Här har vi ett rätblock. Och ja, tidigare har vi pratat om rektanglar och andra tvådimensionella geometriska figurer. Då har vi ofta, vi har nämnt ordet diagonal.
Men vad är då en rymddiagonal? Jo, det är en diagonal i tre dimensioner. För den här fördjuren har också diagonaler, precis som att en rektangel har en diagonal. Och då tänkte jag visa dig hur man kan rita rymddiagonalen.
Och vad det är för någonting. Jo, om jag tänker mig att jag tar en linje som går från det här hörnet till det motsatta hörnet på andra sidan. Blir det det hörnet är.
Så den här linjen. Och den går ju liksom genom rummet. Det är en rimdiagonal. Och hur många rimdiagonaler har nu ett rätblock? Jo, den har ju en.
Sen har den faktiskt två. Och så tre och fyra stycken. I rektangeln har vi två diagonaler, medan ett rätblock har fyra.
Men, vad vi är intresserade av här, vi kan kalla den för D, förresten, som diagonal. Och inte diameter, så vi inte blandar ihop de två, även om det är samma förkortning. Vi vill kunna räkna ut sträckan där. På något sätt.
Och då är det så att då ska vi gå vägen via en gammal bekanting som heter så här. Och har du nu glömt vad Pythagoras sats var för något så ska jag snabbt förklara det här. Och är du intresserad av att repetera det rejält så finns det filmer på det redan på min kanal.
Pythagoras sats sa något sånt här konstigt. Eller ja, vi kanske ska börja rita någonting. Det handlade ju om en speciell sorts triangel.
Det handlade om rätvinkliga trianglar. Och hur man kunde räkna ut sidorna på en sådan, eller en sida på en sådan, om man kände till två andra. Då brukade man kalla de här sidorna för A, B och C Och just den längsta sidan som vi kallade för hypotenusan, den kallar man för C Och då gällde det här för alla rätvinkliga trianglar att om man tog den här sidan i kvadrat plus den här sidan i kvadrat, så blev det alltid lika långt som den här sidan i kvadrat. Och det var Pythagoras satsning.
och det ska vi använda här nu för att ta reda på hur lång vår diagonal är på det här rättplocket vad enda vi behöver känna till här nu det är hur långa sidorna är och de vet vi att den här är 5 den här är 4 och den här är 3 och alla mått får vara i centimeter Så vi ska alltså använda Pythagoras sats. Ja, hur då då? Jo, om man tänker sig att den här diagonalen nu sträcker sig genom rummet.
Och vi tänker oss, även om det här är en linje så har den ju ingen tjocklek. Men vi låtsas att vi skulle ha att i ett rum så liksom hänger vi upp en lina som går genom rummet. Sen, ovanför linan så lyser vi med en spotlight ner. Och då kommer den här linan att kasta en skugga på golvet.
På det här sättet. Den kommer att kasta sin skugga på golvet ner så. Det tror jag att vi kan försöka se framför dig nästan. Och tillsammans med höjden här så har vi faktiskt någonting speciellt. Det här är svårt att se kanske, men det här är en rätvinklig triangel.
Fast i rummet nu. Se om jag gör så här kanske det hjälper. Det här blir en rätvinklig triangel i rummet.
Jag vill ju veta hypotenusan i den rättvinkliga triangeln, så det enda jag behöver veta nu, jag vet ju den sidan, den kateten vet jag. Om jag vet den andra kateten så kan jag ju räkna ut diagonalen med hjälp av betagare av sats. Låt oss kalla den här sidan, den vet vi inte heller, låt oss kalla den för C Det är C jag tänkte, bokstavsordning, sådär. Ja, men här. I golvet har vi också en slags figur.
Det här är en diagonal på golvet. Och här, om jag nu skulle rita med grönt, så ser vi att här har vi också en triangel. Nu fyller jag i de här sidorna med grönt.
Här har vi en triangel som också den är rätvinklig. Och i den triangeln känner vi ju till båda kateterna. Då kan vi ju faktiskt räkna ut hur lång hypotenusan är.
Och om vi sedan har räknat ut hur lång den är, ja då har vi ju kateterna i den röda rättvinkliga triangeln. Då kan vi räkna ut diagonalen. Så det här är alltså... En slags dubbel Pythagoras.
Ja, nu har vi lärt ut hur vi ska göra, då är det bara att göra det. Så jag ritar en skiss på den gröna triangeln som ligger på botten av rätlocket först. Den har vi en skiss av så här. Och den sidan är 5, den sidan är 4, och den sidan hade vi ju kallat för C Då tar vi och räknar ut hur lång den är. Och det gör vi med Pythagoras sats. Summan av kateterna i kvadrat är lika med hypotenusen i kvadrat.
Så det betyder alltså att 5 upphöjt till 2 plus 4 upphöjt till 2 ska vara lika mycket som C upphöjt till 2. Och vi tar och förenklar det här lite grann. 5 upphöjt till 2 är ju 25. 4 upphöjt till 2 är ju 16. Och ci², det kan vi inte göra så mycket med. 25 plus 16, 25 plus 10 är 35, plus 6 är 41. Det är ci² som är 41. Vi vill ju dock veta vad... C är inte vad C i kvadrat är.
Och hur var det nu man gjorde det? Jo, om vi nu tar kvadratroten ur C i kvadrat så blir det bara C Och då tar vi kvadratroten ur på båda sidor enligt balansmetoden. Förstänkningen var ju det här att om jag tar roten ur någonting.
Jag har roten ur 25 till exempel. Det var ju 5. Fast det kunde också vara minus 5. För minus 5 gånger sig själv är också 25. Så tar man roten ur någonting så har man både en positiv och en negativ lösning. Men vi är ju inte intresserade av något negativt svar.
Det finns ju liksom ingen negativ sträcka. Det kan vi inte ens tänka oss. Vi har en negativ sträcka. Så vi bryr oss egentligen inte om det negativa svaret.
Och då är alltså C samma sak som roten ur 41. Och ja visst, jag skulle ju gärna slå det här på min miniräknare. Men jag väntar med att göra det. För vi ska fortsätta räkna med det här. Och det här är ju ett exakt svar medans om jag slår roten ur 41. så får jag ju ett ungefärligt värde. Så vi sparar på roten i 41. C är alltså roten i 41 cm.
Hur konstigt det nu än låter. Då så, då tar vi och fortsätter med den röda. För nu känner vi ju till sidorna i den röda. Förutom hypotenusan som vi ska räkna ut. Så jag ritar en skiss av den röda.
Vi vet att den här sidan är den röda, den är 3. Den här sidan är den röda, den var ju roten ur 41. Och den här sidan är den som är d och det är den vi vill räkna ut. Då gör vi samma sak med betagarens sats. Den här sidan i kvadrat, roten ur 41 i kvadrat.
Plus den andra sidan, kateten i kvadrat, är lika med det i kvadrat. Enligt Pythagoras. Ja, det här blir ju riktigt fiffigt det. Därför om man tar roten ur någonting och sen upphöjer man det till 2, ja, det blir bara det som står under roten ur tecknet.
Det har vi pratat om tidigare. Så det här blir alltså 41. Roten ur 41 är på ytterst 2 i 41. Och 3 på 82 är 9. Och här ser du varför det var så enkelt att bara spara på det där roten ur tecknet. Annars hade man fått en jättejobbig siffra här.
En massa decimaler och grejer. Nu får jag ju 41 bara. Och det blir exakt. 41 plus 9 är 50. Så alltså d i kvadrat är...
Det vill vi veta hur lång det är. Så vi tar ju roten ur på våra sidor. Och nu bryr jag mig inte om det där att visa att det är positiva och negativa lösningar.
Vi bryr oss bara om den positiva. Det innebär att vår diameter, tänkte jag säga, vår rinddiagonal. menar jag, är roten ur 50 centimeter.
Och då vill vi ju veta, ja ja, vad är nu det då ungefär? Ja, det är ungefär 7 centimeter. Och bara för att du ska tro och lita på mig så gör jag det här också. Roten ur 50. Det är ungefär 7. Så nu har vi alltså tagit fram längden på den genom en dubbel Pythagoras.
Nu tänkte jag dra ut på den här filmen lite grann för dig som är intresserad. Så nu ska jag också visa dig ett annat fiffigt sätt att faktiskt snabbt komma fram till hur lång rimdiagonalen är. Här har vi ett rätt lock till. Och den här formen här, den beskriver hur man snabbt kan komma fram till rymdiagonalen i kvadrat.
Tydligen gäller det här. Om man tar den upp på 82 plus den upp på 82 plus den upp på 82 så får man tydligen diagonalens längd i kvadrat. Vi ska ju inte lita på att det här stämmer.
Det stämmer, men jag tänkte att vi skulle kolla att det stämmer. Så då gör vi det. Och nu ska vi göra samma sak som vi gjorde innan, fast nu ska vi pilla runt med bokstäver istället för med siffror. Så jag lyser med min spotlight så jag får en skugga på golvet. Och så får jag min rätvinkliga triangel.
Sen har jag ju en rätvinklig triangel i golvet på det här sättet också. Den här. Och vi börjar med att ta fram ett uttryck för hur lång, ja, jag kan kalla den för C Hur lång C är.
Den är X och den är Y. Då så, vi tar vår sats. Den i kvadrat, kateten plus kandrakateten i kvadrat är lika med hypotenusen i kvadrat.
Och vi är ju intresserade av att veta vad C är och inget annat, så vi tar roten ur på våra sidor. roten ur båda sidorna. Hela uttrycket på båda sidorna. Så då får vi att C, och det här blir ett positivt och ett negativt svar. Vi bryr oss inte om det negativa svaret.
Det här blir ju då bara roten ur x i kvadrat plus y i kvadrat. Det är alltså C Så då vet vi att den är roten ur x i kvadrat plus y i kvadrat. Då så. Då kikar vi på den gröna triangeln. Vi vet att den här har längden, roten är x i kvadrat plus y i kvadrat.
Och vi vet, alltså den här, och den här är z. Och den här, det är rimdiagonalen som är d. Då ska vi se vad som händer nu då, om vi sätter upp ett uttryck för hur man tar fram d här. Ja, då tar man ju den kateten.
I kvadrat plus den andra kateten i kvadrat och då ska det bli lika med d i kvadrat. Och det här, det såg vi ju i förra exemplet, att det här är ju samma sak som att om man tar roten ur någonting upphöjt till två så kan man liksom... tar bort roten ur tecknet och den är uppe på 82. De tar ut varandra. Så det här är x är på 82 plus y är på 82 och sen har vi plus z är på 82 som är lika med d är på 82. Åh, hör och häpna!
Där! Då har vi ju samma sak som vi har där. Nu har vi alltså gjort ett bevis för att den här formen kan jag använda på alla rätt plock om jag vill räkna ut diagonalens längd i kvadrat.
Då kan vi anpassa den här formen till att jag egentligen bara vill ha diagonalen. Då är det samma sak som att ta roten ur på båda sidor. Så när jag vill ha diagonalens längd så tar jag alltså roten ur de här. Det betyder ju helt enkelt att man tar den i kvadrat plus den i kvadrat plus den i kvadrat och sen tar man roten och allting och då får man hur lång diagonalen är.
Då sa dubbelpythagorasats rimdiagonal. Lycka till!