Bonjour ! Dans cette vidéo, je te propose de revoir tout le cours sur le chapitre des primitives. L'objet de cette séquence est de te rappeler et de t'expliquer les éléments les plus importants de ce chapitre.
Plus précisément, on verra comment est définie une primitive, les premières propriétés, les primitives des fonctions usuelles, les primitives des fonctions composées et quelques exemples. Pour préparer un contrôle, ou même un examen, il te faudra également t'entraîner sur de nombreux exercices. Je te conseille donc de cliquer sur le lien qui te mènera vers d'autres vidéos proposant de nombreux exercices sur le thème des primitives. Pour le cours, en tout cas, c'est parti !
Alors, commençons déjà par définir ce que c'est qu'une primitive, une primitive d'une fonction. Et ensuite, on va voir les premières propriétés. Pour comprendre, on va partir d'un exemple. On va prendre une fonction f.
qui est définie, une fonction f, qui est définie par f de x est égale à 2x plus 3. Et on va prendre une autre fonction, une fonction F, F de x, qui est définie par x² plus 3x moins 1. Et il existe en réalité une relation entre ces deux fonctions qui va faire que l'une sera primitive de l'autre. Pour comprendre, on va partir de la fonction F. Et on va la dériver, cette fonction grand f. On va donc calculer grand f'de x. Alors, si je dérive x² plus 3x moins 1, ça me donne 2x plus 3 moins 0, donc 0. Et là, qu'est-ce qu'on constate ?
Eh bien, on constate que je trouve 2x plus 3 comme l'expression de petit f. Ce qui veut dire que ceci est donc égal à petit f de x. Eh bien, on l'a, notre relation. Notre relation est de dire que...
grand f prime, c'est petit f. Et bien là, on vient d'obtenir la définition d'une primitive. Dire que grand f prime égale petit f revient à dire que grand f est une primitive de petit f. Et donc, on dira de façon générale, dès qu'on a une fonction f, petit f, donc, qui continue sur un intervalle, qui est donné, donc on travaillera avec des fonctions continues, Eh bien, on appelle primitive de f toutes les fonctions qu'on peut noter F qui vérifient F'égale f.
Et dans ces conditions-là, dire que F est une primitive de f, c'est pareil que dire que f est la dérivée de f. On le voit bien ici. On a F qui est une primitive de f. Eh bien, cela signifie que f, c'est la dérivée de f. Ici, j'ai dérivé F.
Qu'est-ce qui se passe ? Je trouve bien petit f. On verra dans la suite que rechercher des primitives, ça va correspondre en fait à faire le chemin inverse de la dérivation.
Je vais rechercher la fonction que j'ai dérivée. On peut le schématiser un petit peu. Jusque-là, on savait faire ça. Donc je pars de f, je dérive, j'opiens sa dérivée f prime, mais en amont ici, j'ai la fonction grand f. Je dérive grand f.
j'obtiens la fonction f. Je dérive F, j'obtiens la fonction f. Et donc, si cette fonction-là n'est pas donnée, ça revient donc à faire le chemin inverse, c'est-à-dire je donne f. Il faut retrouver la fonction que j'ai dérivée qui donne f. L'exercice sera certainement plus difficile que le chemin direct.
Ici, on a appliqué directement les formules de dérivation. Là, il faudra les appliquer à l'envers. Alors, il y a des nouvelles formules qui vont apparaître.
On n'y est pas encore, ça va venir dans quelques instants. Alors, tout ça mérite qu'on traite... Rapidement un deuxième exemple, on se donne donc une fonction f, une fonction f, elles sont définies ici, et on voudrait savoir si f est une primitive de f.
Eh bien allons-y, je vais donc dériver f'x égale 2e2x, alors 2 est une constante en facteur ici, e2x ça se dérive en e2x, donc ça fait 2e2x, plus 3 c'est une constante qui est donc en facteur, x², ça se dérive en 2x. Soit, en réduisant un tout petit peu, 3 fois 2, 2e2x plus 6x. On retrouve bien ici notre f de x. Donc là encore, on constate que F'égale f, ce qui signifie que F est bien une primitive de f. Mais allons plus loin en partant de cet exemple.
Alors peut-être... L'as-tu remarqué ? Mais je ne dis pas et la primitive je ne dis pas grand F et la primitive de petit f Je dis à chaque fois grand F est une primitive de petit f Alors pourquoi ça ? Eh bien tout simplement parce que petit f, s'il possède des primitives, il en possède... Beaucoup.
Il en possède même un nombre infini. On va le voir tout de suite en partant de cet exemple. Admettons ici que je transforme un tout petit peu l'expression F et que je rajoute derrière une constante, disons 1, plus 1. Que va-t-il se passer lorsque je vais dériver F ?
Eh bien, quand je vais dériver F, la dérivée d'une constante, c'est 0, donc ça va faire plus 0, autrement dit, ça n'apparaîtra pas. Ce qui veut dire qu'avec notre 1 ici, qui est à la fin, eh bien, il n'aura pas d'incidence sur le calcul de la dérivée, et donc je retrouverai petit f. Et si j'avais mis 2 ?
Si j'avais mis 2, tu comprends bien que c'est exactement la même chose, puisque la dérivée de 2, c'est 0, donc je retrouve f. Donc en réalité, derrière ça, je peux vraiment y mettre ce que je veux. Je peux y mettre 1000, même 10 000, voire 1 million. Ça ne change rien. Quand je vais dériver grand f, cette constante s'en va.
On voit bien là que j'ai inventé en quelques secondes tout plein... de primitive de ma fonction f. Il me suffit juste ici de rajouter une constante. Et bien ça, ça fait l'objet d'une propriété qui nous dit que toujours lorsqu'on a une fonction f qui est continue, si F est une primitive de f, c'est le cas ici, F est une primitive de f, toutes les fonctions de la forme F plus une constante derrière, un nombre réel, est également une primitive de f. Et dit d'une autre façon, Eh bien, cela signifierait que dès que je prends deux primitives et que j'en fais la différence, eh bien j'obtiens une constante.
Forcément, on voit bien, au départ, j'étais parti de celle-ci, après j'en ai construit une autre avec plus 1000 derrière, si je fais la différence des deux, eh bien je trouve 1000. Donc ça veut dire que la différence de primitives d'une même fonction continue sur un intervalle donné, eh bien diffère tout simplement d'une constante. Donc tout ça, c'est très intéressant. Ça veut donc dire, pour résumer, que finalement, Dès que j'ai une primitive, j'en ai en fait tout plein. Alors, il y a une autre propriété qu'on ne va pas démontrer, qu'on va admettre ici.
C'est le fait que dès que j'ai une fonction continue sur un intervalle donné, eh bien, elle admet des primitives. Je dis maintenant des primitives, puisqu'on a bien compris que si elle en admet une, elle en admet plusieurs. Mais parfois, eh bien, on ne peut pas les écrire. On sait qu'elles existent, on sait qu'elles existent, cette primitive. Mais on n'arrive pas à l'écrire sous forme explicite.
C'est le cas, par exemple, de la fonction qui est définie par E de x². Celle-ci pose problème. Eh bien, si je cherche une primitive de cette fonction, donc une fonction grand F que je vais dériver et qui me fera retomber là-dessus, eh bien, je n'arriverai pas. Je n'arriverai pas à trouver une formule explicite de cette fonction.
Donc, ce n'est pas toujours possible. Et j'ai envie presque de dire, c'est même rarement possible, sauf dans les exercices qu'on fabrique pour toi, mais il faut déjà quand même que la fonction soit écrite sous une certaine forme pour qu'on arrive à faire marche arrière. Et donc, c'est tout l'objet de ce chapitre, c'est d'arriver à trouver des primitives de fonction. Alors, il y a différentes méthodes, différentes techniques que tu apprendras avec le temps. Dans la suite et dans la deuxième partie, on va justement voir maintenant des primitives de fonction usuelles.
Alors d'abord... celle de fonctions usuelles et puis après dans un second temps on parlera des composés. Alors voilà donc le tableau avec donc toutes les primitives des fonctions usuelles, on va pas regarder ça en détail mais ce qu'il faut bien comprendre donc on a dans la colonne de gauche on a la fonction f, la fonction de départ et dans la colonne de droite donc on a une primitive F.
Alors tu as bien compris j'ai dit une primitive puisque maintenant on a vu que dès qu'on en a une on en a tout plein donc c'est pas une unique solution. Enfin, c'est la solution de base, il n'y a pas la constante derrière, c'est quand même plus facile à lire. Donc, comme je l'ai dit tout à l'heure, rechercher une primitive, ça revient à faire le chemin inverse de la dérivation. Ce qui signifie que si je pars de la colonne de droite et que je veux arriver à la colonne de gauche, qu'est-ce que je vais faire ?
Eh bien, je vais dériver. Tu peux prendre n'importe quelle fonction de la colonne de droite, tu la dérives, tu verras que tu retombes sur la colonne de gauche. Bon, peut-être la plus simple parce que c'est la...
plus visible, et on la connaît bien, c'est 1 sur x et ln de x. On sait que la dérivée de ln de x est 1 sur x. Eh bien, on voit bien ici, je pars de ln de x, je dérive, je trouve 1 sur x.
Mais maintenant, je le lis dans le nouveau sens, donc, où on va rechercher une primitive. Eh bien, si je tombe sur 1 sur x, et que je veux trouver une primitive de cette fonction, eh bien, ça sera ln de x. Donc, on a ici la correspondance, et donc, si tu dérives toutes les fonctions qui sont à droite, eh bien, tu tomberas sur les fonctions qui sont à gauche, mais évidemment, le tableau est à connaître dans les deux sens maintenant. Attaché à ça, et avant de voir un exemple, ça permet d'avoir un exemple qui est un peu plus intéressant, je parle juste de la propriété de linéarité des primitives.
Alors, elle est assez simple cette propriété, on a la même chose avec la dérivation évidemment, puisque ça marche dans les deux sens. On nous dit que si grand F est une primitive de petit f, si grand G... est une primitive de g, dans ce cas-là, si je cherche une primitive de f plus g, je prends tout simplement F plus G. On faisait pareil dans l'autre sens avec la dérivée.
Quand on y a une addition et qu'on dérive, on dérive chaque fonction séparément, celle-ci plus celle-ci. Et ça marche également avec la petite constante. Si on cherche une primitive de k fois f, ça sera tout simplement k fois F. Autrement dit, La constante qui sera accrochée, donc qui sera en facteur de notre fonction, on ne s'en préoccupe pas, on la prend et puis on la recopie tout simplement. Allez, on voit un exemple, ça sera plus clair je pense ensuite.
Petit f de x égale à 5x² plus 3. Alors attention, cette fois-ci, je n'ai pas donné grand f. Donc on ne peut pas dire, on dérive grand f comme ça, on verra que ça marche. Je ne connais pas grand f.
La question, elle est un peu plus complexe maintenant, c'est Quel est ce grand F ? Quelle est la fonction ici que je dériverai et qui me renverrait petit f ? Donc c'est là qu'on va utiliser notre tableau de correspondance, mais avant déjà appliquons notre propriété de linéarité, ça va nous simplifier l'affaire.
J'ai ici plus, donc je peux reporter plus, et finalement je vais simplement ici chercher une primitive de 3 et chercher une primitive de 5x². Mais mieux que ça, Pour 3, c'est facile, mais pour 5x², j'ai un petit 5 ici qui est en facteur. Eh bien, ça veut dire que je vais recopier le 5, c'est notre k dans la propriété de linéarité, et je vais simplement chercher une primitive de x². Donc, en gros, si je trouve une primitive de x² et une primitive de 3, eh bien, j'ai gagné, j'ai ma primitive F. Alors, allons-y.
Bon, on va commencer déjà par chercher une primitive de x². Alors, comment faire ? on s'en réfère à notre tableau des primitives. Déjà, on se rappelle que lorsqu'on dérive, qu'est-ce qui se passe ?
L'exposant passe devant et diminue d'un rang, diminue d'une unité. Quand on a x³ et qu'on dérive, on arrive sur du x². Donc évidemment, vu que rechercher une primitive, c'est faire le chemin inverse, là c'est le contraire qui va se passer. On va gagner un rang, on va gagner une unité. Donc quand je vais ici dériver ma primitive, Je vais tomber sur x², donc cela veut dire que ici je suis parti sur x² plus 1, c'est-à-dire x³.
Et on le voit bien dans le tableau de correspondance, ici on part de x³, on arrive à x³. Ensuite, c'est pas tout, on se rappelle que ça, on le jette devant et il arrive en facteur, ici. Bon, donc ici j'ai un 3 qui arrive, mais alors là c'est le contraire qui va se passer également, c'est pour ça qu'on le voit dans le tableau de correspondance, j'ai du... 1 sur n plus 1, en gros pour qu'il s'efface quand je le dériverai dans l'autre sens. On va le vérifier. Donc 1 sur n plus 1, c'est assez facile parce que le n plus 1, finalement, c'est l'exposant qui est là.
Donc je sais déjà, c'est sur 3. Et c'est quoi sur 3 ? 1 sur 3. Ça, c'est notre 1 sur n plus 1, puisque ça, c'est notre n plus 1. Bon, c'est bon. J'ai ici trouvé une primitive de x au carré. C'est 1 tiers de x au cube.
Regardons si on dérive, si ça marche bien et si on retombe effectivement sur notre x au carré. Si je dérive, j'ai le 3 qui passe devant, ça va donc me faire 3 fois x², mais avec le 1 tiers qui est là, les 3 s'en vont, qu'est-ce qu'il me reste ? Eh bien, il me reste tout simplement x², ça marche bien.
Donc en dérivant 1 tiers de x³, je retombe bien sur mon x², donc sur la fonction de départ. Donc c'est bien, c'est bien ça, c'est donc 1 tiers de x³. Et le 5, tu vois, je l'ai recopié, c'est ma constante k.
Donc là, il n'y a même pas besoin de réfléchir. Plus, là non plus, il n'y a pas besoin de réfléchir. Maintenant, on va chercher une primitive de 3. Ça, c'est très facile. Pourquoi c'est très facile ? Parce qu'on sait que quand on dérive une expression de type 2x, 5x, 8x, etc., il reste juste le 5, le 8, il reste juste le nombre sans le x.
Le x s'en va. Et d'ailleurs, c'est ce qu'on voit ici dans le tableau de correspondance. Quand je pars de A, et bien que je cherche une primitive, forcément, chemin inverse, je retombe sur AX.
Pourquoi ? Parce que quand je pars de ax et que je dérive, je tombe sur a. Donc là, évidemment, une primitive de 3, c'est 3x. Bien, on l'a, notre fonction, on peut l'écrire un peu plus simplement, soit 5 tiers de x au cube plus 3x. Voilà notre primitive.
Alors, il ne faut pas rêver. On risque souvent de tomber sur des expressions compliquées. On le voit bien ici dans le tableau de correspondance.
Dès qu'on a des monomes, d'ailleurs... on a une petite fraction qui apparaît, ce qui veut dire qu'on aura souvent des dénominateurs qui risquent d'apparaître. On peut passer aux fonctions composées.
Alors pour les fonctions composées, je ne vais pas te cacher que c'est là que ça se complique un petit peu. Ça se complique même carrément, il faut être honnête, puisqu'on se souvient que lorsqu'on dérive une fonction composée, il y a toujours cette fonction dérivée qui apparaît en facteur. Donc par exemple, lorsque je dérive quelque chose du type E2U, on retrouve notre E2U, mais il y a l'U U'. qui apparaît.
Et ça, c'est vrai pour toutes les fonctions composées. Alors, imaginons maintenant ce qui se passe dans le cadre du chemin inverse, puisque je pars d'une fonction et je veux retrouver la fonction de départ. Eh bien, ça voudra dire que si je veux trouver une primitive d'une fonction composée de ce type-là, il va falloir rechercher, si elle est là, si elle existe, la dérivée qui est accrochée. Et c'est pour ça que, des fois, ça ne marche pas.
Ça ne marche pas bien. Je pense à l'exemple. que je t'ai donné tout à l'heure avec le E2x². Le E2x², si je veux chercher la primitive de E2x², il faudrait ici que j'ai la dérivée de x².
Or, je ne l'ai pas, cette dérivée. Alors, comment je fais ? Eh bien, je suis coincé.
Bon, bien évidemment, dans les cas qu'on te demandera de chercher, la dérivée sera là, mais des fois, elle est un petit peu cachée. Donc, on ne va pas voir un exemple compliqué, on verra un exemple simple. Je t'invite à regarder d'autres vidéos dans lesquelles on traite des exemples un peu plus compliqués.
Mais évidemment, pour ce type d'exercice, il faut s'entraîner. Alors voilà, tu as ici donc toutes les situations. On retrouve vraiment les situations contraires de la dérivation. Je repars avec l'exemple du ln de u. La dérivée de ln de u, c'est u prime sur u.
Bon, si tu veux chercher une primitive de ce type-là, il faudrait retrouver la dérivée de u en haut, numérateur, et u en bas, au dénominateur. Et là, tu peux primitiver en ln de u. Alors bon, il y a quelques conditions, attention, on en parlera également dans les exercices, enfin pas dans cette vidéo, mais je le précise quand même déjà, lorsqu'on a du u'sur u, vu qu'on veut passer à ln de u, une fonction qui a un ensemble de définitions restreint, 0 plus l'infini 0 exclu, forcément il faut travailler avec une fonction u qui est strictement positive.
Voilà, je te laisse regarder toutes ces formules, là non plus on ne va pas... les lire en détail, on va plutôt traiter ensemble un exemple. Alors voilà l'expression de notre fonction, elle est assez lourde.
On voudrait donc déterminer une primitive de cette fonction f. Quand on regarde dans le tableau des primitives, on a quand même envie de reconnaître ici quelque chose du type u'u puissance n. On voit déjà ici qu'on a un exposant avec une fonction ici, donc on a bien là une composée. d'une fonction trinôme, enfin un trinôme du second degré avec une fonction carré. Et la question va être justement si là j'ai donc composé u avec le carré, donc u carré, est-ce que devant j'ai bien la dérivée ?
Donc dans l'idéal, qu'est-ce qu'il nous faudrait ? On a dit qu'on aurait ici u, qui est élevé au carré, on va utiliser quelques couleurs, et dans l'idéal ici il nous faudrait u prime pour pouvoir appliquer notre formule. Est-ce que c'est le cas ?
Bien, regardons. Je pars donc de u de x, qui est donc égal à x au carré moins 5x plus 4. Si je dérive u de x, soit u prime de x, égal à 2x moins 5. Ah oui, parfait. Je retrouve ici donc mon 2x moins 5. Donc là, j'ai vraiment une fonction f qui est parfaitement prête pour... la recherche de primitive puisqu'elle est parfaitement sous la forme u prime u puissance n avec n qui vaut 2. Dans ce cas-là, allons-y, appliquons donc notre formule pour écrire une primitive grand f de notre fonction petit f.
Alors qu'est-ce qui se passe ? On sait que dans le cadre de la dérivation, j'ai une fonction u prime qui apparaît. Dans le cadre de la recherche d'une primitive, j'ai cette fonction u prime qui va disparaître.
On le voit bien dans la formule, j'ai... 1 sur n plus 1, u puissance n plus 1. Il n'y a plus de u prime. Donc ici, il n'y aura plus de u prime.
Donc ce morceau-là, ici, il disparaît. Je garde simplement le morceau en u. Donc cette partie-là.
On va déjà la recopier alors. Donc elle est ici, on va la mettre en rouge. Donc c'est notre x² moins 5x plus 4 qui apparaît. Qu'arrive-t-il au niveau de l'exposant ?
On sait que lorsqu'on dérive, on perd. Donc lorsqu'on primitive, on gagne. On passe donc de n à n plus 1. On passe donc de 2 à 3. Donc j'aurai ici exposant 3. On y est presque.
Ici, en facteur, qu'arrive-t-il ? On se rappelle que lorsqu'on dérive, l'exposant passe devant. Donc ici, il faudrait le faire disparaître. Pour cela, on utilise son inverse.
Et comme tout à l'heure pour la dérivée de x puissance n, on reprend ici cet exposant et on le place au dénominateur. Il arrive là, donc 3 au dénominateur, donc avec ici un facteur 1 tiers. On a donc, comme dans la formule, u puissance n plus 1 ici, et en facteur, 1 sur n plus 1. Eh bien, c'est terminé.
on a déjà notre fonction qui est primitive de f, c'est la fonction f du x, qui s'écrit donc 1 tiers de x²-5x plus 4, le tout au cube. Et du coup, cette séquence est terminée.