Betragsungleichungen sind der letzte Fall von Ungleichungen, die wir uns im Vorkurs anschauen. Hierbei möchte ich zunächst einmal noch an den Betrag an sich erinnern, und zwar der Betrag einer Zahl, der wird gerne in der Schule eingeführt. Der Betrag einer negativen Zahl ist einfach... einfach ihre positive Zahl, also einfach das Vorzeichen weg.
Es ist allerdings an der Hochschule praktischer, wenn man sich der genauen Definition bewusst ist, weil man auch mit der letztendlich arbeiten muss. Das heißt, der Betrag von x ist definiert als x selbst, wenn es sich um eine positive Zahl handelt. Zahl handelt und minus x, wenn es sich um eine negative Zahl handelt.
Das Entscheidende ist hier also, wir erzeugen natürlich genau das Gleiche, wie Sie es auch auf der Schule erkennen, nämlich Betrag von 3 ist 3 einfach und Betrag von minus 3 ist letztendlich auch 3, aber dadurch, dass wir minus 3 nochmal mit dem Minus multiplizieren. Das ist recht simpel, aber man sollte sich das bewusst sein, sonst haben wir nämlich Schwierigkeiten, Beträge aufzulösen, wenn wir uns nicht. dieser Geschichte bewusst sind. Schauen wir uns ein Beispiel mit einer Variabel an. Wir haben den Betrag von x-3 und lösen den jetzt mal genauso auf.
Das heißt, wir schreiben hin, das Innere, also x-3-Betrag ist x-3, wenn das Innere positiv ist, das heißt also, wenn x-3 größer gleich 0 ist und der Betrag von x-3 ist minus x-3, wenn das Innere, also x-3, 3 negativ ist. Das kann ich jetzt natürlich noch ein bisschen schöner schreiben. Ich kann die obere Zeile forme ich um zu x minus 3, wenn die minus 3 auf die andere Seite x größer gleich 3 ist. Und hier kann ich die Klammer zum Beispiel auflösen, wenn ich das möchte.
Dann habe ich minus x plus 3, wenn x kleiner als 3 ist. So könnte ich das zum Beispiel schon mal umformen und habe eine etwas präzisere Aussage über den Betrag. Der Betrag ist zum Beispiel wichtig, wenn ich mir Abstände angucke. Was sehr häufig vorkommt, ist folgendes.
Ich habe den Betrag x minus a kleiner gleich r oder auch größer gleich r, aber bleiben wir mal bei kleiner gleich r für den Moment. Dann suche ich nach allen Zahlen, die ihren Abstand zu der Zahl a kleiner gleich r ist. r heißt auch Radius in dem Fall, deswegen der Buchstabe r.
Kann man sich also so vorstellen, ich habe die Zahl a, zum Beispiel 5, und dann nehme ich einen Radius von mir aus 3, dann gehe ich um 3 nach links, um 3 nach rechts und da drin liegen alle meine gesuchten Zahlen. Das ist die Aussage hiervon. Wenn ich jetzt hier nicht kleiner gleich r, sondern größer gleich r schreibe, dann mache ich natürlich alle Zahlen also außerhalb dieses Bereichs. Sie können sich das also wie einen Kreis oder wie eine Kugel vorstellen, entweder bin ich innen drin oder ich bin außen. Beispiel, wie groß ist der Abstand von minus 2 zu 5, kann ich also darüber ausrechnen, indem ich einfach minus 2 minus 5 rechne und davon den Betrag.
Das kommt dann im Betrag von minus 7, was plus 7 ist und das können wir uns auch nochmal an Zahlen streichen. daran nochmal klar machen, dass es stimmt. Der Abstand von minus 2 zu 5 sind natürlich 7. Passt also. Okay, gucken wir uns nun ein Beispiel an, das wir nicht unbedingt bei mathematisch, also rechnerisch lösen müssen, sondern das können wir uns auch einfach anschauen.
nämlich zum Beispiel die Betragsumgleichung x-1 kleiner gleich 3. Das ist ja also inhaltlich die Frage danach, nach allen Zahlen, die zu 1 den Abstand von maximal 3 haben. Also male ich mir einen Zahlenschral auf, markiere die 1 und jetzt gehe ich drei Schritte nach links und drei Schritte nach rechts und damit weiß ich, mein Lösungsraum ist also von minus 2 bis 4. Das Ganze funktioniert bei komplexeren Betragsumgleichungen leider nicht mehr so. Spätestens wenn wir auf beiden Seiten Beträge haben oder vielleicht auch quadratische Ausdrücke, dann wird das deutlich komplizierter. So weit werden wir im Fokus nicht gehen. bei den fortgeschrittenen Aufgaben, den Zusatzaufgaben, aber bei den Grundaufgaben bleiben wir auf diesem Niveau.
Eine Sache, aber die Fallunterscheidung, die sollten wir doch lernen, weil das etwas ist, was sehr häufig im Mathestudium vorkommt, nicht nur bei Beträgen. sondern auch anderen Zusammenhängen, aber hier können wir das besonders gut üben. Schauen wir uns also mal das Beispiel Betrag von 2x minus 6 größer gleich 4 an.
Zunächst einmal möchte ich anmerken, dieses Beispiel ist noch so einfach, das könnten wir auch mit den Methoden, die wir gerade gelernt haben, einfach lösen. Denn ich könnte hier einfach beide Seiten mal durch 2 teilen. Dann hätte ich da nur noch stehen, Betrag von x minus 3 ist größer gleich 2. Und das ist genauso wieder die Gestalt, wie wir eben hatten.
Das heißt, hier können wir gucken, welche Zahlen haben wir. haben zu 3 einen Abstand von mindestens 2. Das kann ich auf dem Zahlenstrahl aufstellen, hätte die Lösung. Aber ignorieren wir mal gerade für den Moment, dass man das auch so einfach lösen könnte und nehmen wir mal an, das war eine recht komplexe Betragsungleichung und die wollen wir jetzt mit Fallunterscheidung lösen.
Nur mal zum Üben von Fallunterscheidung. Wie löst man also einen Betrag ganz allgemein auf? Nun, das hatten wir uns eben schon mal angeguckt da unten. Nämlich, ich stelle mir immer die Frage danach, wann wird das Innere vom Betrag kleiner oder größer gleich 0? Danach löse ich auf und kann dann Fälle auflösen.
Meistens, also jetzt werden wir zwei Fälle auflösen. Wenn Sie aber auf beiden Seiten der Ungleichung Beträge haben, kann es auch sein, dass Sie vier oder mehr Fälle haben. Das kommt auf die Komplexität an. Okay, betrachten wir also das Beispiel, Betrag von 2x-6.
Wir schauen uns das einmal an, wenn wir das jetzt so auflösen, wie wir das eben gemacht haben. Nämlich wir haben einmal 2x-6 in dem Fall, dass das Innere positiv ist, also 2x-6 größer gleich 0 ist. und ich mache ein Minus davor, wenn 2x minus 6 kleiner 0 ist. Das hier sind ja sehr einfache Ungleichungen, die kann ich umstellen. Das heißt, wenn ich das mal umstelle, 6 auf die andere Seite geteilt durch 2, weiß ich, es kommt auf die 3 an.
Bin ich größer als die 3 oder bin ich kleiner als die 3? Damit habe ich zwei Fälle. Nämlich, wir fangen mit dem Fall 1 an, x ist größer gleich 3. Das bleibt jetzt immer im Hintergrund bestehen.
Ich gucke mir also alles nur noch an unter dem Gesichtspunkt, ich bin größer gleich 3 mit meinen x-Werten. Die Aufgabe lautete, Betrag von 2x-6 ist größer gleich 4. Unter der Annahme, dass x größer gleich 3 ist, darf ich den Betrag einfach wegfallen lassen, denn wir wissen ja, dann ist das Innere positiv, dann hat der Betrag gar keinen Nutzen mehr. So, also schreibe ich das Gleiche nochmal ab.
ohne Betragsstriche. Jetzt ist das eine simple lineare Ungleichung, die kann ich umstellen. 6 auf die andere Seite geteilt durch 2 erhalte ich, x ist größer gleich 5. Das heißt, in unserem Fall 1 erhalten wir, solange wir größer gleich 3 sind, ist x größer gleich 3. ist x größer gleich 5 eine Lösung. Jetzt muss ich natürlich beides kombinieren.
Und wann bin ich sowohl größer gleich 3 als auch größer gleich 5? Naja, wenn ich größer gleich 5 bin. Da ist der Schnitt von beiden. Das heißt, mein erster Lösungsraum sind alle Zahlen größer gleich 5. Machen wir noch den zweiten Fall. Fall 2 ist ja der andere, der negative.
x ist kleiner 3. Wenn x kleiner 3 ist, dann ist der innere Teil negativ. und wenn der Teil innen drin nicht mehr ist, Negatives vom Betrag muss ich den Vorzeichenwechsel machen. Das heißt, ich muss ein Minus davor setzen. Also ich habe dann aus 2x minus 6 wird minus 2x plus 6. Das ist ja gleich 4. Wieder eine einfache Betragsungleichung.
Ich packe die 6 auf die andere Seite, kriege eine minus 2. Dann habe ich minus 2x ist größer, gleich minus 2. Und jetzt muss ich aufpassen, ich muss ja hier durch eine negative Zahl teilen. Also unsere einzig wirklich wichtige Regel gerade zur Ungleichung müssen wir hier beachten. Wir teilen durch eine negative Zahl. also dreht sich das Ungleichzeit- um und wir haben damit x ist kleiner gleich 1. Damit haben wir die Forderung in unserem Fall 2, einerseits soll x kleiner 3 sein und andererseits soll x auch kleiner gleich 1 sein. Und das ist natürlich nur gleichzeitig möglich, wenn ich kleiner gleich 1 bin.
Also ist mein zweiter Lösungsraum von minus und endlich bis 1. Und wenn ich beide Lösungsräume kombiniere, habe ich also einmal den Bereich von minus und endlich bis 1 und der Bereich von 5 bis und endlich oder auf dem Zahlenstrahl. nochmal so markiert. Die beiden Bereiche sind Lösungsbereiche.
Und wenn Sie möchten, können Sie das natürlich auch kompakter schreiben. In diesem Fall ist das ja, der kommt alle reellen Zahlen bis auf der Bereich in der Mitte, also ohne den Bereich von 1 bis 5. Aber ob Sie das jetzt nun so aufschreiben oder so, das bleibt dann Ihnen überlassen.