Notes sur le Chapitre des Vecteurs

Introduction

• Revue des éléments importants du chapitre sur les vecteurs.
• Thèmes abordés : translation, définition et propriétés des vecteurs, somme de vecteurs, collinéarité.

1. Translation

• Définition : Transformation assimilée à un glissement.
• Exemple : Un téléphérique se déplace de A vers B.
• Caractéristiques :
  • Direction : déterminée par le mouvement.
  • Sens : de A vers B (ou vers la droite).
  • Longueur : distance AB (ex. : 80 mètres).

2. Définition d'un Vecteur

• Un vecteur est caractérisé par :
  • Direction
  • Sens
  • Longueur (ou norme).
• Représentation : flèche (ex. : vecteur AA').
• Propriété : Un vecteur n’a pas de position fixe, mais peut être représenté à plusieurs endroits.

2.1 Égalité des Vecteurs

• Deux vecteurs sont égaux si :
  • Même direction
  • Même sens
  • Même longueur
• Notation : vecteur U = vecteur AA' = vecteur BB'.

3. Propriété du Parallélogramme

• Deux vecteurs égaux forment un parallélogramme.
• Exemple :
  • Placer deux vecteurs parallèles de même longueur produit un parallélogramme.

4. Alignement et Milieu

• Propriété du milieu : Si B est le milieu de AC, alors vecteur AB = vecteur BC.
• Réversibilité : Si vecteur AB = vecteur BC, alors B est le milieu de AC.

5. Vecteur Nul et Vecteurs Opposés

• Vecteur nul : Deux extrémités confondues (ex. : vecteur PP).
• Vecteurs opposés : Même direction et longueur, sens contraire.
  • Notation : vecteur BA = -vecteur AB.

6. Somme de Vecteurs

• Définition : Vecteur résultant d'appliquer deux translations successivement.
• Méthode : Mettre bout à bout les vecteurs pour obtenir leur somme (ex. : vecteur AB + vecteur AC).

6.1 Différence de Vecteurs

• Utilisation du vecteur opposé pour effectuer des calculs :
  • U - V = U + (-V).

7. Relation de Schall

• Relation fondamentale : vecteur AC = vecteur AB + vecteur BC.
• Application : peut être utilisée sans géométrie avec des points.

8. Propriétés des Vecteurs

• Parallélisme vs Collinéarité :
  • Parallélisme pour les droites ; collinéarité pour les vecteurs.
  • Deux vecteurs sont collinéaires si l’un est un multiple de l’autre.
• Alignement : Trois points A, B, C sont alignés si vecteurs AB et AC sont collinéaires.

Conclusion

• Importance de comprendre les concepts de vecteurs pour les applications géométriques.
• Pratique requise pour maîtriser les exercices liés aux vecteurs.