Récapitulatif de cours : Réduction des endomorphismes

Espace vectoriel $E$

• $E$ est un $\mathbb{K}$-espace vectoriel ($\mathbb{K}$ étant $\mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$).

Sous-espaces stables

• Définition : Un sous-espace vectoriel $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(F)\subset F$.
• Endomorphisme induit: $u_F(x) = u(x)$ pour tout $x \in F$.
• Proposition : Si $u$ et $v$ commutent, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$.
• Caractérisation matricielle :
  • Pour $F$ stable par $u$, la matrice de $u$ dans une base est de la forme (\begin{pmatrix} A & B \ \hline 0 & C \end{pmatrix}).
  • Si $E = \bigoplus_{i=1}^p E_i$, les sous-espaces $E_i$ sont stables par $u$ si la matrice de $u$ est diagonale par blocs.

Éléments propres

• Valeur propre $\lambda$ : $u(x) = \lambda x$ pour un vecteur non-nul $x$.
• Vecteur propre : Vecteur $x$ associé à la valeur propre $\lambda$.
• Sous-espace propre : $E_\lambda = \ker(u - \lambda Id_E)$.
• Spectre de $u$: Ensemble des valeurs propres, noté $\textrm{Sp}(u)$.
• Théorème : Si $\lambda_1, \dots, \lambda_p$ sont distincts, alors $E_{\lambda_1}, \dots, E_{\lambda_p}$ sont en somme directe.
• Corollaires :
  • Vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment une famille libre.
  • $u$ admet au plus $n$ valeurs propres si $E$ est de dimension $n$.

Matrices et similarité

• Matrices semblables : $A$ et $B$ sont semblables s'il existe $P \in GL_n(\mathbb{K})$ tel que $A = PBP^{-1}$.
• Matrices semblables ont le même spectre et le même polynôme caractéristique.

Polynôme caractéristique

• Définition : $\chi_A(X) = \det(XI_n - A)$.
• Matrice triangulaire : Si $A$ est triangulaire, $\chi_A(X) = (X-\lambda_1)\cdots (X-\lambda_n)$ avec diagonale $\lambda_1, \dots, \lambda_n$.
• Propriétés :
  • $\chi_A(X)$ est unitaire : $\chi_A(X) = X^n - \textrm{tr}(A)X^{n-1} + \cdots + (-1)^n\det(A)$.
  • Pour $A \in \mathcal{M}_2(\mathbb{K})$, $\chi_A(X) = X^2 - \textrm{tr}(A) X + \det(A)$.
• Les racines de $\chi_A$ sont les valeurs propres de $A$.
• Multiplicité : Multiplicité d'une valeur propre $\lambda$ comme racine de $\chi_A$.
• Si $F$ est stable par $u$, alors $\chi_{u_F}$ divise $\chi_u$.

Endomorphismes et matrices diagonalisables

• Définition : $u$ est diagonalisable si la matrice de $u$ est diagonale dans une base.
• Propriétés :
  • $u$ est diagonalisable si la somme des sous-espaces propres de $u$ est $E$.
  • $\sum_{\lambda \in \textrm{Sp}(u)} \dim(E_\lambda) = \dim(E)$.
• Théorème : $u$ est diagonalisable si $\chi_u$ est scind et $\dim(E_\lambda) = \textrm{mult}(\lambda)$ pour toute valeur propre $\lambda$.
• Matrice $A$ est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

Endomorphismes et matrices trigonalizables

• Définition : $u$ est trigonalizable si la matrice de $u$ est triangulaire supérieure dans une base.
• Théorème : $u$ est trigonalizable si $\chi_u$ est scind.
• Matrice $A$ est trigonalizable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

Ces notes couvrent les éléments clés de la réduction des endomorphismes et des matrices, la caractérisation des sous-espaces stables, les propriétés des éléments propres, la similarité des matrices, et la diagonalisabilité et trigonalisation des endomorphismes et matrices.