Übersicht
Die Vorlesung behandelt das Lösen linearer Gleichungssysteme mittels des Gauss-Verfahrens und unterscheidet zwischen Fällen mit eindeutigen, unendlich vielen oder keinen Lösungen.
Ziel des Gauss-Verfahrens
- Ziel ist die Umformung des Gleichungssystems in obere Dreiecks- bzw. Treppenstufenform.
- In der Treppenstufenform kann durch Rückwärtseinsetzen (Back Substitution) die Lösung leicht bestimmt werden.
- Eindeutige Lösungen sind möglich, wenn jede Variable eindeutig bestimmt werden kann.
Anwendung des Gauss-Verfahrens
- Um Nullen unterhalb der Hauptdiagonale zu erzeugen, werden Zeilenoperationen durchgeführt.
- Beispiel: Durch Addition des Vielfachen der ersten Zeile zur zweiten entsteht die gewünschte Null.
- Nach der Umformung ergibt sich ein einfaches Gleichungssystem, das von unten nach oben gelöst wird (Z zuerst, dann Y, dann X).
- Probe: Der Lösungsvektor muss in alle Ausgangsgleichungen eingesetzt werden und stimmen.
Fälle mit unendlich vielen oder keinen Lösungen
- Bei weniger Zeilen als Unbekannten können unendlich viele oder keine Lösungen existieren.
- Unendlich viele Lösungen entstehen, wenn eine Variable beliebig gewählt werden kann (Parameter, z.B. Lambda).
- Keine Lösung liegt vor, wenn eine Gleichung auf einen Widerspruch führt (z. B. 0 = 17).
- Eine Nullzeile (links und rechts alles Null) liefert keine neue Information.
Beispielrechnungen
- Eindeutige Lösung: Umformung zur Treppenstufenform, dann Rückwärtseinsetzen.
- Unendlich viele Lösungen: Weniger Gleichungen als Unbekannte, daher ein Lösungsraum mit Parametern.
- Keine Lösung: Widerspruch entsteht durch Zeilenumformung.
Wichtige Begriffe & Definitionen
- Gauss-Verfahren — Algorithmus zum Lösen linearer Gleichungssysteme durch Umformung in Dreiecksform.
- Treppenstufenform — Matrixform, bei der alle Elemente unterhalb der Hauptdiagonale Null sind.
- Rückwärtseinsetzen — Schrittweises Lösen der Gleichungen von unten nach oben.
- Nullzeile — Eine Zeile, in der alle Einträge Null sind, liefert keine neue Information.
- Lösungsraum — Menge aller Lösungen, ggf. beschrieben durch Parameter (bei unendlich vielen Lösungen).
Aufgaben / Nächste Schritte
- Alle vorgestellten Verfahren im Tutorium an Übungsaufgaben anwenden.
- Lösungen von Gleichungssystemen stets vollständig in die Ursprungsgleichungen einsetzen und prüfen.