Løsning eksamen i matematikk R1 Høsten 2024

Del 1

Oppgave 1

• Funksjon: $f(x) = e^{2x}$
• Utledet uttrykk: $x^2 = e^{2x}(2x + 1)$

Oppgave 2

• Startverdi: $x = 0$
• Funksjon: $O(x) = 0.1x^2 + 2000x - 50000$
• Toppunkt funnet ved: $0.2x + 2000 = 0 \rightarrow x = 10000$

Oppgave 3

• Likning: $10^x = 4$
• Løsning: $x = \log 4$

Oppgave 4

• Begrensning: $\lim_{x \to \infty}$ av et uttrykk
• Resultat: 12

Oppgave 5

• a) Vektorlengder: $|u| = |w|$, ortogonale vektorer: $u \cdot p = 0$
• b) Lagring og løsning av vektorlikninger

Oppgave 6

• Gjennomsnittlig vekstfart for tre funksjoner og konklusjon om andregradsfunksjon

Del 2

Oppgave 1

• a) Tid for halvering: 10.6 timer
• b) Volumendring: 302 liter/time
• c) Horisontal asymptote: $y = 500$

Oppgave 2

• a) Moteksempler for likhet i grenseverdi
• b) Funksjonen $f(x) = |x|$ og deriverbarhet
• c) Løsninger for likning $a^x = a^y$

Oppgave 3

• a) Eksponentiell regresjon: Startverdi $A_0 = 1.60$, vekstfaktor $k = 1.63$
• b) Logistisk regresjon: Parametere B og r
• c) Deriverte av modeller og konklusjon
• d) Logistisk modell som beste beskrivelse av vekst

Oppgave 4

• Logaritmisk funksjon: $\log_a(5) = 1$, $a = 5$

Oppgave 5

• a) Omvendt funksjon for grafene
• b) Analysering av funksjoner og deres omvendte

Oppgave 6

• a) Beregning av fuglenes hastigheter
• b) Avstand ved $t=0$
• c) Minste avstand og tid
• d) Diskusjon om fuglenes og rovfuglens bevegelser