of x यहाँ पर भी आपको x की value find करनी है इसे ही, तीन matrix है यहाँ भी तो इन दोनों matrix को multiply करते हैं x into में 2, 2x 4 into में 1, minus 1 into में 2 पहली row पहले column से होगी, अब पहली row को दूसरे column से करेंगे, तो यहाँ पर लिखेंगे x into 1, 4 into 0 1 into minus 2 फिर यहाँ से, minus x plus 0 माइनस 4 इंटू में इंटू में यहाँ पर लिखा है x 4 माइनस 1 फिर उसके उपर लिखा हुआ है ट्रांसपोज यानि आपको इसका ट्रांसपोज करना है तो इसका ट्रांसपोज करके लिखो x 4 माइनस 1 अब इसलिए एक विश्वन की तरह यहाँ भी x माइनस 2 माइनस x माइनस 4 इसको इंटू करेंगे x 4 माइनस 1 से तो x को इन दोनों से करेंगे तो आजाएगा 2x square plus 2x x minus 2 से 4 को करेंगे 4x minus 8 minus 1 से इसको करेंगे तो x plus 4 तो यह बन गया 2x square 4 plus 2 6, 6 plus 1 7x और minus 4 तो multiply करने पर first और last को आ रहा है minus 8 तो minus 8 के factor करेंगे जिससे हमारे पास 7 आ जाए तो यहां 8x ले लेंगे और 1 minus x ले लेंगे पहले 2 में common निकालेंगे तो 2x आ रहा है x plus 4 minus 1 x plus 4 तो एक factor 2x minus 1 बन गया और एक factor x plus 4 आ गया तो यहां से x की value निकालोगे 1 by 2 आ रही है और यहाँ पर x की value निकालेंगे तो minus 4 आ रही है अब हमें दोनों answer लेने है या नहीं लेने है तो उसमें यह कह रहा है कि यहाँ find the integral value integral value का मतलब आपको integers में answer देना fraction में नहीं देना तो हमारे पास integral value कितनी आई है वो आई है minus 4 ठीक है बेशक negative हो लेकिन अब उसने integer बोला है तो integer में ही आपको answer देना है नेक्स्ट कोशिशन में कहता है कि टू बुक सेलर ए एंड बी सेल दा बुक ओफ मैथ्स एंड अपलाइड मैथ्स दो तरह की बुक वो सेल कर रहा है मैथ्स की भी और अपलाइड मैथ्स की भी इन दा मंथ ओफ मार्च बुक सेलर ए सोल्ड 250 बुक्स ओफ मैथ्स एंड 400 बुक् तो book seller A क्या कर रहा है, 250 books maths की sold कर रहा है, applied maths की 400 sale कर रहा है, और book seller B, 230 books maths की sale कर रहा है, और applied maths की 425 sale कर रहा है, in the month of, ये किस month की बात को रही है, ये बात हो रही है in the month of March, अब उसके बाद, April month की बात हो रही है, अप्रेल मन्त की में बनाओ ऐसी बुक सेलर A, बुक सेलर B और Maths and Applied Maths तो अप्रेल में अब क्या हो रहा है बुक सेलर A sold 550 books of Maths and 300 books of Applied Maths बुक सेलर B sold 270 books of Maths and 450 books of Applied Maths यह हो गया इस matrix को आप P माल लो, इसको आप Q माल लो अब आपसे पूछता है आगे कि represent the given information into matrix form यह represent कर दी हमने and find the total sale for both the bookseller in the month of March and April तो total sale निकालने का मतलब है आपको P plus Q निकालना है P plus Q, bookseller A, bookseller B, इधर maths और इधर applied maths तो देखो maths के book यह 250 sale कर रहा है, यहाँ पर 550 sale कर रहा है इससे 400 और 300, 230, 270, 425 and 450 तो यह क्या matrix बन गई इन दोनों को add करोगे 800 हो गया यह होगा 700 इससे आ जाएगा 500 इससे आ जाएगा 875 यानि book seller A sold 800 books of maths and 700 books of applied maths, book seller B sold 500 books of maths and 875 books of applied maths. तो इस तरह आप लास्ट में अपना जो answer है वो statement में दे दे. नेक्स्ट में कहते हैं cost of a pen and a notebook are 12 and 27 pen और notebook की cost आपको दी हुई है on a given day shopkeeper P sell 5 pen and 7 notebook तो यहाँ भी एक shopkeeper हमारे पास P है एक shopkeeper Q है दो चीज़े वो sale कर रहे हैं एक pen और एक notebook तो shopkeeper P जो है वो sale कर रहा है 5 pen and 7 notebook अब shopkeeper Q sale कर रहा है पैन और यह उसके बाद बहुत बहुत बहुत बहु इसको आप चाहते तो इसको transpose करके भी लिख सकते थे, 250 इदर, 400 इदर, 230 इदर, 425 इदर, तो भी आपका answer आ जाता, ठीक है, लेकिन इसमें अगर आप करोगे, transpose करके, आपके पास जो information है, दो shopkeeper हैं, pen और notebook आप ऐसे लिखोगे, ठीक है, या फिर, या फिर आप कैसे लिख सकते थे, आप ऐसे लिख सकते थे, भी P और Q आपने यहां ले लिया, 5764, अब दूसरी बात आती है कि यह वाली जो मैट्रिक्स है इसको हम ऐसे लिखना चाहिए या इसको ऐसे लिखना चाहिए तो वहीं ओडर वाला कंसेप्ट आप देखो इसका ओडर तो 2x2 है चाहिए आप ऐसे लिखोगे चाहिए आप ऐसे लिखोगे इसका ओडर तो 2x2 है अगर मैं इसको ऐसे लिख रहा हूँ तो इसका ओडर बन रहा है 1x2, sorry 2x1 ठीक है तो यहाँ पर यह दोनों सेम है यानि आप इन दोनों को multiply कर सकते हो, multiply करके हमारे पार जो matrix आएगी उसका order यह बनेगा, अगर मैं इसको ऐसे ना लिखके row में लिख देता, तो क्या बनता, 2 by 2, यहाँ बनता 1 by 2, तो आप इसको इस से multiply नहीं कर सकते, क्योंकि यहाँ पर यह same नहीं है, तो इसका मरलब यह तो अब बात रही है पहली matrix की, कि पहली matrix आपको ऐसे लिखनी चाहिए या ऐसे लिखनी चाहिए, देखिए यहाँ पर मैं लिख देता हूँ, अब देखो, यहाँ पर अगर मैं इधर से निकालूं, multiply करना है, क्योंकि cost निकालने के लिए multiply करना है, तो इसको इससे multiply करना पड़े� आ, sorry, ये P और Q की cost नहीं है, ये तो pen और notebook की cost है, एक मिल्ट, एक मिल्ट, ये pen की है और ये notebook की है, P और Q तो shopkeeper है, उनकी cost नहीं है, ठीक है, तो यहाँ पर, जो P है, वो pen से multiply हो रही है उसकी cost, यहाँ पर pen इदर आजाएगा, notebook इदर आएगा, तो ये pen वाली value, pen वाली value से multiply हो रही है, फिर ये pen वाली value, ये multiply हो रही है notebook से, तो pen की cost ये तो ठीक है, तो लो pen से multiply हो रही है, यहाँ पर इस pen की cost है, वो notebook से multiply हो रही है, तो इसका मदलब, आपका जो answer है वो गलत निकलेगा, यहाँ पर देखो, यहाँ पर ये pen है, इस pen की pen से वाले से multiply होगी, और notebook की notebook वाले से multiply होगा, अगली shopkeeper के पास जाएंगे, तो उसके पास 6 pen है, तो ये pen की cost से multiply होगा, notebook वाला notebook की cost से multiply होगा तो ये आपका combination सही fit होना चाहिए, तो आपको matrix ऐसे लिखनी है यानि हमारा ये तरीका गलत है, ये तरीका हमारा ठीक है ठीक है, तो इस तरह से आपको पता चल जाएगा कैसे आपको matrix लिखनी चाहिए अब इसका जो total revenue है वो निकालेंगे, ये matrix अगर हम A ले लेते हैं, ये B ले लेते हैं तो total revenue होगा, total revenue यह निकलेगा आपका a b को multiply करने से तो 5 into 12 60 plus 7 into 27 189 6 into 12 72 4 into में 27 108 अब इनको आप add करोगे तो आजाएगा 9 249 हो गया यह इन दस आजाएगा 180 तो ये revenue आपके पास shopkeeper P का आ गया ये revenue shopkeeper Q का आ गया तो revenue of shopkeeper is Rs.249 and revenue of shopkeeper Q is Rs.180 इस तरह से आपको अपना answer फाइनल करना है और इसी क्वेश्चन के साथ ही जो मेट्रिक्स का यह वन शॉट है इसको में पर फिनिश करते हैं I hope आप लोगों को मेट्रिक्स अच्छे से समझ में आ गया होगा इसकी क्वेश्चन आपको अच्छे समझ में आ गया होगा है कैसे आपको इसकी क्वेश्चन को स�