Appunti sulla Teoria degli Insiemi

Concetto di Insieme

• Definizione: Un raggruppamento di oggetti rappresenta un insieme se esiste un criterio oggettivo per decidere l'appartenenza.
  • Esempio: Insieme delle squadre di calcio di Serie A.

Elementi di un Insieme

• Esempio: Insieme A = {1, 2, 3, 4}.
• Simboli di appartenenza:
  • 4 appartiene ad A: 4 ∈ A
  • 7 non appartiene ad A: 7 ∉ A

Tipologie di Insiemi

• Insiemi Finiti: Hanno un numero limitato di elementi.
• Insiemi Infiniti: Hanno un numero illimitato di elementi. Esempi: numeri naturali, interi, razionali, reali.
• Insieme Vuoto: Un insieme senza elementi, rappresentato come {} o ∅.

Rappresentazione degli Insiemi

• Grafica: Diagrammi di Eulero-Venn.
• Elencazione: Es. A = {x, y, z}.
• Proprietà caratteristica: Definito in base a proprietà specifiche degli elementi.
  • Esempio: B = {n ∈ N | 1 ≤ n ≤ 3}.

Sottogruppi

• Sottogruppo: B è un sottogruppo di A se tutti gli elementi di B appartengono ad A.
  • Rappresentato come B ⊆ A (sottoinsieme) o B ⊈ A (non sottoinsieme).
• Sottogruppi Impropri: L'insieme stesso e l'insieme vuoto sono sempre sottogruppi impropri.

Operazioni sugli Insiemi

Intersezione

• Definizione: A ∩ B è l'insieme degli elementi comuni a A e B.
  • Se A e B non hanno elementi in comune, A ∩ B = ∅.
  • Se B è un sottogruppo di A, allora A ∩ B = B.

Unione

• Definizione: A ∪ B è l'insieme degli elementi che appartengono ad A o a B.
  • Se A = B, allora A ∪ B = A.
  • A ∪ ∅ = A.

Differenza

• Definizione: A - B è l'insieme degli elementi in A che non appartengono a B.
  • Se A e B sono disgiunti, A - B = A.

Insieme Complementare

• Definizione: L'insieme complementare di B rispetto a A è l'insieme di elementi in A che non sono in B.

Prodotto Cartesiano

• Definizione: A × B è l'insieme delle coppie ordinate (a, b) dove a ∈ A e b ∈ B.
  • Non commutativo: A × B ≠ B × A.

Insieme delle Parti

• Definizione: L'insieme delle parti di A è l'insieme di tutti i sottogruppi di A.
  • Indicato come P(A).
• Formula: |P(A)| = 2^|A|, dove |A| è il numero di elementi in A.

Riepilogo Operazioni e Proprietà

• Proprietà commutativa e associativa per intersezione e unione.
• Differenza e complementare sono definite in base all'ordine degli insiemi.

Conclusione

• Questa sintesi riassume i concetti fondamentali relativi agli insiemi, le loro rappresentazioni e le operazioni che si possono eseguire su di essi.