Gauss-Algorithmus zur Lösung von linearen Gleichungssystemen

Einführung

Thema: Lösen von linearen Gleichungssystemen mit drei Gleichungen und drei Unbekannten
Fokus: Drei Beispielszenarien
- Eine Lösung
- Keine Lösung
- Unendlich viele Lösungen

Sortieren
- Gleichungen so umformen, dass Variablen in der gleichen Reihenfolge stehen: x, y, z
- Zahlen auf der rechten Seite
Eliminierung der ersten Variablen in den unteren Zeilen
- Ziel: Die markierten Einträge (erste Einträge in Zeile 2 und 3) verschwinden lassen
- Verrechnungen mit der ersten Zeile, um Vielfache zu finden
- Verwendung von Vielfachen, um Einträge zu eliminieren (z.B. durch Subtraktion)
Eliminierung des ersten Eintrags in der dritten Zeile
- Verrechnung wieder mit der ersten Zeile
- Fokus: Einträge verschwinden lassen
Letzte Umformung
- Nutzung der zweiten Zeile zur Verrechnung in der dritten
- Ziel: Alle markierten Einträge eliminieren

Dritte Zeile: Nach z umstellen und z finden
Zweite Zeile: Nach y umstellen und y finden, wobei z-Wert eingesetzt wird
Erste Zeile: Nach x umstellen und x finden, wobei y und z-Werte eingesetzt werden
Lösungsmenge: (x, y, z) = (-1, -2, 1)

Indikator: Eine Zeile ergibt eine wahre Aussage ohne Variablen (z.B. 0 = 0)
Umformung
- Eine der Gleichungen nach einer Variablen (y oder z) umstellen
- Andere Variablen sind frei wählbar (z-frei)
Lösungsmenge
- Variable z durch Parameter ersetzen (z.B. z = t)
- Ausdruck der Lösungsmenge in Abhängigkeit von t
- Beispiel: (x, y, z) = (9/2, -3 + 2t, t) mit t aus den reellen Zahlen

Ziel: Verständnis der drei Szenarien des Gauss-Algorithmus
Hinweis: Methode verlangt Genauigkeit bei Rechenoperationen
Kommunikation: Fragen in den Kommentaren möglich
Abschließende Grüße: Wünschen eines schönen Tages und Einladung zum nächsten Video