Penjelasan Logaritma dan Sifat-Sifatnya

Pendahuluan

• Logaritma adalah topik yang terkait erat dengan eksponen.
• Contoh eksponen: $2^3 = 8$. Dalam logaritma, kita mencari pangkat yang menghasilkan suatu angka dari basis tertentu, misalnya $ \log_{2} 8 = 3 $.

Contoh Dasar

• $2^3 = 8$, jadi $ \log_{2} 8 = 3 $
• $3^3 = 27$, jadi $ \log_{3} 27 = 3 $
• $4^2 = 16$, jadi $ \log_{4} 16 = 2 $

Sifat-Sifat Logaritma

1. Sifat Dasar

   • $ \log_{a} 1 = 0 $ karena $a^0 = 1$
   • Notasi: Kadang-kadang basis 10 tidak ditulis, misalnya $ \log 10 = 1 $ berarti $10^1 = 10$

2. Perkalian dan Pembagian

   • $ \log_{a} (b . c) = \log_{a} b + \log_{a} c $
   • $ \log_{a} \left ( \frac{b}{c} \right ) = \log_{a} b - \log_{a} c $
   • Contoh: $ \log_{2} 6 = \log_{2} 2 + \log_{2} 3 = 1 + \log_{2} 3 $

3. Pangkat

   • $ \log_{a} (b^m) = m \cdot \log_{a} b $
   • $ \log_{a^n} b = \frac{1}{n} \cdot \log_{a} b $
   • Contoh: $ \log_{2} 8 = \log_{2} (2^3) = 3 \cdot \log_{2} 2 = 3 \cdot 1 = 3 $

4. Perubahan Basis

   • $ \log_{a} b = \frac{ \log_{c} b }{ \log_{c} a } $
   • Contoh: $ \log_2 3 = \frac{ \log_5 3 }{ \log_5 2 } $

5. Pembalikan

   • $ \log_{a} b = \frac{1}{ \log_{b} a } $
   • Contoh: $ \log_2 3 = \frac{1}{ \log_3 2 } $

6. Perkalian Berantai

   • $ \log_{a} b \cdot \log_{b} c \cdot \log_{c} d = \log_{a} d $
   • Contoh: $ \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 = \log_2 5 $

7. Logaritma Pangkat

   • $ a^{ \log_{a} b } = b $
   • Contoh: $ 2^{ \log_2 3 } = 3 $

Contoh Soal dan Penyelesaian

1. *Soal: $ 25^{ \log_{25} 5^{2x} } = 8, cari x $

   • $ 25 = 5^2 $
   • $ 5^{2 \cdot \log_{25} 5^{2x}} = 8 $
   • $ 2 \cdot \log_{25} 5^{2x} = 8 $
   • $ x = 8 $

2. *Soal: Jika $ 5 \log 4 = m $, berapa $ 25 \log 20 $

   • $ 25 = 5^2 $
   • $ 25 \log 20 = \frac{1}{2} \cdot 5 \log 20 $
   • $ 5 \log 20 = 5 \log (5 \cdot 4) = 5 \log 5 + 5 \log 4 $
   • $ 5 \log 5 + m = 1 + m $

3. *Soal: Jika $ 2 \log 3 = m $, berapa $ 8 \log 12 $

   • $ 8 = 2^3 $
   • $ 8 \log 12 = \frac{1}{3} \cdot 2 \log 12 $
   • $ 2 \log 12 = 2 \log (3 \cdot 4) = 2 \log 3 + 2 \log 4 $
   • $ 2 \log 3 + 2 \log 4 = m + 2 $*

Penutup

• Banyak latihan soal adalah kunci untuk memahami dan menghafal sifat-sifat logaritma.
• Next video akan membahas beberapa soal latihan lagi untuk memperdalam pemahaman.

Kesimpulan

• Logaritma adalah alat yang berguna dalam matematika, sangat terkait erat dengan eksponen.
• Menguasai sifat-sifat logaritma akan mempermudah dalam mengerjakan berbagai soal.

Selamat belajar dan semoga sukses!