Quadratische Funktionen einfach erklärt

Übersicht

• Quadratische Funktionen sind durch ein ( x^2 ) in der Funktionsgleichung erkennbar.
• Der Graph ist immer eine Parabel.
• Normalparabel: ( f(x) = x^2 ) mit Scheitelpunkt im Ursprung ((0|0)).
• Verschiebungen, Streckungen/Stauchungen und Spiegelungen sind möglich.

Verschiebungen

Verschiebung in y-Richtung

• Verschiebung nach oben: Beispiel: ( g(x) = x^2 + 3 )
• Verschiebung nach unten: Beispiel: ( g(x) = x^2 - 3 )

Verschiebung in x-Richtung

• Verschiebung nach rechts: Beispiel: ( g(x) = (x - 3)^2 )
• Verschiebung nach links: Beispiel: ( g(x) = (x + 3)^2 )

Streckung/Stauchung

• Bestimmt durch den Faktor ( a ) in ( f(x) = a \cdot x^2 )
• Streckung (schmaler): ( a > 1 )
• Stauchung (breiter): ( 0 < a < 1 )

Spiegelung an der x-Achse

• Parabel wird umgedreht, öffnet nach unten.
• Beispiel: ( g(x) = -x^2 )

Kombinationen von Transformationen

• Mehrere Transformationen sind kombinierbar.
• Beispiel: ( g(x) = 3 \cdot (x - 3)^2 - 2 ) (Verschiebung, Streckung)

Quadratische Funktionen Formeln

Scheitelpunktform

• ( f(x) = a \cdot (x - d)^2 + e )
• Erkennt Verschiebung im Koordinatensystem und Scheitelpunkt ((d | e)).

Allgemeine Form

• ( f(x) = a \cdot x^2 + b \cdot x + c )
• ( a ) gibt Streckung/Stauchung an.
• ( c ) gibt y-Achsenabschnitt an.

Funktionsgleichung bestimmen

• Vorgehen zur Bestimmung aus gegebenen Punkten.
• Beispiel mit Scheitelpunkt ( S(1|4,5) ) und Punkt ( P(4|0) ).
• Nutzung der Scheitelpunktform zur Berechnung.

Nullstellen berechnen

• Nutzung der Mitternachtsformel oder p-q-Formel.
• Mitternachtsformel: ( x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} )
• p-q-Formel: ( x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q} )

Wichtige Fragen

• Was sind quadratische Funktionen? Funktionen mit ( x^2 ).
• Wie erkennt man sie? Durch das Vorkommen von ( x^2 ) und nicht höheren Potenzen.

Formen quadratischer Funktionen

• Normalform: ( f(x) = x^2 + px + q ) bei ( a = 1 ).
• Möglichkeiten zur Umwandlung zwischen Scheitelpunkt- und allgemeiner Form.

Diese Zusammenfassung bietet eine strukturierte Übersicht über die wesentlichen Konzepte und Transformationsmöglichkeiten quadratischer Funktionen. Die Verständnisfragen und Beispiele helfen, die Theorie praktisch anzuwenden.